Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Transkrypt

1 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciagu. ZADANIE 2 Znajdź x, dla którego liczby 2, 2 x+1, 2 x w podanej kolejności tworza ciag arytmetyczny. ZADANIE 3 Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych wyrazów jest równa 0. Wyrazy: siódmy, ósmy i dziewiaty sa długościami boków trójkata. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkat do długości promienia okręgu na nim opisanego. ZADANIE 4 Dany jest ciag (a n ) majacy tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n poczatkowych wyrazów tego ciagu jest równa 1 2 (7n2 n). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciagu. Wykaż, że (a n ) jest ciagiem arytmetycznym. ZADANIE 5 Dany jest ciag arytmetyczny a n w którym a 3 = 15 oraz a 11 = 17. a) Dla jakich n zachodzi równość 7a n = a 1 + a 2 + a a n 1? b) Oblicz sumę pięćdziesięciu poczatkowych, ujemnych wyrazów ciagu a n, które sa podzielne przez 3. ZADANIE 6 Długości boków trójkata tworza trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego o różnicy 1. Oblicz długości boków tego trójkata, jeśli jego pole wynosi 0, ZADANIE 7 Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego y = ax 2 + bx + c jest -0,2. Liczby a, b, c tworza w podanej kolejności ciag arytmetyczny, a ich suma wynosi 24. Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu. ZADANIE 8 Jedno z rozwiazań równania acx 2 + (a bc)x b = 0 z niewiadoma x jest równe 4. Liczby a, b i c (w podanej kolejności) tworza ciag arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiazanie tego równania. ZADANIE 9 Wykaż, że jeżeli liczby a 2, b 2 i c 2 tworza ciag arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby b+c 1, 1 a+c i 1 a+b również tworza ciag arytmetyczny. 1

2 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 10 Na płaszczyźnie z prostokatnym układem współrzędnych zilustruj zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, y), dla których ciag: (xy 2, xy + x, x) jest rosnacym ciagiem arytmetycznym. ZADANIE 11 Pierwszy wyraz malejacego ciagu arytmetycznego (a n ) jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piatego równy jest 15. Oblicz różnicę ciagu (a n ) oraz sumę 14 jego poczatkowych wyrazów. ZADANIE 12 W ciagu arytmetycznym suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa 2, a iloraz pierwszego i czwartego jest równy 1. a) Napisz wzór ogólny ciagu oraz wzór na sumę n poczatkowych wyrazów tego ciagu. b) Wyznacz n, dla których suma n kolejnych, poczatkowych wyrazów ciagu jest mniejsza od 50. ZADANIE 13 Trzy poczatkowe wyrazy malejacego ciagu arytmetycznego sa pierwiastkami wielomianu W(x) = x 3 3 2x 2 + 5x 2, a jednym z nich jest 2. a) Znajdź pierwszy wyraz tego ciagu. b) Oblicz sumę a 50 + a 51 + a a 100. ZADANIE 14 Długości boków trójkata prostokatnego o obwodzie 30 cm sa pierwszym, piętnastym i siedemnastym wyrazem rosnacego ciagu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkata. ZADANIE 15 W rosnacym ciagu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego równa się 7, a suma kwadratów wyrazów drugiego i czwartego równa się 40. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciagu. ZADANIE 16 Trzeci wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 4. Suma czterech pierwszych wyrazów tego ciagu jest równa 14. Oblicz a 10. ZADANIE 17 Współczynniki a, b, c równania ax 2 + bx + c = 0 sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego, a ich suma wynosi 24. Jednym z rozwiazań równania jest liczba 1 5 Wyznacz a, b i c. ZADANIE 18 W ciagu arytmetycznym mamy dane a 1 = x; a 2 = 3x + y; a 4 = 5x 2y 1; a 6 = 17. Niech S n = a 1 + a a n. Dla jakich n zachodzi równość S n = 260? 2

