w zbiorze liczb naturalnych N (N,M N): N Mmodw k N: N M=kw M N=kw w zbiorze liczb całkowitych Z (N,M Z): N Mmodw k Z: N M=kw
|
|
- Tadeusz Turek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kogruece Lczby ogruete (przyta ą ce) modulo w N (w moduł przytawaa) w zborze lczb aturalych N (NM N): N Mmodw N: N Mw M Nw w zborze lczb całowtych Z (NM Z): N Mmodw Z: N Mw Kogrueca relaca rówowaŝ oś c: zwrota (refleve): N Nmodw ymetrycza (ymmetrc): N Mmodw M Nmodw przechoda (tratve): N Mmodw&M Pmodw N Pmodw. zachowawcza (dfferet) wobec dodawaa odemowaa mo ea N Mmodw Q Pmodw (N±Q) (M±P)modw N Mmodw Q Pmodw N Q M Pmodw. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Klay ogruec Klay ogruec (rówowaŝ oś c wzglę dem relac przytawaa) w zborze lczb aturalych N N w:r {N N:N rmodw; r<w} w zborze lczb całowtych Z w U r Z w:r {Z Z:Z rmodw; w/ r< w/ } N N w : r w U r Z Z r rezta z dzelea (redue) lczby całowte (aturale) przez moduł w w : r Zauwa my e w N : Nw : r Zw : r Nw : r Zw : r w N 7:5 {596 } Z 7: { } N 7: {85 } Z 7: { 685 } Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
2 Podzel lczby perwze Podzel lczby w N Nmodw w N Nawę zy wpóly (po)dzel NWD (greatet commo dvor GCD) (XY)a N (a X a Y) b N: (b>a) (b X b Y) Lczby wzglę de perwze (relatvely prme): (XY). Algorytm Euldea Je l X>Y oraz w X w Y to w (X Y) w c w (XmodY). St d wya e w (Ymod(XmodY)) td. dopó rezta e et rówa. Wtedy otat podzel et NWD(XY). Xdvw loraz całowty X/w Xmodw rezta z dzelea całowtego X/w Xw Xdvw+Xmodw (X Xmodw) modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Sto Eratoteea Je l z c gu oleych lczb aturalych uuemy podzele przez (parzyte) at pe podzele przez (co trzec ) at pe podzele przez 5 (co p t po ród wzytch) etc. to w c gu pozota tylo lczby perwze. Je l a N oraz a>n/a to w c gu N oleych lczb aturalych e ma u lczb podzelych przez a (zotały wcze e wyre loe) Wzyte lczby perwze (oprócz ) eparzyte Algorytm:. Utwórz c g oleych lczb eparzytych <N. Zad w c gu perwz lczb A ró od (et a pozyc A (A+)/). W mece a de lczby c gu umezczoe a pozyc A +A wpz 4. Je el A <N powró do w przecwym raze zao cz Nameza wpóla welorotoś ć NWW (leat commo multply LCM) [X X X m ]W N : X W Z N: (Z<W) : X Z Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4
3 Fuca Eulera (ϕ(n)) lczba lczb aturalych <N wzglę de perwzych z lczb ą N tuca: co druga lczba aturala et podzela przez po ród epodzelych przez co trzeca et podzela przez po ród epodzelych przez co p ta et podzela przez 5 etc. TWIERDZENIE Je l podzelam N lczby p p p m czyl e e e p p... p m p N m to ϕ ( N ) p p pm N... p p p m DOWÓD: (przez ducę lub wyprowadzee a podtawe wyŝ e podaego woowaa tucyego) p Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 5 Małe twerdzee Fermata Nech p bę dze lczbą perwzą zaś a e et podzela przez p ((pa)). Wówcza a p modp oraz a p amodp. DOWÓD. Soro p e dzel a to a da lczba c gu a a a (p ) a ale y do e lay reztowe Z p:r ( p : a amodp). A zatem ( a)( a)( a) ((p ) a)a p (p )! (p )! modp Poewa ((p )!p) oraz (pa) w c ((a p ) (p )!p)p a zatem a p modp oraz a a p amodp. Twerdzee Eulera Woe: a p a modp Jeś l ϕ(n) et lczb lczb mezych od N wzgl de perwzych z N to oraz ( ) a ϕ N ϕ ( a N ) a mod N mod N Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 6
