Daniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019

Transkrypt

1 Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 08/09. Tresci rozwiązanych przez stypendystkę ćwiczeń pochodzą z publikacji Co to jest matematyka? R. Courant, H.Robins, gdzie pozostawiono je jako ćwiczenie dla dociekliwych studentów I roku matematyki lub kierunków pokrewnych. Praca wykonana pod kierunkiem mgr Adrianny Żołnierczuk. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

2 Część I Liczby naturalne. Rachowanie liczbami naturalnymi Ćwiczenia strona 7 Zadanie. Sporządzić tabliczki dodawania i mnożenia dla systemu dwunastkowego. Przerobić kilka przykładów na mnożenie A B A B A A A B B A A A A B B A A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

3 A B B 3 3 B B + 7 B 9 6 B B Zadanie. Przedstawić liczby trzydzieści i sto trzydzieści trzy w systemach o podstawach 5, 7,, 30 : 5 = 6 reszta 0 30 : 7 = 4 reszta 30 : = 3 reszta 7 30 : = reszta 6 6 : 5 = reszta 4 : 7 = 0reszta 4 3 : = 0 reszta 3 : = 0 reszta : 5 = 0 reszta 33 : 5 = 6 reszta 3 33 : 7 = 9 reszta 0 33 : = reszta 33 : = reszta 6 : 5 = 5 reszta 9 : 7 = reszta 5 : = reszta : = 0 reszta 5 : 5 = reszta 0 : 7 = 0 reszta : = 0 reszta : 5 = 0 reszta system o podstawie liczba w tym systemie liczba w tym systemie B Zadanie 3. Co oznaczają w systemach o podstawach 5, 7,, symbole i? system o podstawie co oznacza liczba co oznacza liczba Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 3

4 Zadanie 4. Sporządzić tabliczki mnożenia i dodawania dla podstaw 5,, A B C A B C A C B C 5 8 B 4 7 A C 3 7 B 6 A A 7 C B C 5 B 4 A A 44 4B 55 5C B C A A B C A A B C B B C 6A C C B A A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C B C A C A B Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 4

5 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 5

6 Ćwiczenie strona 8 Rozważmy zagadnienie opisu liczb naturalnych przy podstawie a. Dla nazwania liczb naturalnych w tym systemie musimy mieć słowa dla cyfr 0,,..., a oraz dla wszystkich potęg podstawy a: a, a, a 3,...Ile różnych liczebników potrzeba dla nazwania liczb od zera do tysiąca przy a =, 3,..., 5? Jaka podstawa wymaga najmniej liczebników? podstawa liczby od 0 do a < 000potęgi a razem Najmniej liczebników (8) wymaga podstawa 4. Nieskończoność zbioru liczb naturalnych. Indukcja matematyczna Ćwiczenie strona 35 Udowodnij przez indukcję matematyczną, że: n 3 = ( n(n + ) ).. Dla n= jest 3 = ( ).. Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość n 3 = ( n(n+) ), wtedy jest n 3 + (n + ) 3 = ( n(n+) ) + (n + ) 3 = n (n+) + (n + ) 3 = 4 (n+) (n +4(n+)) = (n+) (n +4n+4) = (n+) (n+) = ( (n+)(n+) ) Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n +.. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 6

7 Ćwiczenie strona 38 Wykazać metodą indukcji matamatycznej, że ( ) n = i n! i!(n i!).. Dla n = jest = ( ) i =! =. i!( i!). Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość ( n ( ) ( ) ( n+ i = n i + n i n! ( + (i )!(n i)! i ) = n! ) i = n! wtedy jest i!(n i)!, + n! = n!( + ) = i!(n i)! (i )!(n i+)! (i )!(n i)!i (i )!(n i)!(n i+) ) = n! ( n i++i) = n!(n+) = (n+)! n i+ (i )!(n i)! i(n i+) (i )!i(n i)!(n i+) i!(n+ i)!. Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Ćwiczenia strony 38 i 39 Zadanie. Udowodnić metodą indukcji matematycznej równość: n(n + ) =. Dla n = jest =. +. Założmy, że dla pewnego n zachodzi równość wtedy jest n n n(n+) = n, n = n + = n +n+ = (n+) = 3 n(n+) (n+)(n+) n+ (n+)(n+) (n+)(n+) (n+)(n+) n+. n+ Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Zadanie. Wykazać metodą indukcji matamatycznej, że n = n + n. n. Dla n = jest = 3.. Założmy, że dla pewnego n zachodzi równość n = n+ n wtedy jest n + n+ = n+ + n+ = n+4 + n+ = n+3 n n+ n n+ n+ n+, n. n+ Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 7

