Rozdział II TERMOMECHANIKA CIAŁ JEDNOSKŁADNIKOWYCH

Transkrypt

1 19 ozzał II EMOMECHANIKA CIAŁ JEDNOSKŁADNIKOWYCH 8. Wsę o rmoynamk Omawanym orzno formacjom cała owarzyszy wyzlan sę cła. Owron, ogrzanu owarzyszą formacj a alj narężna. Wać węc, ż zjawska nalży wsóln osać o czgo służą moy rmoynamk. W języku j or cało nazywamy ukłam, a jgo ołnn oocznm. Jżl n ma wymany masy z oocznm o ukła nazywamy zamknęym, a jżl brak wymany nrg z oocznm o ukła ak nazywamy zolowanym. W ukłaz zolowanym całkowa nrga, czyl suma nrg wwnęrznj U knycznj K mus być zachowana, aczkolwk moż ulc rzmanom. Enrgą wwnęrzną nazywać bęzmy sumę różnych rozajów nrg jaką obarowan są cząsk, jony aomy worząc ukła. Są o nrg knyczn ruchu osęowgo, obroowgo rgającgo cząsk oraz nrg oncjaln cząsk. Posawowym ojęcm w rmoynamc asycznj js ojęc równowag. Oóż mów sę, ż ukła znajuj sę w równowaz, jżl rzsaj ozaływać z oocznm. Przsają ż ozaływać wzajmn z sobą wszysk oukłay w nm zawar. Posuluj sę rzy ym, ż każy zolowany ukła osąga san równowag o osaczn ługm czas. Analzę go ochozna o sanu równowagowgo rzsawmy w oracowanu. Koljnym ojęcm osawowym js san ukłau, kóry okrśla zsół mrzalnych własnośc mających znaczn rzy analz równowag ukłau. Wśró ych wlkośc jako zmnn sanu wysęują najczęścj gęsość, objęość mraura. W rozważanach naszych korzysać bęzmy z ojęca mraury absolunj Klwna > 0, kóra rzyjmuj ylko oan warośc. 9. rmosayka Z lmnarngo ujęca zasay zachowana nrg wynka znana zalżność U + K = Q + W 9.1 swrzająca, ż suma zman nrg wwnęrznj U knycznj K js równa sum zman nrg clnj Q racy mchancznj W. Zalżność a w form różnczkowj rowaz o równośc

2 20 U K = Q W lub U & + K& = Q& + W& 9.3 Drugą osawową wlkoścą w rozważanach nrgycznych js nroa S. Wrowaza sę ją jako nową funkcję sanu okrśloną rzz jj rzyros S w san równowagowym Q S = 9.4 lub w form różnczkowj Q S = 9.5 Poan u rlacj n zawrają zmnnych rzsrznnych. Doyczą węc jyn szczgólnych zaań, lago w koljnych rozważanach analzujmy rzływ cła w cl w wynku jgo roukcj r srumna cła q oływającgo z ooczna, kór są funkcjam ołożna czasu. Uwzglęnamy rzy ym ylko wływy cln omjając mchanczn. q ukła U,S,r A n ys Przływ nrg z ukłau o ooczna Sumując nrg o całym ośroku orzymamy Uc = r q n A 9.6 A x ooczn

3 21 Po wykorzysanu wrzna o ywrgncj uzyskamy lokalny blans nrg Uc = r q, 9.7 Zmana nrg wwnęrznj U c w analzowanym rocs js równa sum źróła cła r ywrgncj srumna cła. 10. Enrgyka rocsów mchancznych ównana rwszj rugj zasay rmoynamk uwzglęnają łączn zachoząc rzmany nrgyczn zwązan co najmnj z rzływm cła oraz rzmany nrgyczn wynkając z ozaływań mchancznych. osan wyukujmy z równań ruchu 6.3 mnożąc j skalarn rzz rękość v v v = F v + σ j, jv 10.1 oraz całkując o objęośc cała oraz σ v v v = [ F v + j σ j jv, j] 10.2, Korzysamy u z wzorów σ jv σ j, jv + σ jv, j, j =, σ jn j = P 10.3 vv 1 v 1 v v k = v + v = v = Po scałkowanu orzymamy vv = F v σ jj + σ jvn 2 A j A 10.5 oraz

