Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Transkrypt

1 Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

2 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

3 Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów A oraz B (ozn. A B) nazywamy zbiór {(x, y) : x A y B}. Zwykle A B B A. Definicja Relacja w zbiorze A B nazywamy dowolny jego podzbiór. Zatem R A B. Zapisy sa równoważne. (a, b) R i arb Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

4 Definicja Relacja R A A jest zwrotna, jeśli dla każdego a A zachodzi ara; symetryczna, jeśli dla wszystkich a, b A zachodzi arb bra; przechodnia, gdy dla dowolnych a, b, c A zachodzi arb brc arc; antysymetryczna, jeśli dla wszystkich a, b A zachodzi arb bra; słabo antysymetryczna, jeśli dla wszystkich a, b A zachodzi arb bra a = b. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

5 Zadanie 1 - z poprzedniego wykładu Rozważmy dowolny podzbiór A R. Określ, które z powyższych własności maja następujace relacje w zbiorze A: a) xry x < y; (rozwiazane) przechodnia, antysymetryczna, b) xry x y; (rozwiazane) zwrotna, przechodnia, słabo antysymetryczna, c) xry x = y; zwrotna, symetryczna, przechodnia, słabo antysymetryczna, d) xry x y symetryczna. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

6 Definicja Relację zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacja równoważności. zwrotna, jeśli dla każdego a A zachodzi ara; symetryczna, jeśli dla wszystkich a, b A zachodzi arb bra; przechodnia, gdy dla dowolnych a, b, c A zachodzi arb brc arc; Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

7 Zadanie 2 Zweryfikować, czy podane relacje sa relacjami równoważności a) x, y R, xry x y < 1 b) A, B R, ARB A B; c) x, y- ludzie xry x i y sa tej samej płci d) (a, b), (c, d) R 2, (a, b)r(c, d) a + d = b + c. e) x, y Z, xry x i y ma tyle samo cyfr w swoim zapisie. f) x, y Z, xry y x dzieli się przez 3 3 (y x). g) x, y- ludzie xry x i y maja urodziny w tym samym miesiacu. h) x, y R \ {0}, xry x y > 0. i) x, y R \ {0}, xry x i y maja różne znaki. Zwrotna Tak: a)-h), Nie: i) Symetryczna Tak: a),c)-i), Nie: b) Przechodnia Tak: b)-h), Nie: a), i) Relacja równoważności : c)-h) Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

8 Zadanie 3 Czy relacja R określona na zbiorze wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych wzorem (p, q) R wielomian p q ma wszystkie współczynniki parzyste jest relacja równoważności? Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

9 Definicja Klasa abstrakcji elementu a A względem relacji równoważności R A A nazywamy zbiór [a] R = {b A : arb}. Zatem klasa abstrakcji elementu a A jest zbiór tych elementów b A, które sa z nim w relacji R. Lemat Dla dowolnej relacji równoważności R A A i elementów a, b A zachodzi arb [a] R = [b] R. Stad elementy, które sa z soba w danej relacji generuja tę sama klasę abstrakcji. Sumujac wszystkie klasy abstrakcji otrzymujemy zbiór A. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

10 Relacje równoważności z Zadania 2: c) x, y- ludzie xry x i y sa tej samej płci klasy abstrakcji (podział względem płci), czyli : K 1 = {x ludzie : x jest mężczyzna}, K 2 = {x ludzie : x jest kobieta} d) (a, b), (c, d) R 2, (a, b)r(c, d) a + d = b + c. Dla każdego ustalonego punktu (a, b) jego klasa abstrakcji ma postać [(a, b)] R = {(c, d) R 2 : (a, b)r(c, d)} = {(c, d) R 2 : a + d = b + c} = {(c, c + (b a)) : c R 1 }. Przykładowo [(1, 1)] R = {(c, c) : c R 1 } = [(2, 2)] R = [( 1, 1)] R =... [(1, 2)] R = {(c, c + 1) : c R 1 } = [(2, 3)] R = [(3, 4)] R. Stad klasy abstrakcji to proste postaci y = x + n, gdzie n R. Oczywiście każdy punkt płaszczyzny należy do dokładnie jednej prostej y = x + n. e) x, y Z, xry x i y ma tyle samo cyfr w swoim zapisie. K i = {x Z : liczba x ma w swoim zapisie i cyfr}, i = 1, 2, 3,... Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

