Układy dyskretne raz jeszcze

Transkrypt

1 Układy dyskree ra jesce

2 Draia podłuże układu mas i sprężyek Roparmy N ciężarków połącoych N sprężyek Sa rówowai N- N m m m m. K K K K x a a N-a Na Na. Oóla koiuracja Rówaie ruchu dla -eo ciężarka N- N d m d K K

3 Posacie drań ormalych... A A A cos ω ϕ A A cos ω ϕ cos ω ϕ cos ω ϕ cos ω ϕ Oblicmy: d d d m d ω ω A cos ω ϕ Po podsawieiu do rówaia: K K i pobyciu się cyika cosω, dosajemy mω A K A A A Sad rówaie wyacajace koiuracje dra wlasych o cesosci ω A m K A A ω Pre aaloię do sruy π posukajmy rowiąań posaci: A Asi a Asi ka λ λ - dłuość ali k licba alowa

4 A Asi k a Asi ka ka A[si kacos ka cos kasi ka] A A A Asika Asi k a Asi ka ka A[si kacos ka cos kasi ka] po dodaiu sroami: A Asi kacos ka A cos ka Sąd A cos ka A m ω K m cos ka ω K K K ka ka K ka ω cos ka cos si si m m m Cyli osaecie: K ka ω si m Waro prećwicyć użycie licb espoloych, badając rowiąaia posaci A Zależość pomiędy cęsością ω a licba alowa k cy e dluoscia ali λ wyraa wiaek dyspersyjy dla ukladu mas polacoych spreykami. * Ce ika

5 A Asi kacos[ ω k ϕ] A N Asika Asi k N a Asi k Rowiąaie oóle Waruek ikaia dla spełioy erowy ciężarek uieruchomioy Waruek ikaia wychyleia dla Na, uieruchomieie N ciężarka Isieje N rowiąań eo rówaia: k π k, π,... k mπ,... k m N Nπ Isieje oraiceie! k max N π λ π k max π Nπ N mi a a λ mi a To cecha układów dyskreych!

6 Dyspersja dla ooów w łocie Model krysału aomy masy połącoe sprężykami Draia sieci ooy draia włase, cy eż ale propaujące się w krysałach J. W. y, H. G. Smih, ad R. M. Nicklow Phys. Rev. B 8, Prosy model ieźle pracuje Cerwoe krywa: ka ω ω si

7 Draia pręów kamero y M F ϕ dx x MdM FdF E - moduł Youa J - eomerycy mome bewładości h w prekroju xdx diała mome MdM x Roważaliśmy iaie belek M M Mome skręcający ależy od położeia x, w prekroju x diała mome M E E ϕ x R J J Wór krywią Możemy o apisać używając druiej pochodej y M x E J dx Naddaek momeu, jes rówoważoy pre siły syce do prekroju dm F x dx F x, M x x

8 M x F x, x 3 y EJ 3 x Naddaek siły diałającej a eleme dx F x y df dx EJ dx x x y Pod wpływem siły df eleme m uyskuje pryspieseie Sąd rówaie ruchu: y y ρsdx EJ dx x siła wroa diałająca wdłuż y a eleme pręa o masie m mρsdx ρ - esosc prea S powierchia prekroju prea y y y y ρs EJ a x x die Rówaie drań poprecych pręa a EJ ρs

9 Rówaie drań poprecych pręa kamerou y a y x Waruki breowe: dla amocowaeo końca, cyli dla x, y, y x x a końcu pręa x powiie ikać mome iający i siła syca y x x 3 y 3 x x Waruki pocąkowe, wychyleie i prędkość y y x, x *** Posulujemy rowiąaie: meoda separacji mieych i podsawiamy do rówaia *** y x, Y x T

10 a T d T d Y x d Y x dx λ Skoro ukcje dwóch ieależych mieych są sobie rówe, o musą być sałe: λ - sala. Dla ukcji Yx dosajemy więc rówaie: d Y x dx Rowiąaie oóle ma posać: λy x Y x Acosh λ x Bsih λ x C cos λ x Dsi x dy Z waruków breowych: Y, dx x 3 d Y d Y, 3 dx dx x x C-A, D-B Acosh λl cos λl Bsih λl si λ x Asih λl sih λl Bcosh λl cos λ x λ

11 Układ rówań ma ierywialie rowiąaia A i B, dy wyacik układu jes rówy eru sih λl si λ cosh λ cosh λ cos λ cos λ Poieważ cosh λ sih λ si λ cos λ To orymujemy rówaie presępe: cosh µ cos µ die µ λ Jeo rowiąaia moża aleźć umerycie: µ.875, µ.9, µ µ π/- dla >3 Zając warości µ moemy alec ampliudy A i B ora λ µ Poosaje am rowiąać era rówaie a ukcję T, ale o jes acie prosse

12 d T a λt d Rówaie oscylaora harmoiceo! T a cos ω b si ω Cęsość a EJ ρs µ ω λ λ EJ ρs Cęsoliwość µ π ν Sosuki cęsości dla drań poprecych pręa kamerou są ie iż dla sruy! Koleje cęsoliwości ie są wielokroościami cęsości podsawowej! ν ν µ EJ ρs ν 3 µ , ν µ µ 7.58 Rówaia wyprowadoe dla pręa sosują się eż do drań pły! Będiecie moli o sprawdić wykoując ćwiceia a I Pracowi!