8 Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Zadanie 3. Wykazać metodą indukcji matamatycznej, że + q + 3q nq n+ = (n + )qn + nq n+ ( q).. Dla n = jest = q+q. ( q). Założmy, że dla pewnego n zachodzi równość + q + 3q nq n+ = (n+)qn +nq n+, wtedy jest ( q) + q + 3q nq n + (n + )q n = (n+)qn +nq n+ + (n + )q n = ( q) ( (n + )q n + nq n+ + ( q) (n + )q n ) = ( q) ( (n + )q n + nq n+ + (n + )q n (n + )q n+ + (n + )q n+ ) = ( q) ( + (n + )q n+ + nq n+ (n + )q n+ ) = ( q) ( + (n + )q n+ q n+ (n + n)) = ( q) ( + (n + )q n+ (n + )q n+ ) = (n+)qn+ +(n+)q n+. ( q) ( q) Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Zadanie 4. Wykazać metodą indukcji matamatycznej, że ( + q)( + q )...( + q n ) = qn+. q. Dla n = jest + q = q. q. Założmy, że dla pewnego n zachodzi równość ( + q)( + q )...( + q n ) = q n+ q +q n+ q n+ (q n+ ) wtedy jest ( + q)( + q )...( + q n )( + q n+ ) = q ( + q n+ ) = q = q n+. q q Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. n+ Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 8

9 Zadanie 5. Wyznaczyć sumę postępu geometrycznego: + x + ( + x ) ( + x n ).. Dla n = jest = +x +x. Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość = (+x ), wtedy jest +x (+x ) (+x ) n x (+x ) n = (+x ) +x (+x ) (+x ) n (+x ) n+ (+x ) n+ (+x )+x x (+x ) n+ x (+x ). = (+x ) n+ x (+x ) n+. + = x (+x ) n (+x ) n+ Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n+. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Zadanie 6. Wyznaczyć sumę postępu geometrycznego: + x + x + x ( + x ) x n ( + x n ).. Dla n = jest + x = (+x )+x = ((+x )+x)((+x ) x) = (+x ) x. +x +x ((+x ) x)(+x ) (+x )(+x x). Załóżmy, że dla pewnegon zachodzi równość + x + x xn +x (+x ) (+x ) n+ x n+ wtedy jest + x + x xn (+x ) n (+x x) +x (+x ) (+x ) n+ x n+ + xn+ = (+x ) n+ x n+ (+x )+x n+ (+x x) = (+x ) n (+x x) (+x ) n+ (+x ) n+ (+x x) (+x n ) = + xn+ = (+x n ) (+x ) n+ (+x ) n+ x n+ (+x )+x n+ (+x ) x n+ = (+x ) n+ x n+ (+x )+x n+ (+x ) x n+ = (+x ) n+ (+x x) (+x ) n+ (+x x) (+x ) n+ x n+. (+x ) n+ (+x x) Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczbyn +. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Zadanie 7. Wyznaczyć sumę postępu geometrycznego: x y x + y + (x y x + y ) ( x y x + y )n.. Dla n = jest x y x +y = (x y )((x +y ) (x y )) (x +y )y = (x +y )(x y ) (x y ) (x +y )y. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 9

