Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Transkrypt

1 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna jednocześnie przez m oraz n wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez... Ponadto, jeżeli..., to dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna jednocześnie przez m oraz n wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez mn.. W liczbie 3?000000?5 wpisać w miejsce obu znaków zapytania taką samą cyfrę tak, aby otrzymać liczbę podzielną przez 75. Podać wszystkie rozwiązania. 3. W liczbie ?? wpisać w miejsce znaków zapytania takie cyfry (mogą być różne), aby otrzymać liczbę dającą przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Podać wszystkie rozwiązania. 4. Wyznać wszystkie liczby naturalne d, dla których prawdziwa jest następująca cecha podzielności przez d: Dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna przez d wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry liczby k jest podzielna przez d. 5. Jakie reszty może dawać kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 3? Przez 8? Przez 5? 6. Jakie reszty może dawać sześcian liczby całkowitej przy dzieleniu przez 7? Przez 9? 7. Wyznać wszytskie liczby naturalne n >, dla których liczba n jest pierwsza. 8. Wyznać wszytskie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p + jest pierwsza. 9. Wyznać wszytskie liczby pierwsze p, dla których liczba p + jest pierwsza. 0. Czy istnieją liczby naturalne m, n spełniające równanie 6 m = n?. Czy istnieją liczby naturalne m, n, k spełniające równanie 6 m n = 8 k?. Czy istnieją liczby naturalne m, n, k spełniające równanie 8 m 4 n = k? 3. Wskazać takie liczby naturalne m, n, że m 3 n 4 = Lista - - Strony -8

2 4. Która liczba jest większa, ? 5. Ile zer końcowych ma liczba 33!? 6. Wyznać wszystkie liczby naturalne d o następującej własności: Dla dowolnych liczb naturalnych m, n, jeżeli ilon mn jest podzielny przez 7, to co najmniej jedna z liczb m, n jest podzielna przez d. 7. To samo z liczbą 4 zamiast Oblić NWD(4!, 4 4 ). 9. Oblić NWW(, 8 8 ). 0. Dowieść, że liczba naturalna o sumie cyfr równej 47 nie może być ani kwadratem, ani sześcianem liczby całkowitej.. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n n jest parzysta, liczba n 3 n jest podzielna przez 6, a liczba n 5 n jest podzielna przez 30. Wskazówka: n 5 n = (n )(n )n(n+)(n+)+coś.. Niech a = , b = , c = Oblić NWD(a,b,c) oraz NWW(a,b,c). 3. Niech a = , b = , c = Oblić NWD(a,b,c) oraz NWW(a,b,c). 4. Na wyspach Bergamutach podobno jest kot w butach i podobno używają tam tylko liczb naturalnych dających przy dzieleniu przez 3 resztę. To ograniczenie nie pozwala na wykonywanie dodawania, ale mnożenie nie sprawia kłopotu. Można też bez problemu mówić o podzielności liczb. Liczba 4 jest uważana za liczbę pierwszą, bo oprócz i 4 nie ma żadnego innego dzielnika spośród liczb używanych na Bergamutach. Które spośród liczb mniejszych od 30 są na Bergamutach uważane za pierwsze, a które za złożone? Czy na Bergamutach prawdziwe jest twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na nniki pierwsze? 5. Połąć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z 6 c) jedna z liczb n, n+ jest podzielna przez 4 d) jedna z liczb n, n+ jest podzielna przez 6 e) jedna z liczb n, n+ jest podzielna przez 8 f) liczba n jest podzielna przez 4 g) liczba n jest podzielna przez 8 Lista - - Strony -8

3 h) liczba n jest podzielna przez i) liczba n jest podzielna przez 6 j) liczba n jest podzielna przez 4 6. Dowieść, że w ciągu,, 4, 8, 6, 3, 8,..., w którym każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie sumy cyfr, nie występuje liczba Niech n!! = n(n )(n 4)... będzie ilonem liczb naturalnych nie większych od n i będących tej samej parzystości, co n. Ile zer końcowych mają liczby 34!! oraz 35!!? 8. Dowieść, że ilon dowolnych czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o jeden jest kwadratem liczby całkowitej. 9. Uporządkować podane liczby w kolejności rosnącej. Nie używać kalkulatora!!! a = 3 b = 7+ 0 c = 5+ 6 d = 0 e = + 3 f = Każdemu ze wzorów (a) (f) przyporządkować jeden ze wzorów () (6) tak, aby S n+ S n = a n. (a) (b) (c) (d) (e) (f) S n = n(n ) S n = n(n )(n ) 6 S n = n(n+) S n = (n )(n+) S n = n(n+)(n+) 6 S n = (n )n(n+) 3 () a n = n +n () a n = n+ (3) a n = n+ (4) a n = n Lista Strony -8

