Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Transkrypt

1 Ćwiczenia Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia Sprawdzian nr 1: godz. 8:15-8:40 (materiał zad Zadania ze sprawdzianu zostaną omówione na ćwiczeniach bezpośrednio po sprawdzianie. Poniższe zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami. Na ćwiczeniach wyjaśnimy sobie trudności związane z tymi zadaniami. 71. Dowieść że iloczyn dowolnych czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o jeden jest kwadratem liczby całkowitej. 7. Uporządkować podane liczby w kolejności rosnącej. Nie używać kalkulatora!!! a = 3 b = c = 5+ 6 d = 10 e = + 3 f = Uprościć wyrażenia 1 a b c d (1 6 ( ( ( ( e Uzupełnić wzory skróconego mnożenia. Kropki występujące po lewej stronie równości zastąpić pojedynczym znakiem. a (x+ = x +... b a 3 +b 3 = (a+b... c a 3 b 3 = (a b... d a 3...b 3 = (a +ab+b... e a 4...b 4 = (a+b... f a 4...b 4 = (a b... g a 5...b 5 = (a+b... h a 5...b 5 = (a b... i (a+b 3 = a j (a b 4 = a 4... k (a b 5 = a 5... l a n b n = (a b... m a n +b n = (a+b... - dla których n? n a n b n = (a+b... - dla których n? o a n +b n = (a +b... - dla których n? p a n b n = (a +b... - dla których n? Lista Strony 10-16

2 75. Dla podanej liczby wskazać jej nieparzysty dzielnik pierwszy mniejszy od 100. a ; b ; c ; d Dla podanej liczby wskazać jej dwucyfrowy dzielnik pierwszy. a ; b ; c ; d Uwaga: Przyjmujemy że w postępie geometrycznym wszystkie wyrazy są różne od zera. 77. Drugi piąty i dziesiąty wyraz pewnego postępu arytmetycznego tworzą postęp geometryczny trójwyrazowy. Jaki jest iloraz tego postępu geometrycznego? 78. Obliczyć gdzie w mianownikach znajdują się potęgi dwójki i trójki ustawione rosnąco. 79. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie? W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym o sumie 0 co najmniej jeden z wyrazów jest równy Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowego a 1 a... a n jest równa n (a 7 +a k. Dla podanej liczby k wskazać takie n aby powyższe zdanie było prawdziwe. a k = 3 n =... ; b k = 5 n =... ; c k = 7 n =... ; d k = 10 n = Podać liczbę całkowitą dodatnią n dla której prawdziwe jest następujące twierdzenie: W dowolnym postępie arytmetycznym n wyrazowym a 1 a a 3... a n suma wyrazów jest równa a n a 5 dla n =... ; b n a4 +a 7 dla n =... ; c n (a 1 a 11 dla n =... ; d n a10 +a 1 dla n =.... Lista Strony 10-16

3 8. Dla podanej liczby n podaj największą liczbę naturalną d o następującej własności: Dowolny postęp arytmetyczny n-wyrazowy o wyrazach całkowitych ma sumę wyrazów podzielną przez d. a n = 013 d =... ; b n = 014 d =... ; c n = 015 d =... ; d n = 016 d = Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowego a 1 a... a n jest równa n a k. Dla podanej liczby k wskazać takie n aby powyższe zdanie było prawdziwe. a k = 3 n =... ; b k = 5 n =... ; c k = 7 n =... ; d k = 10 n = Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowego a 1 a... a n jest równa n (a k +a k. Dla podanej liczby k wskazać takie n aby powyższe zdanie było prawdziwe. a k = 3 n =... ; b k = 5 n =... ; c k = 7 n =... ; d k = 10 n = W dowolnym rosnącym postępie arytmetycznym 013-wyrazowym o wyrazach dodatnich w którym wyrazy drugi czwarty i siódmy tworzą rosnący postęp geometryczny także wyrazy m-ty n-ty i k-ty tworzą (w tej właśnie kolejności rosnący postęp geometryczny. Uzupełnij podane liczby tak aby powyższe zdanie było prawdziwe. Wpisz NIE jeżeli uważasz że takie liczby nie istnieją. a m = 3 n =... k =... ; b m =... n = 5 k =... ; c m =... n =... k = 8 ; d m =... n = 8 k = W dowolnym rosnącym postępie arytmetycznym 013-wyrazowym o wyrazach dodatnich w którym wyrazy drugi czwarty i siódmy tworzą rosnący postęp geometryczny także wyrazy m-ty n-ty i k-ty tworzą (w tej właśnie kolejności rosnący postęp geometryczny. Uzupełnij podane liczby tak aby powyższe zdanie było prawdziwe. Wpisz NIE jeżeli uważasz że takie liczby nie istnieją. a m = n = 14 k =... ; b m = n = 6 k =... ; c m = n =... k = 14 ; d m = 3 n = 98 k =.... Lista Strony 10-16

4 87. W dowolnym rosnącym postępie geometrycznym 10-wyrazowym w którym wyrazy pierwszy trzeci i czwarty tworzą (w tej właśnie kolejności rosnący postęp arytmetyczny także wyrazy m-ty n-ty i k-ty tworzą (w tej właśnie kolejności rosnący postęp arytmetyczny. Dla podanej jednej z liczb podać dwie pozostałe tak aby powyższe zdanie było prawdziwe. a m = 3 n =... k =... ; b m =... n = 5 k =... ; c m = 7 n =... k =... ; d m =... n =... k = W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym a 1 a a 3... a n o sumie 90 co najmniej jeden z wyrazów jest równy w. Dla podanej liczby n podać liczbę w dla której powyższe zdanie jest prawdziwe. Wpisz NIE jeśli liczba w o żądanej własności nie istnieje. a n = 5 w =... ; b n = 9 w =... ; c n = 10 w =... ; d n = 15 w =.... Ćwiczenia Osoby które uzyskały na teście mniej niż 60 punktów powinny przyjść na ćwiczenia. Pozostali mogą ograniczyć się do rozwiązania zadań we własnym zakresie. Definicja 1. (trójkąt Pascala Tworzymy poniższy nieskończony trójkąt liczbowy w którym na bokach występują liczby 1 a każda liczba wewnątrz trójkąta jest sumą dwóch stojących bezpośrednio nad nią Wiersze numerujemy liczbami całkowitymi zaczynając od zera a w każdym wierszu elementy są również numerowane kolejnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Lista Strony 10-16