10 . Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość x y + ( x y ) x +y x +y ( x y ) n = x y ((x + y ) n (x y ) n ), wtedy jest x +y (x +y ) n y x y + ( x y ) ( x y ) n + ( x y ) n+ = x +y x +y x +y x +y x y ((x + y ) n (x y ) n ) + ( x y ) n+ = (x +y ) n y x +y x y ( (x +y ) n (x y ) n + (x y ) n ) = x y ( (x +y ) n+ (x y ) n (x +y )+(x y ) n y ) = (x +y ) n y x +y (x +y ) n (x +y )y x y (x +y ) n+ y ((x + y ) n+ (x y ) n (x + y y )) = x y (x +y ) n+ y ((x + y ) n+ (x y ) n+ ). Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n +. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Rozwiązania poniższych zadań opierają się na wzorach: Zadanie 8*. Dowieść, że (4) n = n(n+)(n+) (5) n 3 = ( n(n+) ) (n + ) = 6, (n + )(n + )(n + 3). 3 Zauważmy, że (n + ) = (n) + (n + ) ( (n) ) = (n+)(n+)(4n+3) 4( n ) = (n+)(n+)(4n+3) 6 (n+)(n+)(4n+3 n) = (n+)(n+)(n+3). 3 3 Zadanie 9*. Dowieść, że (n + ) 3 = (n + ) (n + 4n + ). n(n+)(n+) = 3 3 Mamy (n+) 3 = (n) 3 +(n+) 3 ( (n) 3 ) = ( (n+)(n+) ) 8( n 3 ) = ((n+)(n+)) (n(n+)) = (n+) ((n+) n ) = (n+) (4n +4n+ n ) = (n+) (n +4n+). Zadanie 0. Udowodnić zadania 8 i 9 bezpośrednio metodą indukcji matematycznej Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 0

11 Zajmijmy się zadaniem 8:. Dla n = jest + 3 = Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość (n + ) = (n+)(n+)(n+3), wtedy jest (n + ) + (n + 3) = 3 (n+)(n+)(n+3) +(n+3) = (n+)(n+)(n+3)+3(n+3) 3 ((n+)(n+)+(n+)+4(n+))(n+3) = ((n+)(n+)+4(n+))(n+3) = (n+)(n+5)(n+3) 3 3 = ((n+)(n+)+3(n+3))(n+3) = Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n +. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Przejdźmy do zadania 9:. Dla n = jest = 4( ).. Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi równość (n + ) 3 = (n + ) (n + 4n + ), wtedy jest (n + ) 3 + (n + 3) 3 = (n + ) (n + 4n + ) + (n + 3) 3 = (n + ) (n + 4n + ) + 8(n + ) 3 + (n + ) + 6(n + ) + = (n + ) (n + 4n + ) + (n + ) (4n + 6) + (4n + 4)(n + ) + 6(n + ) + = (n + ) (n + 4n + + 4n + 8) + (n + 7)(n + ) + 6(n + ) + = (n+) ((n+) +4(n+)+)+(n+3)(n+) +8(n+) +6(n+)+ = (n + ) ((n + ) + 4(n + ) + ) + (n + 3)(n + ) + (8n + 4)(n + ) + = (n+) ((n+) +4(n+)+)+(n+3)(n+) +4(n+3)(n+)+n++ = (n+) ((n+) +4(n+)+)+(n+3)(n+) +4(n+3)(n+)+n+3 = (n + ) ((n + ) + 4(n + ) + ) + ((n + ) + 4(n + ) + )(n + 3) = ((n + ) + (n + ) + )((n + ) + 4(n + ) + ) = (n + ) ((n + ) + 4(n + ) + ). Widzimy, że to jest równość, którą mamy udowodnić dla liczby n +. Na mocy zasady indukcji możemy przyjąć, że teza jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

12 Teoria liczb. Liczby pierwsze Ćwiczenie strona 44 Przypuśćmy, że zaczynając od pewnej liczby pierwszej np. p =,znależliśmy jakieś n liczb pierwszych p, p,..., p n ; stwierdzamy w takim razie, że liczba p p...p n + bądź sama jest liczą pierwszą, bądź ma jako czynnik liczbę pierwszą różna od znalezionych już liczb pierwszych. Wobec tego, że można ten czynnik wyznaczyć, mamy pewność znalezienia za każdym razem co najmniej jednej nowej liczby pierwszej. Przeprowadzić tę konstrukcję poczynając od p =, p = 3 i znależć jeszcze 5 liczb pierwszych. p p + = 7 = p 3 p p p 3 + = 43 = p 4 p p p 3 p 4 + = 807 = 3 39 = p 5 p 6 p p...p 6 + = Ćwiczenie strona 47 Dla wyznaczenia wszystkich dzielników dowolnej liczby a wystarczy przedstawić tę liczbę w postaci iloczynu a = p a pa...par r, gdzie liczby p są to różne liczby pierwsze, z których każda jest podniesiona do pewnej potęgi. Wszystkie dzielniki a otrzymujemy ze wzoru b = p b p b...p br r, gdzie przez b i oznaczyliśmy 0 b i a i. Udowodnić to twierdzenie. Wykazać jako wniosek, że ilość różnych dielników liczby a (łącznie z dzielnikami a i ) jest równa ioczynowi : (a + )(a + )...(a r + ). a = p a p a...p ar r b jest dzielnikiem a wtedy i tylko wtedy gdy: b = p b p b...p br r przyczym0 b i a i ib i jest liczbą całkowitą ponieważ a = b = b pa b p a b...pr ar br przy czym 0 b i a i orazb i a i jest całkowite Liczba wszystkich dzielników a jest równa liczbie możliwych kombinacji liczb b i czyli (a + )(a + )...(a r + ) ponieważ 0 b i a i oraz b i jest liczbą całkowią (liczb całkowitych od 0 do liczby naturalnej n jest n + ) Ćwiczenie strona 50 Udowodnić, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych dla postępu 6n + 5. Zauważmy, że (6n+)(6m+) = 36mn+6m+6n+ = 6(6mn+m+n)+. Załóżmy, że jest skończona liczba liczb pierwszych postaci 6n + 5 oznaczmy Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

