BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

Transkrypt

1 BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

2 Zadanie zbilansowane

3 Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości produkcyjne zakładów wynoszą odpowiednio: 12, 2 i 6 jednostek, natomiast zapotrzebowanie w poszczególnych centrach dystrybucyjnych odpowiednio: 8, 3, 4 i 5 jednostek. Jednostkowe koszty transportu przedstawione są w tabeli. Określić taki plan przewozów, aby koszty dostaw z zakładów wytwórczych do centrów dystrybucyjnych były minimalne.

4 Zadanie zbilansowane Tabela kosztów jednostkowych: A B C D E F G dostawcy odbiorcy

5 Model matematyczny

6 Model matematyczny Produkcja zakładów (PODAŻ): = 2 Zapotrzebowanie w centrach dystrybucyjnych (POPYT): = 2 Produkcja = Zapotrzebowanie lub PODAŻ = POPYT Zadanie jest zbilansowane

7 Model matematyczny m a = n i i= 1 j= 1 b j gdzie: a i zasoby i tego dostawcy b j zapotrzebowanie j tego odbiorcy m ilość dostawców n ilość odbiorców c ij koszt transportu od i tego dostawcy do j tego odbiorcy

8 Model matematyczny Zmienne decyzyjne: x ij ilość towaru przewożonego od i tego dostawcy do j tego odbiorcy i= 1... m j = 1... n m= 3 n= 4 np.: x 24 ilość towaru przewożonego od drugiego dostawcy (miasto B) do czwartego odbiorcy (miasto G)

9 Model matematyczny Funkcja celu: (,,,,,,,,,,, ) Z x x x x x x x x x x x x = 5x + 3x + 8x + 2x x + 6x + 4x + 2x x + 2x + 3x + 11x MIN = ( ) Z x m ij ij ij i= 1 j= 1 n = c x MIN

10 Model matematyczny Ograniczenia: DOSTAWCY: A : x + x + x + x = B : x + x + x + x = C : x + x + x + x = n j= 1 x = a, i= 1... m ij i

11 Model matematyczny Ograniczenia c.d.: ODBIORCY: D : x + x + x = E : x + x + x = F : x + x + x = G : x + x + x = m i= 1 x = b, j = 1... n ij j

12 Model matematyczny Warunki brzegowe: x, i= 1... m, j = 1... n ij

13 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne

14 Metoda kąta północno zachodniego

15 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (1, 1) (3, 4) węzły

16 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Ilość węzłów bazowych m + n 1 W przykładzie: = 6

17 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(12, 8) = 8

18 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

19 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(4, 3) = 3

20 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

21 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(1, 4) = 1

22 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

23 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(2, 3) = 2

24 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

25 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(6, 1) = 1

26 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

27 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów min(5, 5) = 5 5

28 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów

29 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ * * * * 2 * * 1 5 * - węzły bazowe Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne x = 8 x = 3 x = 1 x = x = x = x = 2 x = x x x 1 x 5 = = = = ( ) FC: Z x = 123 ij

30 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Sprawdzenie optymalności rozwiązania u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 4 u i zmienne związane z dostawcami v i zmienne związane z odbiorcami

31 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności eij = ui + vj + cij Dla węzłów bazowych e ij =

32 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności (1, 1) e 11 = u 1 + v = (1, 2) e 12 = u 1 + v = (1, 3) e 13 = u 1 + v = 3 (2, 3) e 23 = u 2 + v = 4 (3, 3) e 33 = u 3 + v = 5 (3, 4) e 34 = u 3 + v = 6

33 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Układ 6 równań z 7 siedmioma niewiadomymi. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby go rozwiązać za jedną ze zmiennych przyjmuje się dowolną wartość.

34 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Przyjmujemy u 1 = Z : Z : Z 3: Z 4: Z 5: Z 6: v 1 = 5 v 2 = 3 v 3 = 8 u 2 = 4 v 3 = 4 u 3 = 3 v 3 = 5 v 4 = 11 u 3 = 16

35 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności dla węzłów niebazowych (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + c 14 = 14 (2, 1) (2, 2) e 21 = u 2 + v 1 + c 21 = 3 e 22 = u 2 + v 2 + c 22 = 7 (2, 4) e 24 = u 2 + v 4 + c 24 = 1 (3, 1) (3, 2) e 31 = u 3 + v 1 + c 31 = 9 e 32 = u 3 + v 2 + c 32 = 4

