4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
|
|
- Judyta Wilczyńska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania problemów decyzyjnych 1) Postawienie problemu. 2) Utworzenie modelu matematycznego: 1) wybór zmiennych decyzyjnych, 2) zbudowanie tak zwanej funkcji celu jest to funkcja, dla której poszukuje się ekstremum (minimum lub maksimum), 3) nałożenie warunków ograniczających na zmienne decyzyjne. 3) Rozwiązanie problemu z wykorzystaniem narzędzi matematycznych. Zagadnienie optymalizacyjne nazywamy zagadnieniem programowania liniowego (PL), gdy: 1) Funkcja celu jest liniowa. 2) Warunki ograniczające są liniowe (w postaci równań lub nierówności). 3) Zmienne decyzyjne są nieujemne. 4.1
2 4.1. Ogólne sformułowanie zagadnienia programowania liniowego Rozważmy zmienne decyzyjne: x 1, x 2,..., x n. Zmaksymalizować funkcję celu przy warunkach F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x a 1n x n r 1 a m1 x a mn x n oraz x j 0, j = 1, 2,... n. Zminimalizować funkcję celu r m przy warunkach F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x a 1n x n r 1 a m1 x a mn x n oraz x j 0, j = 1, 2,... n. Zbiorem rozwiązań dopuszczalnych nazywamy zbiór punktów X = (x 1, x 2,..., x n ), których współrzędne spełniają wszystkie warunki ograniczające. Rozwiązaniem optymalnym zagadnienia PL nazywamy taki punkt X, dla którego funkcja celu osiąga poszukiwane ekstremum. r m 4.2
3 Jeżeli funkcja celu zagadnienia PL osiąga w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych wartość największą (najmniejszą), to wartość ta jest osiągana w punkcie wierzchołkowym tego zbioru. Jeżeli zbiór rozwiązań dopuszczalnych zagadnienia PL jest ograniczony, to funkcja celu osiąga w tym zbiorze wartość najmniejszą i największą. Jeżeli zbiór ten nie jest ograniczony, to funkcja celu może nie mieć najmniejszej (największej) wartości Metoda graficzna Jedną z metod rozwiązywania zagadnień PL jest metoda graficzna. Jest ona dość prosta, jednak można ją stosować skutecznie jedynie w przypadku, kiedy występują dwie zmienne decyzyjne. Etapy metody zostaną zaprezentowane na przykładach. Przykład (zagadnienie diety) Dieta pewnej osoby składa się z dwóch rodzajów żywności, których ceny i zawartości składników odżywczych przedstawia tabela. W tabeli podano też minimalne zapotrzebowanie dzienne na poszczególne składniki zawarte w żywności. Jaka kombinacja obu tych rodzajów żywności zaspokaja dzienne zapotrzebowanie na substancje odżywcze najmniejszym kosztem? Wapń Proteiny Witamina A Cena Żywność I ,60 Żywność II ,00 Zapotrzebowanie
4 Rozwiązanie Oznaczmy x ilość żywności I, y ilość żywności II. Uwzględniając warunki zadania budujemy model matematyczny rozważanego problemu. Funkcja celu opisuje koszty diety, szukamy jej minimum. F(x, y) = 0,6x + y Min. Warunki ograniczające wynikają z zapotrzebowania na poszczególne składniki. 10x + 4y 20 (wapń) 5x + 5y 20 (proteiny) 2x + 6y 12 (witamina A) x, y 0 (warunki nieujemności) Każdy z warunków ograniczających opisuje w tym przypadku pewną półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią prostą. Warunki ograniczające wygodnie jest zapisać w postaci odcinkowej x y 1, 2 5 x y 1, 4 4 x y 1, 6 2 x, y 0 4.4
5 Postać ta jest wygodna, gdyż mianowniki przy odpowiednich zmiennych wskazują miejsce przecięcia danej prostej z osiami układ współrzędnych. Obszar rozwiązań dopuszczalnych uzyskamy, gdy uwzględnimy w układzie współrzędnych wszystkie warunki ograniczające. y 8 Kolejny krok to narysowanie zerowej warstwicy funkcji celu. Przyjmując F(x, y) = 0 otrzymujemy x 0,6x + y = 0. y x Przyjmując coraz to większe wartości funkcji celu otrzymuje się coraz to wyżej położone warstwice przy czym wszystkie są równoległe do 4.5
