Analiza stabilności układu oscylacyjnego z regulatorem PD niecałkowitego rzędu

Transkrypt

1 Analiza sabilności ukłau oscylacyjnego z regulaorem PD niecałkowiego rzęu Mikołaj Busłowicz*, Tomasz Juchimowicz** *Wyział Elekryczny, Poliechnika Białosocka **Suium Dokoranckie, Wyział Elekryczny, Poliechnika Białosocka Sreszczenie: Rozarzono roblem sabilności ciągłych liniowych ukłaów regulacji auomaycznej złożonych z członu oscylacyjnego i szeregowego regulaora PD niecałkowiego rzęu. Poano meoy baania sabilności akich ukłaów oraz wyznaczania obszaru sabilności na łaszczyźnie aramerów regulaora. Rozważania zilusrowano rzykłaami liczbowymi. Słowa kluczowe: ukła niecałkowiego rzęu, oscylaor, sabilność, regulaor PD 1. Wsę W osanich laach eoria analizy i synezy liniowych ukłaów niecałkowiego rzęu jes inensywnie rozwijana w lieraurze świaowej, arz n. monografie [5-7, 1, 14, 15] i cyowaną am lieraurę. W monografiach ych można znaleźć rzykłaowe zasosowania rachunku niecałkowiego rzęu o oisu zjawisk fizycznych. Rachunek en wykorzysuje się mięzy innymi o moelowania zjawiska lekosrężysości, n. [1, 8]. Jenym z zaganień rozarywanych w osanich laach w lieraurze świaowej jes roblem analizy i synezy ukłaów wibracyjnych niecałkowiego rzęu, n. [9, 11, 1, 13, 19]. Pokazano w nich mięzy innymi, że wysęowanie ochonej niecałkowiego rzęu w moelu maemaycznym ukłau wływa na łumienie rgań. W niniejszej racy rozarzymy roblem sabilności ukłaów regulacji auomaycznej złożonych z członu oscylacyjnego i szeregowego regulaora PD niecałkowiego rzęu, objęych ęlą ujemnego srzężenia zwronego.. Sformułowanie roblemu Drgania w ukłaach fizycznych o jenym soniu swoboy można oisać za omocą równania różniczkowego x + bx + cx( k u(, (1) gzie a i b są o sałe wsółczynniki zaś u ( jes wymuszeniem zewnęrznym. Do osaci (1) można srowazić równanie rgań ukłaów mechanicznych (zw. oscylaorów harmonicznych) m x + c x + k x( u( ), () ( 1 1 gzie m jes masą, x ( jes jej rzesunięciem, c 1 jes wsółczynnikiem łumienia zaś k 1 jes sałą srężysości. Transmiancja oeraorowa ukłau (1) ma osać k G(. (3) s + bs + c Transmiancja (3) oisuje ukła oscylacyjny, jeżeli b 4c <. Wey wielomian charakerysyczny s + bs + c ma arę zer zesolonych srzężonych. Do osaci (3) można srowazić ransmiancję oeraorową członu oscylacyjnego (znanego z eorii serowania oraz auomayki) kωn G(, (4) s + ξω s + ω gzie k jes wsółczynnikiem wzmocnienia, T n jes okresem rgań własnych niełumionych, ω n 1/ Tn ulsacją ych rgań zaś ξ (1, ) jes wzglęnym wsółczynnikiem łumienia. Za omocą ransmiancji (4) można n. oisać rgania wysęujące w elekrycznym obwozie RLC. Ważnym zaganieniem wynikającym z zasosowań rakycznych jes łumienie rgań wysęujących w ukłaach oscylacyjnych. W osanich laach roblem en jes inensywnie rozwijany w lieraurze, n. [9, 11, 1, 13, 19]. W racach ych albo rozaruje się ukłay z wymuszeniem zależnym o ochonej niecałkowiego rzęu zmiennej sanu x( albo ukłay oisane równaniem n x + b D x( + cx( k u(, (5) gzie x( jes ochoną Cauo niecałkowiego rzęu zmiennej x(, zefiniowaną nasęująco: D 1 x ( τ) τ D (6) x( D x( +, 