Relacje, grupy, ciała

Transkrypt

1 Relace Relace, grupy, cała Relaca w zborze X podzbór produtu artezańego ρ X X ρ y Relaca rówowaŝośc (equvalece) zwrota ρ ymetrycza ρ y y ρ przechoda ρ y & y ρ z ρ z Zaada abtrac Relaca rówowaŝośc dzel zbór a rozłącze lay abtrac X : ρ } DOWÓD: { X UX tae, Ŝe X X Φ X X. ρ X X UX ale X X UX X X UX.. Nech X X X ρ ρ. Z druge troy ρ X X X oraz ρ X X X X X. Nech z X X ρ z & ρ z ρ X X Jauz Berat,, 6 ltopada RGC Sytem algebraczy Relace, grupy, cała grupa aprotzy ytem algebraczy zbór z edym dzałaem perśceń zbór z dwoma dzałaam częścowo powązaym cało zbór z dwoma dzałaam powązaym Grupa Grupa zbór z dzałaem w m zamętym łączym, zaweraący elemet przecwy do aŝdego oraz elemet eutraly. a,b G a b G. a,b,c G (a b) ca (b c) G. e G:a e e a G 4. a G a G: a a a ae G Grupa przemea (abelowa) grupa z dzałaem przemeym 5. a,b G a bb a G dodawae elemet eutraly zero moŝee elemet eutraly edość Jauz Berat,, 6 ltopada RGC

2 Cało Relace, grupy, cała Cało (ag. feld) zbór z dwoma dzałaam ta, Ŝe et grupą ze względu a perwze dzałae ( dodawae ) bez elemetu et grupą ze względu a druge dzałae ( moŝee ) dzałae dodawae et rozdzele względem dzałaa moŝee K G,,, G{g,g,g, } zbór G z dwoma dzałaam,. a,b G:a b G. a,b,c G:(a b) ca (b c) G. G: a G: a a G 4. a G: a G:a a a a G 5. a,b G:a bb a G 6. a,b G:a b G 7. a,b,c G:(a b) ca (b c) G 8. G: a G:a ee a G 9. a G { }: a G:a a a a G. a,b G:a bb a G. a,b,c G:(a b) ca c b c G Jauz Berat,, 6 ltopada RGC Cało Galo (Galo Feld, GF) zbór ończoy GF(p) z dzałaam przemeym: dodawae modulo p moŝee modulo p Prote (perwote) cało Galo (prme GF) Relace, grupy, cała GF(p) {,,,,p},,, p (p et lczbą perwzą) Rozzerzoe cało Galo (eteo GF) (rozzerzee GF) GF(qp m ) {,,,,q},,, p GF(p m ) {,,,,p} m },,, p GF(p m ) {,,α,α,, α p m },,, p Rząd multyplatywy elemetu β GF(p m ) aŝza potęga taa, Ŝe β Jauz Berat,, 6 ltopada RGC 4

3 Kogruece Lczby ogruete (przytaące) modulo w N (w moduł przytawaa) w zborze lczb aturalych N (N,M N): N Mmodw N: N Mw M Nw w zborze lczb całowtych Z (N,M Z): N Mmodw Z: N Mw Kogrueca relaca rówowaŝośc: zwrota (refleve): N Nmodw, ymetrycza (ymmetrc): N Mmodw M Nmodw, przechoda (tratve): N Mmodw&M Pmodw N Pmodw. zachowawcza (dfferet) wobec dodawaa, odemowaa moŝea N Mmodw Q Pmodw (N±Q) (M±P)modw, N Mmodw Q Pmodw N Q M Pmodw. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS Klay ogruec Klay ogruec (rówowaŝośc względem relac przytawaa) w zborze lczb aturalych N N w:r {N N:N rmodw; r<w}, w zborze lczb całowtych Z w U r Z w:r {Z Z:Z rmodw; w/ r< w/ }, N N w : r w U r Z Z r rezta z dzelea (redue) lczby całowte (aturale) przez moduł w w : r ZauwaŜmy, Ŝe w N : Nw : r Zw : r Nw : r Zw : r w N 7:5 {5,,9,6, } Z 7: {, 9,,5,,9,6, } N 7: {,8,5,, } Z 7: {,, 6,,8,5,, } Jauz Berat,, 6 ltopada RNS