6 warstwicy zerowej. Jeżeli zatem poszukuje się najmniejszej wartości funkcji celu, to należy wyznaczyć warstwicę położoną jak najniżej i mającą punkty wspólne ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. Przesuwamy zatem zerową warstwicę równolegle w górę do napotkania pierwszego punktu ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych zadanych warunkami 5x + 5y = 20, 2x + 6y = 12. Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy Wtedy x = 3, y = 1. F(3, 1) = 0, = 2,8. Aby dostarczyć wymaganych ilości składników przy jednoczesnej minimalizacji kosztów, dieta powinna składać się z 3 jednostek żywności I oraz 1 jednostki żywności II. Wtedy minimalny koszt wyniesie 2,8. y x Przykład (zagadnienie produkcji) 4.6
7 Zakład produkuje dwa rodzaje wyrobów na obrabiarce i frezarce. Czas pracy poszczególnych maszyn potrzebny do wytworzenia danego wyrobu, dzienny limit czasu pracy maszyn oraz zysk osiągany ze sprzedaży każdego z wyrobów przedstawia tabela Obrabiarka Frezarka Zysk Wyrób I 0,4 0,8 400 Wyrób II 0,6 0,2 300 Limit 8 8 Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk. Rozwiązanie Oznaczmy x ilość wyrobu I, y ilość wyrobu II. Budujemy model matematyczny problemu. Funkcja celu opisuje zysk, szukamy jej maksimum. F(x, y) = 400x + 300y Max. Warunki ograniczające wynikają z limitu czasu pracy maszyn. 0,4x + 0,6y 8 (czas pracy obrabiarki) 0,8x + 0,2y 8 (czas pracy frezarki) x, y 0 (warunki nieujemności) Obszar rozwiązań dopuszczalnych y x 4.7
8 Zerowa warstwica funkcji celu 400x + 300y = 0 y x Tym razem poszukujemy maksimum funkcji celu. Szukamy zatem warstwicy położonej jak najwyżej i jednocześnie mającej punkty wspólne ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. y Rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych zadanych warunkami Po rozwiązaniu układy otrzymujemy x 0,4x + 0,6y = 8, 0,8x + 0,2y = 8. x = 8, y = 8, F(8, 8) = =
9 Optymalna z punktu widzenia zysku struktura produkcji to 8 jednostek wyrobu I oraz 8 jednostek wyrobu II. Wtedy zysk wyniesie Metoda punktów wierzchołkowych W przypadku, gdy zagadnieniach PL występują więcej niż dwie zmienne decyzyjne metoda graficzna nie znajduje zastosowania. Należy wtedy zastosować jedną z metod analitycznych nie mających takiego ograniczenia. Jedną z nich jest metoda punktów wierzchołkowych. Metoda ta może być stosowana w przypadku dowolnej liczby zmiennych decyzyjnych, jednak w przypadku dużej ich liczby wymaga ona wielu rachunków. Rozważmy zagadnienie PL w postaci zwyczajnej F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Max. (Min.) z warunkami n j 1 n j 1 n j 1 a a a ij ij ij x x x j j j r i r r i i, i = 1,..., l (a) lub, i = l + 1,..., k (b) lub, i = k + 1,..., m (c) oraz x j 0, j=1, 2,... n. Wprowadzając zmienne uzupełniające (by z nierówności zrobić r-nia) x n+1,..., x n+k, 4.9
10 przekształca się postać zwyczajną do postaci standardowej F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + 0x n x n+k przy warunkach Max. (Min.) n j k 1 a ij x j r i, i = 1,..., m x j 0, j = 1, 2,... n+k. Współczynniki a ij stojące przy zmiennych uzupełniających są równe: 1 lub 0, gdy nierówności są postaci (a), 1 lub 0, gdy nierówności są postaci (b). (-1 ze względu na warunek nieujemności iksów) Często zmienne uzupełniające oznacza się s 1,..., s k zamiast x n+1,..., x n+k, nazywając je zmiennymi: niedoboru dla warunków (a) nadmiaru dla warunków (b) Etapy metody punktów wierzchołkowych: 1) Utworzenie modelu matematycznego, 2) Przekształcenie modelu do postaci standardowej, 3) Określenie rzędu r macierzy współczynników a ij postaci standardowej, 4) Rozwiązanie n k n k r układów równań utworzonych poprzez przyjęcie wartości zero dla n + k r zmiennych, 5) Obliczenie wartości funkcji celu w wyznaczonych punktach spełniających warunki nieujemności, 6) Wybór punktu realizującego żądane ekstremum funkcji celu. 4.10
11 Przykład Rozwiązać zagadnienie programowania liniowego F(x, y) = 20x + 30y Max. x + 2y 11, 4x + 2y 14, x, y 0. Rozwiązanie Przekształcamy zagadnienie do postaci standardowej F(x, y) = 20x + 30y + 0s 1 + 0s 2 x 2y 4x 2y x, y, s 1 s, s 1 s , 14, 0. (*) Max. Rzędy macierzy współczynników oraz macierzy rozszerzonej wynoszą 2. Układ równań posiada zatem 4 2 = 2 parametry. Dowolne dwie zmienne przyjmujemy zatem za zerowe. Wszystkie możliwe takie przypadki zapisujemy w tabeli: L.p. x y s 1 s 2 F Następnie uzupełniamy tabelkę w każdym z tych przypadków w oparciu o układ równań (*). 4.11