13 je jako p, p,..., p n. Weźmy N = 6p p...p n = 6(p p...p n ) + 5. N nie jest podzielna przez żadną z liczb p, p,..., p n, daje resztę 5 z dzielenia przez każdą z nich. W jej rozkładzie na czynniki pierwsze nie mogą występować jedynie liczby postaci 6n +, ponieważ ich iloczyn jest tej samej postaci. Z tego wynika, że albo N jest liczbą pierwszą, albo ma dzielnik pierwszy postaci 6n + 5 różny od każdej z liczb p, p,..., p n, co jest sprzeczne z założeniem, że te liczby są wszystkimi liczbami pierwszymi postaci 6n Kongruencje Ćwiczenie strona 60 Znaleźć analogiczną regułę podzielności przez 3: 0 3, 0 9 4, 0 3, 0 4 3, 0 5 4, 0 6 (mod 3) Weźmy dowolną liczbę całkowitą z = a 0 + 0a + 0 a n a n, gdzie a i jest liczbą całkowitą taką, że 0 a i 9 Niech r = 3a 4a a 3 + 3a 4 + 4a 5 + a 6 3a z 3 r Ćwiczenia strona 6. Do jakiej liczby od 0 do 6 włącznie przystaje iloczyn według modułu ( 3)( )( )( ) = 9 ( ) ( 4) 6(mod 7). Do jakiej liczby od 0 do włącznie przystaje iloczyn według modułu ( )6( 3)3( 4) = 8( )( 9)( 4) ( 3)( 9) 6 4 = 4 (mod 3). Do jakiej liczby od 0 do 4 włącznie przystaje iloczyn według modułu = = 0(mod 5) Ćwiczenia strona 63. Wykazać analogicznie rachując, że: 8 ; 3 8 (mod 7); 3 4 ; 4 ; 4 4 ; 5 4 (mod 9) 4 = 6, 8 ( ) = (mod 7) 3 3 = 7 7, 3 6 ( 7) = 49, 3 8 ( )9 = 8 (mod 7) 3 3 = 7, 3 ( ) 4 = 6 3, 3 4 ( 3)9 = 7 = 6 Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 3