4 22 vv + σ jj = F v + Pv A Wynkająca z 10.6 równość 10.7 Um + K = F v + Pv A, U m = σ jj 10.7 js zasaą zachowana nrg la rocsu mchanczngo. A 11. Prwsza zasaa rmoynamk Analzować bęzmy raz łączn rzmany nrgyczn wynkając z wływów mchancznych - sł F P oraz clnych - źrół r srumna cła q. Po zsumowanu sronam równań ujmujących zasay zachowana nrg la rocsów clnych mchancznych orzymamy równość uwzglęnającą łączn oba rocsy gz U + K = r + F v + Pv qn A 11.1 A U = U m + U c A n x r ukła v F ooczn A P q n ys Ozaływan ukłau z oocznm Zauważmy, ż w równanu ym możmy znyfkować człony wysęując w asycznym ujęcu j zasay U & + K& = Q& + W& 11.2

5 23 Ison, zachoz Q & = r qn A, W& = F v + Pv A 11.3 A W n sosób okonalśmy uogólnna asyczngo sformułowana rwszj zasay rmoynamk z ukłau jnorongo na rzyak ogólny, z wyraźnym okrślnm ozaływana ukłau z oocznm. 12. Druga zasaa rmoynamk Zasaa a narzuca ogranczna na krunk rocsów rzman rmoynamcznych. ozarywaną orzno różnczkę nro Q S = 12.1 zasąmy blansm źrół srumn nro r qn A 12.2 S = A słusznym la rocsów równowagowych A n S, q r, x, x ys Wymana nro męzy ukłam a oocznm W rzyaku rocsów nrównowagowych wysą oakowo nujmna wwnęrzna roukcja nro - 0

6 24 r q n 12.3 S = A + A są w mjsc równośc o omnęcu 0 orzymamy nrówność wzrosu nro r qn A, S A mającą osawow znaczn w rmoynamc. 13. Nrówność rzyualna W wynku rzkszałcń algbracznych równań I II zasay rmoynamk można uzyskać równoważną m nrówność, zw. nrówność rzyualną, kóra ownna być słnona w każym ralnym rocs rmomchancznym. Punkm wyjścowym ych rozważań są równana: I zasay rmoynamk U + K = r + F v + Pv qn A A 13.1 II zasay rmoynamk r q n S = A + A Korzysając z równań ruchu, wrzna Gaussa o ywrgncj oraz wrowazając orację różnczkowana o całką orzymamy, σ j U v + v = r q + F v v , j W wynku rzkszałcń orzymujmy zalżność całkową U + r q, + σ jj =

7 25 Zankan funkcj ocałkowj rowaz o lokalnj osac blansu nrg U + = r q, σ jj gz j = v, j + v j, Poobn osąmy z blansm nro r q + [ S, + ] = kórgo lokalna osać ma formę S r q =, +, Pomnęc skłanka 0 w blans nro rowaz o nrównośc S r q, q, Elmnacja wsólnych skłanków z równań I II zasay r q, rmoynamk rowaz o nrównośc rzyualnj, kóra ownna być słuszna w każym rzczywsym rocs osywanym w ym unkc U S q, + + σ jj Nrówność a wyznacza jnoczśn osawow ogranczna nakłaan rzz nrgykę na równana konsyuywn rocsu. 14. Lnaryzacja równań blansów U Wysęująca w blans nrg ochona rowaz o równana U U + w = r q, + σ jj 14.1 x U a o lnaryzacj, czyl omnęcu skłaowj konwkcyjnj w orzymamy x

8 26 U& = r, + σ & ε 14.1 q j j W ogólnym rzyaku rzy oblczanu ochonych o czas wysąą w nj w skłaow: U U U U = + x x - lokalna konwkcyjna Skłaowa konwkcyjna wrowaza nlnowość z j rzyczyny js barzo częso omjalna. ak ż osąmy w naszym oracowanu, omjając na ogół skłaow konwkcyjn w wszyskch lokalnych równanach blansów rmomchank. Zachoz uk u& k 2 j = v, j + v j, 2& εj = u&, j + u& j, U U& S S& ównana konsyuywn W rmoynamc gazów cczy nrga wwnęrzna js zalżna o zman objęośc nro S U=U,S 15.1 są jj różnczka ma formę U U U = + S 15.2 S Naomas w zagannach rmomchank cała sałgo w mjsc zman objęośc wrowazmy nsor okszałcń ε j. Wy nrga wwnęrzna U rzyjm osać ε S U = U j, 15.3

