ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Transkrypt

1 Jau Berat, profeor adw. Poltecha Wrocława Wydał Eletro Itytut Iformaty, Automaty Roboty Załad Archtetury Komputerów ARYTMETYKA KOMPUTERÓW Wrocław p. bud. C Jau.Berat@pwr.wroc.pl

2 ARYTMETYKA KOMPUTERÓW program wyładu 6. Repreetace tałoprecowe dodatch lcb wymerych, owere podtawy.. Repreetace lcb aowaych - uupełeowa, polaryowaa, SD. Dodawae odemowae lcb aowaych, admar. 3. Mo ee w ytemach uupełeowych. Algorytm Booth a-mcsorleya. 4. Delee w ytemach uupełeowych. Oblcae perwata wadratowego. 5. Kogruece. Twerdee Eulera. Ch e twerdee o retach. Sytemy retowe RNS. Kowera a repreetac RNS owera odwrota. 6. Roerae areu dała arytmetycych. Repreetace meoprecowe. Stadard IEEE754. Oblcea meoprecowe, dołado, aor glae. 7. Delee umeryce. Metoda Newtoa-Raphoa. Algorytm CORDIC oblcae fuc elemetarych. 8. Kolowum algorytmy oblce. 9. Podtawy algebry Boole'a, realaca fuc logcych. Sumatory.. Sybe umatory tałoprecowe CSA, PPA, COSA, CSLA, CSKA.. Ułady ybego mo ea lcb w repreetacach tałoprecowych.. Pry peae delea oblcaa perwata wadratowego. 3. Kolowum ułady cyfrowe. 4. Archtetura uładów arytmety retowe RNS.

3 ARYTMETYKA KOMPUTERÓW program ćwceń Kodowae lcb, owere podtawy Dodawae odemowae w ytemach aturalych uupełeowych Mo ee Delee oblcae perwata wadratowego Arytmetya retowa Arytmetya meoprecowa oblcea umeryce Loga ułady cyfrowe Ułady mo ce Ułady arytmety retowe Arytmometr meoprecowy

4 ą Lteratura Lteratura podtawowa J.BIERNAT, Metody ułady arytmety omputerowe, Wrocław, Ofcya Wydawca Poltech Wrocławe,. I.KOREN, Computer Arthmetc Algorthm, A.K.Peter, Natc, MA, wyd.: Pretce Hall, Eglewood Clff, NJ, 993. R.ZIMMERMANN, Lecture Note o Computer Arthmetc: Prcple, Archtecture ad VLSI Deg, Ittut für Itegrerte Syteme, Edgeöche Techche Hochchule, Zurch, March, 999. Lteratura uupeła B.PARHAMI, Computer Arthmetc. Algorthm ad Hardware Deg, New Yor-Oford, Oford Uverty Pre, J-M.MUELLER, Elemetary fucto. Boto: Brhauer 997 B.POCHOPIE, Arytmetya w ytemach cyfrowych, Warawa, AOW Et, 4 Arytmetya ytemów omputerowych, Glwce, Wyd. Polt. l e,, wyd.v J.BIERNAT, Archtetura omputerów, Wrocław, Ofcya Wydawca Poltech Wrocławe, 5 wyd.iv. J.BIERNAT, Arytmetya omputerów, Warawa, PWN, 996. N.KOBLITZ, Wyład teor lcb ryptograf, WNT, 995. S.WASSER, M.J.FLYNN, Itroducto to arthmetc for dgtal ytem deger, New Yor, Holt, Rehart, Wto 98. ca

5 Algebra abtracye uogólee arytmety Arytmetya Sytem algebracy bór dałaam am tym w tym bore grupa ag. group bór edym dałaem ł cym dodawae tee elemet precwy do a dego ora elemet eutraly w grupe mo a dodawa odemowa per ce ag. rg bór dwoma dałaam dodawae, mo ee: grupa premea wgl dem dodawaa, am ty dla mo ea mo ee et ł ce obutroe rodele wgl dem dodawaa w per ceu mo a dodawa, odemowa mo y Per ce premey eo coy lcb całowtych. cało ag. feld bór dwoma pow aym dałaam premeym et grup e wgl du a dodawae, dodawae rodele wgl dem mo ea, a be elemetu et grup e wgl du a mo ee w cele mo a dodawa, odemowa, mo y del mo y pre odwroto Cała lcb: całowtych modulo lcba perwa p p o coe wymerych ; recywtych ; epoloych eo coe. Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 AR I