4 Ch e twerdzee o reztach Nech W{w w...w m : : (w w )}oraz W m w. Dla X <W reprezetaca X m : X modw w W et uatowa. DOWÓD. Załó my e Y<W Z<W Y Z: m:y Zmodw. Zatem m:w (Y Z) a poewa W[[w w w m ]] to W (Y Z). Soro eda Y Z to Y Z W co przeczy zało eu w c YZ Sytem RNS(w w w m ) Reprezetaca X modw modw m modw m : w W w baze W {...w } dla ogruec w zborze N { w /... w / } dla ogruec w zborze Z WNIOSEK: W yteme RNS(w w w m ) N m: m ± w ± w m ± m w m modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 7 Ie wła cwo c reprezetac reztowych JeŜ el rezty z dzelea lczby przez moduły wzglę de perwze ą obe rówe to ą oe rówe rezce z dzelea przez loczy tych modułów ( w w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD (pro ce) Je l Xmodw q oraz Xmodw q to (X q)modw oraz (X q)modw zatem X q w X q w d wya e X q w w zatem (X q)mod(w w ) w c Xmod(w w )q. WŁASNOŚ Ć : Je l a X oraz a w to (ax)mod(aw)a(xmodw) (ax)mod(aw)ax aw ax/aw a(x w X/w )a(x modw) Odwrotoś ć multyplatywa (multplcatve vere) w yteme RNS z mod w z mod w. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 8
5 Podzelo lczb () ale β mod w ( mod w)( β mod w) mod w w c poewa β mamy β mod( β ± ) m β mod( β ± ) ( m) β mod ( β ) β mod ( β + ) mod ( β ) ( ) mod ( β + ) reguły podzelo c przez 9 w yteme dze tym 785 mod 9 (7+8+5) mod mod (7 8+5) mod 4 Je l βa ± to β mod a ± oraz β mod a ( ± ) reguły podzelo c przez a w yteme o baze βa ± 785 mod (7+8+5) mod mod Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 9 Podzelo lczb () β / / + β )( β ) X ( β gdze β + l X warto cam cyfr po ower (β β ). Ale et β mod( β m mod( ± ) ± ) β β ( m) zatem: β mod ( β ) / X mod ( β ) β mod ( β + ) / ( ) X mod ( β + ) 45 mod 45 mod ( +) ( 45) mod ( +) 5 6 mod FF mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) mod mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8 Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
6 Oreowo rezt a mod w ± a mod w ( ± ) ore ogruec β mod w & < : β mod w półore ogruec β mod w & < : β mod w rezty pot g baz β wzgl dem modułów β ± powtarza oreowo m mod( ± ) β mod( β ± ) β β ( m) rezty pot g baz + β mod( β ± ) ( m ) β mod( β ± ) β wzgl dem modułów ( β ± β + β mod( β ± β + ) β ) powtarza oreowo: β mod( β ± β + ) m β β mod( β ± β + ) [ β ( m β )]mod( β ± β + ) ± Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Ch e twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w w...w : : (w w )} W ww... w oraz Ww. Jeś l X <W to reprezetaca X : X modw w W et uatowa przy tym gdze X X ( mod w ) modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS ˆ mod w odwrotoś ć multyplatywa w ŵ wzglę dem modułu DOWÓD (eformaly). Je l mod w et odwroto c multyplatyw ŵ to et reprezetac reztow ( mod w ) w yteme RNS(w w w m ) bo lczba ta et podzela przez wzyte w z wy tem w. Poewa rezta z umy et rówa ume rezt w c w. X et reprezetac reztow lczby X o warto c dae wyra eem w awae oraz a de lczby przyta ce do e modulo W.