9 27 a jj łna ochona o czas wynos U U = ε j ε j U + S S 15.4 u, j + u j 2ε j 2 j = v, j + v j, =, = Po uwzglęnnu owyższgo zasu osawowa la rozważań rmomchancznych nrówność rzyualna rzyjm formę U S S U εj εj q, + + σ j S ε j Po uorząkowanu j nrównośc rzyjęcu, ż ownna być ona słnona la każj ralnj zmany nro S & zman okszałcń orzymamy U S S U εj q, + σ j ε j Wobc nzalżnośc 15.6 o S ε j orzymamy równana fzyczn okrślając mraurę narężn σ j w cl srężysym U U = σ j = 15.7 S ε j ε& j oraz nrówność, kóra js ograncznm na osać srumna cła q 0,, 0 q, są q = λ, λ > , Z nrównośc j wynka, ż srumń q js rzcwn skrowany o granu mraury,, ak, ż ch loczyn skalarny js ujmny.

10 28, q, < 0 q ys Wsółzalżność granu mraury srumna cła Js o osawow ogranczn la rzływów cła. 16. Poncjały rmoynamczn W rmomchanc orócz nrg wwnęrznj S, ε U = U 16.1 j korzysa sę z nrg swobonj funkcj Hlmholza wwnęrzną łączy rlacja A, kórą z nrgą A = U S 16.2 Jj ochona wynos A & = U& S & S& są U & = A& S & S& Posawając n wynk o nrównośc rzyualnj orzymamy q, A& S& + σ j j Naomas w ogólnym rzyaku, rzy uwzglęnnu łnych ochonych czasowych, bęz zachozło A q, S + σ j j

11 29 Powyższ nrównośc są oownkam orzno rzyoczonj nrównośc rzyualnj Zakłaamy, ż w ych rozważanach nrga A = A, ε js funkcją mraury okszałcń. swobona j Orócz nrg wwnęrznj swobonj wrowazmy jszcz arę barzo użycznych oncjałów rmoynamcznych, a manowc nalę H nalę swoboną G. Enalę H H S, σ = z nrgą wwnęrzną łączy równan j j j H = U σ ε 16.4 a ochon są owązan rlacją U& = H& σ & ε j j & σ ε są nrówność rzyualna rzyjm formę j j q H& S & + & σ j ε j, 0 Enalę swoboną G z nrgą wwnęrzną łączy rlacja G = U S σ ε 16.5 z kórj wylczymy ochoną G & U& = G& S & S& & σ ε j j j j σ & ε kórą osawmy o wyjścowj nrównośc rzyualnj, gz wysęuj ochona nrg wwnęrznj U &. Dla nal swobonj słuszna js nrówność rzyualna q, G& S& + & σ jεj Wysęująca w j nrównośc nala swobona ma formę σ j j G = G, 16.7 j

12 30 Oczywśc o ch wykorzysanu cyuj konkrny rocs zman nrg w cl, kóry moż być w różny sosób osany. Oblczając ochoną o czas oncjału G & orzymamy G G G& & = + σ j σ & j Wrowazając ochoną G & o nrównośc rzyualnj uzyskamy G G q, + S + εj & σ j 0 & σ 16.8 j Wymagając z kol, aby nrówność a była słuszna la każgo wyboru mraury narężń σ, orzymamy równana konsyuywn j G G ε j =, S = 16.9 σ j oraz ogranczn q 0 na srumń cła., ównana I II zasay rmoynamk rowazą o nrównośc rzyualnj, w kórj wysęuj zmana nrg wwnęrznj oraz zmany naury clnj mchancznj z ym, ż zmana nrg wwnęrznj sowoowana js zmaną nro okszałcnm. Js o syuacja o yl nkorzysna, ż nroa js wlkoścą runą o zmrzna, lago ż wygonj wrowazć nrgę swoboną, kóra bęz zalżna o mraury okszałcń. Poobn można wrowazć nalę swoboną jako oncjał rmoynamczny zalżny o mraury narężń oraz nalę zalżną o nro narężń. Wyszczgólnon u czry oncjały rmoynamczn U, A, H G sanową osawę asycznych rozważań rmoynamk. 17. Mkrouszkozna srukury marału W rakc ksloaacj konsrukcj ochoz w nch o rozwoju najrw robnych mkrosękań, kór fnaln kończą sę makrosękanam. Powsając mkrouszkozna rowazą o ncągłośc ośroka, kór chcmy osywać sosując asyczny aara ojęcowy mchank connuum. Wymaga o wrowazna o osu rocsu nowgo ola nsorowgo ujmującgo narasan ncągłośc marału. Procs n bęzmy obcn osywać.