6 Arytmetya Arytmetya Teora lcb wła cwo c lcb aturalych Spooby oblcaa wyu dała podtawowych arytmetycych odemowae dodawae... mo a wyoa pre odemowae mo ee ewecye lub rówoległe o alowae mo ee pre całowt pot g bay delee ewecye lub mo ee pre odwroto dela wyc gae perwata wadratowego ewecye Arytmetya layca dowoly romar lcb roerea eo coe problem algorytm a to rob? Arytmetya omputerowa ogracoy are argumetów problem admar prerocee areu problem ybo wyoaa dała problem dołado wyu Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 AR II

7 Dołado ybo oblce Arytmetya Dodawae, odemowae, mo ee argumety dołade wy ta e dołady argumety prybl oe e a dołado c : łatwa otrola dołado c wyu, umulaca bł dów prybl e Delee, oblcae perwata wadratowego wy wyle edołady awet gdy argumety dołade oeca otrola dołado c wyu WNIOSEK: Nale y aperw wyoa dałaa dołade. Oblcea: dałaa ładowe prep algorytm dałaa ładowe: elemetare ybe caochłoy algorytm program ło oe caochłoe proty rót algorytm uład cyfrowy Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 AR III

8 ę ę ą ą ź Lcby cyfry Arytmetya Lcba abtracyy wy oblce, warto, op lo cowy obetu Cyfra a ymbol u yway do apu repreetac lcb Cyfry ryme I V L C D M / I D /V M /I ede p ć ę de ć ę p ć ę de Cyfry arabe pochod ce Per t to p ć ę et ty Cyfry dye, u ywae w ape w yu arabm c 5 ty cy ty cy Umowa epaa o ape cyfr o warto cach w ych od dew cu A B C D E F Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 AR IV

9 Mary lcby ytemy wagowe Sytemy lcea ytem pomaru cau doba4h, h6m, m6 bryty ytem mar wag mary odległo c mary wag ch cal 5,3995 mm gra aro gr 64,7989 mg foot topa ft dram dr,7785 g yard ard yd 3 ft ouce uca o 6 dr 437 / gr fathom fathom yd poud fut lb 8 o rod pr t rod 5 / yd toe ame t 4 lb cha cha 4 rod quarter q t furlog furlog cha hudredweght cwt q mle mla m 8 furlog to toa t cwt league lg 3 m cetral t Ib Sytemy abtracye ytem rym ta e bablo I 5 edo C 5 eta V 5 p ta D 5 3 p eta 5 de ta M ty c L 5 p de ta D p ty cy Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL I

10 Dałaa w ytemach wagowych Sytemy lcea Sytemy wagowe weghted repreetaca warto c bór par lcba, waga, wele repreetac b dy a w c eu yway ymbol era omplowae algorytmy dała : q 6t lb 7o 8 yd 9t 9o 9 q t 3lb ¼ qft M C M L V I I I C M L I M D C C I V C D I V?? M M M D C L I I!? M C C C L V WNIOSEK: Wag warto upor dowa a ap uormowa. Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL II

11 Sytemy poycye Sytemy lcea Sytemy poycye potoal, place-value wag upor dowae prypae poycom eb dy ymbol ero a d poyc wag oaroa cyfra mo wag repreetaca lcby wetor warto c, waych te cyfram ag. dgt Sytemy utalo podtaw rad-baed tałobaowe fed-rad waga poyc pot ga podtawy rad aturale egabaowe egatve rad uema podtawa baa cyfr aowa ged dgt, SD cyfry ueme uupełeowe rad-complemet uema waga poyc awy e Sytemy meaym podtawam med-rad waga locy pot g ba ytem arame dwuatowo-p towy Meopotama, Bablo ytem rym regulare wag prypae aom a e poycom: I 5, V 5, 5, L 5, C 5, D 5 3, M 3 5 3,... Sytem retowy redue umber ytem, RNS lcba: wetor ret Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL III

12 Sytemy tałobaowe poycye Sytemy lcea Sytem tałobaowy,d fed-rad, populare way poycyym: utaloa podtawa baa wyle lcba całowta taa, e dla a de poyc ore loe: o reguła tworea wag W w,..., w, w,..., w }, { m { d p,..., d, d w o bór dowoloych cyfr D }, D awera ero Warto c lcby o repreetac,...,,,..., }, { m D, et: m m m dołado bewgl da waga ame ac ce poyc ulp tadardowy bór cyfr D {,,..., }, redudaty bór cyfr D > D {, d a, d a,..., d a, d, d,...} m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL IV

