Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,"

Transkrypt

1 Teoria liczb Magdalena Lemańska

2 Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson

3 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych.

4 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych. Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych.

5 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych. Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre a Fermata ( ), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Do dwudziestego wieku powszechną była opinia, że teoria ta nie ma żadnego zastosowania. Jednak dzięki wielkiemu rozwojowi kryptografii- nauki zajmującej się układaniem i łamaniem szyfrów- pogląd ten musiał zostać zweryfikowany.

6 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika.

7 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika. Podobnie możemy postąpić dla dowolnych liczb a i b, pod warunkiem, że b 0.

8 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika. Podobnie możemy postąpić dla dowolnych liczb a i b, pod warunkiem, że b 0. Twierdzenie Dla dowolnych liczb naturalnych a oraz b > 0 istnieje dokładnie jedna para liczb naturalnych p i q, spełniających warunki: 1 a = b q + r; 2 0 r < b. Liczba q nazywa się ilorazem całkowitoliczbowym a przez b, a r nazywa się resztą z dzielenia.

9 Zauważmy, że iloraz q jest zaokrągleniem w dół normalnego ilorazu: q = a. Resztę b z dzielenia a przez b będziemy oznaczać: a (mod b).

10 Zauważmy, że iloraz q jest zaokrągleniem w dół normalnego ilorazu: q = a. Resztę b z dzielenia a przez b będziemy oznaczać: a (mod b). Przykład 22 (mod 4) = 2, ponieważ 22 = oraz 0 2 < 4.

11 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z.

12 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z. Będziemy to oznaczać przez a b. Zauważmy, że zachodzi wtedy b (mod a) = 0. Liczbę a nazywamy dzielnikiem liczby b.

13 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z. Będziemy to oznaczać przez a b. Zauważmy, że zachodzi wtedy b (mod a) = 0. Liczbę a nazywamy dzielnikiem liczby b. Obserwacja Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c zachodzi: jeśli a b, to a b c, jeśli a b i b c, to a c, jeśli a b i a c, to a (b + c).

14 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m).

15 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3).

16 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3). Jeśli a, b są dodatnie, to a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a i b mają takie same reszty z dzielenia przez m.

17 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3). Jeśli a, b są dodatnie, to a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a i b mają takie same reszty z dzielenia przez m. Lemat Relacja przystawania jest relacją równoważności, czyli spełnia następujące trzy warunki: 1 zwrotność, czyli dla każdego a zachodzi a a (mod m), 2 symetrię, czyli dla każdego a, b, jeżeli a b (mod m), to b a (mod m), 3 przechodniość, czyli dla każdego a, b, c, jeżeli a b (mod m) oraz b c (mod m), to a c (mod m).

18 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m).

19 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m). Dla relacji przystawania modulo m definiujemy klasy abstrakcji. Dla dowolnej liczby całkowitej x, klasę abstrakcji elementu x definiujemy w następujący sposób: [x] = {y y x (mod m)}.

20 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m). Dla relacji przystawania modulo m definiujemy klasy abstrakcji. Dla dowolnej liczby całkowitej x, klasę abstrakcji elementu x definiujemy w następujący sposób: [x] = {y y x (mod m)}. Przykład Dla m = 3 mamy trzy klasy abstrakcji: [0] = {3k k Z} = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...} [1] = {3k + 1 k Z} = {..., 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10,...} [2] = {3k + 2 k Z} = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,...}.

21 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się.

22 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y].

23 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y]. Następna ważna własność klas abstrakcji to ich rozłączność.

24 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y]. Następna ważna własność klas abstrakcji to ich rozłączność. Lemat Jeżeli [x] [y], to [x] = [y], inaczej, dwie klasy abstrakcji [x] i [y] są albo identyczne albo rozłączne.

25 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1].

26 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m.

27 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m. Pierścień Z 5 Rozważmy zbiór reszt modulo 5. Składa się on z pięciu klas: [0], [1], [2], [3], [4]; dla prostoty dalej będziemy opuszczać nawiasy. Mamy więc zbiór Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, dodawanie i mnożenie w tym pierścieniu można ująć w tabelach.

28 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m. Pierścień Z 5 Rozważmy zbiór reszt modulo 5. Składa się on z pięciu klas: [0], [1], [2], [3], [4]; dla prostoty dalej będziemy opuszczać nawiasy. Mamy więc zbiór Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, dodawanie i mnożenie w tym pierścieniu można ująć w tabelach. Pierścień Z 5 Zauważmy, że każdy element oprócz zera ma w tym pierścieniu element odwrotny względem mnożenia, czyli dla każdego x Z 5 {0} istnieje x 1 taki, że x x 1 = 1; 1 1 = 1, 2 1 = 3, 3 1 = 2, 4 1 = 4.

29 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach.

30 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0.

31 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0. Pierścień Z m Zauważmy, że jeżeli liczba m jest złożona, m = p q dla 1 < p, q < m, to w pierścieniu Z m mamy p q = 0 i ani p ani q nie mają elementów odwrotnych.