11 f) x, y Z, xry y x dzieli się przez 3 3 (y x). K 1 = {x Z : x = 3z z Z} = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...} K 2 = {x Z : x = 3z + 1 z Z} = {..., 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10,...} K 3 = {x Z : x = 3z + 2 z Z} = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,...} Zatem K 1 to wielokrotności 3 (przy dzieleniu przez 3 daja resztę 0), K 2 - liczby które przy dzieleniu przez 3 daja resztę 1, a K 3 - liczby które przy dzieleniu przez 3 daja resztę 2. g) x, y- ludzie xry x i y maja urodziny w tym samym miesiacu. klasy abstrakcji (podział względem miesięcy), czyli : K i = {x ludzie : którzy urodzili się w i-tym miesiacu }, i = 1, 2,..., 12 h) x, y R \ {0}, xry x y > 0 klasy abstrakcji (podział liczb względem znaku), czyli : K 1 = {x R \ {0} : x < 0} i K 2 = {x R \ {0} : x > 0} Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

12 Ciagi liczbowe Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

13 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem a : N R. Stosujemy oznaczenie: a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(3) = a 3,... Wyraz a n nazywamy n-tym wyrazem ciagu {a n }. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

14 Przykłady ciagów Ciag stały (1, 1, 1, 1,...) można zapisać jako n N a n = 1 Ciag (1, 1, 2, 3, 5, 8,...) zwany ciagiem Fibonacciego można zapisać rekurencyjnie jako a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 dla n 3 Ciag arytmetyczny (a, a + r, a + 2r, a + 3r,...), gdzie a 1 = a jest wyrazem poczatkowym, a r- różnica ciagu rekurencyjnie: a n+1 = a n + r, dla n 1 wzór ogólny (na n-ty wyraz) a n = a + (n 1) r. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

15 Ciag geometryczny (a, aq, aq 2, aq 3,...), gdzie a jest wyrazem poczatkowym, a q- ilorazem ciagu wzór rekurencyjny: wzór ogólny: a n+1 = a n q dla n 1 a n = a q n 1, dla n 1 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

16 Własności ciagu Ciag {a n } jest stały, jeśli n N a n = c, gdzie c-ustalona stała (np. a n = 1) rosnacy, jeśli n N a n < a n+1 (np. a n = n) niemalejacy, jeśli n N a n a n+1 malejacy, jeśli n N a n > a n+1 (np. a n = n, a n = 1 n ) nierosnacy, jeśli n N zachodzi a n a n+1 naprzemienny, jeśli n N a n a n+1 < 0, (np. a n = ( 1) n ). Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

17 Uwaga Monotoniczność dowolnego ciagu {a n } można badać analizujac znak różnicy a n+1 a n, natomiast monotoniczność ciagu o wyrazach dodatnich możemy również badać porównujac z 1 iloraz a n+1. a n Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

18 Mówimy, że ciag {a n } ma pewna własność od pewnego miejsca, gdy istnieje takie n 0 N, że dla wszystkich n n 0 ciag {a n } posiada tę własność. Możemy mówić o ciagach monotonicznych, dodatnich, ujemnych,... od pewnego miejsca. Oznacza to, że dana własność zachodzi dla nieskończenie wielu wyrazów tego ciagu, natomiast "nie zachodzi" dla pewnej skończonej liczby elementów ciagu. Przykład a) a n = n 10 ma wyrazy dodatnie od n 0 = 11; jest rosnacy dla wszystkich n N b) a n = n 2 16 ma wyrazy dodatnie od n 0 = 5; jest rosnacy dla wszystkich n N Przykład Zbadać monotoniczność ciagów a) a n = n 2 49n 50 b) a n = 100n n! Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