12 Otrzymujemy. Ad1) Ad2) s 1 = 11 2y = 11 skąd y = 11/2 s 2 = 14. 2y + s 2 = 14 s 2 = 3. Ad3) 2y + s 1 = 11 skąd y = 7 2y = 14 s 1 = 3. Ad4) x = 11 skąd x = 11 4x + s 2 = 14 s 2 = 30. Ad5) x + s 1 = 11 skąd x = 14/4 4x = 14 s 1 = 30/4 Ad6) x + 2y = 11 skąd x = 1 4x + 2y = 14 y = 5 Uzyskane wartości wpisujemy do tabeli obliczając dodatkowo wartość funkcji celu w tych przypadkach, w których nie występują ujemne wartości zmiennych (zmienne muszą spełniać warunki nieujemności). L.p. x y s 1 s 2 F , ,5 0 7, Największa wartość funkcji celu równa 170 jest przyjmowana dla x = 1, y =
13 4.4. Zagadnienie dualne W przypadku zagadnienia PL, w którym jest więcej zmiennych decyzyjnych niż warunków ograniczających wyznaczenie wprost jednoznacznego rozwiązania jest na ogół niemożliwe. Rozwiązuje się wtedy zagadnienie dualne i na podstawie tego rozwiązania formułuje się wnioski dotyczące rozwiązania zagadnienia prymalnego (pierwotnego). Wyjściowe zagadnienie PL będziemy nazywali zagadnieniem prymalnym (ZP). Aby utworzyć zagadnienie dualne (ZD) należy zastosować następujące reguły: 1) jeżeli w ZP funkcja celu jest maksymalizowana, to w ZD funkcja celu jest minimalizowana i na odwrót, 2) zwroty nierówności występujące w warunkach ograniczających ZD są przeciwne niż w warunkach ograniczających ZP (warunki nieujemności pozostają bez zmian), 3) macierz współczynników dla warunków ograniczających ZD jest transpozycją macierzy współczynników dla warunków ograniczających ZP, 4) wyrazy wolne warunków ograniczających ZP stają się współczynnikami funkcji celu ZD i na odwrót tzn. współczynniki funkcji celu ZP stają się wyrazami wolnymi warunków ograniczających ZD. 4.13
14 Zagadnienie dualne ma następujące własności: 1. Optymalne wartości prymalnej i dualnej funkcji celu są jednakowe (o ile istnieją rozwiązania optymalne) 2. Jeżeli pewna zmienna decyzyjna (uzupełniająca) w zagadnieniu PL ma optymalną wartość różną od zera, to odpowiednia zmienna uzupełniająca (decyzyjna) w zagadnieniu dualnym do niego musi mieć optymalną wartość równą zero. Pierwsza z tych własności pozwala wyznaczyć optymalną wartość prymalnej funkcji celu bez znajomości rozwiązania prymalnego. Z drugiej własności wynika, że jeżeli dla rozwiązania optymalnego ZD pewien warunek będący nierównością jest spełniony w sposób ostry, to odpowiednia zmienna ZP jest równa zero. Przykład Rozwiązać zagadnienia PL F(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + x 2 + 4x 3 Max. x 1 + x x x 1 + x x 3 16 x 1, x 2, x 3 0. Rozwiązanie W rozważanym zagadnieniu występują trzy zmienne decyzyjne a tylko dwa warunki ograniczający. Wykorzystamy zatem zagadnienie dualne. Wykorzystując reguły transformacji otrzymujemy następujące ZD: G(y 1, y 2 ) = 20y y 2 Min. 4.14
15 y 1 + 2y 2 2 (1) y 1 + y 2 1 (2) 4y 1 + 2y 2 4 (3) y 1, y 2 0. Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem zagadnienia dualnego jest 2 2 y 1, y Optymalna wartość dualnej funkcji celu wynosi G, 24 i jest równa wartości optymalnej funkcji F(x 1, x 2, x 3 ) Podstawiając rozwiązanie optymalne ZD do warunków ograniczających stwierdzamy, że jedynie warunek (2) jest spełniony w sposób ostry, gdyż W zagadnieniu prymalnym przyjmujemy zatem x 2 = 0. Wtedy otrzymamy następujący układ równań na pozostałe zmienne: x x 3 = 20 2x x 3 = 16 skąd otrzymujemy x 1 = 4, x 3 = 4. Ostatecznie zatem rozwiązaniem optymalnym ZD jest x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = 4. Optymalna wartość prymalnej funkcji celu wynosi F(4, 0, 4) = 24. Widoczne jest, że optymalne wartości prymalnej i dualnej funkcji celu są jednakowe. 4.15