13 Populare ytemy poycye Sytemy lcea aturaly,d,, tadardowy bór cyfr D {,,..., } cyfr aowa ged dgt, SD,D, repreetaca lcb uemych bór cyfr: D{d p,...,d,d ; p, d <}, dowoloe ueme warto c cyfr, p. D{,,,,,, } eredudaty D, d,..., d }, d mod e { Np:, D{,,8,3,4,5,4,7,,} dd: 8, 5644, 6343 egabaowy,d,, repreetaca lcb uemych tadardowy bór cyfr: D {,,..., } du a aymetra, pecyfca arytmetya uupełeowy rad-complemet,d/d H etadardowy eredudaty bór cyfr a poyc awy e, D H { α, α,,,,, α}, α Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL V

14 Repreetace ytematyce lcb Sytemy lcea Repreetace tałoprecowe tałobaowe uupełeowe utaloe poło ee preca poycyego 3745,3,,3459, 3745,3 8, Repreetace meoprecowe ło ee pól a lcby g, ac gfcad c ułamowa fracto, matya mata, wyład epoet pot g bay rad podtawy o podtawa baa domemaa tała dla ytemu. 3,7453 E5 3,7453 5, 345,9 4,, Repreetace retowe redue umber ytem, RNS repreetaca lcby wetor ret wgl dem tałych bay RNS tylo lcby całowte 56 {, 3, 5, 7} {56mod,56mod3,56mod5,56mod7}{,,,} Repreetace logarytmce a logarytm warto c bewgl de Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL VI

15 Sytemy lcea Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 SL VII Dodawae odemowae w ytemach tałobaowych },...,,,..., {, },...,,,..., { m m y y y y Y, y D, D Y Y ± ± },...,,,..., { },...,,,..., { m m Reurecya reguła wyacaa cyfr umy lub ró cy tee tylo wtedy, gdy tee ogóle row ae rówaa: c c y ± ± ±, y D tadardowy bór cyfr: D D{,,,} row aem et: ± ± < ± ± ± ± ± ± c c c y c y c y c y m etadardowy bór cyfr D{,d,d,,d, ; d mod} c c y ± ± m, D mod

16 Jedoaco repreetac tałobaowe Sytemy lcea TWIERDZENIE Repreetaca lcby w tadardowym yteme tałobaowym et uatowa. D o w ó d. Nech,...,,,...,,,..., }. Jao, e, w c { m m ma m < P N Z. Z ole, warto dowole lcby mo a oblcy ao Poewa λ, atem λ. <!! λ. Soro eda rop to areu lcb < e preraca, atem. Wya t d dale, e albo Gdy a, bo wówca albo {,,..., m} {,,..., m} gdy > {,,..., m} {,,..., m} gdy < <, co dowod tey. :, to Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SL VIII

17 Dałaa Dodawae odemowae w ytemach aturalych W tadardowym yteme aturalym λ rówaem dodawaa et ± y ± c ± c pry tym, y, {,,..., } c {,} c {, } ora {, ± y ± c}, } {, ± y ± c m } gdy ± ± y ± c y ± c m { c gdy m3 m m m ± y y y m3 y m y m y m c m m c m m c m3 m m3 c c c Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ I

18 Dałaa Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 DZ II Dodawae weloargumetowe w ytemach aturalych dodawae et premee ł ce, w c: y y Z Y a da uma warto c cyfr a a de poyc mo e by apaa ao lcba welocyfrowa o wade tae a waga poyc : u v r y pry tym } {,,...,,,,,...,, r v u y e l uma orygala YZ... ma m ładów, to uma: V R U r v u r v u Z Y ma ooło log m ładów, cyl ace me YZ..