1, (6) + 1 Γ( ) ( τ) rzy rzy czym czym x ( ) x ( ) /, jes jes liczbą liczbą nauralną nauralną zaś zaś 1 n e (7) e 1 Γ( ) (7) jes jes funkcją funkcją gamma gamma Eulera. Eulera. jes Porzeba funkcją gamma analizy Eulera. Porzeba analizy równania równania różniczkowego różniczkowego ogólnej ogólnej osaci Porzeba (5) wynika analizy mięzy równania innymi różniczkowego z licznych ublikacji o ogólnej auorów osaci (5) racy wynika [1], w mięzy kórych innymi rozarywano z licznych zasosowanie ublikacji rachunku auorów racy niecałkowiego [1], w kórych rzęu rozarywano o rozwiązywania zasosowanie zaganień rachunku z zakresu niecałkowiego lekosrężysości. rzęu o W rozwiązywania [1] okazano zaganień z (5) zakresu rzy lekosrężysości. 3/ okłaniej W (w [1] orównaniu okazano z n. moe- że n. że moel lem moel (1)) (5) oisuje rzy zjawisko 3/ okłaniej ruchu wymuszonego (w orównaniu szywnej z moelem (1)) zanurzonej oisuje w zjawisko cieczy newonowskiej. ruchu wymuszonego szywnej łyy łyy zanurzonej w cieczy newonowskiej. /1 Pomiary Auomayka Roboyka 93

2 W racach [9, 11, 1, 13] okazano mięzy innymi, że łumienie rgań w ukłazie (5) jes lesze niż w ukłazie (1), zn. wysęowanie ochonej niecałkowiego rzęu w (5) ma wływ na łumienie rgań. Uwzglęniając owyższe, w niniejszej racy rzeanalizujemy roblem sabilności ukłau regulacji auomaycznej złożonego z liniowego obieku o ransmiancji oeraorowej (3) i szeregowego regulaora PD niecałkowiego rzęu oisanego ransmiancją oeraorową Gr ( k + ks, (,), (8) objęych ęlą ujemnego srzężenia zwronego. Taki roblem rzy innym oejściu był osanio rozarywany w racy [19]. 3. Rozwiązanie roblemu Transmiancja oeraorowa rozarywanego ukłau zamknięego ma osać Twierzenie 1. Ukła regulacji auomaycznej oisany ransmiancją oeraorową (1) (o wielomianie charakerysycznym (1)) jes asymoycznie sabilny wey i ylko wey, gy w (, Re s, (16) lub równoważnie, wszyskie zera λ i sowarzyszonego wielomianu (15) całkowiego sonia sełniają warunek π arg λ i > α, i 1,,...,u. (17) Jeżeli α < 1, o zera wielomianu (15) sełniają warunek (17) wey i ylko wey, gy leżą one na łaszczyźnie zmiennej zesolonej λ w obszarze asymoycznej sabilności okazanym na rysunku 1. Im λ k( k + k s ) Gz (. (9) s + bs + c + k( k + k s ) Wielomian charakerysyczny ukłau zamknięego można naisać w osaci gzie s + bs + s +, (1) O bszar sabilno ści α π R e λ kk, c + kk. (11) Zauważmy, że jeżeli >, o wielomian (1) ma niecałkowiy soień większy o. Ponieważ ukłay o niecałkowiym soniu wielomianu charakerysycznego większym o są niesabilne [17], w racy bęziemy rozarywać warości arameru określone w (8). Przy oznaczeniach (11) ransmiancję (9) można zaisać w osaci s + ( c) Gz (, s + bs + s + (, ). (1) Analizując sabilność ukłau (9), rozarzymy najierw rzyaek, w kórym wielomian (1) jes rzęu niecałkowiego wsółmiernego, j. v / u, gzie v i u są o liczby nauralne wzglęnie ierwsze. Przy owyższym założeniu mamy gzie s s v / u 1/ u v α v v ( s α ) ( s ) λ, (13) λ s, α 1 / u < 1. (14) Sosując osawienie (14) w wielomianie (1) i uwzglęniając zależność v / u, orzymamy wielomian całkowiego sonia ~ u u v λ ) λ + bλ + λ +, (15) sowarzyszony z wielomianem niecałkowiego sonia (1). Z eorii sabilności ukłaów niecałkowiego rzęu (n. [3, 4, 16, 17]) wynika oniższe wierzenie. s. Rys. 1. Obszar 1. Obszar sabilności na na łaszczyźnie λ Fig. 1. Sabiliy region in he λ -lane Do srawzenia warunku (17) wygonie jes sosować oniższy lema [4]. Lema 1. Ukła niecałkowiego rzęu o wielomianie charakerysycznym (1) jes asymoycznie sabilny wey i ylko wey, gy π γ > α, (18) gzie γ min argλ, (19) i rzy czym λ i jes i-ym zerem wielomianu (15). Przykła 1. Weźmy o uwagę ukła regulacji auomaycznej, w kórym obiek ma ransmiancję oeraorową (3) rzy k 1, c 1 i b, zaś ransmiancja oeraorowa regulaora PD niecałkowiego rzęu ma osać (8), rzy czym k, k,3. Należy zbaać sabilność ego ukłau w wóch rzyakach: a), 5 ; b) 1,5. Ze wzorów (11) wynika, że,3, 3. i 94 Pomiary Auomayka Roboyka /1

3 W rzyaku a) mamy 1/, czyli v 1, u, α 1 / u,5 i zgonie z (15), sowarzyszony wielomian całkowiego sonia ma osać ~ 4 w ( λ) λ +,λ,3λ + 3. () Wielomian () ma czery zera λ,,939 ±, 9133 i λ 3,4,939 ± j. Dla ych zer ze wzoru (19) mamy γ,796. Ponieważ απ/ π/ 4,7854 < γ, warunek (18) jes sełniony i rozarywany ukła rzy, 5 jes asymoycznie sabilny, zgonie z lemaem 1. W rzyaku b) możemy naisać 5/ 4, co oznacza, że v 5, u 4, α 1 / u, 5 i sowarzyszony wielomian całkowiego sonia ma osać ~ j w ( λ) λ +,λ,3λ + 3. (1) Wyznaczając zera wielomianu (1) i obliczając γ ze wzoru (19) orzymamy γ,3839. Ponieważ,5απ,397, warunek (18) nie jes sełniony i rozarywany ukła rzy 1, 5 jes niesabilny. Oisana owyżej meoa baania sabilności ukłau regulacji auomaycznej o ransmiancji oeraorowej (1) wymaga znajomości warości liczbowych wsółczynników wielomianu charakerysycznego (1) oraz wykłanika. Ponao, może ona być sosowana ylko w rzyaku, gy niecałkowiy rzą jes liczbą rzeczywisą wymierną. Oisanej meoy nie można sosować w rzyaku ogólnym, gy jes liczbą rzeczywisą niewymierną. W rzyaku ogólnym, gy jes owolną liczbą rzeczywisą (niewymierną lub wymierną) o baania sabilności można sosować meoy częsoliwościowe. Należy o nich zaroonowana w racach [, 4] (arz eż rozział 9 w monografii [7]) meoa bęąca uogólnieniem klasycznej meoy Michajłowa oraz meoa oziału D, n. [18]. Poniżej omówimy zasosowanie ych meo o baania sabilności ukłau regulacji auomaycznej o wielomianie charakerysycznym (1). Najierw rozarzymy uogólnienie meoy Michajłowa. Weźmy o uwagę funkcję ψ ( s ) w, () ( ) gzie w ( ma osać (1) zaś w ( jes sabilnym wielomianem oniesienia ego samego sonia co wielomian (1). Można go wybrać n. w osaci s w ( ( s + ), >. (3) Twierzenie. Ukła regulacji auomaycznej o wielomianie charakerysycznym (1) jes asymoycznie sabilny wey i ylko wey, gy Δarg ψ( j ω), (4) ω (, ) gzie ψ ( jω) ψ( la s jω. Warunek (4) jes sełniony wey i ylko wey, gy rzy ω zmieniającym się o o wykres funkcji ψ( j ω) (uogólniony zmoyfikowany hoograf Michajłowa) nie okrąża ocząku łaszczyzny zmiennej zesolonej ani eż nie rzechozi rzez niego. Jeżeli wielomian oniesienia ma osać (3), o ze wzorów (1), () i (3) mamy lim ψ( j ω) 1, ψ () /. (5) ω ± Przykła. Sosując wierzenie należy