4 (5) a n = n +n+ (6) a n = n 3. Oblić a) NWD( , 0 43 ) b) NWD( , 50 ) c) NWD( , 6 ) d) NWD( , ) e) NWD( , 4 4 ) f) NWD( , 0 47 ) g) NWD( , 4 37 ) h) NWD( , ) i) NWD( , 4 7, ) j) NWD( , 6 9, 39 ) 3. Wskazać najmniejszą (o ile taka w ogóle istnieje) liczbę naturalną k, dla której podane wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i (ewentualnie) r. a) 3 k mn (3 3 m 3 3 n) b) 5 k mn (5 m 5 7 n) c) 7 k mnr (7 5 m 7 3 n 7 r) d) 4 k mnr (4 5 m 4 3 n 4 r) e) 6 k mnr (6 5 m 6 3 n 6 r) 33. Uporządkować podane liczby w kolejności rosnącej a = b = c = 7 30 d = 60 0 e = f = g = Pani napisała na tablicy pewną liczbę naturalną. Troje uczniów spostrzegło i wypowiedziało pewne własności napisanej liczby. Niestety, tylko dwoje uczniów podało własności poprawne, a trzeci uczeń się pomylił. Który uczeń popełnił bład? Wersja I Pankracy: Napisana liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Serwacy: Suma cyfr napisanej liczby jest równa 38. Bonifacy: Napisana liczba przy dzieleniu przez 9 daje resztę. Wersja II Pankracy: Napisana liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Lista Strony -8

5 Serwacy: Suma cyfr napisanej liczby jest równa 3. Bonifacy: Napisana liczba przy dzieleniu przez 9 daje resztę 7. Wersja III Pankracy: Napisana liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Serwacy: Suma cyfr napisanej liczby jest równa 9. Bonifacy: Napisana liczba przy dzieleniu przez 9 daje resztę 3. Wersja IV Pankracy: Napisana liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Serwacy: Suma cyfr napisanej liczby jest równa 004. Bonifacy: Napisana liczba koń się cyframi 005. Wersja V Pankracy: Napisana liczba jest sześcianem liczby całkowitej. Serwacy: Napisana liczba koń się cyframi 444. Bonifacy: Napisana liczba jest nieparzysta. Wersja VI Pankracy: Napisana liczba jest sześcianem liczby całkowitej. Serwacy: Napisana liczba koń się cyframi. Bonifacy: Suma cyfr napisanej liczby jest równa Uprościć wyrażenia a) b) c) d) ( ) 6 ( 007 ) ( ) ( ) ( ) e) Uzupełnić wzory skróconego mnożenia. Kropki występujące po lewej stronie równości zastąpić pojedynm znakiem. a) (x+) = x +... b) a 3 +b 3 = (a+b)... c) a 3 b 3 = (a b)... d) a 3...b 3 = (a +ab+b )... e) a 4...b 4 = (a+b)... f) a 4...b 4 = (a b)... g) a 5...b 5 = (a+b)... h) a 5...b 5 = (a b)... i) (a+b) 3 = a Lista Strony -8

6 j) (a b) 4 = a 4... k) (a b) 5 = a 5... l) a n b n = (a b)... Uwaga: Przyjmujemy, że w postępie geometrycznym wszystkie wyrazy są różne od zera. 37. Oblić sumy postępów (ciągów) arytmetycznych i geometrycznych. a) n b) n c) n d) e) n +3 n +3 n n f) g) h) i) (6n+) j) (00n+55). k) l) m) n) n 38. Drugi, piąty i dziesiąty wyraz pewnego postępu arytmetycznego tworzą postęp geometryczny trójwyrazowy. Jaki jest iloraz tego postępu geometrycznego? 39. Oblić , gdzie różnice między kolejnymi składnikami tworzą ciąg okresowy,,3,,,3,,,3, Oblić , gdzie w mianownikach znajdują się potęgi dwójki i trójki ustawione rosnąco. 4. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie? W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym o sumie 0 co najmniej jeden z wyrazów jest równy Rozwiązać podane nierówności. a) x x b) x x Lista Strony -8

7 c) x x d) x x e) x x f) x x g) x x h) +x +x i) +x +x j) x +x k) x +x l) x x+ + m) x x+ + n) x x + o) x x Rozwiązać nierówności a) x+ x < x b) x +7 > x c) x x d) x 3 x e) x ( x +8x 8) x ( x +x 8) f) 4x 4 x x g) x x +999 h) x i) x x++ x 4x+4 < x +x++ x 8x+6 j) x 5 < 4 k) (x+5) 007 +(x+5) 3 < (3x+) 007 +(3x+) 3 l) (x +) x+ (x +) x 44. Która z liczb jest większa a) b) 000! c) 000! d) 000! (500!) ( ) 007 ( ) e) f) ( 4 83 ) 007 ( ) g) ( 4 79 ) 007 ( 4 79 ) 666 h) ( ) 007 ( ) 666 Lista Strony -8

8 i) ( ) 007 ( ) 667 j) 00! 9 99! k) l) m) 7 0 n) o) p) ( ) ( ) q) ( ) ( ) r) ( ) ( ) s) ( ) ( ) t) u) v) w) x) y) ( ) ( ) 9 7/8 ( ) 7 9/4 z) W miejsce kropek wstawić największą/najmniejszą (cokolwiek jest sensowne) liczbę, przy której podana implikacja jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n a) 4 n... n b) 8 n 3... n 3 c) 60 n 5... n 5 d) n 4 n... e) n 3 0! n 3... f) 54 n... n 3 g) n 5 8 n... h) 8 8 n 0... n Lista Strony -8