16 4.5. Zadania 4.1. Pewien zakład produkuje dwa wyroby W 1 i W 2. Spośród wielu środków produkcji dwa są limitowane. Nakłady limitowanych środków, zysk oraz limity przedstawia tabela: Wyrób 1 Wyrób 2 Limit Środek Środek Zysk a) ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku, b) jak zmieni się struktura produkcji, jeśli założyć dodatkowo, że nie uda się sprzedać więcej aniżeli 100 sztuk wyrobu W 2? 4.2. Wykonać polecenia zadania nr1 dla następującej tablicy nakładów: Wyrób 1 Wyrób 2 Limit Środek Środek Zysk Zakład stolarski produkuje stoły oraz krzesła wykorzystując do tego drewno pierwszego i drugiego gatunku. Zakład ten ma pewne ograniczenia dotyczące ilości poszczególnych rodzajów drewna oraz siły roboczej. Zużycie poszczególnych rodzajów drewna, nakłady roboczogodzin, tygodniowe limity oraz zyski przedstawia tabela: Gatunek I Gatunek II Roboczo Zysk godziny Stół 0,01 0, Krzesło 0,002 0, Limit Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku. 4.16
17 4.4. Pewien zakład wykonuje dwa wyroby W 1 i W 2 wykorzystując przy tym trzy maszyny M 1, M 2 i M 3. Wymagany czas pracy poszczególnych maszyn do wykonania wyrobów, tygodniowe limity czasu pracy maszyn oraz zysk przedstawia tabela: M 1 M 2 M 3 Zysk W 1 1 0,5 0,2 20 W 2 0,5 0,6 0,3 30 Limit a) ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku, b) jak zmieni się struktura produkcji, jeśli założyć dodatkowo, że należy produkować dwa razy więcej wyrobu W 1 niż W 2? 4.5. Gospodarstwo rolne zamierza przeznaczyć 500 ha na uprawę buraków oraz marchwi. Obsianie 1 ha burakami kosztuje 600 zł. natomiast marchwią 400 zł. Uprawa 1 ha buraków przynosi zysk w wysokości 1400 zł. natomiast 1 ha marchwi przynosi 1300 zł. zysku. a) określić strukturę zasiewów, aby przy wydatkach inwestycyjnych nie większych niż zł. gospodarstwo osiągnęło maksymalne zyski oraz wyznaczyć ten zysk, b) czy rozwiązanie się zmieni, jeśli zysk osiągany z 1 ha uprawy marchwi wzrośnie do 1500 zł.? 4.6. Gospodarstwo hodowlane tuczników ustaliło, że optymalny przyrost masy ciała wymaga dostarczenia dziennie trzech składników S 1, S 2 oraz S 3 w ilościach nie mniejszych niż odpowiednio 30, 40 oraz 10 jednostek. Składniki te są zawarte w dwóch paszach P 1 i P 2. Zawartości składników w jednostce paszy oraz ceny pasz przedstawia tabela. 4.17
18 S 1 S 2 S 3 Cena P P a) Ustalić skład mieszanki zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty oraz wyznaczyć minimalne koszty. b) Czy optymalne rozwiązanie zmieni się jeśli założyć dodatkowo, że składnika S 1 nie powinno być więcej w posiłku niż 15 jednostek? 4.7. Gospodarstwo prowadzące hodowlę bydła ustaliło, że optymalna dieta powinna zawierać co najmniej 8 jednostek składnika S 1, co najmniej 6 jednostek składnika S 2 i co najwyżej 12 jednostek składnika S 3. Składniki te zawarte są w dwóch paszach P 1 i P 2. Zawartości składników w jednostce paszy oraz ceny jednostkowe pasz przedstawia tabela. S 1 S 2 S 3 Cena P P Ustalić skład mieszanki paszowej zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty wyżywienia bydła oraz obliczyć minimalny koszt Wiadomo, że magnez jeden z pierwiastków niezbędnych do życia, jest najlepiej przyswajalny, jeśli jest spożywany łącznie z wapniem w proporcji 1:2. Posiłek dorosłego mężczyzny, którego zapotrzebowania na magnez wynosi od 250mg do 450mg składa się z dwóch składników S 1 i S 2. Zawartości magnezu oraz wapnia w składnikach oraz ceny jednostkowe składników przedstawia tabela Magnez Wapń Cena 4.18
19 S ,1 S ,15 Ile jednostek każdego ze składników powinien zawierać posiłek aby przy minimalnym koszcie spełnić wymagania dotyczące zapotrzebowania na magnez? Jaki jest wtedy koszt posiłku? 4.9. Mleczarnia zaopatruje się w mleko u dwóch dostawców. Z jednej jednostki mleka od dostawcy A można wyprodukować dwie jednostki masła i cztery jednostki sera. Z jednej jednostki mleka od dostawcy B można wyprodukować trzy jednostki masła i trzy jednostki sera. Dzienna produkcja mleczarni powinna wynosić co najmniej 300 jednostek masła oraz 900 jednostek sera. Wiadomo również, że łączna produkcja mleczarni nie może przekraczać 1500 jednostek. Ile i u którego dostawcy należy zakupić mleka, aby zminimalizować koszty zakupu surowca, jeśli dostawca A sprzedaje mleko po 300zł. a dostawca B po 320zł. za jednostkę? Jaki jest ten minimalny koszt? Mleko od dwóch dostawców różni się zawartością tłuszczu, pożądanych bakterii typu A oraz niepożądanych bakterii typu B. Zawartości procentowe oraz cenę jednostki mleka przedstawia tabela: Tłuszcz Bakterie Bakterie Cena typu A typu B Dostawca A 3,5% 0,00015% 0,00002% 5 Dostawca A 4% 0,0001% 0,00003% 6 W jakiej proporcji należy zmieszać mleka od dostawców, aby uzyskać zawartość tłuszczu nie mniejszą niż 3,7 %, zawartość bakterii typu A nie mniejszą niż 0,00013 % i zawartość bakterii typu B nie większą niż 0,000025%? 4.19
