Arytmetyka komputerów

Transkrypt

1 Arytmety Arytmety omputerów rytmety lycz rytmety rozzerzeń eończoych dopuemy bruące pozyce rytmety omputerow rytmety ogrczoego zreu wy poz zreem dmr overflow podtwowe dzł rytmetycze dodwe odemowe moŝee ewec dodwń dzelee ewec odemowń lowe moŝee przez cłowtą potęgę bzy oblcze perwt wdrtowego zmodyfowe dzelee ytemy dwóowe dwot terpretc cyfry wrtość rytmetycz lub logcz lgorytmy odwzorowe w potc ec logcze Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 AR I Dołdość oblczeń w ytemch turlych Arytmety omputerów Dodwe, odemowe, moŝee eśl rgumety ą dołde, to wy tŝe et dołdy eśl zy et błąd przyblŝe rgumetów, to moŝ łtwo otrolowć dołdość wyu Dzelee, moŝee eśl rgumety ą dołde, to wy et zwyle edołdy lorz et wyzczy z dołdoścą rówą touow wrtośc przelowe otte rezty do wrtośc dzel błąd przyblŝe loczyu et umulowy wet eśl zy et błąd przyblŝe rgumetów, to brdzo trudo otrolowć dołdość wyu Woe Jeśl moŝlw et zm oleośc dzłń, leŝy perw wyoć dzł dołde Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 AR II

2 Cyfry lczby Cyfry, lczby, welomy Cyfr z ymbol pr Lczb wrtość przyp cągow cyfr tŝe ede cyfrze Cyfry rbe pochodzące z Per A B C D E F Cyfry w zpe w ęzyu rbm pochodzące z Id ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ۴ ۵ ۶ Umow ep o zpe cyfr o wrtoścch węzych od dzewęcu A B C D E F Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL I Lczby zepoloe Cyfry, lczby, welomy Lczb zepolo pr lczb,b, tóre przypo wrtość zepoloą,b b, Dodwe odemowe [b]±[b][±c][b±d] MoŜee [b] [cd][cbd][dbc] Dzelee [b]/[cd][b] [cd]/[cd] [cd] {[cbd][dbc]}/[c d ] Potć wyłdcz e co Wzór de Movre -Lplce e co co e Wzór Lplce e π Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL II

3 Cyfry, lczby, welomy Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL III Welomy W... Q dzel welomu R Q W W Woe : W P W Woe : Jeśl ą perwtm welomu W, to... P W gdze P ego dzelem erozłdlym czy lowe. Jeśl perwt ą zepoloe to P Woe 3: Cłowte perwt welomu o wpółczych cłowtych ą podzelm wyrzu wolego. Cyfry, lczby, welomy Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL IV Oblcze chemt Horer ]}... [ { 3 W złoŝoość oblczeow um loczyów przez potęg zmee o dodwń, moŝeń, oblczeń potęg, pmęć potęg um loczyów przez potęg zmee o dodwń orz moŝeń, zbęd pmęć UŜytecze przeztłce W... Woe: Perwt wymere welomu o wpółczych cłowtych ą podzelm wyrzu wyŝzego.

4 Cyfry, lczby, welomy Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL V Welom podtwy Welom polyoml Welom podtwy rd polyoml reprezetc tłobzow W {,,, } Z{z,z, z,z }... W... z z z z Z zme prmetry prmetr z zmee W z Z Z Algebr Algebr welomów Algebr lczb welomów podtwy reprezetc tłobzow b b W W y z Y Z b,, < c c y z c y z c c y z c y z Cyfry, lczby, welomy Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL VI Reprezetce ytemtycze Reprezetce tłoprzecowe tłobzowe uzupełeowe utloe połoŝee przec pozycyego 3745,3,,3459 Reprezetce zmeoprzecowe złoŝee pól z lczby g, zcz gfcd część ułmow frcto, mty mt, wyłd epoet potęg bzy rd podtwy o podtw bz domem tł dl ytemu. 3,7453 5, 3,459 Reprezetce reztowe redue umber ytem, RNS reprezetc lczby wetor rezt względem tłych bzy RNS tylo lczby cłowte 56 {, 3, 5, 7} {56mod,56mod3,56mod5,56mod7}{,,,} Reprezetce logrytmcze z logrytm wrtośc bezwzględe

