I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

Transkrypt

1 I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 12 stron Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi 2 Na tej stronie wpisz swoje nazwisko i imię, oraz klasę i nazwisko nauczyciela uczącego 3 Przeczytaj uważnie wszystkie zadania 4 Rozwiązania zadań zapisz czarnym długopisem lub piórem Nie używaj korektora 5 Wybrane odpowiedzi do zadań zamkniętych wyraźnie przekreśl krzyżykiem Błędne zaznaczenie otocz kołkiem i zaznacz właściwe 6 Rozwiązania zadań, w których należy samodzielnie sformułować odpowiedź, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach Pomyłki przekreśl 7 Możesz wykorzystać brudnopis Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane 8 Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego 9 Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 170 minut 10 Za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań możesz uzyskać 50 punktów Powodzenia! PRZED MATURĄ marzec 2016 Czas pracy: 170 minut 50 pkt str 1

2 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1 do 25 wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź Zadanie 1 (1 pkt) Zbiór jest zbiorem liczb całkowitych należących do przedziału Iloczyn najmniejszej i największej liczby w zbiorze jest równy A B C D Zadanie 2 (1 pkt) Wartość wyrażenia jest równa Zadanie 3 (1 pkt) Wyrażenie jest równe Zadanie 4 (1 pkt) Reszta z dzielenia liczby postaci, gdzie n jest liczbą naturalną, przez liczbę wynosi Zadanie 5 (1 pkt) Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkt i jest nachylony do osi odciętych pod kątem Funkcja określona jest wzorem A B C D Zadanie 6 (1 pkt) Punkt należy do wykresu funkcji Wynika stąd, że A B C D Zadanie 7 (1 pkt) Proste o równaniach: i przecinają się w punkcie Zadanie 8 (1 pkt) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział Funkcja ta przyjmuje wartości ujemne w przedziale Wierzchołkiem wykresu funkcji jest punkt o współrzędnych str 2

3 Zadanie 9 (1 pkt) Osią symetrii wykresu funkcji danej wzorem jest prosta o równaniu Zadanie 10 (1 pkt) Równanie A nie ma pierwiastków B ma jeden pierwiastek C ma dwa rożne pierwiastki D ma trzy rożne pierwiastki Zadanie 11 (1 pkt) Pierwiastkami równania są liczby A B C D Zadanie 12 (1 pkt) Liczba nie jest szóstym wyrazem ciągu określonego wzorem ogólnym A B C D Zadanie 13 (1 pkt) W ciągu arytmetycznym dane są wyrazy: i Dziesiąty wyraz ciągu jest równy Zadanie 14 (1 pkt) Ciągiem arytmetycznym jest ciąg, którego wyraz ogólny jest dany wzorem Zadanie 15 (1 pkt) Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu jest równa Zadanie 16 (1 pkt) Jeżeli i, to wartość wyrażenia jest równa Zadanie 17 (1 pkt) Pole trójkąta ostrokątnego równoramiennego o ramionach długości jest równe Miara kąta przy podstawie wynosi str 3

4 Zadanie 18 (1 pkt) Pole trójkąta jest równe, a długość jego najkrótszego boku wynosi Trójkąt jest podobny do trójkąta i jego pole jest równe Długość najkrótszego boku trójkąta A B C wynosi Zadanie 19 (1 pkt) Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi Długość boku tego trójkąta jest równa Zadanie 20 (1 pkt) W prostokącie o długościach boków i sinus kąta między przekątną i krótszym bokiem jest równy Zadanie 21 (1 pkt) Pole trapezu prostokątnego o podstawach długości i jest równe Miara tego kąta przy krótszej podstawie trapezu, który nie jest kątem prostym, wynosi Zadanie 22 (1 pkt) Punkt A jest obrazem punktu w symetrii środkowej względem punktu Odległość punktów i jest równa Zadanie 23 (1 pkt) Liczba wierzchołków ostrosłupa jest równa Liczba jego krawędzi wynosi Zadanie 24 (1 pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości jest równe Objętość sześcianu o krawędzi długości wynosi Zadanie 25 (1 pkt) Objętość stożka o wysokości jest rowna Promień podstawy tego stożka jest równy str 4

5 Zadanie 26 (2 pkt) Rozwiąż nierówność ZADANIA OTWARTE Zadanie 27 (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność Daną nierówność przekształcamy na nierówności równoważne: Dla każdego : i dla każdego : Suma wyrażeń nieujemnych jest nieujemna Suma wyrażeń nieujemnych jest nieujemna str 5

6 Zadanie 28 (2 pkt) Liczba jest liczbą całkowitą dodatnią Różnica podwojonego sześcianu liczby potrojonemu kwadratowi liczby Wyznacz liczbę Zapiszmy równanie: i kwadratu tej liczby jest równa i lub Zadanie 29 (2 pkt) Naszkicuj wykres funkcji Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f 1 Dziedziną funkcji jest Zbiorem wartości 1 Odpowiedź : oraz str 6 :

7 Zadanie 30 (2 pkt) Na rysunku przedstawiającym okrąg o środku w punkcie zaznaczono kąty i Wykaż, że jeżeli miara kąta jest razy większa niż miara kąta, to Kąt o wierzchołku O, przyległy do jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt, zatem: Ponieważ otrzymujemy Zadanie 31 (2 pkt) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest razy większe od sumy pól jego podstaw Zapisz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości krawędzi podstawy Suma pól podstaw jest równa: Pole powierzchni bocznej jest równe stąd Objętość str 7

8 Zadanie 32 (4 pkt) W prostokątnym trapezie, w którym, dane są wierzchołki: ),, Wyznacz współrzędne wierzchołka tego trapezu Wyznaczamy równanie prostej : Prosta : Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej przechodzącej przez punkt : i stąd Prosta : Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt : i stąd Prosta : Punkt przecięcia prostych i to szukany punkt Rozwiązujemy układ równań i str 8

9 _ Zadanie 33 (4 pkt) Dany jest prostokąt o obwodzie równym Przekątna prostokąta dzieli jego kąt na dwa kąty, których stosunek miar jest równy Oblicz pole tego prostokąta Wyznaczamy miarę kąta : Z mamy Obwód prostokąta jest równy Ponieważ otrzymujemy układ równań: rozwiązujemy go: i Obliczamy pole prostokąta: str 9

10 _ Zadanie 34 (5 pkt) Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny, w którym dziewiąty wyraz jest równy, a suma czwartego i piątego wyrazu tego ciągu jest równa Wyrazy w podanej kolejności są początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu Korzystamy za wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:,,,, Otrzymujemy układ równań: czyli i Obliczamy pozostałe wyrazy ciągu Ponieważ tworzą ciąg geometryczny to Otrzymujemy Obliczamy iloraz ciągu : Na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego piszemy wzór na ogólny wyraz ciągu str 10

11 BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) str 11

12 str 12