14 (mod 9) 5 = 3 3, 0 3 = 9, ( 3) (mod 9) 4 4 = ( 4 ) ( ) = (mod 9) 5 = 5 4 =, 5 4 ( ) 7 = 4 ( ) = (mod 9) 3. Udowodnić ogólniejsze twierdzenie: Najmniejsza liczba naturalna e, dla której a e (mod p) jest dzielnikiem liczby p p = ke + r, 0 r < e, e jest najmniejszą liczbą taką, że a e (mod p) a p = a ke+r = a ke a r a r (mod p) a r (mod p), 0 r < e, e jest najmniejszą liczbą taką, że a e (mod p) więc r = 0, p = ke + 0, e jest dzielnikem p Ćwiczenia strona 65!. 6 = 36 3 (mod 3) Czy 3 jest resztą kwadratową modulo 3? Obie liczby (3 i 3) są pierwsze, więc z prawa wzajemności kwadratów wynika, że skoro 3 jest resztą kwadratową modulo 3, to 3 jest resztą kwadratową modulo 3. Widzieliśmy, że x (p x) (mod p) Wykazać, że są to jedyne kongruencje pomiędzy liczbami,, 3,..., (p ) Jeśli x y (mod p), przy czym liczby x, y < p. Niech będzie y = x + a x y = (x + a) = x + ax + a (mod p ) 0 ax + a = a(x + a) = a(x + y)(mod p), p a = p x + y, x < p, y < p, x + y < p, x + y = p, y = p x Liczby pitagorejskie i wielkie twierdzenie Fermata Ćwiczenie strona Algorytm Euklidesa Ćwiczenie strona 7 Za pomocą algorytmu Euklidesa znależć największy wspólny dzielnik liczb: a. 87, 77, b. 05, 385, c. 45, 93 a. (87, 77) = (77, 33) = (33, ) = (, 0) = b. (385, 05) = (05, 70) = (70, 35) = (35, 0) = 35 c. (45, 93) = (93, 5) = (5, 37) = (37, 5) = (5, 7) = (7, ) = Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 4

15 Ćwiczenie strona 74 Udowodnić, że jeśli p a a a 3...a n p dzieli co najmniej jedną z liczb a, a,..., a n. Dla n = jest to oczywiste, dla n = dowód został podany w książce. Dla n > jest n = m + dla pewngo całkowitego m. Załóżmy, że dla pewnego m teza jest prawdziwa, wtedy dla liczby m + jest: Jeśli p nie dzieli żadnej z liczb a, a,..., a m p nie dzieli także liczby a a...a m, czyli nie dzieli (a a...a m )a m+ = a a...a m a m+ Ćwiczenie strona 75 Udowodnić twierdzenie następujące: Jeżeli liczba całkowita r dzieli ilocczyn ab i jest względnie pierwsza względem a, to r b (a, r) = = dla pewnych liczb całkowitych k, l jest kr + la = r ab = dla pewnej liczby całkowitej x takiej, że ab = rx b = bkr + bla = bkr + lrx = r(bk + lx), czyli r b Ćwiczenie strona 76 Posługując się funkcją ϕ Eulera uogólnić twierdzenie ze strony 6. Twierdzenie ogólne głosi, że jeżeli n jest daną liczbą calkowitą i a jest liczbą pierwszą względem n, to a ϕ(n) (mod n) jeśli p jest liczbą pierwszą to ϕ(p) = p, ponieważ wszystkie liczby mniejsze od p (których jest p ) nie są dzielnikami p (oprócz ) a ponieważ są mniejsze od p są wobec p względnie pierwsze. Z twierdzenia ogólnego wiemy, że: a ϕ(p) = a p (mod p) Ćwiczenie strona 77 Znaleźć rozwinięcie na ułamki łańcuchowe liczb: 5, 43 = = 5 5/ = = + 30/3 = = = + 70/9 = = / = + + 3/4 = + + 9/ = = = , = /5 = Ćwiczenie strona 79 Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 5

16 Rozwiązać równania diofantyczne: a.3x 4y = 9, b.x + y = 58, c.53x 34y = 5. Przykład a: Zauważmy, że (3, 4) = (3, ) = = 4 3 = 3 + 4( ) ( 9) = 9 x = 9 4r, y = 9 + 3r b. x + y = 58 (, ) = (, ) = = = ( ) + ( 58) + 58 = 58 x = 58 + r, y = 58 r c. 53x 34y = 5 (53, 34) = (34, 7) = (7, 0) = 7 = 34 7 = 34 ( ) = = 53( ) 34( 5) 53( 3) = 5 x = r, y = r Część II 3 Liczbowa struktura matematyki 3.. Odcinki niewspółmierne, liczby niewymierne i pojęcie granicy Ćwiczenia strona 9 Zadanie. Dowieść, że liczby a. 3, b. 3, c. 5, d. 3 3 nie są wymierne. a. Załóżmy, że liczba 3 jest wymierna. Można ją zapisać w postaci ułamka nieskracalnego p, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Wtedy: q = p3 q 3 q 3 = p 3 = p 3 p p = p 0 q 3 = 4p 3 0 = q 3 q Sprzeczność z założeniem, że ułamek p jest nieskracalny. Znaczy to bowiem, q że i mianownik i licznik są podzielne przez, czyli mają wspólny dzielnik większy niż i ich iloczyn można skrócić. b. Załóżmy, że liczba 3 jest wymierna. Można ją zapisać w postaci ułamka Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 6

