Mechanika teoretyczna. Wykład 12

Transkrypt

1 Mechanka eoreyczna Wykła

2 L L m m & & L wzgl max L oraz

3 werzeneloulle a W oróżnenu o rzesrzen konfguracyne kóra es f wymarowa rzesrzeń ołożeń oraz ęów zwana rzesrzeną fazową es f wymarowa. Pęy ołożena wysęuą symeryczne w równanach amlona. Rozwązana równań ruchu maą własnośc wynkaące z e szczególne ch srukury. zczególne neresuąco rzeczy sę maą gy amlonan es nezależny o czasu. Przez każy unk rzesrzen fazowe kóry może być omyślany ako warunek ocząkowy akegoś konkrenego ruchu rzechoz okłane ena raekora. Nekończące sę raekore rzako key zamykaące sę w ęle zgone obok sebe koegzysuą ngy sę ne rzecnaąc. Baane różnych możlwych ruchów na raz można rzerowazć wyełnaąc w myśl całą rzesrzeń fazową unkam rerezenuącym wszelke a ror możlwe warunk ocząkowe rozmeszczonym z akąś gęsoścą śleząc ch ruch ak ak sę ślez ruch saconarny ceczy. Punky ne mogą z efnc gnąć an sę oawać. Czy enak mogą sę zagęszczać lub rozrzezać? O ym mów werzene Loulle a. Wyberzmy ewen obszar w rzesrzen fazowe zbaamy ak zmen sę ego obęość gy wszyske unky warunk ocząkowe w chwl 0 rzeewoluuą o ołożeń w chwl. 3

4 Obęość obszaru o nacze całka z. Ω Równana ruchu usalaą enoznaczny zwązek omęzy ołożenem każego unku obszaru Ω a ołożenem ocząkowym egoż unku: Nauralna es zamana zmennych zefnowana rzez e zwązk. Ω Ω Ω0 J 0 00 Całkowane obywa sę w ych samych grancach co w chwl 0 ale uż ne z eynk! 4

5 Poawł sę akoban wyznacznk macerzy ochonych f nowych zmennych o zmennych sarych. Ze wzglęu na wa rozae zmennych macerz a ma srukurę blokową: M J M e ak zefnowany akoban es funkcą czasu bo funkca ak zefnowany akoban es funkcą czasu bo funkca 0 0 no a ruga awne zależą o czasu. Polczmy ochoną o czase akobanu rzekszałcena. Ławo można zrozumeć że akoban w czase + Δ es loczynem akobanu w chwl akobanu rzekszałcena nfnezymalnego omęzy + Δ a k k k k + I analogczne w ozosałych 3 blokach.

6 Zmenne w chwl + Δ mogą być uważane za wynk króke ewoluc o ale ame są z kole wynkem ewoluc o 0 o. Zwykła reguła różnczkowana funkc złożone la funkc welu zmennych srowaza sę o mnożena macerzy ochonych w mesce zwykłego loczynu ochone ochone funkc wewnęrzne. A wyznacznk loczynu macerzy o loczyn wyznacznków. ą Pochona zaem o granca J 0 J 0 J J 0 J J 0 J 0 lm 0 0 J J 0 lm Porzebny es nam wyznacznk la krókego czasu o lczony z okłanoścą o członów lnowych zalewe. o bęze ławe! & & 6

7 u wkraczaą równana ruchu. W nowym czase wsółrzęna w rzesrzen fazowe rzyrasa o welkość rzyrosu czasu mnożonego rzez ochoną wyznaczoną rzez równana ruchu właśne. + & & 7 J J e e δ δ Na rzekąne wyznacznka są a onao wszęze w ym na rzekąne oane są wyrazy erwszego rzęu.

8 Dla oblczena grancy ne maą znaczena wyrazy kwaraowe w Δ! J / ym barze zaweraące eszcze wyższe oęg. Ineresue nas wyłączne wyrazy lnowe w Δ Wkła o wyznacznka ochozący z loczynu wyrazów na rzekąne es eynym zaweraącym ake wyrazy! o rose! Ne a sę wyąć z rzekąne ylko enego wyrazu zasąć go akmś soza rzekąne bo znalazłyby sę albo wa wyrazy z ego samego wersza albo z e same kolumny! *? * 8 * * * * *? Doero wyęce wóch wyrazów ozwala zasąć e wyrazam soza rzekąne. Ale ak loczyn zawera wa małe wyrazy! Zosae raem loczyn wyrazów z główne rzekąne

9 J Pochone meszane lczone w rzecwne kolenośc są równe! Zaem łącząc w ary mam: O J + 9 O + Wyrazy lnowe w Δw ogóle ne wysąą! Dzęk same srukurze równań. Pochona wyznacznka es równa zero a on sam ma sałą warość aką ak la rzekszałcena ożsamoścowego czyl.