19 Dodawae weloargumetowe w ytemach aturalych Dałaa y r v u, y,...,, u, v, r {,,..., pry tym } Je l lcba ładów et, uma et dwucyfrowa: { v, u} {, y... } gdy y... <, dodawae mo a wyoa dwuetapowo: eale e oblcy um a a de poyc doda otrymae lcby dwucyfrowe 3 m3 m m m y y y 3 y m3 y m y m y m ± 3 m3 m m m u u u 3 u m3 u m u m u m v v v v m4 v m3 v m v m m3 m m m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ III

20 Sewecyy algorytm mo ea w yteme aturalym Mo a multplcad A { a,..., a, a }, p p {,..., m, m} Mo multpler, Dałaa A A m m A algorytm pemy dodawae alowaych locyów c cowych S S S A, m, m,..., algorytm doda-preu add-ad-hft alowae um c cowych P P P S P A P m A { } A m m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ IV

21 Kotruca tablc mo ea w ytemach aturalych Dałaa dla cyfram locyu uma rówa : locy et premey a*bb*a wytarcy wypeł od pre te odległo c lcb w r dach olumach tałe pre ta: p. 3 3 *34* *4 5* *3 5* *3 6* uma cyfr WNIOSEK: w o oblce mo a wyoa be preee Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ V

22 Kotruca tablc mo ea w ytemach aturalych Dałaa odległo c pre tych te tałe pre te tyce werchołam odlcae od pre te główe te mo a wypeła emal automatyce, bo p. 4 4 *446* p. 5 4 *446*4 a...3 a... a pootałe pre te odległe od ebe oleo o, o 4, o 6 td., p. 5*46*3 34,... p. 5*47*4 Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ VI

23 Tablc mo ea w ytemach aturalych Dałaa A A A A A A Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ VII

24 Dałaa Delee całowte, D, Q, R lcby całowte dela dvded, D del dvor QDR, R < D Q lora quotet, R reta remader delea pre D Rówae delea mo e me row aa peła ce warue R < D R R D, <R,R < D R Q D delee aowae ged dvo a rety et ta a a dele delee modulare modulu dvo a rety et awe dodat Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ VIII

25 Delee ewecye Dałaa W yteme poycyym o dae podtawe del del mo a łatwo alowa pre pot g podtawy, ergo lora mo a oblcy dowol dołado c p. Je l {,...,,,..., m} ora D { dl,..., d, d,..., d}, to oblcoy dołado c p lora /D et rówy: Q { q l l q l q q p,,...,,... } p pry tym reta et e w a D* p. q Algorytm oblce et teracyy a podtawe u oblcoego prybl ea dołado c oblcamy prybl ee dołado c ole cyfr lorau Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 DZ I

26 Dałaa Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 DZ Prybl ea lorau Perwym prybl eem lorau et q Q q,,,...,} { tae, e D q D q <, D D q R < Doładee prybl ee to,, },...,, { q Q Q q q tae, e D q D Q R D q, <, D D q R R < Koleym prybl eam lorau atem q Q Q,, tae, e D q D Q R D q <,, D D q R R < co po alowau R r prowad do erówo c parametryce D D q r r <

27 Poycye row ce lcby w yteme aturalym Kowera podtawy Jedoac repreetac lcby w yteme aturalym o podtawe et row ae rówaa { m,...,,,..., }, gde {,,..., } Metoda tablcowa m. Oblcamy wyte potrebe dodate pot g podtawy < tyle pot g uemych, aby apew wymaga dołado repreetac problem: warto c pot g uemych prybl oe, p.,,. Oblcamy cyfry metod odem porówa : q > ale q <, to - q, p, Bepo rede oblcee Zamy tablc mo ea w yteme ródłowym apem warto c w yteme docelowym a pryład owera a ytem de ty Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP

28 Kowera podtawy Geerowae repreetac poycye Dla c c całowte I ora ułamowe F lcby mamy odpowedo F I { [... ]} { [... m m m...]} Regularo wyra e prowad do algorytmów geerowaa repreetac: uweralych eale ych od ytemu, dyamcych eale ych od warto c lcby. Algorytmy mu uwgl da pecyf arytmety ytemu poycyego uem podtaw w ytemach egabaowych ueme cyfry w ytemach SD uem wag /cyfry a awy e poyc w ytemach uupełeowych Naprote algorytmy dla repreetac aturalych Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP

29 Kowera c c całowte lcby Kowera podtawy Amodb reta delea A pre b Advb lora całowty A pre b I I mod I mod I I { [ ]} I dv I [ 3 [ ]] dv I 3 [ ] I mod cyfram row ca c c całowte I lcby w yteme o podtawe : I mod, I I dv t I, I I Je l I r, to r, I r td. olee cyfry lewotroego row ca eram Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 3

30 Algorytm ower c c całowte lcby Kowera podtawy Procedura a podtawe row ca Horera. Podel lcb pre podtaw ytemu docelowego. Otrymaa reta et ole cyfr row ca poycyego 3. Otrymay lora poowe podda procedure 4. Powtara dopó e uya lorau rówego Algorytm wyacaa repreetac c c całowte A aturale. A ; podtaw warto c poc towe. t / ; lora całowty. ; reta 3. ; w 4. f goto ; powtara dopó lora Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 4

31 Kowera podtawy Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 KP 5 Kowera c c ułamowe lcby ta c całowta lcby A...]}... [ { 3 m m F F t F...]]}... [ [ 4 3 m m F F t F...]... [ m m F F 3 t F 3 cyfram row ca c c ułamowe F lcby w yteme o podtawe,, t F < < F F F F Je l F r, to r, F r td. olee cyfry prawotroego row ca eram Je l F r F r to row ce et oreowe ore ma cyfr

32 Algorytm ower c c ułamowe lcby Kowera podtawy Procedura a podtawe row ca reurecyego. Pomó ułame pre podtaw ytemu docelowego. C całowta locyu ole cyfr row ca poycyego 3. C ułamow locyu poowe podda procedure 4. Powtara ta długo a : a uya wymaga dołado m odpowed lcb cyfr, b otryma locy rówy, c wyrye oreowo poaw ta am ułame a wce e. Repreetaca c c ułamowe A< dołado c m. A, ; podtaw warto c poc towe. t ; c całowta locyu. ; c ułamowa locyu 3. ; w 4. f m goto ; powtara dopó mała dołado Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 6

33 Kowera podtawy w ytemach aturalych Kowera podtawy dałaa wyoywae w yteme ródłowym o podtawe ω e l podtawa ytemu docelowego et w a od podtawy ytemu ródłowego, to ale y wyoywa mo ee lub delee pre warto podtawy aodowa w yteme ródłowym {b p,,b,b } ω wy {,,, r } w yteme o podtawe log ω Kowera ułama oreowego Zamaa ułama oreowego a ułame wymery c c, c c c {,, }, c {,, m } lcba poyc c c eoreowe ułama, c lcba poyc oreu Ułame o coy w bae dae ω mo e by oreowy w bae docelowe a wyem ower ułama oreowego mo e by ułame o coy. Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 7

34 Kowera ułama wymerego w ytemach aturalych Kowera podtawy Uwaga Wyem ower ułama wymerego et ułame o coy lub oreowy WŁA CIWO ower ułama Je l a dy del podtawy ródłowe ω et delem podtawy docelowe, to wyem ower ułama o coego et ułame o coy [ p P : NWD p, ω p NWD p, p] r < : m ω D o w ó d. Je l F et ułamem o coym m-poycyym w bae ω, to F m m m m m ω ω ω Aω, A ω, A N. m F ma o coe row ce ta e w bae, e el tee B N r< tae, r r e F B, B. Załó my, e NWDp,. Ale wówca byłoby r m m A Bω & NWD p, & NWD p, ω p NWD p, A w c row ce F byłoby eo coe, chyba e Ap m. r p m, Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 8

35 Kowera podtawy Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 KP 9 Kowera podtawy oaroe w ytemach aturalych pryłady , , , E7,74,, ,35 Pryład , 8 64, 8,5, 8, , 33, ,35

36 Kowera podtawy Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 KP Kowera podtawy oaroe w ytemach aturalych a atem:... t r t r m cyl { } { } r t m,...,,,...,,...,,,..., gde } {,,...,... warto cyfry w.. Zło ee ower ω< amat ower.. ω.. wygode realowa.. ω..

37 Kowera podtawy w ytemach aturalych pryłady 57,386 8 Z ora 57,386 9 Z Kowera podtawy I mod 3 3 F I mod 3 3 F ,386 35, ,... 57,386 84,34 9, ,35 8 ora 35, Z 3 dałaa w yteme óemowym I mod 8 8 F I mod 8 3 F , , , , Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP

38 Kowera ułama wymerego a ytem poycyy Kowera podtawy owera lca maowa a ytem docelowy delee gode algorytmem: o mo ee pre podtaw ytemu docelowego o odcae c c całowte uyaego locyu ,,, Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP

39 Kowera ułamów oreowych w ytemach aturalych Kowera podtawy amaa a ułame wymery u yce row ca eo coego oreca rócoego row ca automatyca oreca oreu podca mo ea ułame wymery row ce eo coe tylo,y... 53, ,537 8, F 7 F Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 3

40 Kowera podtawy w ytemach tałobaowych Kowera podtawy Ka da lcba w yteme tałobaowym ma row ce poycye, w c mo e by te row ta wg chematu Horera WNIOSEK Algorytmy ower dla ytemu aturalego mo a toowa ta e w dowolym yteme tałobaowym. Problem: arytmetya mu by odpoweda do wła cwo c ytemu Pryład: 57,386.. SD-8. D{4, 3,,,,,, 3} I I mod 8 8 F!<5 8 F !! Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 KP 4

41 Repreetaca a-moduł Lcby ueme peudoaturala 3,37, 4,554,... { } {,...,,,..., m}, {,,..., }, {,} m dwe repreetace era : a ogracoe lcbe poyc are lcb et ymetrycy problem w dodawau odemowau o efetywe dałae ale y od aów omplaca algorytmu dłu y ca wyoaa barde omploway uład Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT

42 Sytem egabaowy Lcby ueme ba uem w, {,,...,,,..., } m, {,,..., } m aca aymetra dodata e l eparyte, uema gdy paryte m Q [ ] a lcby ore la de abarde ac ce poyc eerowe maa au wyoala tylo dla ooło / lcb omploway algorytm uład o aby u odemowaa preeea, ± y ± c ± c, c c, c c, c, c c c wytwarae dwa preeea: c ora c c, co dae Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT

43 Repreetaca admarowa ytem e aowa cyfr SD Sytem tałobaowy poycyy,,d bór cyfr D { a,...,,,,..., a, a}, a a, SD SD : m Lcby ueme d d, { a,...,,,,..., a, a}, a a {,,..., m} SD {,,..., m} SD {,,..., m {,,..., m,, m m } },,,,,, gdy gdy gdy gdy <,,, <. wyoale w yteme SD, a w yteme uupełeowym Kowera odwrota mo e by eedoaca wele repreetac lcby. Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 3

44 Repreetaca mmala w dwóowym yteme SD Lcby ueme repreetaca mmala Z,..,, } awera ca aw ce er { m m [ ] [ < < m ] DOWÓD dla dwóowego ytemu SD: c g awera cy olowa cyfr lub e dae mmalowa oloway c g lub...,,,...,,,... et rówowa y...,,,...,,,... {...,, b, b,,...} {...,,, b,,...}, b, e da preodowa c gu cyfr lub a awy ych poycach. repreetaca aoca mmala wyluceem adu cych e-er Jet repreetac lcby ora repreetac lcby {,,,, }{,,,,} {,,,,} lcb repreetowaych et, ró ych repreetac et 3 Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 4

45 Lcby ueme Dwóowa repreetaca uupełeowa tuca roeree Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 5

46 Lcby ueme De ta repreetaca uupełeowa tuca roeree Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 6

47 Repreetaca uupełeowa Jedolta formuła a oblcee warto c lcby m ϕ, U gde ϕ g fuca au lcby Lcby ueme Roeree eo coe arytmetyce? {,...,,,..., m} U {...,,,...,,,..., m,. m,.., p} U tuce 35,7 U 35,7..35,7 U 35, U8 35, 8..35, U8 674,83 U 35, ,83 U 45,7 U8 35, ,7 U8 Je l w c ϕ, to auwa, e ϕ e e {..., e,,..., m, m,,...} e e Uwaga: Zauwa my, e poprawe cyfry repreetac lcby precwe otrymamy pre odemowae dae od era Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 7

48 Dwóowa repreetaca uupełeowa U Lcby ueme {, } ϕ bt au Sytem uupełeowy do complemet U U {,...,,,..., m} U m Roeree eo coe lcby w ode U Alteratywa terpretaca. e {...,,,,..., m, m,,,...} U U {,...,,,..., m} U m, {,}, {, } Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 8

49 Repreetaca polaryowaa lcb całowtych Lcby ueme prypae repreetac aturale warto c pomeoe o N obc < N < {,,..., {,...,, } N N, repreetaca obc alety: are lcb dodatch uemych et eymetrycy uatowa repreetaca era godo upor dowaa lcb ch repreetac odów wady: oeco orec wyów dała arytmetycych problematyce u yce w mo eu lub deleu ee } eem N baed N, ece N, S-N repreetaca polaryowaa quaymetryca Q N aymetr uem N Q aymetr dodat N Q Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 9

50 Lcby ueme Repreetaca polaryowaa lcb całowtych w yteme dwóowym N m N m m... m m... m m... m m... m por de lcb gody por dem odów dodawae odemowae wymaga orec łatwa owera a od U odwrote { m, m,...,, } U { m, m,...,, } m { m, m,...,, } U { m, m,...,, } m- Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT

51 Lcby ueme Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 INT Dwóowa repreetaca polaryowaa uupełeowa Gdy N et N, U },...,, { },...,, { Gdy N, to poewa, w c otrymamy N U },...,, { },...,, { m m

52 Bepo reda owera lcby a ytem uupełeowy Lcby ueme Poewa wag / warto c wytch cyfr repreetac uupełeowych opróc awy e dodate, w c: a owera c c całowte wymaga at pu cego pot powaa: olee loray ma ta a a lcba pretwaraa, warue topu: lora rówy warto c cyfry roerea lub b owera ułama wła cwego amaa a pota f lub f owera dodate c c ułamowe f a dla lcb dodatch Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT

53 Dopełee lcby lcba precwa Dopełee lcby Je l et wyoale dałae,...,,,..., } dgt-complemet { m {,...,,,..., : } m {,..., } Q Q Y, to mamy Y Q Y Q Y Y Lcby ueme Odwroto addytywa lcby {,...,,,..., m} lcba precwa ~ ~ { ~,..., ~, ~,..., ~ } m Odwroto addytywa et relac rówowa o c Je l tee lcba Q ~, to ~ ~ Q Q Q wtedy ~ Y Y Q Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 3

54 ź Repreetace de te odowae dwóowo Lcby ueme do barego aodowaa ede cyfr potreba log btów et mo lwo c odowaa cyfr 9 6 Kod BCD Bary Coded Decmal Kod BCD3 Ece-3, S-3 ego dopełee ~ amodopełae egaca btów cyfry dopełee warto c cyfry Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 INT 4

55 Sytemy omplemetare Sytemy omplemetare* Dla lcb ogracoego areu R lcb precw mo e repreetowa e uupełee do tałe R ~ ~ R Uupełae et odwracale ~ ~ ~, a poewa R R w c ta e ~ R ~ Sytemy omplemetare Q {,...,, }, ulp{,...,,} do podtawy rad-complemet, uupełeowe pełe ~ Q R Q ulp o e tee repreetaca RQulp ~ o uatowa repreetaca era: R e ma repreetac do cyfry dgt-complemet, dopełeowe, u.epełe dmhed r-c. ~ ~ Q R Q, R Q o RQ dwe repreetace era: ora Q Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK

56 Repreetaca lcby precwe { m Sytemy omplemetare*,...,,,..., : } Q dopełee lcby lcb precw odwroto addytyw e l tee repreetue od ~ R R Q w yteme uupełeowym pełym RQulp, w c ~ R ulp w yteme dopełeowym epełym RQ, w c ~ R W yteme uupełeowym lcba ~ Q ulp awe tee, ergo a de odemowae mo a at p dodawaem ~ ~ Y Y Y R Q Y Q Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK

57 Wła cwo c ytemów omplemetarych Sytemy omplemetare* Repreetaca lcb dodatch a w reu cym yteme aturalym! Q e et mar aymetr w yteme uupełeowym. Je el podtawa ytemu et lcb eparyt, to w ytemach dopełeowych mu wyt p ewela aymetra w ytemach uupełeowych are lcb mo e by ymetrycy trude wyryce au eb de tetowae wytch poyc Je l podtawa ytemu et lcb paryt, to w ytemach dopełeowych are lcb mo e by ymetrycy w ytemach uupełeowych mu wyt p ewela aymetra mo lwe łatwe wyryce au gdy <, gdy, w ytemach pełych uema aymetra. podtawa ytemu omplemetarego et wyle lcb paryt uupełeowy do podtawy U/ complemet, U/ compl. dopełeowy do cyfr U/ complemet/ D Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 3

58 Sytemy omplemetare* Dodawae odemowae w ytemach uupełeowych W ytemach aturalych repreetac lcby w e mee o edot ulp m o repreetac {,,,} od dae et wy poycyego dodaa od ca ulp do od te lcby. preeee poyc awy e wadcy o ewyoalo c dałaa Bra argumetów precw toowau reguły w ytemach uupełeowych repreetac lcby precwe et } dodawae odemowae edot mo a wyoa gode reguł ± y ± c ± c, dodae edot m do lcby aw e ueme {,...,, } o warto c m, gode reguł dae w wyu poprawe od ce edot m od, gode reguł dae {,...,, } problem wyoalo c dałaa o edopoycye roeree areu apewa poprawo wyu a dego dodawaa lub odemowaa wyoaego gode reguł Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 4