13 31 Powsając w maral mkroęknęc ujmuj jgo owrzchna A, wkor normalnj o nj n oraz wkor rozwarca a k. Do osu go rocsu wygon js wrowazć ol nsorow ϕ k x 2 x 3 x 1 ϕ 12 ϕ 11 ϕ 13 A a a 2 n 3 1 n 1 a 1 n 1 ϕ k = lm 0 1 A ϕ 21 n 2 a 1 ϕ 22 n 2 a 2 n 2 ϕ 23 a 3 A ϕ 31 n 3 ϕ32 n 3 n 3 ϕ33 a 1 a 2 a 3 ϕ k = ys Wsółrzęn nsora mkrouszkozń A ϕ k 1 lm ak n A kór moż być marą narasana mkrosękań w cl. Dla rosoy rozważań rzyjmuj sę symryczny nsor mkrouszkozń k ϕ ϕ 1 ϕ = + 2 k k 17.2 Procs narasana mkrouszkozń wływa na formy yssyacj nrg z ukłau oraz w sosób ośrn na san nrgyczny marału. Można węc swrzć, ż oncjały rmoynamczn bęą oakowo zalżć równż o nsora mkrosękań ϕ k jako oakowgo ola.

14 32 G = G, σ ; ϕ A = A, ε ; ϕ j j j j 17.3 Fak n wrowaz son zmany w naszych rozważanach, onważ ojaw sę nowa zmnna ϕ j - jako zw. aramr wwnęrzny, o kórgo bęą zalżn oncjały rmoynamczn. ównana fzyczn la cała srężyso - kruchgo z uwzglęnnm wływu mraury mkrosękań uzyskamy oblczając ochoną A & A A A A& & = & εj & ϕj 17.4 ε j j oraz wsawając ją o nrównośc rzyualnj q, & S& & εj + σ j& εj & ϕj ε j q, + S + σ j & εj & ϕj 0 j & 17.5 ε j Jżl analzowany rocs js słuszny la każgo rzyrosu mraury okszałcń, o uzyskamy równana konsyuywn w cl srężysym σ j =, S = 17.6 ε j oraz nrówność z ozosałych skłanków q, & ϕj j W szczgólnośc, gy 0 zachoz ogranczn la narasana mkrouszkozń ϕ j, = j

15 33 & ϕ j j Wynka są, ż zmana nrg swobonj A wywołana rocsm mkrosękań, rzy ϕ& > 0 mus być ujmna lub równa zro, ky rocs j zanka. Nrówność a sanow osawow ogranczn nrgyczn la rozwoju mkrouszkozń srukury marału ϕ j π > 2 ϕ& j ys Wsółzalżność męzy nsorm mkrouszkozń a zmaną nrg swobonj A ϕ Poan rozumowan rowaząc o swrzna, ż loczyny & ϕj muszą być rzcwn skrowan n js jyn. Możmy j bowm założyć, ż nsor rękośc mkrouszkozń okszałcń ε j mraury, czyl j ϕ& j bęz zalżny o ól & ϕ = k & ε + v & 17.9 j a są j j k & ε v & & ϕj = j + j j j Posawając uzyskany wynk o nrównośc rzyualnj orzymamy + S & + σ k j & ε j εj j j & ε q, v & j j