3 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 19 Ania układa szklane kulki w figury pokazane na rysunku, na którym pokazane sa pierwsze trzy figury a) Niech a n będzie różnica ilości kulek w (n + 1) ej i n tej figurze. Wypisz pierwszych 5 wyrazów ciagu (a n ). b) Uzasadnij, że (a n ) jest ciagiem arytmetycznym i oblicz ile potrzeba kulek do ułożenia 20 figury. ZADANIE 20 Dla pewnych liczb x, y wartości wyrażeń x + y, 4x y, 3x + 4y + 1, 9x 4y + 1 sa poczatkowymi, kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. Oblicz, ile poczatkowych wyrazów tego ciagu należy wziać, aby ich suma była większa od ZADANIE 21 Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia W(x) sa liczby a, b, c, d, które w podanej kolejności tworza ciag arytmetyczny o różnicy 2. Suma pierwiastków równa jest 8. a) Oblicz pierwiastki a, b, c i d. b) Wiedzac że W(0) = 15, przedstaw wielomian w postaci W(x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. ZADANIE 22 Wartość pewnej frezarki maleje z roku na rok. Wartości tej frezarki w kolejnych latach tworza ciag arytmetyczny. Oblicz czas, w ciagu którego frezarka całkowicie straci wartość (zamortyzuje się), jeżeli wiadomo, że po 15 latach użytkowania jej wartość była 3 razy większa niż jej wartość po 25 latach. ZADANIE 23 Ciag arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciagu. ZADANIE 24 Liczby log k x, log m x, log n x sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego, gdzie k, m, n, x sa różnymi od jedności liczbami dodatnimi. Uzasadnij, że n 2 = (kn) log k m. ZADANIE 25 Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejacego ciagu arytmetycznego o wyrazach całkowitych jest równy 100. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty otrzymujemy 3 i reszte 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu poczatkowych wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu poczatkowych wyrazów tego ciagu o numerach nieparzystych. 3

4 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 26 Czwarty wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 6. Oblicz sumę siedmiu poczatkowych wyrazów tego ciagu. ZADANIE 27 Liczby x + y, 3x + 2y + 1 i x 2 + 5x + 4y tworza ciag arytmetyczny. Wyznacz te wartości x, dla których ciag ten jest rosnacy. ZADANIE 28 Udowodnij, że jeżeli liczby a 1, a 2,..., a n, gdzie n 2, tworza ciag arytmetyczny i żadna z nich nie jest zerem, to = n 1. a 1 a 2 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 a n ZADANIE 29 Udowodnić, że w dowolnym trójkacie prostokatnym, w którym długości boków tworza ciag arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkat jest równy różnicy ciagu długości jego boków. ZADANIE 30 Wykaż, że dla dowolnego ciagu arytmetycznego zachodzi równość S 3n = 3(S 2n S n ), gdzie S k oznacza sumę k poczatkowych wyrazów ciagu. ZADANIE 31 Miary katów wielokata tworza ciag arytmetyczny, którego różnica jest równa 4. Największy kat ma miarę 172. a) Ile boków ma ten wielokat? b) Ile ma przekatnych? ZADANIE 32 W ciagu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojacych na miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz środkowy i liczbę wyrazów tego ciagu. ZADANIE 33 Suma n poczatkowych wyrazów ciagu (a n ) dla każdego n = 1 określona jest wzorem S n = 2n 2 14n. a) Wykaż, że ciag (a n ) jest ciagiem arytmetycznym. b) Wykaż, że jeżeli suma n poczatkowych wyrazów ciagu dla każdego n 1 określona jest wzorem S n = 2n 2 14n + 1, to ciag ten nie jest arytmetyczny. c) Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciagu (a n ), aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sasiaduj acych. 4

5 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 34 W trójkacie dwa boki maja długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkacie sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkata oraz długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkat i opisanego na tym trójka- cie. ZADANIE 35 W trójkacie prostokatnym jedna z przyprostokatnych jest średnia arytmetyczna drugiej przyprostokatnej i przeciwprostokatnej. Oblicz sinusy katów ostrych tego trójkata. ZADANIE 36 Dla jakich wartości parametru k równanie x 4 (3k + 2)x 2 + k 2 = 0 ma co najmniej trzy różne pierwiastki, które sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego? ZADANIE 37 Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu, jeśli długości ramienia i podstaw trapezu sa (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego oraz długość odcinka łacz acego środki ramion trapezu wynosi 41. ZADANIE 38 S n jest suma n poczatkowych wyrazów ciagu a n. Wyznacz wzór ogólny ciagu. Czy jest to ciag arytmetyczny? a) S n = n 2 b) S n = n 2 1 c) S n = n 3 1 5