zbaać sabilność ukłau o wielomianie charakerysycznym (1), rzy czym b, ; 1,,. Przyjmując w (3) i wyznaczając wykres funkcji () rzy s jω orzymamy rzebieg okazany na rysunku, rzy czym, zgonie z rugim wzorem (5) mamy ψ ( ),5. Wykres en zosał wyznaczony la warości ω [ 7, 7] oraz la ω ±1. Z rysunku wynika, że wykres nie obejmuje ocząku ukłau wsółrzęnych, co oznacza, że rozarywany ukła niecałkowiego rzęu jes asymoycznie sabilny. niecałkowiego rzęu jes asymoycznie sabilny. Imaginary Axis Axis Real.6 Axis Rys.. Wykres funkcji ψ( j ω) Real Axis Fig. Rys... Wykres Plo of he funkcji funcion ψ( j ωψ )( j ω) Fig.. Plo of he funcion ) ψ( j ω Przeanalizujmy eraz zasosowanie meoy oziału D. Bęziemy Przeanalizujmy oszukiwać eraz zasosowanie obszaru meoy sabilności oziału ukłau D. Przeanalizujmy eraz zasosowanie meoy oziału D. o wielomianie charakerysycznym (1) na łaszczyźnie Bęziemy oszukiwać obszaru sabilności ukłau aramerów (, ). o wielomianie charakerysycznym (1) na łaszczyźnie Pozielimy w ym celu łaszczyznę (, ) granicami aramerów (, ). D-oziału na skończoną liczbę obszarów D. Dowolny Pozielimy w ym celu łaszczyznę (, ) granicami unk w D oowiaa akim warościom i, la D-oziału na skończoną liczbę obszarów D. Dowolny kórych wielomian (1) ma okłanie zer o oaniej unk w D oowiaa akim warościom i, la części rzeczywisej. Obszar D (), o ile isnieje, jes obszarem asymoycznej sabilności. kórych wielomian (1) ma okłanie zer o oaniej części rzeczywisej. Obszar D (), o ile isnieje, jes obszarem asymoycznej sabilności. Granice oziału D zielimy na granice zer rzeczywisych oraz granice zer zesolonych. Dowolnemu unkowi Granice oziału D zielimy na granice zer rzeczywisych oraz granice zer zesolonych. Dowolnemu unkowi na granicy zer rzeczywisych oowiaa wielomian (1), kóry ma zero s. Ławo zauważyć, że na łaszczyźnie na granicy zer rzeczywisych oowiaa wielomian (1), (, ) granicą zer rzeczywisych wielomianu (1) jes kóry ma zero s. Ławo zauważyć, że na łaszczyźnie linia rosa. (, ) granicą zer rzeczywisych wielomianu (1) jes Granica zer zesolonych oowiaa akim warościom linia rosa. i, la kórych wielomian (1) ma zera urojone Granica zer zesolonych oowiaa akim warościom srzężone. i, la kórych wielomian (1) ma zera urojone Granicę zer zesolonych wyznacza się rozwiązując srzężone. wzglęem i równanie w ( jω). Granicę zer zesolonych wyznacza się rozwiązując wzglęem i równanie w ( jω). /1 Pomiary Auomayka Roboyka 95

4 Równanie zesolone ω + jbω + ω [cos(,5π) + j sin(,5π)] + (6) można naisać w osaci ukłau wóch równań rzeczywisych ω + ω cos(,5π) +, (7a) b ω+ ω sin(,5π). (7b), orzyma- Rozwiązując równania (7) wzglęem i my ω + bωcg(,5π), (8a) bω. ω (8b) sin(,5π) Linia krzywa o oisie aramerycznym (8) rzy ω Ω oraz linia rosa wyznaczają na łaszczyźnie (, ) granice obszaru sabilności wielomianu (1) rzy zaanych warościach aramerów b i. Przy wyznaczaniu wykresu krzywej o oisie aramerycznym (8) należy oowienio obrać rzeział Ω warości arameru ω. W rzyaku szczególnym klasycznego regulaora PD ( 1 w (8) i (1)) ze wzorów (8) orzymamy ω, b. (9) Linia rosa o oisie aramerycznym (9) oraz linia wyznaczają na łaszczyźnie (, ) granice obszaru sabilności wielomianu charakerysycznego (1) rzy 1 i zaanej warości arameru b. Jes o obszar określony nierównościami >, > b. 1-1 b b1.5 b1 b. Z rysunku 3 wynika, że wielkość obszaru sabilności rośnie wraz ze wzrosem warości arameru b. Naomias la b jes o ierwsza ćwiarka łaszczyzny (, ). Granice obszaru sabilności wielomianu (1) rzy b, i kilku warościach arameru (,1] oraz [1, ) są okazane na rysunkach 4 i 5, oowienio. Dla każej usalonej warości arameru obszar sabilności leży w ółłaszczyźnie > owyżej oowieniej krzywej, bęącej granicą zer zesolonych. W rzyaku regulaora PD całkowiego rzęu ( 1 ) granicą zer zesolonych jes linia rosa b, zaś obszar sabilności określają nierówności >, >,. Z rysunków 4 i 5 wynika, że obszary sabilności ukłau o ransmiancji (1) są większe w rzyaku, gy (,1) lub (1, ) w orównaniu z obszarem sabilności ukłau całkowiego rzęu ( 1 ) Rys. 4. Granice obszaru sabilności la b,, (,1] Fig. 4. Bounaries of he sabiliy region for b,, (,1] Rys. 3. Granice obszaru sabilności la, 5 Fig. 3. Bounaries of he sabiliy region for, 5 Na rysunku 3 są okazane granice obszaru sabilności Na rysunku 3 są okazane granice obszaru sabilności wielomianu (1) rzy, 5 i kilku warościach arameru b. Obszarem sabilności rzy usalonej warości b jes obszar leżący w ółłaszczyźnie > owyżej oowieniej krzywej. Aby o wykazać, należy wybrać owolny unk leżący w ym obszarze, oczyać warości i w ym unkcie i srawzić sabilność wielomianu (1) sosując n. wierzenie. Jeżeli ak wyznaczony wielomian jes asymoycznie sabilny, o baany obszar jes obszarem asymoycznej sabilności Rys. 5. Granice obszaru sabilności la b,, [1, ) Fig. 5. Bounaries of he sabiliy region for b,, [1, ) 4. Uwagi końcowe Rozarzono roblem asymoycznej sabilności ciągłych liniowych ukłaów regulacji auomaycznej złożonych z członu oscylacyjnego (3) i szeregowego regulaora PD (8) niecałkowiego rzęu, objęych ęlą ujemnego srzężenia zwronego. 96 Pomiary Auomayka Roboyka /1

5 Poano meoy baania sabilności akich ukłaów rzy wsółmiernym oraz niewsółmiernym niecałkowiym rzęzie regulaora. Wykorzysując meoę oziału D oano komuerową meoę wyznaczania obszaru sabilności na łaszczyźnie aramerów regulaora. Rozważania zilusrowano rzykłaami liczbowymi i wynikami baań symulacyjnych. Praca naukowa finansowana ze śroków Naroowego Cenrum Nauki jako rojek baawczy N N Bibliografia 1. Bagley R. L., Torvik, P. J.: On he aearance of he fracional erivaive in he behaviour of real maerials. J. Al. Mech., vol. 51, 1984, Busłowicz M.: Frequency omain meho for sabiliy analysis of linear coninuous-ime fracional sysems. In:. Malinowski, L. Rukowski (Es.): Recen Avances in Conrol an Auomaion. Acaemic Publishing House EXIT, Warsaw 8, Busłowicz M.: Sabiliy analysis of linear coninuousime fracional sysems of commensurae orer. Journal of Auomaion, Mobile Roboics & Inelligen Sysems, vol. 3, no. 1, 9, Busłowicz M.: Sabiliy of sae-sace moels of linear coninuous-ime fracional orer sysems. Aca Mechanica e Auomaica, vol. 5, no., 11, Das. S.: Funcional Fracional Calculus