Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Transkrypt

1 Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty dostawca ma dostarczyć odbiorcom mniej lub tyle towaru, ile posiada). Warunek dla odbiorców (j-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebuje). Warunki brzegowe. Funkcja celu (minimalizacja łącznych kosztów transportu od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców). Artur Piątkowski WZ UW Strona 1

2 ZADANIE 1 Cztery zakłady krawieckie Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 zaopatrują się we włóczkę w trzech hurtowniach: H 1, H 2, H 3. Wielkości charakteryzujące popyt, podaż i koszty transportu włóczki (w zł za kilogram) z każdego zakładu do każdej hurtowni ilustruje poniższa tablica. Hurtownie Zakłady krawieckie Podaż Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 H , kg H 2 5,5 4,5 4, kg H 3 5 8,5 2, kg Popyt 600 kg 500 kg 400 kg 700 kg (1) Opracować optymalny plan transportu włóczki, minimalizujący łączne koszty transportu. Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, czy łączna podaż dostawców jest nie mniejsza niż łączny popyt odbiorców: Łączna podaż dostawców jest większa niż łączny popyt odbiorców w takim wypadku mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Następnie należy zapisać powyższy problem decyzyjny za pomocą programu liniowego: Zmienne decyzyjne (jest dwanaście zmiennych decyzyjnych): Artur Piątkowski WZ UW Strona 2

3 Warunki ograniczające: Podażowe: Popytowe: Funkcja celu: Następnie należy zaimplementować powyższy program do arkusza kalkulacyjnego MS Excel Przenosimy do arkusza poszczególne części programu: zmienne decyzyjne, warunki ograniczające, funkcję celu oraz tabelę z kosztami transportu. Następnie rozwiązujemy zadanie z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 3

4 wartości: Po rozwiązaniu programu zmienne decyzyjne i funkcja celu przyjęły następujące Pozostałe zmienne decyzyjne przyjęły wartość 0. Odp1.: Z pierwszej hurtowni należy przewieźć 500 kg włóczki do drugiego zakładu, z drugiej hurtowni należy przewieść 700 kg włóczki do czwartego zakładu, z trzeciej hurtowni należy przewieźć 600 kg włóczki do pierwszego zakładu oraz 400 kg włóczki do trzeciego zakładu. Taki plan transportu gwarantuje minimalne koszty transportu na poziomie 8800 zł. (2) W jakich granicach może zmieniać się koszt transportu z pierwszej hurtowni do drugiego zakładu, aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie? Żeby znaleźć odpowiedź na powyższe pytanie, należy przeanalizować raport wrażliwości komórek zmiennych. Informuje on w jakich granicach mogą zmienić się wartości współczynników znajdujących się w funkcji celu, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Artur Piątkowski WZ UW Strona 4

5 Drugi współczynnik funkcji celu (koszt transportu z pierwszej hurtowni do drugiego zakładu) wynosi 4. Może on wzrosnąć o 0,5, lub nieskończenie zmniejszyć się, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Przyjmujemy, że koszt nie może być nieskończenie niski minimalny koszt transportu to 0. Odp2.: Rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, jeżeli koszt transportu będzie się zmieniać w granicach <0 ; 4,5>. (3) W jakich granicach może się zmieniać koszt transportu z pierwszej hurtowni do trzeciego zakładu, aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie? Trzeci współczynnik funkcji celu (koszt transportu z pierwszej hurtowni do trzeciego zakładu) wynosi 3,5. Może on zmniejszyć się o 0,5, lub nieskończenie wzrosnąć, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Odp3.: Rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie, jeżeli koszt transportu będzie się zmieniać w granicach <3 ;. Artur Piątkowski WZ UW Strona 5

6 (4) Czy wzrost kosztu transportu włóczki z drugiej hurtowni do czwartego zakładu do poziomu 7 zł za kilogram zmieni rozwiązanie optymalne? Ósmy współczynnik funkcji celu (koszt transportu z drugiej hurtowni do czwartego zakładu) wynosi 4. Może on wzrosnąć o jeden, lub zmniejszyć się do zera, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Jeżeli ósmy współczynnik funkcji celu wzrośnie o 3 do poziomu 7, to zmieni się rozwiązanie optymalne (wartość współczynnika wyjdzie poza określone granice). Odp4.: Wzrost kosztu transportu włóczki z drugiej hurtowni do czwartego zakładu do poziomu 7 zł za kilogram spowoduje ZMIANĘ ROZWIĄZANIA OPTYMALNEGO. (5) Czy spadek kosztu transportu włóczki z trzeciej hurtowni do trzeciego zakładu o 2,5 zł spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego? Artur Piątkowski WZ UW Strona 6