5 Na przykład liczba 1001 jest liczbą numer 4 w wierszu numer 14. Liczbę stojącą zgodnie z taką numeracją w n-tym wierszu na k-tej pozycji oznaczymy przez ( n k Definicja. (kombinatoryczna Przez ( n k podzbiorów zbioru n-elementowego. Definicja 3. (wzór z silniami Przyjmiemy ( n n! = k k! (n k!. W K T P. oznaczymy liczbę k-elementowych 89. Wykaż że podane wyżej trzy definicje są równoważne to znaczy ( ( ( n n n = =. k k k T P 90. Udowodnij że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n liczba (n! jest podzielna przez (n!. 91. Uporządkuj w kolejności niemalejącej liczby ( ( ( K ( W ( ( Znajdź w wydrukowanym fragmencie trójkąta Pascala trzy liczby występujące kolejno w jednym wierszu i tworzące rosnący postęp arytmetyczny. Ile takich trójek liczb występuje w całym trójkącie Pascala? 93. A ile jest trójek liczb występujących kolejno w jednym wierszu trójkąta Pascala i tworzących postęp geometryczny? 94. Niech p będzie liczbą pierwszą oraz niech 0 < k < p. Udowodnij że liczba ( p k jest podzielna przez p. 95. Udowodnij że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność ( ( n+ n < 4. n+1 n 96. Udowodnij że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność ( ( 3n+3 3n < 7. n+1 n 97. Znajdź w wydrukowanym fragmencie trójkąta Pascala takich pięć liczb występujących kolejno na początku jednego wiersza że każda (oprócz pierwszej jest wielokrotnością poprzedniej. Jak długie ciągi takich liczb występują w całym trójkącie Pascala? 98. Jeżeli liczba całkowita dodatnia m jest większa od liczby całkowitej dodatniej n o p% to liczba n jest mniejsza od m o q%. Dla podanej liczby p podać taką liczbę q aby powyższe zdanie było prawdziwe a p = 150 q =... ; b p = 300 q =... ; c p = 400 q =... ; d p = 900 q =.... Lista Strony 10-16

6 99. Dla podanej liczby k podać taką liczbę naturalną n k że ( ( n n = k k +1 k a k = n =... ; b k = 3 n =... ; c k = 4 n =... ; d k = 5 n = Dla podanej liczby wskazać jej dwucyfrowy dzielnik pierwszy. a ; b ; c ; d Dla podanej liczby wskazać jej dwucyfrowy dzielnik pierwszy. a ; b ; c ; d Wiedząc że ( ( ( 14 4 = = = 3003 podać wartość współczynnika dwumianowego ( 15 a =... ; 5 ( 15 b =... ; 6 ( 16 c =... ; 6 ( 15 d = Dla podanych n k wskazać takie m > k aby prawdziwa była równość ( ( ( n n n+1 + = k 1 k m Jeśli uważasz że takiego m nie ma napisz: nie istnieje. a n = 1000 k = 00 m =... ; b n = 1500 k = 300 m =... ; c n = 000 k = 400 m =... ; d n = 013 k = 500 m = Dla podanych liczb a oraz k wskazać taką liczbę naturalną n aby zachodziła równość ( a a k a ak = a an. Lista Strony 10-16

7 a a = 5 k = n =... ; b a = 3 k = 3 n =... ; c a = k = 5 n =... ; d a = 3 k = 4 n = Jeżeli liczba m jest większa od liczby n o p% to największy wspólny dzielnik liczb m n stanowi q% liczby n. Dla podanej liczby p podać liczbę q. a p = 10 q =... ; b p = 0 q =... ; c p = 30 q =... ; d p = 40 q = Jeżeli liczba m jest większa od liczby n o p% to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m n jest większa o q% od liczby n. Dla podanej liczby p podać liczbę q. a p = 10 q =... ; b p = 0 q =... ; c p = 30 q =... ; d p = 40 q = W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym a 1 a a 3... a n o sumie 10 i jednym z wyrazów równym 15 co najmniej jeden z wyrazów jest równy w. Dla podanej liczby n podać wszystkie liczby w 15 dla których powyższe zdanie jest prawdziwe. Wpisz NIE jeśli uważasz że liczba w o żądanej własności nie istnieje. a n = 6 w =... ; b n = 8 w =... ; c n = 1 w =... ; d n = 15 w = Dla podanej liczby n podać przykład rosnącego postępu arytmetycznego n-wyrazowego o sumie wyrazów równej n w którym występuje wyraz równy 1. a n = 3... ; b n = 4... ; c n = 5... ; d n = Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego 15-wyrazowego a 1 a...a 15 jest równa 5(a m +a n +a k. Dla podanych m n wskazać taką liczbę naturalną k aby powyższe zdanie było prawdziwe. a m = 1 n = 10 k =... ; b m = 3 n = 9 k =... ; c m = 6 n = 8 k =... ; d m = 7 n = 10 k =.... Ćwiczenia Powtórka przed kolokwium nr 1. Kolokwium nr 1: godz. 8:15-10:00 (materiał zad Lista Strony 10-16