5 Sytemy wgowe Sytemy lczbowe Sytemy wgowe weghted zbór pr wg, moŝ br zer, dowolość reprezetc ytem pomru czu dob4h, h6m, m6 bryty ytem mr ch cl 5,3995 mm gr zro gr 64,7989 mg foot top ft drm dr,7785 g yrd rd yd 3 ft ouce uc oz 6 d r437 / gr fthom fthom yd poud fut lb 8 oz rod pręt rod 5 / yd toe meń t4 lb ch ch 4 rod qurter q t furlog furlog ch hudredweght cwtq mle ml m8furlog to to t cwt legue lg 3 m cetrl t Ib Sytemy pozycye potol, plce-vlue wg uporządowe z Ŝdą pozycą wgą orzo cyfr moŝ ezbęde zero Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL Sytemy pozycye Sytemy lczbowe Sytemy ze tłą podtwą fed-rd tłobzowe rd-bed wg pozyc potęg podtwy rd egbzowe egtve rd uem podtw bz uzupełeowe rd-complemet uem wg pozyc wyŝze z cyfrą zową ged dgt, SD cyfry ueme Sytemy z mezym podtwm med-rd wg loczy potęg bz o ytem rzym w otc ytem wgowy bez zer w poobe lcze ytem z podtwm mezym I 5 edość C 5 et V 5 pąt D 5 3 pęćet 5 dzeąt M tyąc L 5 pęćdzeąt Sytemy reztowe redue umber ytem, RNS reprezetc lczby wetor rezt względem tłych bzy RNS Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL

6 Sytemy tłobzowe Sytem pozycyy dl Ŝde pozyc oreśloe: reguł tworze wg W w,..., w, w,..., w } { m { d p,..., d, d zbór dozwoloych cyfr D } {,...,,,..., m} W W Sytemy lczbowe Sytem tłobzowy,λ,d fed-rd podtw/bz rd lczb cłowt, m wg w λ W { λ,..., λ,..., λ }, m { λ,..., λ, λ,..., λm : λ ± moŝ wg: Λ } zbór cyfr D D,..., d, d } zwer zero { d p W {,...,,,..., m} λ, D m o tdrdowy zbór cyfr: D {,...,, } ytem tdrdowy dołdość bezwzględ wg me zczące pozyc ulp m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3 Dodwe odemowe w ytemch tłobzowych Sytemy lczbowe Y {,...,,,..., m}, { y,..., y, y,..., ym} m λ, Y λ y,, y D, m D ± { m m} λ ± Y,...,,,..., } {,...,,,..., ± Y Reurecy reguł wyzcz cyfr umy lub róŝcy tee tylo wtedy, gdy tee ogóle rozwąze rów: λ ± λ y ± λ c ± λ c λ, po uprozczeu: y c λ λ c ± ± ± Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 4

7 Włścwośc ytemów tłobzowych Utow reprezetc zer {,...,,} ytemy turle λ w Sytemy lczbowe ytemy egbzowe z bzą uemą λ w Zre lczb N {,, o,, m } {p,,,p o,, p m } P, p λ m rozpętość Z P N ymetr QPN {,...,, } P Q Z, N Q Z Sytemy z cyfrm zowym SD moŝlw dmrow reprezetc D d,..., d, d }, p, d tdrdowe { p < p, p λ P m N tdrdowe eredudte D { α, α,...,,,..., α} Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 5 Jedozczość reprezetc tłobzowe Sytemy lczbowe TWIERDZENIE. Reprezetc lczby w yteme tłobzowym et utow. D o w ó d. Nech,...,,,...,,,..., }. Jo, Ŝe, węc { m m m m < P N Z. Z ole, wrtość dowole lczby moŝ oblczyć o PoewŜ λ, ztem < rozpętość zreu lczb Wy tąd dle, Ŝe lbo Gdy zś < λ.!! λ < e przercz, ztem, bo wówcz lbo. Soro ed. {,,..., m} {,,..., m} gdy > {,,..., m} {,,..., m} gdy < :, to, co dowodz tezy. Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 6

8 Sytemy lczbowe Dodwe odemowe w ytemch turlych W tdrdowym yteme turlym λ rówem dodw et y c c ± ± ± przy tym, y, {,,..., } c {,} c {, } orz c {, ± y ± c}, } {, ± y ± c m } gdy ± y ± c ± y ± c m { gdy m3 m m m ± y y y m3 y m y m y m c m m c m m c m3 m c c c m3 Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 7 Dodwe welorgumetowe w ytemch turlych y... z... r v, y,..., z, u, v, r {,,..., u przy tym } eśl lczb łdów et, um et dwucyfrow { Sytemy lczbowe v, u} {, y... z } gdy y... z < dodwe moŝ wyoć dwuetpowo: ezleŝe oblczyć umę Ŝde pozyc dodć otrzyme lczby dwucyfrowe m3 m m m y y y m3 y m y m y m ± z z z m3 z m z m z m u u u m3 u m u m u m v v v v m3 v m v m m3 m m m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 8

9 Sewecyy lgorytm moŝe w yteme turlym MoŜ multplcd A {,..., p, p}, MoŜ multpler {,...,, }, m m Sytemy lczbowe A A m m A lgorytm pemy umulc lowych loczyów częścowych m, m,...,, S S S A, S A lgorytm dod-przeuń dd-d-hft lowe um częścowych P S P P A m P P m A { } A m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 9 Tblcz moŝe w ytemch turlych Sytemy lczbowe MoŜee przez węzą cyfrę w yteme tdrdowym << um cyfr loczyu tł rów Kotruc tblcze moŝe loczy et przemey Kowec ozcz cyfr przy > olee ltery lfbetu łcńego: A, B, C, 3 D, 4 E, 5 F, 6 G, Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL

10 Dzelee ewecye Sytemy lczbowe dzel dvded, D dzel dvor Q DR, R < D Q lorz quotet, R rezt remder z dzele przez D Rówe dzele moŝe meć rozwąz pełące wrue R < D R R D, <R,R < D R Q D dzelee zowe ged dvo z rezty et t z dzele dzelee modulre modulu dvo z rezty et zwze dodt W turlym yteme pozycyym R eśl orz {,...,,,..., m} D d,..., d, d,..., d }, to z dołdoścą p moŝ oblczyć { l Q { q l l q l q q p,,...,,... } q p Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL PrzyblŜe lorzu Perwzym przyblŝeem lorzu et Dołdeze przyblŝee to q Sytemy lczbowe { q,,...,} Q, q te, Ŝe q D < q D, R q D < D { q, q,...,} Q, Q, q te, Ŝe D R Q D < q D,, R R q Koleym przyblŝem lorzu ą ztem q D < Q D, Q, q te, Ŝe D R Q, D < q D, R R q D < co po lowu r prowdz do erówośc prmetrycze R r r qd < D D Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL

11 Sytemy lczbowe Sytemy turle pozycye rozwęce lczby Jedozczą reprezetcą lczby w yteme turlym o podtwe et rozwąze rów { m,...,,,..., }, gdze {,,..., } m Dl częśc cłowte I orz ułmowe F lczby otrzymmy odpowedo F I { [... ]} { [... m m ąd wy, Ŝe w yteme o podtwe oleym cyfrm rozwęc częśc cłowte I lczby ą: I mod I t I, I t I, I m...]} oleym cyfrm rozwęc częśc ułmowe F lczby ą t F, F F, F F I Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3 Kower częśc cłowte lczby Sytemy lczbowe Procedur podtwe rozwęc Horer. Podzel lczbę przez podtwę ytemu docelowego. Otrzym rezt et oleą cyfrą rozwęc pozycyego 3. Otrzymy lorz poowe podd procedurze 4. Powtrz dopó e uzyz lorzu rówego Algorytm wyzcz reprezetc częśc cłowte A turle. A ; podtw wrtośc początowe. t / ; lorz cłowty. ; rezt 3. ; zwęz 4. f goto ; powtrz dopó lorz Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 4