19 Własności ciagu Ciag {a n } jest ograniczony z dołu, jeśli ograniczony z góry, jeśli m R n N a n m. M R n N a n M. ograniczony, jeśli m,m R n N m a n M. Przykład a n = n 4 + 3n 2 jest ciagiem ograniczonym z dołu przez m = 0 a n = 10n n 2 jest ciagiem ograniczonym z góry przez M = 25 a n = sin n jest ciagiem ograniczonym przez m = 1, M = 5 Zauważmy, że możemy również zapisać, że a n 5. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

20 Granica ciagu Zapis lim n a n oznacza : "Jakie wartości przyjmuja wyrazy ciagu a n, gdy n daży do nieskończoności? " [ ] 1 1 Przykład lim n n = = 0 1 n = = 0.01 n = = n = = n 0 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

21 Jak liczymy granice? W pierwszym kroku podstawiamy do wzoru i "patrzymy co wychodzi". Jeśli otrzymujemy poprawna matematycznie wartość, to jest to wartość granicy. Przykłady (wartości granicy można odczytać z wykresu) lim ln(n) = n lim n en = lim n e n = 0 lim (1 n 2 )n = 0 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

22 Podstawowe działania na : zapisy sa ogólne, tzn. może oznaczać zarówno + jak również w każdym przypadku należy ustalić znak nieskończoności + =, =, c + = c = (c 0), 1 = 0 Przykłady lim n n = [2 + 1 ] = 2 lim n (n3 + 2n + 1) = [ + + 1] = 2 1 n lim n 3 n = [ 2 0 ] = 0 lim n ( 2n3 + 3n + 1) = [ + + 1] = [ ] =? Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

23 Jeżeli po podstawieniu do wzoru otrzymujemy tzw.symbol nieoznaczony, czyli wyrażenie postaci, 0 0,, 0, 00, 1, 0, to wartość granicy zależy od postaci ciagów je tworzacych i nie można podać bezpośrednio wyniku. Aby obliczyć taka granicę należy wykonać pewne dodatkowe przekształcenia. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

24 o zachowania wielomianu w nieskończoności decyduje tylko wyrażenie z najwyższa potęga, czyli : czyli dla lim n ( 2n3 + 3n + 1) = lim ( 2n 3 ) =. n inny sposób obliczenia tej granicy: lim n ( 2n3 +3n+1) = lim n ( n n 2 + 1n ) 3 = [ ] ( 2+0+0) =. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

25 Uwaga Jeżeli po podstawieniu otrzymujemy (symbol nieoznaczony patrz slajd 24 ), to wynikiem może być liczba, albo i wszystko zależy od tego, który ciag szybciej do tej nieskończoności zbiega. Proste przykłady. lim (2n n) = [ ] = lim n =. n n lim (3n 5n) = [ ] = lim ( 2n) =. n n lim (n n) = [ ] = lim 0 = 0. n n Nieco trudniej: (czynnik dominujacy wyciagamy przed nawias) ( lim n (n2 3n) = [ ] = lim n ) [ ] = (1 0) =. n n ( lim n (2n 3 n ) = [ ] = lim 3 n ( 2 ) [ ] n 3 )n 1 = (0 1) =. Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

26 Operacje na nieskończonościach. (tabela rozbudowana) a + =, a = + =, = a =, a > 0, a =, a < 0 =, a = 0, a = 0 ( ) = a =, a > 0, a =, a < 0 a =, a > 1, a = 0, 0 < a < 1 a = 0, a > 1, a =, 0 < a < 1 a =, a > 0, a = 0, a < 0 =, = 0 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

27 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27