7 Ch e twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w w...w : : (w w )} W ww... w oraz Ww. Jeś l X <W to reprezetaca X : X modw w W et uatowa przy tym ˆ X X ( mod w ) modw gdze w mod w odwrotoś ć multyplatywa ŵ wzglę dem modułu w. D O W Ó D. Nech p mod w. Poewa X mod w oraz W w zatem ( ( mod w ) ) modw ( p ( X mod w )) modw ( p ( X w X / w ) ) modw ( X p ) modw a podtawe zachowawczo c ogruec () X p modw ( X modw ) Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS p modw X p modw. Aby dowe prawdzwo c tezy wytarczy w c wyaza e ( p ) modw. Poewa z udowodoego wcze e lematu (.49) wya e (y) amodyd amodd amodyd za W w w... w w et loczyem lczb wzgl de perwzych w c wytarczy wyaza prawdzwo poprzeda mplac Ale. () w : ( p )mod w ( p )modw w : w / zatem w () ( p )mod w ( p )mod w ( ( mod w ))mod w. St d wya prawdzwo at pa mplac () co dowodz tezy. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4
8 Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumety zare reprezetowaych lczb loczy wzytch modułów łatwo zybo wyoaa dzała modulo łatwo ower ower odwrote moduły β β β + dobrze peła wymagaa (β β ) (β β +) oraz (β β +) (gdy β parzyte) w yteme dwóowym e l (m) to ( m ) (lczby Meree a) przy pezee dodawaa ~ proporcoale do log z lczby modułów m w ce modułów tym trudeza owera odwrota opce W{ + } W{ + } W{ <...<< ( )} Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 5 Kowera z ytemu tałobazowego a ytem RNS(β + β β ) A X { β RNS : ( a mod w )( β mod w )} mod w reguły podzelo c reguły ower z ytemu aturalego a RNS dla modułów o potac β β β +. β l a + l l A a β ( a β ) β A β l gdze A warto cam cyfr lczby A w yteme o baze β. Poewa A β zatem A mod β A mod β oraz + l l A mod( β ) { A β }mod( β ) { A }mod( β ) A mod( β + ) { A β }mod( β + ) { ( ) A }mod( β + ) Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 6
9 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy (CRT) z edy reztowe (wag) z mod z mod w w Warto c lczby X<WΠw o reprezetac... et zatem (CRT) X ( z ) modw W celu wyzaczea -te edy z wytarczy wyoa w oblcze. Mamy w w W mod w w Oblczae edye reztowych z ( mod w ): Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 7 ( ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozw zae rówaa ( ( mod w )] mod w odwrócoy algorytm Euldea zapuemy ao um weloroto c ( mod ) ( mod ) [ dv + mod ]... małe twerdzee Fermata ((pa) a p modp Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+aa ) (ap mu by parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ŵ ww ( a + ) a mod w ww ( a + )( a ) mod w ( ) w w w a( a ) w mod w ( ) ( ) ˆ ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( mod w ) mod w mod( a ) mod( a ) a / mod w mod a mod a mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + St d z ( a + ) a ( / ) z ( a + ) ( a ) z a ( a ) ( a / ) a zatem warto c lczby X o reprezetac r r r et X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 8
10 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( + ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ŵ ˆ ww ( + ) mod w ˆ ww ( + )( ) mod w ( ) ˆ ww ( ) mod w ( ) ( ) w w w oraz ch odwroto c multyplatywe mod w mod( ) mod( ) mod w mod mod mod w mod( + ) mod( + ) St d z + a ( + ) a z ( + ) ( ) z ( ) ( ) zatem warto c lczby X o reprezetac r r r et X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 9 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7) mamy X (7). Wyzaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe mod w mod w mod w mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± St d z 6 6mod4 z 4 8mod4 z mod4 zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczyw ce X (7) 7 mod 7 7 mod 7 mod. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
11 Oblczae odwroto c multyplatywych () Odwrócoy algorytm Euldea (... p ( A mod ) ( mod B ) + ( C mod D ) mod ) [ dv + mod ]... p + Jedy w yteme RNS(7) mamy W 74. Oblczymy lczby W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t zatem t oraz t czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ zatem oraz t 5 t w t ( + ) t ( t) + ˆ zatem oraz t oraz ch odwroto c multyplatywe ( w w Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS ŵ Oblczae odwroto c multyplatywych () Jedy w yteme RNS(7) małe twerdzee Fermata ( w ) mod w ( mod w ) ( ) Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( 7 ˆ 7 Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS w mod w ) ( ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7 zatem 6 mod7 mod w ( ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod zatem 4 mod ( ) mod ( mod )( mod ) mod zatem mod St d z 6 6mod4 z 4 8mod4 z mod4
12 Sytem wadratowo-reztowy QRNS arytmetya lczb zepoloych (oblczae traformaty Fourera). reprezetaca reztowa edot urooe. q mod w q mod w. problem: zalezee zboru modułów dla tórych et rozw zae rówaa q mod w. DEFINICJA Lczb r perwz wzgl dem w N ta e rówae mod w r ma rozw zae azywa rezt ą wadratow ą (quadratc redue) wzgl dem w. Je el atomat rówae mod w r e ma rozw zaa to r azywa e-rezt ą wadratow ą (quadratc oredue) wzgl dem w. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Rezty wadratowe Poewa et dołade (w) rezt ezerowych modulo w a a de rówae mod w r ma albo dwa rozw zaa eprzyta ce oraz (lub w bo mod w ( w ) mod w) albo e ma rozw zaa w c przy eparzytym w tee dołade (w)/ rezt oraz (w)/ e-rezt wadratowych. Rezty wadratowe wzgl dem w wyzaczymy rozw zu c rówae mod r metod oleych prób dla... 6 (. (w ) mod w) Zaduemy odpowedo: mod 4 mod 4 mod 4 mod 5 mod 6 mod. Zatem reztam wadratowym wzgl dem (w arytmetyce uzupełeowe): 4 4. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4
Systemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw
Kogruecje Lczby ogruete (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawaa) (N,M ): N M(modw) : NMw MNw Kogruecja relacja rówowa o c: zwrota (reflexve): N N(modw), ymetrycza (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechoda
Bardziej szczegółowoRelacje, grupy, ciała
Relace Relace, grupy, cała Relaca w zborze X podzbór produtu artezańego ρ X X ρ y Relaca rówowaŝośc (equvalece) zwrota ρ ymetrycza ρ y y ρ przechoda ρ y & y ρ z ρ z Zaada abtrac Relaca rówowaŝośc dzel
Bardziej szczegółowoSystemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw
Kongruencje Lczby ongruentne (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawana) (N,M ): N M(modw) : N Mw M Nw Kongruencja relacja równowa no c: zwrotna (reflexve): N N(modw), ymetryczna (ymmetrc): N M(modw) M
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA KOMPUTERÓW
Jau Berat, profeor adw. Poltecha Wrocława Wydał Eletro Itytut Iformaty, Automaty Roboty Załad Archtetury Komputerów ARYTMETYKA KOMPUTERÓW Wrocław p. bud. C3 7 3 396 7 3 745 - Jau.Berat@pwr.wroc.pl http://www.a.ct.pwr.wroc.pl/materaly/arytmetya
Bardziej szczegółowoX R>0 dzielenie znakowane (signed division) znak reszty = znak dzielnej R>0 dzielenie modularne (modulus division) znak reszty dodatni X D D R
} m ekwecyje dzelee całkowte Iloraz uotet rezta remader z dzelea dzelej dvded rzez dzelk dvor to lczby oraz take e rozw zaa oraz take e rzy tym oraz > dzelee zakowae ged dvo zak rezty zak dzelej > dzelee
Bardziej szczegółowo6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoInstrukcja obiegu i kontroli dokumentów powodujących skutki finansowo-gospodarcze w ZHP Spis treści
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P U c h w a ł a n r 2 1 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 2 10. 5. 2 0 1 5 r. w s p r a w i e I n s t r u
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą
W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoZ e s p ó ł d s. H A L i Z
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P P L A N P R A C Y K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j I 2 0 1 5- V I 2 0 1 6 1. C h a r a k t e r y s t y k a C h o r ą g w i C h o r ą g
Bardziej szczegółowoMADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY
MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia
Bardziej szczegółowoX i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Bardziej szczegółowoI n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p
A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l
Bardziej szczegółowoF u l l H D, I P S D, I P F u l l H D, I P 5 M P,
Z a ł» c z n i k n r 6 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w Z a m ó w i e n i a Z n a k s p r a w yg O S I R D Z P I 2 7 1 02 4 2 0 1 5 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y
Bardziej szczegółowoDzielenie. Dzielenie pozycyjne
zelene ozycyjne zelene dzelene całkowte: dzelna (dvdend), dzelnk 0 (dvor) Iloraz (uotent) rezta R (remander) z dzelena to lczby take, e R, R rozw zana (,R ) oraz (,R ) take, e R, rzy tym R R, R, R oraz
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoKrzyżanowski R. 2016. Wpływ lotnych związków orzecha włoskiego Juglans regia L. na zachowanie mszyc Panaphis juglandis (Goeze, 1778) i Chromaphis juglandicola (Kaltenbach, 1843). Wyd. UPH, Siedlce (ISBN: 978-83-7051-801-1). https://doi.org/10.13140/RG.2.2.28916.86402
ą ę Ę ę ę ę ę ę ę ę Ę ę ę Ą Ą Ą ę Ą Ą Ę ę Ą ę ę ę ą Ź Ź ń ę ć ż Ź Ź Ź Ź ń ż ź Ź ż ń ż Ź Ź ż ę ę Ź ź ą Ź Ź ą
Bardziej szczegółowon ó g, S t r o n a 2 z 1 9
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoSOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA
Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,
Bardziej szczegółowoReprezentacje grup symetrii. g s
erezentace ru ymetr Teora rerezentac dea: oeracom ymetr rzyać oeratory dzałaące w rzetrzen func zwązać z nm funce, tóre oeratory te rzerowadzaą w ebe odobne a zb. untów odcza oerac ymetr rozważmy rzeztałcene
Bardziej szczegółowoδ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Rozdział 3. Przedmiot zamówienia
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 0 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f S p r z» t a n i e i u t r z y m a n i e c z y s t o c i g d y
Bardziej szczegółowo6. K o ł a 7. M i s a
S U P 6 0 9 v. 2 0 16 G R I L L R U C H O M Y, P R O S T O K Ą T N Y, Z D O L N Ą I B O C Z N Ą P Ó Ł K Ą S U P 6 0 9 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoChorągiew Dolnośląska ZHP Honorowa Odznaka Przyjaciół Harcerstwa
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P W r o c ł a w, 3 0 k w i e t n i a 2 0 1 5 r. Z w i ą z e k H a r c e r s t w a P o l s k i e g o K o m e n d a n t C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j
Bardziej szczegółowo, , , , 0
S T E R O W N I K G R E E N M I L L A Q U A S Y S T E M 2 4 V 4 S E K C J I G B 6 9 6 4 C, 8 S E K C J I G B 6 9 6 8 C I n s t r u k c j a i n s t a l a c j i i o b s ł u g i P r z e d r o z p o c z ę
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 33 2 0 1 7 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 4 52 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e p o m i a r ó w i n s t a l a c j i e l e k t r y c
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y GC S D Z P I 2 7 1 0 1 42 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j n o r e n o w a c y j n
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoŹ Ź Ó Ł Ś Ź Ń Ż Ę Ę ź Ę Ź ĘĄ ż ź Ę Ź Ż ź Ź Ł ź Ę Ż ż Ż Ą ź ż Ż Ż ż Ź ż ć ć ć Ż ż ż Ź ż ż Ź Ź Ż ć ć Ą Ż ć Ż Ń Ó ż ć ż Ż ż Ż Ź Ż ż ż Ę ż Ź Ź Ź Ź Ź ĄĄ ź Ż Ź Ź Ź Ż Ź Ź ź Ż Ź ź ź ź Ś Ź Ę ĘĄ ż Ż Ę ż ć Ś ĄĄ Ę
Bardziej szczegółowoź Ł Ą Ę Ź Ę Ę Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ź Ą Ę Ą Ź Ę Ź Ó ć Ź Ó Ę Ź Ź ć ć Ę ć Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę ć Ć Ł Ó Ź ć ć ć Ę ć Ę Ł Ź Ź Ł ć ź ź Ę ć Ś Ą ć ć Ą ć Ś Ę Ź Ę Ź Ę ć Ó Ń Ę Ś Ę ź Ź Ę Ę Ć Ę Ń Ę Ę ć Ą Ę ć Ę ć Ę Ź Ę Ć Ę ź ć
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoź ż ć ć Ę ż ż ż ż ż ż ż ć ż ź Ę ć ż ż ż Ę ż ż ż ż ż ż ż ź ź ż ż ć ź ź ż ź ź ć ź ż ź ć ź ź ć ź Ę ź ż ź ż ć Ę ż ż ż ć ż ż ż ź ż ż ż ż ż ż ż ć ć ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ć ć ć ć ć ć Ę ż Ę ż ż
Bardziej szczegółowoŁ Ą ż ż Ś Ą ż ż Ń Ę ż Ą ż ż Ą ć Ą ż ż Ą Ń ż ż Ę ż ż ż ż ćż ż Ś Ź ż Ź ć ż ż ż ż ż ć ż ż ć ż ć ż ż Ś ż ć ż ż ż ć ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ć ż ż ż ć Ź ćż ż ć ż ż ż ż Ż Ń ż ż ż ż Ź ć ż ć ż ć ż ż ż ż ż ć ż ż ż Ź ć
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowoPROJEKT DOCELOWEJ ORGANIZACJI RUCHU DLA ZADANIA: PRZEBUDOWA UL PIASTÓW ŚLĄSKICH (OD UL. DZIERŻONIA DO UL. KOPALNIANEJ) W MYSŁOWICACH
P r o j e k t d o c e l o w e j o r g a n i z a c j i r u c h u d l a z a d a n i a : " P r z e b u d o w a u l. P i a s t ó w Śl ą s k i c h ( o d u l. D z i e r ż o n i a d o u l. K o p a l n i a n e
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoć Ę Ż ć ć ć Ż Ź
Ł ć ć Ź Ź Ą ź Ż ć Ę Ż ć ć ć Ż Ź Ź Ź Ż Ż Ń ć ć Ń Ż Ź Ż Ź Ż ć Ó Ń Ż ć Ż ć Ę ć ć Ę Ż Ź Ż Ź Ź ć Ż Ź Ź Ź Ż ć Ź Ź Ź Ź Ź Ż Ż Ę Ż ć Ę Ę Ź ć Ż Ż ĘĄ Ź Ź ć Ż Ź Ą Ż Ść Ż Ę Ź Ż Ż Ż Ź Ż Ż ć ć ć ŻŻ ć ć ć ć Ę Ż ć ć Ż
Bardziej szczegółowoń ń ń ń Ą Ź Ń ń ń Ą Ą Ą Ś Ą ń ń Ą ń Ą Ą ń ń Ą ń ń ń Ą Ą Ź ń ń Ż Ą ń Ż ń Ń ń ń ń ń ń ń ń ń ń ń Ą Ą Ą ń Ć ń ń Ą ń ń Ć ń Ź Ą ń Ź ń Ą Ą Ą Ą ń Ą Ą Ą Ó Ą Ą Ą Ą Ż ń ń Ś ń ń Ą ń Ą ń Ś Ć Ą Ą ń ń ń Ś Ą Ą ń Ą ń