12 Kower częśc ułmowe lczby Sytemy lczbowe Procedur podtwe rozwęc reurecyego. PomóŜ ułme przez podtwę ytemu docelowego. Część cłowt loczyu oleą cyfrą rozwęc pozycyego 3. Część ułmową loczyu poowe podd procedurze 4. Powtrz t długo Ŝ: uzyz wymgą dołdość m odpowedą lczbę cyfr b otrzymz loczy rówy c wyryez oreowość pow ę poowe t m ułme Reprezetc częśc ułmowe A< z dołdoścą m. A, ; podtw wrtośc początowe. t ; część cłowt loczyu. ; część ułmow loczyu 3. ; zwęz 4. f m goto ; powtrz dopó mł dołdość Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 5 Kower bzy podtwy w ytemch turlych Sytemy lczbowe {,,, m } dzł w yteme o podtwe moŝee lub dzelee przez ω {b p,,b,b } wy {z,z,,z r } ω w yteme o podtwe ω log ω WŁAŚCIWOŚĆ ower ułm Jeśl Ŝdy dzel podtwy źródłowe et dzelem podtwy docelowe ω, to wyem ower ułm ończoego et ułme ończoy F m & p P : p, p : p, ω p r < : F Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 6 r z ω D o w ó d. Jeśl F et ułmem ończoym m-pozycyym w bze, to F m m m m m A, A, A N. m F m ończoe rozwęce tŝe w bze ω, eŝel tee B N r< te, r r Ŝe F Bω, B ω. ZłóŜmy, Ŝe p,ω. Ale wówcz byłoby A r m m m ω B & p, ω & p, p p, A p, węc rozwęce F byłoby eończoe, chyb Ŝe Ap m.

13 Kower ułmów oreowych w ytemch turlych Sytemy lczbowe Wyem ower ułm oreowego et ułme ończoy lub oreowy Reguł: Wrtość ułm pomóŝ przez podtwę ytemu docelowego część cłowt wyu to ole cyfr rozwęc, część ułmow podleg dlze procedurze Zm ułm oreowego ułme wymery c z c z,... z... z c c c {,, }, z c {z,, z m } lczb pozyc częśc eoreowe ułm, c lczb pozyc oreu Uwg Ułme ończoy w bze de moŝe być oreowy w bze docelowe ω Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 7 Kower bzy orzoe w ytemch turlych Kower lub Sytemy lczbowe Jeśl z...,,..., z,,...,, to r r r r ztem m / r r m / z {,...,,,..., m} { z,..., z, z,..., zr} ; r Kower : ω< zmt ower ω wygode relzowć ω Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 8

14 Sytemy lczbowe Kower bzy podtwy w ytemch turlych przyłdy 57,386 8 Z orz 57,386 9 Z I mod 3 3 F I mod 3 3 F ,386 35, ,... 57,386 84,34 9, ,35 8 orz 35, Z 3 dzł w yteme óemowym I mod 8 8 F I mod 8 3 F , , , , Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 9 Sytemy lczbowe Kower bzy ułmów oreowych w ytemch turlych bezpośredo moŝee z orecą dowoly ułme detyfc cyl tylo,y...z 53, ,537 8, F 7 F Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL

15 Stłoprzecowe reprezetce lczb uemych Reprezetc z-moduł { } {,...,,,..., m}, {,,..., }, m dwe reprezetce zer :. zre lczb ymetryczy Sytem egbzowy z bzą uemą w, Sytemy lczbowe {,} {,,...,,,..., } m, {,,..., } m zcz ymetr dodt eśl eprzyte, uem gdy przyte m Q [ ] z lczby oreśl de brdze zczące pozyc ezerowe zm zu wyol tylo dl ooło / lczb Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL Dopełee odwrotość ddytyw lczby Sytemy lczbowe Dopełee lczby Jeśl et wyole dzłe,...,,,..., } dgt-complemet { m {,...,,,..., Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL : } m {,..., } Q Q Y, to mmy Y Q Y Q Y Y Odwrotość ddytyw lczby {,...,,,..., m} lczb przecw {,...,,,..., } m W yteme, w tórym tee lczb Q : Q Q Q Y Y Q

16 Sytemy lczbowe Sytemy uzupełeowe dopełeowe Odwrotość ddytywą reprezetue uzupełee dopełee do bzy R R Uzupełee eśl wyole et dzłem odwrclym R R R, R R Sytemy omplemetre Q {,...,, }, ulp{,...,,} do podtwy rd-complemet, uzupełeowe pełe Q R Q ulp o e tee reprezetc RQulp o utow reprezetc zer: R e m reprezetc do cyfry dgt-complemet, dopełeowe, epełe dmhed r.-c. Q R Q, R Q o RQ dwe reprezetce zer: orz Q Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3 Uzupełee reprezetc lczby przecwe { m Sytemy lczbowe,...,,,..., : } Q dopełee lczby odwrotość ddytywą lczbę przecwą eśl tee reprezetue R R Q w yteme uzupełeowym pełym RQulp, węc R ulp w yteme dopełeowym epełym RQ, węc R W yteme uzupełeowym lczb Q zwze tee, ergo Ŝde odemowe moŝ ztąpć dodwem Y Y Y R Q Y Q Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 4

17 Włścwośc ytemów uzupełeowych Sytemy lczbowe Reprezetc lczb dodtch w reuącym yteme turlym! Q e et mrą ymetr w yteme uzupełeowym. JeŜel podtw ytemu et lczbą eprzytą, to w ytemch dopełeowych mu wytąpć ewel ymetr w ytemch uzupełeowych zre lczb moŝe być ymetryczy trude wyryce zu ezbęde tetowe wzytch pozyc Jeśl podtw ytemu et lczbą przytą, to w ytemch dopełeowych zre lczb moŝe być ymetryczy w ytemch uzupełeowych mu wytąpć ewel ymetr moŝlwe łtwe wyryce zu gdy <, gdy, w ytemch pełych uem ymetr. podtw ytemu omplemetrego et zwyle lczbą przytą uzupełeowy do podtwy U/ complemet, U/ compl. dopełeowy do cyfr U/ complemet/ D Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 5 Dodwe odemowe w ytemch uzupełeowych Sytemy lczbowe W ytemch turlych reprezetcą lczby węze meze o edotę ulp m o reprezetc {,,,} od de et wy pozycyego dod odęc ulp do od te lczby. przeeee z pozyc wyŝze śwdczy o ewyolośc dzł Br rgumetów przecw toowu reguły w ytemch uzupełeowych reprezetcą lczby przecwe et } dodwe odemowe edot moŝ wyoć zgode z regułą ± y ± c ± c, dode edot m do lczby węze ueme {,...,, } o wrtośc m, zgode z regułą de w wyu poprwe odęce edot m od, zgode z regułą de {,...,, } problem wyolośc dzł o edopozycye rozzerzee zreu zpew poprwość wyu Ŝdego dodw lub odemow wyoego zgode z regułą Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 6