16 34 Po uorząkowanu j nrównośc wzglęm zmnnych nzalżnych ε j założnu symr nsora k = k orzymamy nrówność j j q, + S + vj & + σ j kj & εj 0 ε j j Słnn, jak orzno wymogu nzalżnośc j nrównośc o każj ralnj zmany ε j rowaz wros o nowgo ukłau równań fzycznych rocsu S = vj, σ j = + kj ε j j raycyjnj nrównośc okrślającj krunk rzływu cła q 0, Orzymalśmy węc równana fzyczn la cała srężysgo z uwzglęnnm narasana mkrosękań, kór n wywołują yssyacj nrg w rakc rocsu. W szczgólnośc zaś, jżl 0 & = 0 w rocs zormcznym mamy, = ros równan okrślając nsor narężń σ j z uwzglęnnm mkrosękań σ j = ε j + k j ozważany rzyak narasana uszkozń w cl srężysym nalży rakować jako krańcową alzację rzczywsośc. 18. Lnowa ora uszkozń Srcyzujmy obcn najrosszą lnową osać równań konsyuywnych w cl srężysym, w kórym narasają uszkozna srukury oraz wysęuj rzływ cła. Przyjmujmy u osawowy oncjał - nrgę swoboną formy lnowj kwaraowj zalżnj o, ε ϕ. j j A jako sumę

17 35 A = A, ε, ϕ = A + a + a ε + b ϕ + A j j j + B ϕ j E j ε ε + F j 0 j j j j ε ϕ + j 1 2 G j j ϕ ϕ j 2 + A ε + j j 18.1 Okrślając nrgę swoboną A nalży sał a, a, b, A, A,... G wyznaczyć z ksrymnu. Po wylcznu ochonj orzymamy równana fzyczn są σ j = + k ε j j + k = j A &, osawnu o nrównośc rzyualnj a + A + E ε + F ϕ j b + B + F ε + G ϕ j j jrs rs rs rs j rs + rs j j j 18.2 σ j σ j 0 = Ejε + kjfrsε rs + Fjϕ + kjgrsϕrs + Aj + kjb j gz σ = a + k b są narężnam wsęnym j j Po uorząkowanu równana na nsor narężń wrowaznu nsorów marałowych, f a orzymamy jrs jrs j j 0 σ j σ j = jrsε rs + fjrsϕrs + a j 18.3 W rzyaku szczgólnym marału zoroowgo nalży w mjsc nsorów, f a wrowazć ch oownk zoroow, n. jrs = jrs jrs 1 δ jδ rs + a2δ rδ js + 3 j δ s δ jr Osaczn la cała zoroowgo z uszkoznam orzymamy nasęując j 0 równan fzyczn rzy omnęcu narężń wsęnych σ 0 σ = 2 µε + λε δ + 2aϕ + bϕ δ + γδ 18.4 j j kk j gz γ = 3 λ + 2µ, 2a = a 2 + a 3, b = a 1 j kk j j

18 36 Zauważmy, ż równan o js sumą asycznych skłanków jak w rzyaku lnowo- srężysym członów ochozących o nsora uszkozń ϕ. ównana go yu osują mocno wyalzowany rzyak granczny. j Analogczn rozważana nalżałoby rzrowazć okrślając nroę w rocs oraz srumń cła q. 19. rmomchanka lasycznośc Plasyczn łynęc cał sałych ujmuj nasęujący ukła lokalnych blansów masy = cons, ęu nrg & + σ 19.1 v = F j, j U& = r, + σ & ε 19.2 q j j Analzować bęzmy ż nrówność wzrosu nro r q S &, 19.3 S P n q ε& j τ n r F u j & ε + & ε σ j τ ε& j τ x τ ys Okszałcn lasyczn w ośroku Wynkając z oanych blansów nrównośc rzyualn mają formę, U& + S & + σ j & ε j q