4 Podzel lczby perwze Podzel lczby w N Nmodw, w N Nawęzy wpóly (po)dzel NWD (greatet commo dvor, GCD) (X,Y)a N (a X a Y) b N: (b>a) (b X b Y) Lczby względe perwze (relatvely prme): (X,Y). Algorytm Euldea Jeśl X>Y oraz w X w Y, to w (X Y) węc w (XmodY). Stąd wya, Ŝe w (Ymod(XmodY)) td., dopó rezta e et rówa. Wtedy otat podzel et NWD(X,Y). Xdvw loraz całowty X/w Xmodw rezta z dzelea całowtego X/w Xw Xdvw+Xmodw (X Xmodw) modw Jauz Berat,, 6 ltopada RNS Sto Eratoteea Jeśl z cągu oleych lczb aturalych uuemy podzele przez (parzyte), atępe podzele przez (co trzecą), atępe podzele przez 5 (co pątą pośród wzytch) etc., to w cągu pozotaą tylo lczby perwze. Jeśl a N oraz a>n/a, to w cągu N oleych lczb aturalych e ma uŝ lczb podzelych przez a (zotały wcześe wyreśloe) Wzyte lczby perwze (oprócz ) ą eparzyte Algorytm:. Utwórz cąg oleych lczb eparzytych <N. Zadź w cągu perwzą lczbę A róŝą od (et a pozyc A (A+)/). W mece aŝde lczby cągu umezczoe a pozyc A + A wpz 4. JeŜel A <N Nameza wpóla welorotość NWW (leat commo multply, LCM) [X, X,, X m ]W N : X W Z N: (Z<W) : X Z Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 4

5 Fuca Eulera (ϕ(n)) lczba lczb aturalych <N względe perwzych z lczbą N tuca: co druga lczba aturala et podzela przez, pośród epodzelych przez co trzeca et podzela przez, pośród epodzelych przez co pąta et podzela przez 5 etc., TWIERDZENIE Jeśl podzelam N ą lczby p, p,, p m, czyl m e e e p p... p, p Ρ, N m to ϕ ( N ) p p pm..., p p p N p m Ρ DOWÓD: (przez ducę lub wyprowadzee a podtawe wyŝe podaego woowaa tucyego) Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 5 Małe twerdzee Fermata Nech p będze lczbą perwzą zaś a e et podzela przez p ((p,a)). Wówcza a p modp oraz a p amodp. DOWÓD. Soro p e dzel a, to aŝda lczba cągu a, a, a,,(p ) a aleŝy do e lay reztowe Z p:r ( p : a amodp). A zatem ( a)( a)( a) ((p ) a)a p (p )! (p )! modp PoewaŜ ((p )!,p) oraz (p,a), węc ((a p ) (p )!,p)p, a zatem a p modp oraz a a p amodp. Woe: a p a modp Twerdzee Eulera Jeśl ϕ(n) et lczbą lczb mezych od N względe perwzych z N, to oraz ( ) a ϕ N ϕ ( a N ) a mod N mod N Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 6

6 Chńe twerdzee o reztach Nech W{w,w,...,w m : : (w,w )}oraz W m w. Dla X <W reprezetaca X,,, m : X modw, w W et uatowa. DOWÓD. ZałóŜmy, Ŝe Y<W, Z<W, Y Z: m:y Zmodw. Zatem m:w (Y Z), a poewaŝ W[[w,w,,w m ]], to W (Y Z). Soro eda Y Z, to Y Z W, co przeczy załoŝeu, węc YZ Sytem RNS(w,w,,w m ) Reprezetaca X modw, modw,, m modw m : w W w baze W {,,...,w } dla ogruec w zborze N, { w /,,,,,..., w / } dla ogruec w zborze Z WNIOSEK: W yteme RNS(w,w,,w m ), N, m:,,, m ± w, ± w,, m ± m w m modw Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 7 Ie właścwośc reprezetac reztowych JeŜel rezty z dzelea lczby przez moduły względe perwze ą obe rówe, to ą oe rówe rezce z dzelea przez loczy tych modułów ( w, w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD (prośce) Jeśl Xmodw q oraz Xmodw q, to (X q)modw oraz (X q)modw zatem X q w X q w ąd wya, Ŝe X q w w, zatem (X q)mod(w w ), węc Xmod(w w )q. WŁASNOŚĆ: Jeśl a X oraz a w, to (ax)mod(aw)a(xmodw) (ax)mod(aw)ax aw ax/aw a(x w X/w )a(x modw) Odwrotość multyplatywa (multplcatve vere) w yteme RNS z mod w z mod w. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 8

7 Podzelość lczb () ale β mod w ( mod w)( β mod w) mod w, węc, poewaŝ β, mamy β mod( β ± ) m β mod( β ± ) ( m), β mod ( β ) β mod ( β + ) mod ( β ) Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 9 ( ) mod ( β + ) reguły podzelośc przez 9 w yteme dzeętym 785 mod 9 (7+8+5) mod 9, 785 mod (7 8+5) mod 4 Jeśl βa ±, to β mod a ± oraz β mod a ( ± ) reguły podzelośc przez a w yteme o baze βa ± 785 mod (7+8+5) mod mod Podzelość lczb () β / / + β )( β ) X ( β, gdze β + l X ą wartoścam cyfr po ower (β β ). Ale et β mod( β ± ) β m β mod( ± ) ( m), zatem: β mod ( β ) / X mod ( β ) β mod ( β + ) / ( ) X mod ( β + ) 45 mod 45 mod ( +) ( 45) mod ( +) 5 6 mod FF mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) mod mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8 Jauz Berat,, 6 ltopada RNS

8 Oreowość rezt mod ± ± a w a mod w ( ) ore ogruec β mod w & < : β mod w półore ogruec β mod w & < : β mod w rezty potęg baz β względem modułów β ± powtarzaą ę oreowo β mod( β ± ) β mod( β m ± ) ( m) + β mod( β ± ) ( m ) β mod( β ± ) rezty potęg baz β względem modułów ( β ± β + ) powtarzaą ę oreowo: β mod( β ± β + ) β β mod( β ± β + ) m β β mod( β ± β + ) [ β ( m β )]mod( β ± β + ) ± Jauz Berat,, 6 ltopada RNS Chńe twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w,w,...,w : : (w,w )}, W ww... w oraz Ww. Jeśl X <W, to reprezetaca X,,, : X modw,w W et uatowa, przy tym gdze X X ( ˆ mod w odwrotość multyplatywa w mod w ) modw ŵ względem modułu DOWÓD (eformaly). Jeśl mod w et odwrotoścą multyplatywą ŵ, to,,,,,, et reprezetacą reztową ( mod w ) w yteme RNS(w,w,,w m ), bo lczba ta et podzela przez wzyte w z wyątem w. PoewaŜ rezta z umy et rówa ume rezt, węc w. X,,,,,,, +,,,, + +,,,, et reprezetacą reztową lczby X o wartośc dae wyraŝeem w awae oraz aŝde lczby przytaące do e modulo W. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS

9 Chńe twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w,w,...,w : : (w,w )}, W ww... w oraz Ww. Jeśl X <W, to reprezetaca X,,, : X modw,w W et uatowa, przy tym ˆ X X ( mod w ) modw gdze w mod w odwrotość multyplatywa ŵ względem modułu w. D O W Ó D. Nech p mod w. PoewaŜ X mod w oraz W w, zatem ( ( mod w ) ) modw ( p ( X mod w )) modw ( p ( X w X / w ) ) modw ( X p ) modw, a podtawe zachowawczośc ogruec () X p modw ( X modw ) p modw X p modw. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS Aby doweść prawdzwośc tezy wytarczy węc wyazać, Ŝe ( p ) modw. PoewaŜ z udowodoego wcześe lematu (.49) wya, Ŝe (,y) amodyd amodd amodyd, zaś W w w... w w et loczyem lczb względe perwzych, węc wytarczy wyazać prawdzwość poprzeda mplac Ale. () w : ( p )mod w ( p )modw w : w /, zatem w () ( p )mod w ( p )mod w ( ( mod w ))mod w. Stąd wya prawdzwość atępa mplac (), co dowodz tezy. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 4

10 Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumety zare reprezetowaych lczb loczy wzytch modułów łatwość zybość wyoaa dzałań modulo łatwość ower ower odwrote moduły β, β, β + dobrze pełaą wymagaa (β, β ), (β, β +) oraz (β, β +) (gdy β parzyte) w yteme dwóowym eśl (,m), to (, m ) (lczby Meree a) przyśpezee dodawaa ~ proporcoale do log z lczby modułów m węce modułów tym trudeza owera odwrota opce W{ +,, } W{ +,,, } W{,,,,, <...<<, (,,,)} Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 5 Kowera z ytemu tałobazowego a ytem RNS(β +, β, β ) A X { β RNS : ( a mod w )( β mod w )} mod w reguły podzelośc reguły ower z ytemu aturalego a RNS, dla modułów o potac β, β β +. β l a + l l A a β ( a β ) β A β, l gdze A ą wartoścam cyfr lczby A w yteme o baze β. PoewaŜ A β, zatem A mod β A mod β oraz + l l A mod( β ) { A β }mod( β ) { A }mod( β ) A mod( β + ) { A β }mod( β + ) { ( ) A }mod( β + ) Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 6