32 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0. Pierścień Z m Zauważmy, że jeżeli liczba m jest złożona, m = p q dla 1 < p, q < m, to w pierścieniu Z m mamy p q = 0 i ani p ani q nie mają elementów odwrotnych. Pierścień Z m Przypuśćmy, że istnieje p 1. Mamy wtedy 0 = P 1 0 = p 1 (p q) = (p 1 p) q = 1 q = q, czyli q = 0, sprzeczność.

33 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4.

34 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa.

35 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa. Algorytm Euklidesa: Aby obliczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych a, b, powtarzamy aż do skutku:

36 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa. Algorytm Euklidesa: Aby obliczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych a, b, powtarzamy aż do skutku: Algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa: dopóki a b 0, wykonuj: jeżeli a b, to a := a (mod b), w przeciwnym wypadku b := b (mod a). NWD(a, b) = a + b.

37 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a).

38 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a). Ćwiczenie Przećwiczyć działanie algorytmu na liczbach 36 i 15.

39 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a). Ćwiczenie Przećwiczyć działanie algorytmu na liczbach 36 i 15. Algorytm Euklidesa można tak zmodyfikować, by oprócz największego wspólnego dzielnika NWD(a, b) wyliczał także liczby x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

40 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b.

41 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

42 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

43 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1.

44 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a.

45 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a. NWD(a, b) := a + b

46 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a. NWD(a, b) := a + b Jeżeli a > 0, to x := x a, y := y a; jeżeli b > 0, to x := x b, y := y b.

47 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p.

48 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

49 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m.

50 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

51 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie Każdą liczbę naturalną n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (niekoniecznie różnych): n = p 1 p 2... p r.

52 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie Każdą liczbę naturalną n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (niekoniecznie różnych): n = p 1 p 2... p r. Lemat Euklidesa Jeżeli n ab i NWD(a, n) = 1, to n b.

53 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem.

54 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita

55 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone.

56 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj:

57 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj: weź pierwszą nieskreśloną liczbę p z listy i dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych. Później skreśl liczbę p z listy i skreśl wszystkie wielokrotności liczby p, które są jeszcze na liście.

58 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj: weź pierwszą nieskreśloną liczbę p z listy i dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych. Później skreśl liczbę p z listy i skreśl wszystkie wielokrotności liczby p, które są jeszcze na liście. Wszystkie pozostałe, nieskreślone liczby z listy dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych.

59 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1.

60 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1.

61 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}.

62 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}. Lemat Jeżeli liczba m jest pierwsza, to każdy element a Z m, a 0 jest odwracalny w Z m.

63 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}. Lemat Jeżeli liczba m jest pierwsza, to każdy element a Z m, a 0 jest odwracalny w Z m. Lemat Jeśli a, b Z m, to a b Z m oraz a 1 Z m.

64 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b.

65 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m).

66 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m). a 1 jest taką liczbą y, że a y 1 (mod m).

67 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m). a 1 jest taką liczbą y, że a y 1 (mod m). Przykład Rozwiązać równanie 2 x 101 (mod 637).

68 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1.

69 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}.

70 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n).

71 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n). Twierdzenie Eulera Jeżeli m, a Z + są liczbami względnie pierwszymi, to a Φ(m) 1 (mod m).

72 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n). Twierdzenie Eulera Jeżeli m, a Z + są liczbami względnie pierwszymi, to a Φ(m) 1 (mod m). Przykład Za pomocą twierdzenia Eulera obliczyć (mod 23).

73 Twierdzenie chińskie o resztach Skąd ta nazwa? w starożytnych Chinach generałowie używali pewnego ciekawego sposobu liczenia swoich żołnierzy.

74 Twierdzenie chińskie o resztach Skąd ta nazwa? w starożytnych Chinach generałowie używali pewnego ciekawego sposobu liczenia swoich żołnierzy. Żołnierze

75 Twierdzenie chińskie o resztach Dla kilku niewielkich liczb, na przykład 3, 5, 7 obliczano i zapamiętywano reszty z dzielenia liczby żołnierzy przez te liczby.

76 Twierdzenie chińskie o resztach Dla kilku niewielkich liczb, na przykład 3, 5, 7 obliczano i zapamiętywano reszty z dzielenia liczby żołnierzy przez te liczby. Żołnierze W celu obliczenia reszt, kazano żołnierzom ustawiać się trójkami...

77 Twierdzenie chińskie o resztach piątkami...

78 Twierdzenie chińskie o resztach piątkami i siódemkami.

79 Jeśli przy następnym apelu wszystkie trzy reszty były takie same, to znaczyło, że nie brakuje żadnego żołnierza.

80 Jeśli przy następnym apelu wszystkie trzy reszty były takie same, to znaczyło, że nie brakuje żadnego żołnierza. Wybrane liczby muszą być względnie pierwsze.