20 4.11. Pewien zakład wykonuje cztery wyroby W 1, W 2, W 3 i W 4. W zakładzie tym występują ograniczenia dotyczące siły roboczej oraz parku maszynowego. Nakłady czasu pracy, limity oraz zysk przedstawia tabela: W 1 W 2 W 3 W 4 Limit Praca ludzi Praca maszyn Zysk Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku. Uwaga: w rozwiązaniu należy wykorzystać zadanie dualne Farma drobiowa żywi kurczaki czterema rodzajami pasz P 1, P 2, P 3 i P 4. Pasze te zawierają między innymi dwa składniki S 1 i S 2, które muszą być dostarczane w odpowiednich ilościach. Niezbędne dane zawiera tabela P 1 P 2 P 3 P 4 Niezbędne minimum S S Koszt Ustalić skład mieszanki zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty oraz obliczyć minimalny koszt. Uwaga: w rozwiązaniu należy wykorzystać zadanie dualne. 4.20
Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem
Bardziej szczegółowoZad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto
Zad.1. Przedsiębiorstwo może wytwarzać trzy typy maszyn: tokarki, piły, frezarki zużywając dwa ograniczone zasoby: energię elektryczną i siłę roboczą w następujących proporcjach: energia (KWH / jedn.)
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)
Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych
Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoLista 1 PL metoda geometryczna
Lista 1 PL metoda geometryczna 1.1. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=5x 1 +7x 2 przy ograniczeniach: 2x 1 +2x 2 600, 2x 1 +4x 2 1000, x i 0 dlai=1,2 1.2. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=2x
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Etap edukacyjny: IV, przedmiot: informatyka (poziom podstawowy )
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowo1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna
-. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)
PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoDualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.
Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Nr ćwiczenia: 1 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie liniowe Cel ćwiczenia: Opanowanie umiejętności modelowania i rozwiązywania problemów
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt
Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 11
Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoEkonometria Programowanie Liniowe. Robert Pietrzykowski
Ekonometria Programowanie Liniowe Robert Pietrzykowski ZADANIE: Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. Ograniczeniem w procesie produkcji jest czas pracy trzech maszyn: M1, M2 i M3. W tablicy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania
METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed
Bardziej szczegółowoOptymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego
Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoPrzykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu
Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE
PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu
Bardziej szczegółowoZadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych"
Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych" 1. Zbudować model optymalizacyjny problemu opisanego w zadaniu z tabeli poniżej. 2. Rozwiązać zadanie jak w tabeli poniżej z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoPOD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo