Programowanie liniowe

Transkrypt

1 Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym

2 Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania programu dualnego Przykład 2 Zadania 2

3 Literatura Guzik B., Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań, Kukuła, K. (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, Lipiec-Zajchowska M. (red.), Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III, Badania operacyjne, Wyd. C. H. Beck, Warszawa, Sikora, W., Badania operacyjne, PWE, Warszawa,

4 Dualizm w programowaniu liniowym Informacje ogólne Dla każdego problemu decyzyjnego, rozwiązywalnego za pomocą programowania liniowego, możemy zbudować zadanie dualne. Zagadnienie dualne do zagadnienia wyjściowego powstaje w oparciu o wartość parametrów zagadnienia wyjściowego, zwanego też zagadnieniem pierwotnym lub prymalnym. Program dualny jest jednak programem odrębnym i zawiera nowe zmienne decyzyjne. Program dualny do standardowego zagadnienia maksymalizacji jest standardowym zagadnieniem minimalizacji. Program dualny do standardowego zagadnienia minimalizacji jest standardowym zagadnieniem maksymalizacji. 4

5 Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego W zagadnieniu dualnym znajduje się tyle zmiennych decyzyjnych (y i ), ile warunków ograniczających zawiera zagadnienie prymalne. W zagadnieniu dualnym macierz współczynników warunków ograniczających jest macierzą transponowaną względem macierzy współczynników warunków ograniczających zadania prymalnego. Warunki ograniczające w zadaniu dualnym są nierównościami o kierunku przeciwnym do kierunku nierówności warunków ograniczających zadania prymalnego. Wyrazy wolne warunków ograniczających w zadaniu dualnym są równe współczynnikom funkcji celu zadania prymalnego. Współczynniki funkcji celu zadania dualnego są równe wyrazom wolnym warunków ograniczających zadania prymalnego. Kryterium optymalizacyjne zadania dualnego jest przeciwne do kryterium optymalizacyjnego zadania prymalnego. 5

6 Postać programu dualnego Ax b x 0 cx MAX Program prymalny (zagadnienie maksymalizacji): A T y c T y 0 b T y MIN Program dualny (zagadnienie minimalizacji): Zmienne decyzyjne: x 1, x 2,, x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a r1 x 1 + a r2 x a rn x n b r Warunki brzegowe: x 1, x 2,, x n 0 Funkcja celu: Funkcja celu: F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX Zmienne decyzyjne: y 1, y 2,, y n a 11 y 1 + a 21 y a r1 y r c 1 a 21 y 1 + a 22 y a r2 y r c 2... a 1n y 1 + a 2n y a rn y r c n Warunki brzegowe: y 1, y 2,, y r 0 F(y 1, y 2,, y n ) = b 1 y 1 + b 2 y b r y r MIN 6

7 Przykład 1 Jeden z działów przedsiębiorstwo wielobranżowego Podpłomyk Sp. z o.o. produkuje wafle ryżowe oraz ryż preparowany. Do produkcji jednej tony wafli ryżowych zużywa 2 tony ryżu, natomiast do produkcji 1 tony ryżu preparowanego zużywa 6 ton ryżu. Co więcej, dziennie do produkcji może wykorzystać jedynie 12 ton ryżu. Zespół pracowników, zatrudnionych przy produkcji wyrobów ryżowych, pracuje w sumie 4 godziny przy produkcji tony wafli ryżowych i 2 godziny przy produkcji jednej tony ryżu preparowanego. Przedsiębiorstwo zatrudnia w tym celu dwa zespoły pracowników, przy czym każdy zespół ze względów BHP pracuje co najwyżej na 7 godzin. Zysk, jaki firma realizuje na sprzedaży za granicę 1 tony wafli ryżowych, wynosi 28 euro, natomiast zysk na sprzedaży 1 tony ryżu preparowanego wynosi 24 euro. Ile ton każdego wyrobu firma powinna produkować aby osiągnąć maksymalny zysk? X 1 liczba produkowanych dziennie ton wafli ryżowych X 2 liczba produkowanych dziennie ton ryżu preparowanego 2 X X X X 2 14 Warunki brzegowe: X 1, X 2 0 Funkcja celu: F(X 1, X 2 ) = 28 X X 2 MAX 7

8 Przykład 1 2 X X 2 12 => 2 X X 2 = 12 4 X X 2 14 => 4 X X 2 = 14 Warunki brzegowe: X 1 0 X 2 0 X 2 7 Rozwiązanie optymalne Funkcja celu dla rozwiązania optymalnego: F(X 1 = 3, X 2 = 1) = 28 * * 1 = (0,2) Odpowiedź: Firma powinna produkować 3 tony wafli ryżowych oraz 1 tonę ryżu preparowanego dziennie, aby osiągnąć maksymalny zysk na poziomie 108 euro. (3,1) (0,0) (3,5; 0) 6 0 3,5 X 1 8

9 Przykład 1 Z przykładu wynika, że dysponując pewnymi środkami produkcji (ryż, roboczogodzina) firma osiąga zysk. Z punktu widzenia osiąganego przez przedsiębiorstwo zysku każdy ze środków produkcji na swoją wartość (która nie ma nic wspólnego z realnymi cenami tych środków). Jeżeli teraz określimy te wartości środków produkcji jako zmienne decyzyjne, otrzymamy problem minimalizacji kosztów tych zasobów. Wartości środków produkcji zużywanych do wyprodukowania jednostki każdego z dwóch wyrobów nie mogą być mniejsze od osiąganego z nich zysku. Wartości środków produkcji są nieujemne. Wartości te wyjaśniają wpływ zasobów środków produkcji na osiągnięcie optymalnej wartości funkcji celu. X 1 liczba produkowanych dziennie ton wafli ryżowych X 2 liczba produkowanych dziennie ton ryżu preparowanego 2 X X X X 2 14 Warunki brzegowe: X 1, X 2 0 Funkcja celu: F(X 1, X 2 ) = 28 X X 2 MAX Y 1 cena dualna, ocena efektywności zasobu: ryż Y 2 cena dualna, ocena efektywności zasobu: roboczogodziny 2 Y Y Y Y 2 24 Warunki brzegowe: Y 1, Y 2 0 Funkcja celu: F(Y 1, Y 2 ) = 12 Y Y 2 MIN 9

10 Przykład 1 2 Y Y 2 28 => 2 Y Y 2 = 28 6 Y Y 2 24 => 6 Y Y 2 = 24 Warunki brzegowe: Y 1 0 Y 2 0 Funkcja celu dla rozwiązania optymalnego: F(Y 1 = 2, Y 2 = 6) = 12 * * 6 = 108 Y Interpretacja wyników programu dualnego: Wartości Y 1 oraz Y 2 wyjaśniają wpływ każdego z surowców (ryż, roboczogodziny) na osiągnięcie optymalnej wartości funkcji celu. Wzrost zasobu ryżu o jednostkę spowoduje takie zmiany w rozwiązaniu optymalnym, które łącznie spowodują wzrost wartości funkcji celu o 2 jednostki. Analogicznie, wzrost zasobu roboczogodzin o jednostkę spowoduje wzrost zysku o 6 jednostek względem wartości 108. (2,6) Rozwiązanie optymalne Y 1 10

11 Dualizm w programowaniu liniowym Rozwiązania programu dualnego Jeżeli zagadnienie dualne ma rozwiązanie optymalne, to posiada je również zagadnienie prymalne i są one sobie równe: F (X1, X2) MAX = F (Y1, Y2) MIN F (X1, X2) MIN = F (Y1, Y2) MAX Jeżeli optimum funkcji celu zagadnienia prymalnego jest nieograniczone: [F(X1,X2) +, F(X1,X2) - ] to jego zagadnienie dualne jest sprzeczne. Jeżeli któryś z warunków funkcyjnych zagadnienia prymalnego jest dla (chociaż jednego) rozwiązania optymalnego spełniony z nierównością, to odpowiadająca mu zmienna y zagadnienia dualnego przyjmuje w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu wartość zero. Jeżeli któryś z warunków funkcyjnych zagadnienia dualnego jest dla (chociaż jednego) rozwiązania optymalnego spełniony z nierównością, to odpowiadająca mu zmienna x zagadnienia prymalnego przyjmuje w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu wartość zero. Jeżeli program dualny ma jedno rozwiązanie optymalne, to optymalna wartość każdej ze zmiennych y informuje o wpływie zmiany wartości odpowiadającego jej parametru b o jednostkę na zmianę wartości funkcji celu programu pierwotnego. 11

12 Przykład 2 Przedsiębiorstwo Wiklinowa Zatoka produkuje cztery rodzaje koszy wiklinowych: W 1, W 2, W 3, W 4. Do ich produkcji wykorzystuje dwa rodzaje wikliny: (1) z wierzby amerykańskiej, której miesięczny limit wynosi m.b. i (2) z wierzby wiciowej, której miesięczny limit wynosi m.b. Zysk osiągany przez firmę na jednej sztuce każdego kosza wiklinowego wynosi odpowiednio: 4, 6, 3 i 12 zł. Należy ustalić optymalne, miesięczne rozmiary produkcji poszczególnych rodzajów koszy wiklinowych, jeżeli jednostkowe nakłady produkcyjne wynoszą, jak w załączonej tabeli: Jednostkowe nakłady na produkcję koszy Środki produkcji wiklinowych W 1 W 2 W 3 W 4 Wiklina z wierzby amerykańskiej 1 2 1,5 6 Wiklina z wierzby wiciowej 2 2 1,5 4 Zmienne decyzyjne: X 1 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 1 X 2 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 2 X 3 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 3 X 4 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 4 X X 2 + 1,5 X X X X 2 + 1,5 X X Warunki brzegowe: X 1, X 2, X 3, X 4 0 Funkcja celu: F(X 1, X 2, X 3, X 4 ) = 4 X X X X 4 MAX 12

13 Program prymalny Zmienne decyzyjne: X 1 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 1 X 2 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 2 X 3 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 3 X 4 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 4 X X 2 + 1,5 X X X X 2 + 1,5 X X Warunki brzegowe: X 1, X 2, X 3, X 4 0 Funkcja celu: F(X 1, X 2, X 3, X 4 ) = 4 X X X X 4 MAX Przykład 2 Program dualny Zmienne decyzyjne: Y 1 wpływ zmiany wartości wyrazu wolnego b 1 (90000) o jednostkę na wysokość przyrostu (spadku) wartości funkcji celu programu prymalnego. Y 2 wpływ zmiany wartości wyrazu wolnego b 2 (120000) o jednostkę na wysokość przyrostu (spadku) wartości funkcji celu programu prymalnego. Y Y Y Y 2 6 1,5 Y 1 + 1,5 Y Y Y 2 12 Warunki brzegowe: Y 1, Y 2 0 Funkcja celu: F(Y 1, Y 2 ) = Y Y 2 MIN 13

14 Przykład 2 Rozwiązanie graficzne programu dualnego 7 Y Y Y Y 2 6 1,5 Y 1 + 1,5 Y Y Y 2 12 Funkcja celu: F(Y 1, Y 2 ) = Y Y 2 MIN Izolinia FCL: Y Y 2 = Y Y 2 = Y Y 2 = X (2,1) Rozwiązanie optymalne programu dualnego Szukamy warunków, które w programie dualnym są spełnione z nierównością => Zmienne odpowiadające tym warunkom w programie prymalnym przyjmują wartość 0 => Zmienne X 3, X 4 programu prymalnego przyjmują wartość 0 => Do rozwiązania programu prymalnego pozostaje jedynie układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi: X X 2 = X X 2 = X 1 14

15 Przykład 2 Zmienne decyzyjne programu prymalnego: X 1 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 1 X 2 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 2 X 3 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W 3 X 4 liczba produkowanych miesięcznie sztuk koszy W X X 2 = X X 2 = X 1 = X 2 = F(Y 1, Y 2 ) = F(X 1, X 2, X 3, X 4 ) = 4 X X X X 4 = 4 X X 2 = Odpowiedź: Przedsiębiorstwo Wiklinowa Zatoka powinno produkować po koszy W 1 oraz W 2, a także nie produkować w ogóle koszy W 3 oraz W 4, aby osiągnąć maksymalny zysk na poziomie złotych w skali miesiąca. 15

16 16