81 Twierdzenie chińskie o resztach. Niech m 1,..., m r będą dodatnimi liczbami względnie pierwszymi, to znaczy dla każdej pary 1 i < j r mamy NWD(m i, m j ) = 1 oraz niech a 1,..., a r będą dowolnymi resztami. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba naturalna 1 a m 1 m 2... m n taka, że a 1 a (mod m 1 ) a 2 a (mod m 2 )... a r a (mod m r )

82 Twierdzenie chińskie o resztach. Niech m 1,..., m r będą dodatnimi liczbami względnie pierwszymi, to znaczy dla każdej pary 1 i < j r mamy NWD(m i, m j ) = 1 oraz niech a 1,..., a r będą dowolnymi resztami. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba naturalna 1 a m 1 m 2... m n taka, że a 1 a (mod m 1 ) a 2 a (mod m 2 )... a r a (mod m r ) Przykład Rozwiąż układ kongruencji: 3 a (mod 5) 5 a (mod 6).

83 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L =

84 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L = Niech p, q- liczby względnie pierwsze, r = p q, L (0, r). Niech s- liczba naturalna taka, że NWD(s, p 1) = 1 oraz NWD(s, q 1) = 1.

85 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L = Niech p, q- liczby względnie pierwsze, r = p q, L (0, r). Niech s- liczba naturalna taka, że NWD(s, p 1) = 1 oraz NWD(s, q 1) = 1. Kod C liczby naturalnej L obliczamy według wzoru: C L s (mod r).

86 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1.

87 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)).

88 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q).

89 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q). L otrzymamy, rozwiązując układ równań L C a (mod p), L C a (mod q).

90 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q). L otrzymamy, rozwiązując układ równań L C a (mod p), L C a (mod q). Przykład Dla p = 13, q = 17, s = 5 zakodować AB.

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup. Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 marca 2004 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 marca 2004 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 marca 2004 roku Rozdział 1 Teoria liczb 1.1 Dzielenie całkowitoliczbowe Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy

Bardziej szczegółowo

Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) WZAiP1: Chińskie twierdzenie o resztach

Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) WZAiP1: Chińskie twierdzenie o resztach Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) Chińskie twierdzenie o resztach Wybrane zagadnienia algorytmiki i programowania I 27 października 2010 Największy wspólny dzielnik - definicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/15 Podzielność Niech liczba całkowita p>0. Dla każdej liczby całkowitej a mówimy, że a jest podzielne przez p (p jest dzielnikiem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/15 Liczby pierwsze Ze wstępu do ksiązki E. Gracjana: liczby pierwsze to niesforna zgraja. Pojawiają się tam gdzie chcą, bez ostrzeżenia,

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś  Wykład 6a Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 6a Spis treści 10 Trochę matematyki (c.d.) 3 10.19 Reszty kwadratowe w Z p.............. 3 10.20

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001 Algorytm Euklidesa Danymi są dwie nieujemne liczby całkowite m i n. Liczba k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n, jeśli dzieli m oraz n i jest największą liczbą o tej własności - oznaczamy ją przez

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

Paweł Gładki. Algebra.  pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich

Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker (1823-1891) Liczby

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2013 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Równania diofantyczne

Równania diofantyczne Równania diofantyczne Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 0.92

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 0.92 Jacek Nowicki Wersja 0.92 Wprowadzenie do liczb pierwszych Wiele liczb naturalnych daje się rozłożyć na czynniki mniejsze np. 10=5*2 lub 111=3*37. Jednak istnieją liczby, które nie mogą być rozłożone w

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne Definicja 1 Każda arytmetyczna, to funkcja f(n, n N, przyporządkowująca N C, (R. Na przykład: f(n = n. Definicja 2: Funkcję arytmetyczną f : N f(n R nazywamy multyplikatywną, jeżeli m,n N, m n mamy f(mn

Bardziej szczegółowo

Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... 9

Spis treści. Przedmowa... 9 Spis treści Przedmowa... 9 1. Algorytmy podstawowe... 13 1.1. Uwagi wstępne... 13 1.2. Dzielenie liczb całkowitych... 13 1.3. Algorytm Euklidesa... 20 1.4. Najmniejsza wspólna wielokrotność... 23 1.5.

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Jednoznaczność dzielenia. Jednoznaczność dzielenia

Jednoznaczność dzielenia. Jednoznaczność dzielenia Jednoznaczność dzielenia MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k k iloraz

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna

Ćwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna Ćwiczenia z teoria licz, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna Przypomnienie: Mówimy a (a jest względnie pierwsze z ) jeśli NW D(a, ) = 1. (Zero jest podzielne przez każdą liczę naturalną, więc

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,

Bardziej szczegółowo

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski. Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa

Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski. Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa Piotr Chrząstowski-Wachtel Uniwersytet Warszawski Al Chwarizmi i trzy algorytmy Euklidesa Algorytmika Najważniejsza część informatyki Opisuje jak rozwiązywać problemy algorytmiczne, jakie struktury danych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna

Bardziej szczegółowo