17 nieskracalnego p, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Wtedy: q 3 = p q 3q = p = 3 p 3 p p = 3p 0 q = 3p 0 = 3 q 3 q Sprzeczność z założeniem, że ułamek p q jest nieskracalny. Znaczy to bowiem, że i mianownik i licznik są podzielne przez 3, czyli mają wspólny dzielnik większy niż i ich iloczyn można skrócić. c. Załóżmy, że liczba 5 jest wymierna. Można ją zapisać w postaci ułamka nieskracalnego p, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Wtedy: q 5 = p q 5q = p = 5 p 5 p p = 5p 0 q = 5p 0 = 5 q 5 q Sprzeczność z założeniem, że ułamek p q jest nieskracalny. Znaczy to bowiem, że i mianownik i licznik są podzielne przez 5, czyli mają wspólny dzielnik większy niż i ich iloczyn można skrócić. d. Załóżmy, że liczba 3 3 jest wymierna. Można ją zapisać w postaci ułamka nieskracalnego p, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Wtedy: q 3 = p3 q 3 q 3 = p 3 = 3 p 3 3 p p = 3p 0 q 3 = 9p 3 0 = 3 q 3 3 q Sprzeczność z założeniem, że ułamek p jest nieskracalny. Znaczy to bowiem, q że i mianownik i licznik są podzielne przez 3, czyli mają wspólny dzielnik większy niż i ich iloczyn można skrócić. Zadanie. Dowieść, że liczby a. + 3, b. + 3 nie są wymierne. a. Załóżmy, że liczba + 3 jest wymierna i równa w Wtedy: = w 3 = w + 3 w 3 = 3 = w + czyli 3 jest wymierny, ponieważ można w go przedstawić w postaci ułamka o wymiernym liczniku i mianowniku (różnym od zera bo na pewno jest w > 0), sprzeczność z niewymiernością 3. b. Załóżmy, że liczba + 3 jest wymierna i równa w Wtedy: 3 = w = w 3 + 6w 3w = = w3 +6w +3w czyli jest wymierny, ponieważ można go przedstawić w postaci ułamka o wymiernym liczniku i mianowniku (różnym od zera bo na pewno jest + 3w > 0), sprzeczność z niewymiernością. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 7

18 Zadanie 3. Dowieść, że liczba nie jest wymierna. Załóżmy, że liczba jest wymierna i równa w. Wtedy: = w + 5 w 5 6 = w w 5 4 = w 4 + 0w 4w 3 5 = 5 = w4 +0w 4, czyli 5 jest wymierny, 4w 3 ponieważ można go przedstawić w postaci ułamka o wymiernym liczniku i mianowniku (różnym od zera bo na pewno jest 4w 3 > 0), sprzeczność z niewymiernością 5. Ćwiczenie strona 94 Wyznaczyć 3 i 3 5 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. 3 = < < 3 = 8 (, ) 3 =, 78 < < (, 3) 3 =, 97 (, 5) 3 =, 9535 < < (, 6) 3 =, = < 5 < 3 = 8 (, 7) 3 = 4, 93 < 5 < (, 8) 3 = 5, 83 (, 70) 3 = 4, 93 < 5 < (, 7) 3 = 5, 000 Z tego wynika, że 3 =, 6... oraz 3 5 =, Ćwiczenia strona 97 Zadanie. Dowieść, że q + q q = gdy q <. +q s n = q + q q ( q) n qs n = q q + q q( q) n s n ( + q) = ( q) n+ s n = + ( q)n+ gdy n +q +q +q Zadanie. Jaka jest granica ciągu a, a,..., gdzie a n = Zauważmy, że a n = n = n+ = gdy n. n+ n+ n+ Zadanie 3. Jaka jest granica ciągu n +n+ dla n n n+ Zauważmy, że n +n+ = n +n+ n n = + n + n+ n n n+ n n + n gdy n. n? n+ Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 8