11 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy (CRT) z,,,, edy reztowe (wag), z mod z mod w w Wartoścą lczby X<WΠw o reprezetac,..., et zatem (CRT), X ( z ) modw, W celu wyzaczea -te edy z wytarczy wyoać w oblczeń. Mamy,...,,..., w w W, mod w w, Oblczae edye reztowych z ( mod w ): Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 7 ( ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozwązae rówaa ( ( mod w )] mod w odwrócoy algorytm Euldea zapuemy ao umę welorotośc ( mod) ( mod ) [ dv + mod ]... małe twerdzee Fermata ((p,a) a p modp Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+,a,a ) (ap mu być parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ŵ ww ( a + ) a, mod w ww ( a + )( a ), mod w ( ) w w w a( a ), w mod w ( ) ( ) ˆ ˆ oraz ch odwrotośc multyplatywe ( mod w ) mod w mod( a ) mod( a ) a /, mod w mod a mod a mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + Stąd z ( a + ) a ( / ), z ( a + ) ( a ), z a ( a ) ( a / ), a zatem wartoścą lczby X o reprezetac r,r,r et X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 8

12 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( +,, ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ŵ ˆ ww ( + ), mod w ˆ ww ( + )( ) mod w ( ) ˆ ww ( ) mod w ( ) ( ) w w, w, oraz ch odwrotośc multyplatywe mod w mod( ) mod( ) mod w mod mod mod w mod( + ) mod( + ) Stąd z +, a ( + ) a, z ( + ) ( ), z ( ) ( ), zatem wartoścą lczby X o reprezetac r,r,r et X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 9 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7,,) mamy X (7,,),,. Wyzaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6, mod w 6mod7 W / w 4, mod w mod W / w, mod w oraz ch odwrotośc multyplatywe mod w mod w mod w, mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± Stąd z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczywśce X (7,,) 7 mod 7, 7 mod, 7 mod,,. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS

13 Oblczae odwrotośc multyplatywych () Odwrócoy algorytm Euldea (... p ( A mod) ( mod B ) + ( C mod ) [ dv + mod ]... mod D ) p + Jedy w yteme RNS(7,,) mamy W 7 4. Oblczymy lczby W / w 6, mod w 6mod7 W / w 4, mod w mod w W / w, w mod w ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t, zatem t oraz t, czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ, zatem oraz t 5 t w t ( + ) t ( t) + ˆ zatem oraz t oraz ch odwrotośc multyplatywe ( w w Jauz Berat,, 6 ltopada RNS ŵ, Oblczae odwrotośc multyplatywych () Jedy w yteme RNS(7,,) małe twerdzee Fermata ( w ) mod w ( mod w ) ( ) Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6, mod w 6mod7 W / w 4, mod w mod w W / w, w mod w ˆ oraz ch odwrotośc multyplatywe ( 7 ˆ 7 w mod w ) ( ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7, zatem 6 mod7 mod w ( ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod, zatem 4 mod ( ) mod ( mod )( mod) mod, zatem mod Stąd z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, Jauz Berat,, 6 ltopada RNS

14 Sytem wadratowo-reztowy QRNS arytmetya lczb zepoloych (oblczae traformaty Fourera). reprezetaca reztowa edot urooe. q mod w, q mod w. problem: zalezee zboru modułów, dla tórych et rozwązae rówaa q mod w. DEFINICJA Lczbę r, perwzą względem w N taą Ŝe rówae mod w r ma rozwązae, azywa ę reztą wadratową (quadratc redue) względem w. JeŜel atomat rówae mod w r e ma rozwązaa, to r azywa ę e-reztą wadratową (quadratc oredue) względem w. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS Rezty wadratowe PoewaŜ et dołade (w) rezt ezerowych modulo w, a aŝde rówae mod w r ma albo dwa rozwązaa eprzytaące oraz (lub w, bo mod w ( w ) mod w), albo e ma rozwązaa, węc przy eparzytym w tee dołade (w)/ rezt oraz (w)/ e-rezt wadratowych. Rezty wadratowe względem w wyzaczymy rozwązuąc rówae mod r metodą oleych prób dla,,..., 6 (. (w ) mod w) Zaduemy odpowedo: mod, 4 mod, 4 mod, 4 mod, 5 mod, 6 mod. Zatem reztam wadratowym względem ą (w arytmetyce uzupełeowe): 4,,,,, 4. Jauz Berat,, 6 ltopada RNS 4