7 Jedenasty współczynnik funkcji celu (koszt transportu z trzeciej hurtowni do trzeciego zakładu) wynosi 2,5. Może on wzrosnąć o 0,5, lub zmniejszyć się do zera, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Jeżeli jedenasty współczynnik funkcji celu zmaleje o 2,5 do poziomu 0, to rozwiązanie optymalnie nie zmieni się (wartość współczynnika zmieni się w określonych granicach). Odp5.: Spadek kosztu transportu włóczki z trzeciej hurtowni do trzeciego zakładu o 2,5 zł NIE SPOWODUJE zmiany rozwiązania optymalnego. (6) Czy spadek kosztu transportu włóczki z trzeciej hurtowni do czwartego zakładu o 5 zł spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego? Artur Piątkowski WZ UW Strona 7

8 Dwunasty współczynnik funkcji celu (koszt transportu z trzeciej hurtowni do czwartego zakładu) wynosi 8. Może on zmniejszyć się o 4,5, lub nieskończenie wzrosnąć, żeby rozwiązanie optymalne pozostało bez zmian. Jeżeli dwunasty współczynnik funkcji celu zmaleje o 5 do poziomu 3, to rozwiązanie optymalnie zmieni się (wartość współczynnika wyjdzie poza określone granice). Odp6.: Spadek kosztu transportu włóczki z trzeciej hurtowni do czwartego zakładu o 5 zł SPOWODUJE ZMIANĘ rozwiązania optymalnego. (7) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, jeżeli koszt transportu włóczki z pierwszej hurtowni do czwartego zakładu wzrośnie o 10 zł, koszt transportu włóczki z drugiej hurtowni do drugiego zakładu zmniejszy się o 4 zł, a koszt transportu z trzeciej hurtowni do pierwszego zakładu wzrośnie o 3 zł? Żeby znaleźć odpowiedź na powyższe pytanie należy zmienić trzy współczynniki funkcji celu w modelu i ponownie go rozwiązać z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 8

9 Po zmianie trzech współczynników funkcji celu i ponownym rozwiązaniu programu zmienne decyzyjne przyjęły następujące wartości: Pozostałe zmienne decyzyjne przyjęły wartość 0. Odp7.: Po zmianie kosztów transportu w trzech węzłach nastąpiła zmiana optymalnego planu transportu. Z pierwszej hurtowni należy przewieźć 600 kg włóczki do pierwszego zakładu oraz 400 kg włóczki do drugiego zakładu, z drugiej hurtowni należy przewieść 100 kg włóczki do drugiego zakładu oraz 700 kg włóczki do czwartego zakładu, z trzeciej hurtowni należy przewieźć 400 kg włóczki do trzeciego zakładu. (8) Jak zmieni się funkcja celu względem rozwiązania początkowego, jeżeli koszt transportu z drugiej hurtowni do wszystkich zakładów będzie taki sam i będzie wynosił 7 zł za kilogram? Czy zmiana cen jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? Żeby znaleźć odpowiedź na powyższe pytanie należy zmienić cztery współczynniki funkcji celu w modelu i ponownie go rozwiązać z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 9

10 Po ponownym rozwiązaniu programu funkcja celu przyjęła następującą wartość: Stara funkcja celu miała wartość (po zmianie czterech współczynników funkcja celu zwiększyła swoją wartość o 700 zł, co nie jest korzystnie z ekonomicznego punktu widzenia). Odp8.: Jeżeli koszt transportu z drugiej hurtowni do wszystkich zakładów będzie taki sam i będzie wynosił 7 zł za kilogram, to wartość nowej funkcji celu wzrośnie o 700 zł i będzie wynosiła. Nie jest to korzystnie z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ kryterium funkcji celu jest MIN (łączne koszty transportu dążą do minimum). (9) Czy wzrost zapasu włóczki w drugiej hurtowni do poziomu 1600 kg zmieni wartość funkcji celu? Odpowiedź uzasadnij. Żeby znaleźć odpowiedź na powyższe pytanie, należy przeanalizować raport wrażliwości ograniczeń. Informuje on w jakich granicach mogą zmienić się prawe strony ograniczeń (wyrazy wolne), żeby baza optymalna pozostała bez zmian. Artur Piątkowski WZ UW Strona 10