18 Sytemy lczbowe Reprezetc uzupełeow w yteme pełym epełym podtw przyt U D/U / m /... / m / m /... / m m... m... m... m... m / m /... / m / /... / m R R m U U, m U < U R m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 7 Wrtość lczby w yteme omplemetrym U [ ϕ R], m g Sytemy lczbowe gdze ϕ fuc zu lczby, R δ m δ w yteme uzupełeowym lub w dopełeowym, ąd U [ ϕ ] δ ϕ m Rozzerzee eończoe rytmetycze?,...,,,..., } {,...,,,...,,,...,,.,.., } { m m m p tuce 35 U 35 35, U 35 U , U9 675 U , U 674 U ,99 U9 Jeśl węc ϕ, to ytem uzupełeowy: e {...,,,...,,,,...}, e e m ytem uzupełeowy: e {...,,,...,,,,...} e m m m e m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 8

19 Sytemy lczbowe Dwóowe ytemy uzupełeowe {, } ϕ bt zu! Sytem uzupełeowy do complemet U U {,...,,,..., m} U m Rozzerzee eończoe lczby w odze U e {...,,,,..., m, m,,,...} U. Sytem dopełeowy do complemet D/U m U {,...,,,..., m} U m Rozzerzee eończoe lczby w odze U e {...,,,,..., m, m,,,...} U. Kower U U: U U ulp m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 9 Sytemy lczbowe Kod uzupełeowy do U dopełeowy do epeły, U U D/U m... m m... m m... m m... m R m R m {,...,,,..., m} R m Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3

20 Reprezetc polryzow lczb cłowtych Sytemy lczbowe przype reprezetc turle wrtośc pomezoe o N obcąŝee {,...,, } N N, < N < {,,..., } reprezetc z obcąŝeem N bed N, ece N zlety: zre lczb dodtch uemych et eymetryczy utow reprezetc zer zgodość uporządow lczb ch reprezetc odów wdy: oeczość orec wyów dzłń rytmetyczych problemtycze uŝyce w moŝeu lub dzeleu reprezetc polryzow quymetrycz Q N z ymetrą uemą N Q z ymetrą dodtą N Q Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3 Sytemy lczbowe Reprezetc polryzow lczb cłowtych w yteme dwóowym N m N m m... m m... m m... m m... m porząde lczb zgody z porządem odów dodwe odemowe wymg orec łtw ower od U odwrote,,...,, } {,,...,, { m m U m m } m { m, m,...,, } U { m, m,...,, } m- Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 3

21 Dwóow reprezetc polryzow uzupełeow Gdy N et N, Sytemy lczbowe {,,..., } U {,,..., } Gdy N, to poewŝ, węc otrzymmy N {,,..., m} U {,,..., m} Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 33 Reprezetce dzeęte odowe dwóowo Sytemy lczbowe do brego zodow ede z cyfr potrzeb log btów Kod BCD Bry Coded Decml Kod BCD3 ego dopełee mo-dopełe egc btów cyfry dopełee wrtośc cyfry Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 34

22 Sytemy lczbowe Reprezetc dmrow ytem ze zową cyfrą SD Sytem tłobzowy pozycyy,,d zbór cyfr D {,...,,,,...,, },, SD SD : m d d, {,...,,,,...,, }, {,,..., m} SD {,,..., m} SD {,,..., m {,,..., m,, } m } m,,,, gdy gdy, gdy, gdy <,,, <. wyole w yteme SD, w yteme uzupełeowym Kower odwrot moŝe być eedozcz wele reprezetc lczby. Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 35 Reprezetc mml w dwóowym yteme SD Sytemy lczbowe reprezetc mml Z z,.., z, z } zwerąc węce zer { m m [ z z ] [ z z < < m ] DOWÓD dl dwóowego ytemu SD: cąg zwerący zolową cyfrę lub e de ę mmlzowć zolowy cąg lub...,,,...,,,... et rówowŝy...,,,...,,,... {...,, b, b, z,...} {...,,, b, z,...}, b, e d ę przeodowć cągu cyfr lub wyŝzych pozycch. reprezetc ocz mml z wyluczeem ąduących e-zer Jet reprezetc lczby orz reprezetc lczby {,,,, }{,,,,} {,,,,} lczb reprezetowych et, róŝych reprezetc et 3 Juz Bert, Sytemy lczbowe, 8 grud 3 SL 36