19 Zadanie 4. Udowodnić, że: + q + 3q + 4q = (+q) s n = + q + 3q + 4q Zadanie 5. Jaka jest granica ciągu q + 3q 4q s n = q + 3q 4q (n + )( q) n qs n = q q + 3q 3 4q q(n + )( q) n s n (q + ) = q + q q q n (n + )( q) n+ = Zadanie 6. Jakie są granice ciągów: a n gdy n? n a. = n(n+) n n b n n 3 = n(n+)(n+) 6 n 3 = n(n+) n = n+ n = + n = n(n+)(n+) 6n 3 + +, gdy n c n 3 3 n 6n 3 n 4 (n+) = ( n+ 4n n ) = ( + n ) ( ) =, gdy n 4 Ćwiczenia strona 99, n, n 3, n n 3 n 4, gdy n = (n+)(n+) 6 = n +3n+ 6n = = ( n(n+) ) n 4 = n (n+) 4n 4 = Matematyczna analiza nieskończoności Ćwiczenia strona 5 Ćwiczenie strona 7 Ćwiczenie strona 8 Udowodnić, że ten sam wynik jest ważny dla przeliczalnego zbioru punktów na plaszczyźnie Przypuśćmy, że zbiór wszystkich punktów w kwadracie jednostkowym daje się ułożyć w ciąg a, a, a 3,... Zamknijmy punkt a w kwadracie o boku, punkt a 0 w kwadracie o boku itd. Gdyby wszystkie punkty w tym 0 kwadracie były w ciągu a, a, a 3,..., to ten kwadrat byłby w całości pokryty przez ciąg nieskończony kwadratów o polach,,,... Suma icj pól jest równa = ( ) = = = 0 00 = < = Z tego by wynikało, że kwadrat o polu można w całości pokryć kwadratami o sumie pól równej a to jest intuicyjnie 99 niemożliwe. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 9 00

20 Ćwiczenie strona 0 Dowieść, że jeżeli zbiór A zawiera n elemenów, gdzie n jest naturalną, to zbiór B zdefiniowany jako zbiór podzbiorów A, zawiera n elementów. Weźmy element a ze zbioru A. Może on albo być, albo nie być w podzbiorze zbioru A (dokładnie przypadki). Weźmy element a ze zbioru A. Może on albo być, albo nie być w podzbiorze zbioru A (dokładnie przypadki)... Weźmy element a n ze zbioru A. Może on albo być, albo nie być w podzbiorze zbioru A (dokładnie przypadki). Widzimy, że każdy element może albo być albo nie być w danym podzbiorze zbioru A. To znaczy, że możliwych podzbiorów jest n, czyli zbiór B liczy właśnie tyle elementów Liczby zespolone Ćwiczenia strona 8 Zadanie. Przedstawić (+i)(+i)(3+i) (+i)(+i)(3+i) = (+i) (6+i+3i+i ) i ( i)(+i) 5i + 5i = 5 + 5i i w postaci a + bi. = (+i+i )(5+5i) i = (5+5i)i = (5 + 5i)i = Zadanie. Przedstawić ( + i 3 )3 w postaci a + bi. ( + i 3 )3 = + 8 i i 3 3 3i3 = 3i 3 + 3i = Zadanie 3. Przedstawić w postaci a + bi następujące wyrażenia: a. +i, b., c. (4 5i), d., e.. i i 5 ( +i)( 3i) ( 3i) +i i a. +i i = (+i) = +i+i ( i)(+i) i b. +i = (+i)(+i) i 4 i = i = i c. = i 5 i i i = = = i ( )( )i i i d. e. = ( +i)( 3i) (4 5i) ( 3i) i = +3i+i = +3i = + 3i = i = i (+i)(+3i) = +7i+3i = +7i = 7 i ( 4+i )( 9i ) = ( (4 5i)(+3i) ) = ( 8+i 5i ) = ( 3+i ) = 3 +i + 3i = 4 9i Zadanie 4. Obliczyć 5 + i. 5 + i = x + yi 5 + i = (x + yi) = x + xyi + y i = (x y ) + (xy)i, zatem x y = 5 oraz 6 = xy, więc x = ±3, y = ±, a 5 + i = ±(3+i). Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 0