10 e 0 J o es właśne werzene Loulle a. Obęość rzesrzen fazowe zaęa rzez zbór ewnych warunków ocząkowych rzekszałcaąca sę w zbór ołożeń ęów w kolenych chwlach ozosae sała. 0 werzene Loulle aes kamenem węgelnym mechank saysyczne czyl ermoynamk mkroskoowe. Dlaczego? Ukłay złożone z barzo welu cał nosą w sobe w ane chwl newyobrażalną lość nkomu neorzebne nformac. o co w sane zw. równowag ermoynamczne może meć rakyczne znaczene o własność wsólna la wszyskch czy rawe wszyskch sanów mkroskoowych rzez ake ukła w swe f wymarowe rzesrzen fazowe bez rzerwy meanrue. Co węce. Gy rzygouę enyczny rug ukła n. mola helu w obęośc lra o energ 0 żul zacznę go baać es newele o zbaana ale n. cśnene o nezależne o ego czy zrobę o zsa czy uro sozewam sę enycznych wynków.

11 Jeśl nawe oczekwać akchś czasam ochyleń o ak ozosae warość śrena o kóre możemy mówć ako określone welkośc makroskoowe. Jes ona zeermnowana rzez hamlonan roza aomów ch ozaływana a akże barzo sone ścank naczyna bęące rozaem sun oencału warość energ. Czy o robąc mgawkowe zęce w różnych chwlach ego samego egzemlarza ukłau czy foografuąc równocześne wele różnych egzemlarzy o usalone e same energ ochozmy o rzekonana że snee ewen rozkła w rzesrzen fazowe w kóre czy o rzaze czy częśce rozlokuą sę unky akego myślowego ekserymenu. Ineresuące makroskoowe welkośc zależne wszakże o son swoboy o sanu ukłau ownny być uśrenone wzglęem ego rozkłau rawooobeńswa. o uśrenene ełn woaką rolę. Po erwsze omary makroskoowe rochę rwaą węc wynk es fakycznym uśrenenem o ych sanach rzynamne ych rzez kóre rzegaloował baany ukła w rakce ekserymenu. A o wóre nawe gy rzyąć że welkość makroskoowa es osaeczne aka sama la wszyskch możlwych sanów o usalone energ w usalonych warunkach zewnęrznych o ławe olczyć uśrenaąc o wszyskch nż róbować wylosować akś wząć sę o oblczana la ego konkrenego sanu. aconarność sanu równowaga ermoynamczna są równoważne emu że funkca rozkłau ρ ne zależy awne o czasu.

12 Ale ukłay zesołu saysycznego kóre w chwl są w akmś mescu rzesunęły sę całą gruą w nowe mesce gze ch lczba sę ne zmenła. Wyarły nne kóre am były wcześne. ZAJMUJĄ Ę AMĄ OBJĘOŚĆ. A węc gęsość ozosała a sama! ρ Gęsość w rzesrzen ołożeń rękośc ne musała by meć e własnośc! Oznacza o ż funkca rozkłau saysycznego w rzesrzen ołożeń ęów mus być całkąruchuanegohamlonanualbo akkowol funkcącałekruchu. Cowęcela ukłau złożonego z rawe nezależnych oukłaów funkca rozkłau ownna być mullkaywna węc e logarym eż funkca całek ruchu ownen być lnowy w ayywnych całkach ruchu. Jes akch 7. Dla ukłau w zewnęrznych węzach ozosae ylko energa. Momen ęu ma znaczene w asrofzyce. Pę można zlkwować rzez wybór ukłau nercalnego.. Osaeczne ochozmy o wnosku że oukła słabo srzężony z użym ukłaem ermosaem ma funkcę rozkłau: ρ N ex 0 ex ex

13 A le wynos śrena energa oukłau? Znamy funkcę rozkłau można olczyć: < > ex ex Ławo osrzec że całka w lcznku owsae rzez zróżnczkowane o manownka! wzęcu znaku mnus. Można o eszcze zgrabne zasać ako: < > ln ex Paramer rzez konsrukcę es wsólny la wszyskch oukłaów srzężonych z anym ermosaem. Rozkła kanonczny ouszcza flukuace energoukłau. Zbaamy na moelu gazu oskonałego ake one są czym es aramer. Dla gazu oskonałego 3N m 3N x 3

14 ex Poencał zewnęrzny ograncza całkowane o każym wekorze ołożena cząsk obęośc ale oza ym ne wchoz o funkc ocałkowe bo es zerem w naczynu a neskończonoścą na ścance. Całka welowymarowa rozaa sę na loczyn całek w rezulace N N N N m 3 3 ex ex π eraz oblczymy całkę 4 m ex ex Zróżnczkowane logarymu ego co wyszło o uż małe wo 3 ex ln N > < N < > 3