13 Draia membray Powierchiowe źródła dźwięku płyy, membray Skorysajmy aaloii do sruy: T T ρ ρ S σ ρ T - sila aciau ρ - esosc liiowa ρ- esosc objeosciowa σ - apreeie W prypadku al sojących a membraie powiy powsać liie węłowe. Rówaie alowe drającej membray jes bardo podobe do drań sruy: * x y Załóżmy, że mamy do cyieia membraą rociąięą a kwadracie o boku. Na breach kwadrau wychyleie membray ika, pre aaloię e sruą sukamy rowiąań w posaci: x, y, Asi k xsi k ysi ω Po podsawieiu do rówaia * i różickowaiu dosajemy: x y y x

14 Waruek a składowe wekora aloweo: ω k x k y pryjmując k x k cosα, k y k siα dosajemy k ω Roważmy waruki breowe: si k si k x y π m ωm, ω, πν m m, σ ρ k k x y ω k k ω x y mπ π k k [ k x, k y k k x y ν ] wiąek dyspersyjy ideycy jak dla sruy m, mπ π Cęsoliwość drań własych membray: m, całkowie m σ ρ

15 k y mπ π m σ m, k y ν m, ρ ν, Draia włase membray amocowaej a kwadracie mają więc posać: mπ π x, y, Asi xsi xsiπν m, 5 ν, ν ν,, 3,,,, ν, Rowiąaie oóle: mπ π x, y, si xsi x m, m, m, m, m, ν,. 58ν, ν,. ν,,, ν ν. 9ν [ A siπν B cosπν ]

16 Membraa kołowa Sosuki cęsości podsawowych dla kolejych drań własych membray kołowej, amocowaej a breu

17 Fale bieące Układy amkięe eeria amkięa w pewym określoych raicach draia układu swobode i sacjoare moża predsawić w superpoycji al sojących drań ormalych. Układy oware - ale bieące, cyli ale wędrujące od źródła, kóre je wyworyło diałając a ośrodek owary siłą wymusającą. Towarysy emu raspor eerii i pędu. Załóżmy, że w pukcie, srua wykouje draia DAcosω eeraor Sukamy Dla,, D Acos ω Jeśli abureie rochodi się e sałą prędkością, o ruch elemeu w pukcie w chwili, jes aki sam jak ruch elemeu w pukcie, ale w casie wceśiejsym o odsęp casowy jaki ala używa, aby dobiec do puku

18 Poieważ:, ' - ϕ ω, ' Acos ω' Acos ω Acos ω ϕ ϕ,, Dla usaloeo, ukcja predsawia oscylacje harmoice w casie W usaloej chwili, ukcja predsawia oscylacje harmoice presree ω k ϕ, Acos ω k Waro apamięać: ϕ ω k πν π / λ ϕ νλ ϕ λ T Fukcja aowa aa Śledeie sałej ay: ϕ, Prędkość aowa: Wróćmy do al a sruie. ω k ϕ, cos d d dϕ ϕ ωd kd ω k [ dϕ ]

19 Fale bieące ρ T - prędkość aowa ali Klasyce rówaie alowe: Oóle rowiąaie daje się apisać w posaci sumy al bieących w lewo i w prawo., Wprowadźmy miee: Podsawiamy do rówaia aloweo

20 Cyli rówaie alowe pryjmuje posać: Całkujemy ieależie po każdej e mieych i orymujemy rówaie w posaci sumy rowiąań ależych jedyie od pojedycej mieej lub :, * d *,,, k k ω ω lub w lewo w prawo

21 Rowiąaie oóle rówaia aloweo Jeśli w chwili pocąkowej, [ ] ds s, Rowiąaie klasyceo rówaia aloweo wyraża się a pomocą woru d Alembera :, ukcje rosąde odpowiedio dwukroie i jedokroie różickowale Dowód Zapismy waruki pocąkowe:,, Sąd

22 Całkujemy obusroie: C ds s x Z pierwseo waruku pocąkoweo mamy Dodając i odejmując sroami dosajemy: C ds s C ds s Te rówości są spełioe pry dowolej warości arumeu C ds s C ds s Zsumujmy obusroie e wyrażeia.

23 ds s ds s, ds s, ] [, G G Ceo mieliśmy dowieść! Wyodie jes casem używać posaci Gdie ukcja x x ds s x G

24 Ierpreacja iyca Roważmy syuację,, Prędkość pocąkowa sruy rówa eru Brak miay ksału wyika barku dyspersji. ωkk iacej impuls bedie sie roplywal 3 3

25 Odbicie ali meoda predłużeń I. Jeśli waruki pocąkowe dla ieskońcoej sruy są ukcjami ieparysymi wlędem peweo puku, o rowiąaie, rówaia aloweo w pukcie jes awse rówe eru. II. Jeśli waruki pocąkowe dla ieskońcoej sruy są ukcjami parysymi wlędem peweo puku o jes awse rówe eru. Ad. I. Niech,, [ ] s ds Ad. II. Dowód aaloicy jak dla I. Korysamy eo, że d d d d Tera możemy kosruować odbicie ali od amocowaeo i swobodeo końca sruy

26 Zmiaa ay pry odbiciu od syweo końca 3

27 Brak miay ay pry odbiciu od końca swobodeo 3