21 Ćwiczenia strona 3 Zadanie. Udowodnić, że z z = z z z = x + y z = x + y z z = (x x y y ) + (x + x y )i z z = (x x y y ) + (x + x y ) = z z (x + y )(x + y ) = Zadanie. Udowodnić, że iloczyn dwóch liczb zespolonych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy jeden z czynników jest równy 0 0 = z z 0 = z z = z z to jest iloczyn dwóch liczb rzeczywistych. Jest on równy 0, więc co najmniej jedna z liczb z, z jest równa 0. Liczba, której moduł jest równy 0, jest równa 0. Ćwiczenie strona 3 Kiedy zachodzi równość z + z = z + z z + z = (x + x ) + (y + y )i = z + z = x + y + x + y z + z = z + z (x + x ) + (y + y ) = (x + x ) + (y + y ) x + y + x + y x + x + y + y + (x x + y y ) = (x + x ) + (y + y ) = x + y + x + y + (x + y)(x + y) x x + y y = (x + y)(x + y) x x + y y + x x y y = x x + y y + x y + x y x x y y = x y + x y 0 = x y x x y y + x y = (x y x y ) 0 = x y x y x y = x y z + z = z + z x y = x y Ćwiczenia strona 34 i 35 Ćwiczenia strona 38 Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

22 4 Algebra Zbiorów 4.. Zastosowanie do teorii prawdopodobieństwa Ćwiczenie strona 56 Wpisujemy cztery cyfry,, 3, 4 w kolejności przypadkowej. Jakie jest prawdopodobienstwo, że co najmniej jedna cyfra będzie na właściwym miejscu? p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 4 p(ab) = p(ac) = p(ad) = p(bc) = p(bd) = p(cd) = p(abd) = p(acd) = p(bcd) = (ABCD) = 4 p(a+b +C +D) = p((a+b +C)+D) = p(a+b +C)+p(D) p(ad+bd+ CD) = p(a) + p(b) + p(c) p(ab) p(ac) p(bc) + p(abc) + p(d) (p(ad) + p(bd) + p(cd) p(abd) p(acd) p(bcd) + p(abcd)) = p(a) + p(b) + p(c) + p(d) p(ab) p(ac) p(bc) p(ad) p(bd) p(cd)+p(abc)+p(acd)+p(bcd) p(abcd) = = Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II

23 Część III 5 Konstrukcje geometryczne, algebra ciał liczbowych 5.. Konstruowalne liczby i ciała liczbowe Ćwiczenie strona 7 Wykazać, że każde ciało liczbowe zawiera co najmniej wszystkie liczby wymierne. Weżmy dowolną liczbę a z tego ciała. Liczba a = również do niego należy. a Z liczby możemy otrzymać wszystkie liczby całkowite, przez dodawanie i odejmownie. Z liczb całkowitych możemy otrzymać wszystkie liczby wymierne przez dzielenie. Z tego wynika, że w grupie, która zawiera liczbę różną od 0, są wszystkie liczby wymierne (być może jeszcze więcej liczb ale nie koniecznie) Ćwiczenie strona 7 Przedstawić w postaci p + q k, gdzie p i q są postaci a + b, gdzie a i b są liczbami wymiernymi, następyjące wyrażenia: a.( k) 3, b. + k +, c. k+ 3, d. (+ k)( k)( + ) k k k 3 +. k a. ( k) 3 = k k. b. + k c. + = (+k)( k) k k k+ 3 = (k k+3)( k+ k 3 k k k 3 8 k 3 8 d. (+ k)( k)( + k ) + k k +5k+k k+ k k+k k+k k k 3 ) k. = k+k k k k = +k k +k k k. ) = (k k 3 9 k = k +3 k 3 8 k+3)( k+ ) = k +6 k+k k+3 = k 3 8 k k k 3 8 k. = ( k k+ k)(k+ k) k(+k ) = k+5 +k + +k k+k k = ( k+5 k = 4k+ k k k k+k k+k k+k + k 5k k ) + ( +k k k 3 = Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 3

24 5. 3. Nierozwiązalność trzech zagadnień postawionych przez Greków Ćwiczenie strona 85 Dowieść, że taka konstrukcja rzeczywiście daje y = x 3.. AOB = y z założenie, że AB = OB.. OBC = y z tw. o kącie dopisanym do trójkąta. 3. x = ACO + CAO z tw. o kącie dopisanym do trójkąta. 4. x = y + y = 3y z punktów,, 3. Szkoła Podstawowa nr Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II 4