15 Rozoznaemy że /k. o właśne werzene Loulle arowaz o wzoru Bolzmana Gbbsa. Oblczmy flukuacę energ < > >< < > + < > >< > < > < < > ex ex Można by osawć wros wylczoną całkę ale barze elegancko es zrobć o neco ogólne. Oznaczamy < > < Z ex Z Z < > Z Z Z > + < > < > Z < > 5

16 < < > > < > o es wynk ogólny a la gazu oskonałego: < < 3N < > > < > < > < > > 3N / 3N Gy Nes lczbą rzęu lczby Aogaro wzglęna flukuaca es rzęu 0 -. Ale la oeynczego aomu w rozrzezonym gaze energa może być barzo różna Dla ukłau zamknęego o określone energformalne rozkła kanonczny ne ownen być sosowany lecz nna funkca hamlonanu. δ O le owyższa funkca es różna o zera na owerzchn ane energ funkca rozkłau kanoncznego es sone różna o zera w nesłychane cenke warswe wokół akeś energ. Dla akego rzyaku aramer es oberany ak by śrena energa była równa rzeczywse. ame flukuace energ wynkaące z rozkłau należało by wey gnorować ako arefaky meoy. Albo męczyć sę z elą Draca. ak rozkła o rozkła mkrokanonczny. Na o by zasąć rozkła mkrokanonczny kanoncznym baany ukła zamknęy ne może być 6 za mały. Ukła owary wręcz mus być osany rozkłaem kanoncznym. 3N

17 Komenarza wymaga fak ż funkca Gbbsa ex- bęąc monoonczną ae ak osro zaznaczony wąsk wkła o różnych warośc rzymowanych rzez hamlonan. Wynka o ze secyfk całkowana w barzo welu wymarach. Wyobrażaąc sobe że naerw wycałkuemy o różnych kerunkach o owerzchnach usalone energ a na końcu oero o energ osrzegamy że w osane całce wysą owerzchna N- wymarowe sfery la gazu oskonałego a czegoś owygnanego z lekka la barze realsycznych ukłaów fzycznych roorconalna o 3N ę mnus eynkę nasałem rochę la żaru wobec faku że samo N>0 3 ne es znane co o szuk. W ym osanm całkowanu włącza sę czynnk wykłanczy. Do wykonana zosae całka zaweraąca obok nnych welkośc z wcześneszego całkowana eksonenę barzo wysoką oęgę: 3 N /... ex 0 A o uż es rawe ela Draca!!!! 7

18 Obęość rzesrzen fazowe ogranczona owerzchną sałe energ Ω < okrywaąca sę rakyczne z olem owerzchn sałe energ może eż z zuełne aekwaną okłanoścą być wyrażona nasęuąco: ex ex Ω < > nroa o nc nnego ak logarym owe obęośc raycyne mnożony rzez sałą Bolzmana rzelczaącą enosk energ na sone Kelna. Jeśl oać o ego ż w rocesach uassaycznych obęość rzesrzen fazowe ukłau sę ne zmena choć zmena sę ego energa o wysarczy o wszysko o sworzena ermoynamk. Wrowaźmy oznaczena: Ω ex σ ex ex 8

19 ex ex ex σ σ + > < ex ln Melśmy o ocząku: σ 9 raycyne aramer zasue sę ako /k. Zamas sużywa sę k sz użycem oba owyższe wzory rzymuą osać: k +

20 ex ex ex σ σ + > < ex ln Melśmy o ocząku: σ 0 raycyne aramer zasue sę ako /k. Zamas sużywa sę k sz użycem oba owyższe wzory rzymuą osać: k + L L / L /

21 Jeżel funkcę orównać o lagranżanu zmenną o rękośc a enroę o ęu o mamy rzykła roścukebo enowymarowe ransformac Legenre a!! Zarówno - ak zależą eż o ewenualnych nnych aramerów obecnych w amlonanerzee wszyskm obęośc ale eż n. naężeń zewnęrznych ól. Jeśl w wyrażenu na wyelmnuemy emeraurę na rzecz enro czyl ochone lagranżanu osanemy energę rozumaną ako funkca enro ewenualnych nnych aramerów. Bęze o oowenk nomen omen hamlonanu. Bez zbęnego lczena mamy alsze wzory ransformac Legenre a: / Oraz: a osana welkość o CIŚNINI. Równanem sanu es rzeo: P / L / /

22 / ex / ex k k Z P Zauważmy eż że: P + +