36 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica wskaźników optymalności * * * -14 * * * 9 4

37 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Kryterium optymalności Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są nieujemne. Rozwiązanie nie jest optymalne

38 Kolejne rozwiązania

39 Kolejne rozwiązania Nowe rozwiązanie wymiana jednego węzła w bazie Kryterium wejścia Do bazy wprowadzany jest węzeł, dla którego wskaźnik optymalności ma wartość najmniejszą. W przykładzie: (1, 4)

40 Kolejne rozwiązania Określenie węzła usuwanego z bazy Budowa tzw. cyklu Definicja cyklu W każdym wierszu bądź kolumnie do cyklu wchodzą dwa lub zero węzłów. Cykl składa się z półcyklu dodatniego i ujemnego.

41 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * (1, 4) węzeł * * * 1 5 wprowadzany do bazy Węzeł wprowadzany do bazy półcykl dodatni

42 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * (3, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl ujemny

43 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * (3, 4) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl dodatni

44 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * (1, 3) drugi węzeł trzecia kolumna półcykl ujemny

45 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * Cykl składający się z czterech węzłów

46 Kolejne rozwiązania Określamy minimum w półcyklu ujemnym: min(1, 5) = 1 Minimum odpowiada węzłowi (1, 3) Kryterium wyjścia Z bazy usuwany jest węzeł z półcyklu ujemnego, dla którego wartość przewozu jest najmniejsza.

47 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 *

48 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1*

49 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 * 4 *

50 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 * 2 * 4 *

51 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * * 2 * 2 * 4 * ( ) FC: Z x = 19 ij

52 Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * -14 * * * 9 4 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) e 23 = u 2 + v 3 + = (2, 3) e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) e 33 = u 3 + v 3 + = (3, 3) (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 14 = (3, 4) e 34 = u 3 + v 4 + =

53 Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 14 u 3 = 14 v 1 = v 2 = v 3 = 14 v 4 = 14

54 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Nowe wskaźniki optymalności e ij = ui + vj + eij e ij wskaźniki optymalności z poprzedniego kroku

55 Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 14 * * * -5-1 Przykładowo: (1, 3) e 13 = u 1 + v 3 + = = 14 ROZWIĄZANIE NIE JEST OPTYMALNE

56 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * 2 4 Węzeł wprowadzany do bazy: (2, 1)

57 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * 2 4 (1, 1) drugi węzeł pierwsza kolumna półcykl ujemny

58 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * 2 4 (1, 4) drugi węzeł pierwszy wiersz półcykl dodatni

59 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * 2 4 (3, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl ujemny

60 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * (3, 3) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl dodatni

61 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + * + * * (3, 3) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl ujemny

62 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + * + * * Cykl składający się z sześciu węzłów min(8, 2, 4) = 2 (2, 3) usuwamy z bazy

63 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * * 2 * 4 * 2 * ( ) FC: Z x = 87 ij

64 Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * 14 * * * -5-1 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) (2, 1) e 21 = u 2 + v 1 11 = e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) e 33 = u 3 + v 3 + = (3, 3) (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + = (3, 4) e 34 = u 3 + v 4 + =

65 Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 11 u 3 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 =

66 Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 14 * * * -5-1 ROZWIĄZANIE NIE JEST OPTYMALNE

67 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * Węzeł wprowadzany do bazy: (3, 2)

68 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * * * (3, 4) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl ujemny

69 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * (1, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl dodatni

70 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * (1, 2) drugi węzeł pierwszy wiersz półcykl ujemny

71 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * + * * Cykl składający się z czterech węzłów min(3, 2) = 2 (3, 4) usuwamy z bazy

72 Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * * * 2 4* * ( ) FC: Z x = 67 ij

73 Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * 14 * * * -5-1 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) e 21 = u 2 + v 1 + = (2, 1) e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) (3, 2) e 32 = u 3 + v 2 1 = (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + = (3, 3) e 33 = u 3 + v 3 + =

74 Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = u 3 = 1 v 1 = v 2 = v 3 = 1 v 4 =

75 Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 4 * * * 5 1 ROZWIĄZANIE JEST OPTYMALNE

76 Kolejne rozwiązania Rozwiązanie optymalne x = 6 x = 1 x = x = x = 2 x = x = x = x = x = 2 x = 4 x = ( ) FC: Z x = 67 ij