for Sysem Ienificaion an Conrols. Sringer, Berlin aczorek T.: Wybrane zaganienia eorii ukłaów niecałkowiego rzęu. Oficyna Wyawnicza Poliechniki Białosockiej, Białysok aczorek T.: Selece Problems of Fracional Sysems Theory. Sringer, Berlin oeller, R.C.: Alicaion of fracional calculus o he heory of viscoelasiciy. Journal of Alie Mechanics, vol. 51, 1984, Manabe S.: A suggesion of fracional-orer conroller for flexible sacecraf aiue conrol. Nonlinear Dynamics, vol. 9,, Monje C. A., Chen Y.-Q., Vinagre B. M., Xue D.-Y., Feliu V.: Fracional-orer Sysems an Conrols: Funamenals an Alicaions. Sringer, Lonon Naber M.: Linear fracionally ame oscillaor. Inernaional Journal of Differenial Equaions, vol. 1, Aricle ID 197, oi:1.1155/1/197, Hinawi Publishing Cororaion. 1. Narahari Achar B.N., Hanneken J. W., Clarke T.: Resonse characerisics of a fracional oscillaor. Physica A, vol. 39,, Narahari Achar B. N., Hanneken J. W., Clarke T.: Daming characerisics of a fracional oscillaor. Physica A, vol. 339, no. 3-4, 4, Osalczyk P.: Zarys rachunku różniczkowo-całkowego ułamkowych rzęów. Teoria i zasosowania w auomayce. Wy. Poliechniki Łózkiej, Łóź Polubny I.: Fracional Differenial Equaions. Acaemic Press, San Diego Peras I.: Sabiliy of fracional-orer sysems wih raional orers: a survey. Fracional Calculus & Alie Analysis. Inernaional Journal for Theory an Alicaions, vol. 1, no. 3, 9, Rawan A.G.: Soliman A.M., Elwakil A.S., Seeek A., On he sabiliy of linear sysems wih fracionalorer elemens. Chaos, Solions an Fracals, vol. 4, 9, Ruszewski A.: Sabiliy regions of close loo sysem wih ime elay inerial lan of fracional orer an fracional orer PI conroller. Bull. Pol. Aca. of Sci., Techn. Sci., vol. 56, no. 4, 8, Wang Z. H., Hu H. Y.: Sabiliy of a linear oscillaor wih aming force of he fracional-orer erivaive. Science China, Physics, Mechanics & Asronomy, vol. 53, no., 1, Sabiliy analysis of oscillaory sysem wih PD conroller of fracional orer Absrac: The roblem of sabiliy of linear coninuous ime conrol sysem consising of oscillaory lan an fracional orer PD conroller is consiere. Mehos for sabiliy invesigaion is such sysems an eerminaion of sabiliy region in he lane of conroller arameers are given. The consieraions are illusrae by numerical examles. eywors: fracional sysem, oscillaor, sabiliy, PD conroller. rof. r. hab. inż Mikołaj Busłowicz Profesor zwyczajny Poliechniki Białosockiej, kierownik aery Auomayki i Elekroniki na Wyziale Elekrycznym. O 4 roku członek omieu Auomayki i Roboyki PAN. Baania naukowe koncenrują się głównie wokół zaganień analizy i synezy ukłaów regulacji z oóźnieniami, ukłaów oanich, ukłaów niecałkowiego rzęu, ukłaów D oraz ukłaów ciągło-yskrenych. Jes auorem 3 monografii i ok. 17 ublikacji naukowych. busmiko@b.eu.l mgr inż. Tomasz Juchimowicz Tyuł magisra inżyniera w zakresie elekroechniki o secjalności auomayka i echnika mikrorocesorowa uzyskał w 1 roku na Wyziale Elekrycznym Poliechniki Białosockiej. Akualnie jes słuchaczem II roku Suium Dokoranckiego na ym wyziale. .juchimowicz@suen.b.eu.l /1 Pomiary Auomayka Roboyka 97