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWyniki pierwszego kolokwium Podstawy Programowania / INF
1 Ab Hasan 240917 B 0,8 0,7-1,5 50% 2 Ad Tomasz 241149 A 1,0 0,9 0,8 2,7 90% 3 Al Adam 241152 A 0,8 0,5 0,5 1,8 60% 4 An Jan 241780 C 0,3 0,0-0,3 10% 5 An Jakub 241133 A 0,8 0,9 1,0 2,7 90% 6 An Kacper
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoCONNECT, STARTUP, PROMOTE YOUR IDEA
Dz ę u ę z r - T A ry. K z w ź ó ży u w USA www.. łą z sz s ł z ś F u T A ry! C yr t 2018 y Sy w Gór Wy rwsz S Fr s, 2018 Wszyst r w z strz ż. N ut ryz w r z wsz ł ś u r tu sz - w w st st z r. K w ą w
Bardziej szczegółowoNARZÊDZIA PNEUMATYCZNE
K l uc z uda ro w y 6 1 0 N m 1 /2 3 68 2, 6 k od: MA 2 4 6 0 Z est a w - k l uc z uda ro w y 36 0 N m 1 /2 260 16 4, 3 K l uc z uda ro w y 1 2 8 0 N m 1 /2 k o mpo zyt K l uc z uda ro w y 1 350 N m 1/2
Bardziej szczegółowo2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z
Bardziej szczegółowoDaniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019
Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 08/09. Tresci rozwiązanych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n
Bardziej szczegółowoĘ ę ę Łó-ź ----
-Ę- - - - - - -ę- ę- - Łó-ź -ś - - ó -ą-ę- - -ł - -ą-ę - Ń - - -Ł - - - - - -óż - - - - - - - - - - -ż - - - - - -ś - - - - ł - - - -ą-ę- - - - - - - - - - -ę - - - - - - - - - - - - - ł - - Ł -ń ł - -
Bardziej szczegółowo7. M i s a K o ł o
S U P 4 1 2 v. 2 0 16 G R I L L K O C I O Ł E K 5 R E D N I C A 4 2 c m, R U C H O M Y S U P 4 1 2 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w n i P a
Bardziej szczegółowoW. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE. Warszawa, 11 kwietnia 2013 r.
W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE W. Guzicki: Liczby pierwsze 2 Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na ich czynniki pierwsze uchodzi za najważniejszeiodużympraktycznymznaczeniuwarytmetyce...samapowaga
Bardziej szczegółowoŃ Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą
Ń Ó Ń Ń Ś Ń Ą Ń Ą Ź Ź Ą Ś Ż Ń Ć Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą Ń Ń Ź Ś ĄŃ Ż Ń Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ó Ą Ą Ś Ó Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ś Ś Ą Ń Ą Ć Ó Ą Ś Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ż Ż Ś Ń Ń Ń Ó Ó Ś Ż Ó Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoW W Y D A N I E S P E C J A L N E S z a n o w n i P a ń s t w o! Spis t reści: y d arz e ni a c z e rw c ow e w 3 P oz nani u, r. Z
M 50-r o c z n i c a P o z n a ń s k i e g o C z e r w c a 56 r. KAZIMIERA IŁŁAKOWICZÓWNA Ro z s t r z e l a n o m o j e s e r c e C h c i a ł a m o k u l t u r z e n a p i s a ć n a p r a w d ę i n t
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoq (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X W Y Z N A C Z A N I E O D K S Z T A C E T O W A R Z Y S Z Ą C Y C H H A R T O W A N I U P O W I E R Z C H N I O W Y M W I E
Bardziej szczegółowoK S I Ą Ż Ę TŻP P R U S C Y A H O H E N Z O L L E R N O W I E PWP X VŁ X I XPW.P 2 4 1