19 37 q, A& S& + σ j & ε j Ukła ych blansów js ak sam jak w asycznych zaanach mchank. óżnca ojawa sę w równanach worzących, gz nalży uwzglęnć nowracalność rocsu wynkającgo z formacj lasycznych. Własnośc oszmy orzz rozzln mocy mchancznj na częśc: srężys owracaln lasyczn, kór sę yssyują w rocs j j j j j j σ & ε = σ & ε + σ & ε 19.5 a. W osach lasycznośc nrgę swoboną rzyjm sę w osac j A = A ε, Θ + A, Θ Θ = 19.6 j 0 Oblczając ochoną A = A + A & ε Θ& + + & + Θ& j j A & = 19.7 ε Θ Θ j j wsawając o nrównośc rzyualnj orzymamy A + A S Θ& + σ j j Θ qθ, & j + σ j & ε 0 j 0 ε j & ε j Posęując oobn jak orzno orzymamy równana worząc S = Θ 0 σ j = ε j 19.9 okrślając nroę S oraz narężna σ j. Naomas skłank zwązan z aramrm wwnęrznym j, mocą jε j lasyczną σ & srumnm q wyznaczają yssyację w rocs

20 38 qθ σ j& εj & j, j 0 b. rmoynamka rocsów nowracalnych aj nam ogóln ogranczn co o rzbgu rocsów lasycznych n. nujmnośc sumy wszyskch rzch skłaowych rocsów yssyaywnych w Wysęują u nasęując rocsy szczgóln: I rzływy cła, rzy usalonych okszałcnach lasycznych aramrz wwnęrznym j ε j j = cons zachoz qθ, = cons II zmany srukury marału bz rzływów cła zman ε& j & ε j = cons zachoz Θ, = 0 & j j βj = j & j π < β j& j < 0 2 ys Wsółzalżność aramru wwnęrzngo j o β j III - zormczn łynęc lasyczn bz zman w srukurz marału j = cons o σ j& εj Θ, = 0 Oczywśc, w rzczywsośc wyszczgólnon rocsy yssyacyjn wysęują łączn.

21 39 c. Analzując szczgólny rzyak, gy j cons Θ, j = 0 swrzamy, ż jε j σ & Ponao na okszałcna lasyczn n ma wływu cśnn hyrosayczn, a cyuj o nm ylko waor sanu narężna s j sj = σ j 1 σ 3 kk δ j Borąc o uwagę rzyoczon ogranczna uzyskamy nrówność la mocy lasycznj j s ε& j Nrówność ą słnmy jżl & ε j = λsj λ > 0. Ison, j s j 0 λ > 0. W or lasyczngo łynęca wrowaza sę oncjał lasyczny G s j, G G ak ż zachoz ε& j = λ czyl λ sj 0. Jżl oncjał G okrywa S s j sę z warunkm lasycznośc F, j. G = F, n. w rzyaku asyczngo warunku Hubra Mssa Hncky go H M H: F = s s k 0 F & εj = λ, σ j gz λ = IIs, II s = sjsj, k - granca lasycznośc k Borąc o uwagę rozkła okszałcń j j j j j 1 2 = 2 j j o & ε = & ε + & ε + & ε orzymamy równana worząc lasycznośc F & ε & σ λ Θ& j = F j + + j σ j

22 40 Z srukury równań or lasyczngo łynęca wynka, ż zawrają on lmn lnowy oraz nlnowy zwązany z rękoścą okszałcń lasycznych. Skłank nlnowy cyuj o złożonośc oblczń w or lasycznośc.. Przyrosowa forma równań or lasycznośc W zasosowanach nżynrskch or lasycznośc korzysa sę najczęścj z rzyrosowgo ujęca j or. a forma js oręczna w oblcznach komurowych. σ σ = σ & ocążn obcążn Aε ε σ ε = ε & ε ys Przyrosowa forma równań konsyuywnych Zauważmy, ż o l na całym obszarz okszałcń rlacja nlnowa, o na rzyrosach σ ε js ona lnowa, czyl σ ε js σ = A ε ε rzy czym mouł syczny A js zmnny zalży o charakru rocsu oraz o ε. Uogólnając równana na rzyak rzsrznngo sanu narężń orzymamy gz są σ = E ε.. ε j j rs ε = ε + ε + ε σ j = E... ε ε ε j