59 Sytemy omplemetare* Repreetaca uupełeowa w yteme pełym epełym podtawa paryta U D/U / m /... / m / m /... / m m... m... m... m... m / m /... / m / /... / m R R m U U, m U < U R m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 5

60 Warto lcby w yteme omplemetarym Sytemy omplemetare* R m ϕ, U gde ϕ g fuca au lcby, R δ m δ w yteme uupełeowym lub w dopełeowym, d U ϕ δ ϕ m Roeree eo coe arytmetyce?,...,,,..., } {,...,,,...,,,...,,.,.., } { m m m p tuce 35 U 35 35, U 35 U , U9 675 U , U 674 U ,99 U9 Je l w c ϕ, to auwa, e ϕ e m e e ytem uupełeowy: e {..., e,,..., m, m,,...}, ytem dopełeowy: e {..., e,,..., m, m, e,...} Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 6

61 Sytemy omplemetare* Dwóowe ytemy uupełeowe {, } ϕ bt au! Sytem uupełeowy do complemet U U {,...,,,..., m} U m Roeree eo coe lcby w ode U. e {...,,,,..., m, m,,,...} U Sytem dopełeowy do complemet D/U m U {,...,,,..., m} U m Roeree eo coe lcby w ode U e {...,,,,..., m, m,,,...} U. Kowera U U: U U ulp m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 7

62 Sytemy omplemetare* Kod uupełeowy do U dopełeowy do epeły, D U D/U m... m m... m m... m m... m R m R m {,...,,,..., m} R m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 8

63 Sytemy omplemetare* Kod uupełeowy do U dopełeowy do 9 epeły, D9/U9 U D9/U R R {,...,,,..., m} ϕ R m Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 9

64 Sytemy omplemetare* Kod uupełeowy do 8 U8 dopełeowy do 7 epeły, D7/U7 U9 D7/U R 8 R 8 {,...,,,..., m} ϕ R m R εulp Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK

65 Lcby welomay* Lcby epoloe Lcba epoloa para lcb a,b, tóre prypao warto epolo a,b ab, Dodawae odemowae [ab]±[ab][a±c][b±d] Mo ee Delee [ab][cd][acbd][adbc] [ab]/[cd][ab] [cd]/[cd] [cd] {[acbd][adbc]}/[c d ] Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK

66 Lcby epoloe Lcby welomay* Pota wyładca a b a b a a b a b b w c e l podtawmy a b, arcta / b a, to abco e Wór Laplace a e π Wór de Movre a-laplace a e co co e Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK

67 Lcby welomay* Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 SK 3 Welomay a a a a a W... ALGORYTM DZIELENIA Ka dy weloma mo a apa w potac R Q P W Q del welomau topa R reta delea topa ego WNIOSEK : W P W WNIOSEK : Je l perwatam welomau W, to... P a W gde P del eroładaly a cy lowe.

68 Welomay ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI Lcby welomay* WNIOSEK 3: Całowte perwat welomau o wpółcyach całowtych podelam wyrau wolego a a. WNIOSEK 4: Mamy W a a... a w c perwat wymere welomau o wpółcyach całowtych podelam wyrau awy ego a a. a a Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 4

69 Lcby welomay* Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 SK 5 Weloma weloma podtawy Weloma polyomal W {a,a, a,a }: a parametry, mea... a a a a W a W Weloma podtawy rad polyomal repreetaca tałobaowa edolta Z{,,, }: mee, parametr... Z Z Z repreetaca tadardowa poycya

70 Lcby welomay* Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 SK 6 Algebra welomaów algebra lcb Algebra welomaów b a b a W W b a Algebra lcb repreetaca poycya tałobaowa tadardowa algorytm dodawaa: y Y Z,, < c c y c y c c y c y

71 Oblcea chemat Horera Lcby welomay* Warto welomau mo a oblcy ao W a a { a [ a a3... a a ]} ło oo oblceowa chemat laycy uma locyów pre pot g mee o dodawa, o mo e, o oblce pot g, o pam pot g chemat Horera uma locyów pre me o dodawa o mo e, o b da pam Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa dera 6 SK 7

72 Lcby welomay* Jau Berat, -6-Sytemy lcbowe.doc, 6 pa ź dera 6 SK 8 Sybe oblcae warto c lcby chemat Horera lcby całowte Z... },,..., { oblcae reurecye }... ] {[ Z lcby ułamowe m m m m m Z... },,..., { oblcae reurecye warto w potac ułama wymerego } ]... {[ m m m m Z