11 Z raportu wrażliwości ograniczeń można odczytać wartości drugiej ceny dualnej: Druga cena dualna informuje nas, o ile się zmieni wartość funkcji celu, jeżeli zwiększymy wyraz wolny (zapas włóczki w drugiej hurtowni) ograniczenia o jednostkę. Nową wartość funkcji celu można obliczyć wykorzystując cenę dualną. Jeżeli zwiększymy zasób surowca o 800 kg (do poziomu 1600 kg), to funkcja celu zmieni się w następujący sposób: *800=8 800 Odp9.: Wzrost zapasu włóczki w drugiej hurtowni do poziomu 1600 kg NIE ZMIENI wartość funkcji celu, ponieważ druga cena dualna wynosi 0 ). (10) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne (względem rozwiązania początkowego), jeżeli popyt pierwszego zakładu zmniejszy się o 300 kg? Jak wpłynie to na funkcję celu? Żeby znaleźć odpowiedź na powyższe pytanie należy zmienić wyraz wolny pierwszego ograniczenia popytowego i ponownie rozwiązać model z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 11

12 Zmniejszenie popytu pierwszego zakładu o 300 kg spowodowało zmniejszenie wartości zmiennej decyzyjnej Wartość funkcji celu zmniejszyła się o 1500 zł. Odp10.: Jeżeli popyt pierwszego zakładu zmniejszy się o 300 kg to wielkość transportu z trzeciej hurtowni do pierwszego zakładu również zmniejszy się o 300 kg ( ). Spadek popytu pierwszego zakładu spowoduje spadek wartości funkcji celu o 1500 zł do poziomu (11) O ile zmieni się funkcja celu (względem rozwiązania początkowego), jeżeli popyt czwartego zakładu zwiększy się o 50 kg. Czy wpłynie to na zmianę rozwiązania optymalnego? Artur Piątkowski WZ UW Strona 12

13 Zwiększenie popytu czwartego zakładu o 50 kg spowodowało wzrost funkcji celu o 200 zł oraz wzrost wartości zmiennej decyzyjnej o 50 kg. Odp11.: Wzrost popytu czwartego zakładu o 50 kg spowoduje wzrost wartości funkcji celu o 200 zł (do poziomu wzrost wielkości transportu z drugiej hurtowni do czwartego zakładu o 50 kg ( ). (12) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne (względem rozwiązania początkowego), jeżeli popyt drugiego zakładu potroi się? Po potrojeniu popytu drugiego zakładu i rozwiązaniu zmodyfikowanego modelu przy pomocy dodatku Solver pojawia się następujący komunikat: Potrojenie popytu spowodowało wzrost łącznego popytu odbiorców (zakładów) o 1000 kg: Artur Piątkowski WZ UW Strona 13

14 Łączna podaż dostawców (hurtowni) pozostała bez zmian: W takim wypadku zagadnienie transportowe nie ma rozwiązania, ponieważ łączna podaż dostawców jest mniejsza niż łączny popyt odbiorców. Odp12.: Trzykrotny wzrost popytu drugiego zakładu spowoduje wzrost łącznego popytu odbiorców (zakładów) do poziomu 3200 kg. W takim wypadku zagadnienie transportowe nie ma rozwiązania, ponieważ łączny popyt zakładów, który wynosi 3200 kg, przewyższył łączną podaż hurtowni, która wynosi 3000 kg. Literatura 1. Guzik B. (2009). Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. 2. Kukuła K. (1999). Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa. 3. Lipiec-Zajchowska M. Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III. Badania Operacyjne, Wyd. C.H. Beck, Warszawa Radzikowski W. (1994). Badania operacyjne w zarządzaniu. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. 5. Sikora W. (2008). Badania operacyjne. PWE, Warszawa. Artur Piątkowski WZ UW Strona 14