23 41 Uzyskalśmy u ogoną o oblczń numrycznych formę równań or lasycznośc. 20. Wwnęrzna roukcja nro W zasosowanach rmomchank, kór rowazą o osów akch yowych la nżynr rocsów jak skurcz ęcznn marału, wływ rzman fazowych, uray rwałośc marału, rocsy korozj nalży srcyzować mchanzmy yssyaywn. Chcąc j oznać rozocznmy rz wszyskm analzę wwnęrzngo źróła nro wysęującgo w lokalnym blans nro S r q =, Są u możlw nasęując syuacj > 0 = 0 < 0 rocs nowracalny san równowagowy n snj!!! Wśró rocsów nrównowagowych snj szczgólna grua, ky o ukła o wyrącnu z sanu równowagowgo wraca o równowag na nnym ozom nrg. Przykłam mogą być rocsy łzana rlaksacj. = r nmożlwy rocs ys Wwnęrzna roukcja nro san równowagowy Zajmmy sę obcn ą asą rocsów rmoynamcznych. Posaają on soną rolę rzy osach rocsów chnologcznych. Aby j analzować nalży baać rocsy rmomchanczn, kórych źróło wwnęrznj roukcj nro o wnj chwl 0 malj, a w szczgólnośc zanka

24 42 ys Wwnęrzna roukcja nro w ukłaz zmrzającym o równowag Najrw analzujmy ukła, kóry ząża o sanu równowag, czyl wysęuj w nm wwnęrzna roukcja 0 = < & f. Przślzmy raz rocs sowolnony o orzngo czyl ak, w kórym czas rzchoz z na >1. Oznacza o, ż aka sama warość wwnęrznj roukcj nro wysą w nm w czas = '. Dla obu wyszczgólnonych rocsów wysujmy blans nro:, q r S + = & - rocs wyjścowy 20.2, q r S + = & - rocs sowolnony Symryzując oba rocsy, j. mnożąc rwsz równan rzz zaś rug rzz orzymujmy,, q r S q r S = + = + & & 20.3 lacj symr la rocsu o zankającj yssyacj mają formę 0 1 f f >1 rocs sowolnony

25 43 = ] [ ] [,, q r S q r S & & lub 20.4 = ] [ ] [,, q r S q r S & & Zauważmy, ż la zankającj yssyacj zachoz 1. Orzymamy są nrówność [ ] 0 + q q r r S S, ] [ ] [ & & 20.5 kóra sanow ogranczn la rocsu zmrzającgo o sanu równowagowgo. Analzowalśmy u wa rocsy rmoynamczn zążając o sanu równowag:- w jnym js cągłą zankającą funkcją czasu, naomas rug rocs js sowolnnm rwszgo. Z orównana obu rocsów wynka nowa nrówność, kóra okrśla nam w jak sosób ukła bęz ążył o sanu równowagowgo. Z orzymanj nrównośc wynkają ogranczna rmoynamczn la ważnj asy rocsów nrównowagowych w chnologach wywarzana, a manowc akch w kórych sany nrównowagow kończą sę sanm równowagowym na nnym ozom nrgycznym. Zaganna 1. Poać blans nrg osobno la warswy rzyowrzchnowj objęoścowj. 2. Nasać warunk wymany nrg męzy obu częścam j. owrzchną a objęoścą 3. Poać szczgólną osać zasay zachowana nrg 11.1, ky ośrok js ółrzsrzną 0 3 x n ozaływuj z oocznm 0 3 < x. Naomas ola wysęując w 11.1 są ylko funkcjam zmnnych x, 3.

26 44 4. Poać szczgólną osać zasay zachowana nrg 11.1 la warswy ogranczonj owrzchnam x 3 < h, rzy braku źróła cła r, zaś na owrzchnach x 3 = ± h wysęują srumn cła q +, q+ n + q, q n słnając warunk q n q n = Przanalzować rugą zasaę rmoynamk 12.3 w rzyaku, ky wwnęrzna roukcja nro okrślona js zalżnoścą - 0 = sn ω - > Nasać równość 12.3, jżl wwnęrzna roukcja nro okrślona js rlacją = 0 1 ω, rzy czym 0 < ω < 1 js funkcją monoonczn rosnącą. 7. Poać osawow nzmnnk nsora uszkozń ϕ j okrślongo równanm Poać osać nsora mkrouszkozń ϕ j, ky wsółrzęn wkora rozwarca a k oraz normalnj n j o owrzchn mkroęknęca słnają warunk: a j = k, b j k. Poać nrracj obu rzyaków. 9. Poać wsółrzęn nsora mkrouszkozń ϕ j w rzyaku łaskm, j. ky = k = 1, 2.