K S I Ą Ż Ę TŻ R U S C Y A 2 4 1 Ż L B R E C H T M A 2 4 2 O j c i e c- F R Y D E R Y K S TŻ R S Z Y s. W B I O G R.ŻL B R E C H TŻ M a t k a-z O F IŻJŻ G I E L L O N KŻ s. R o d z e ń s t w o-b I O G
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputerów
Arytmety Arytmety omputerów rytmety lycz rytmety rozzerzeń eończoych dopuemy bruące pozyce rytmety omputerow rytmety ogrczoego zreu wy poz zreem dmr overflow podtwowe dzł rytmetycze dodwe odemowe moŝee
Bardziej szczegółowoChorągiew Dolnośląska ZHP 1. Zarządzenia i informacje 1.1. Zarządzenia
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P W r o c ł a w, 3 0 l i s t o p a d a2 0 1 4 r. Z w i ą z e k H a r c e r s t w a P o l s k i e g o K o m e n d a n t C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e
Bardziej szczegółowoMISKOLC. ubytovací katalóg. 1 www.hellomiskolc.hu
O í O OÓW OOWY 1 www í,, ý, ľ x š, í ť, čť, š š čý ý ľ, ý, ž ž,, ý č í Uč ľ, ň ý ľ í í í žť ť š ý ž ý č ž ý ô, š ď š í O 16 -í š äčš ž? ôž ť ž čť! ý ľ x č ý ť žť šť äčší žý ý í í ď, šš, č, í, í žčíš íš
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoM G 4 2 7 v. 2 0 1 5 G R I L L P R O S T O K Ą T N Y R U C H O M Y 5 2 x 6 0 c m z p o k r y w ą M G 4 2 7 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w
Bardziej szczegółowoNIEZIEMSKIE OSIEDLE PRZY PUSZCZY
NIEZIEMSKIE OSIEDLE PRZY PUSZCZY 7 NIEBO Nieziemskie osiedle No w e Os i e d l e n i e p r z y pa d kowo n o s i n a z w ę 7 NIEBO chcemy, a b y je g o p r z y s z l i m i es z- k a ń c y c z u l i się
Bardziej szczegółowo8. N i e u W y w a ć u r z ą d z e n i a, g d y j e s t w i l g o t n e l ug b d y j e s t n a r a W o n e n a b e z p o 6 r e d n i e d z i a ł a n i
M G 4 0 1 v 4 G R I L L E L E K T R Y C Z N Y M G 4 0 1 I N S T R U K C J A M O N T A V U I B E Z P I E C Z N E G O U V Y T K O W A N I A S z a n o w n i P a s t w o, d z i ę k u j e m y z a z a k u p
Bardziej szczegółowoOpis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu
O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c
Bardziej szczegółowoBQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE
BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.
Bardziej szczegółowoP o l s k a j a k o k r a j a t a k ż e m y P o l a c y s t o i m y p r d s n s ą j a k i e j n i g d y n i e m i e l i ś m y i p e w n i e n i g d y m i e ć n i e b ę d e m y J a k o n o w i c o n k o
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowo0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O P T Y M A L I Z A C J A K O N S T R U K C J I F O R M Y W T R Y S K O W E J P O D K Ą T E M E F E K T Y W N O C I C H O D
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoGmina Wrocław Wrocław, pl. Nowy Targ 1/8 tel. (071)
IWESTOR PRZEDSTWICIEL IWESTOR G Wł - Wł T -- Wł I S O Ośę - Wł T + u F + E u@ JEDOSTK PROJEKTOW IIPROGEO PROJJEKT SS - Wł u u -- x -: @ ZW ZDI TEMT OPRCOWI Z S Tu S Włu - I : Z u łą ż u L- O Gu EURO Kó
Bardziej szczegółowo1 Wynagrodzenie Wykonawcy zostanie podzielone na równe raty płatne cykliczne za okresy 2 tygodniowe w. okresie obowiązywania umowy.
W Z Ó R U M O W Y N r :: k J Bk 2 0 1 5 Z a ł» c z n i k n r 4 A z a w a r t a w G d y n i d n i a :::::: 2 0 1 5 r o k u p o m i d z y G d y s k i m C e n t r u m S p o r t u j e d n o s t k» b u d e
Bardziej szczegółowo