WYKŁAD 10. Rozdział 5: Drgania liniowych układów ciągłych. Część 2: Drgania swobodne belek Równanie drgań poprzecznych belki

Transkrypt

1 WYKŁAD Rodiał 5: Drgaia iiowych układów ciągłych Cęść : Drgaia swobode beek 5.5. Rówaie drgań poprecych beki Prymiemy astępuące ałożeia, dięki którym otrymamy iiowe rówaie drgań poprecych beki, iesprężoe drgaiami skrętymi i podłużymi: beka est smukła, co oaca, że e długość est acie więksa od wymiarów prekrou poprecego (co amie o rąd wiekości), prekró poprecy beki est stały i ma oś symetrii aeżącą do płascyy drgań beki, edyymi siłami wewętrymi w prekrou są momet gący wgędem osi prostopadłe do płascyy drgań i siła popreca aeżąca do te płascyy, bewładość obrotu eemetu beki w płascyźie drgań est pomiięta, pomiięty est wpływ ściaia a premiesceia poprece, prekroe poprece beki achowuą płaskość (hipotea Kirchhoffa), premiesceia poprece są małe (rędu grubości beki), obowiąue prawo Hooke a w reaci aprężeń i odkstałceń ormaych do prekrou. Ropatrmy bekę dowoie podpartą a końcach, poddaą rołożoemu obciążeiu ewętremu q ( x,. Bekę taką prykładowo podpartą obustroie pregubowo pokaao a Rys. 5.8a. W odróżieiu od struy, pręta i wału, będiemy budować rówaie drgań wymuseiem, które umożiwi badaie awiska reoasu beki w prypadku wymuseia harmoicego w casie. Rys. 5.8: Beka podparta pregubowo: a) kofiguraca i obciążeie poprece, b) ieskońceie mały eemet i siły wewętre Prawo Newtoa astosowae do eemetu beki ako puktu materiaego, prowadi do astępuącego rówaia ruchu: 6

2 Q A q, (5.) t gdie w ( x, oaca premiesceie poprece eemetu beki w układie współrędych pokaaym a Rys. 5.8a, Q Q( x, est siłą poprecą w prekrou beki, a, A oacaą odpowiedio gęstość materiału i poe prekrou beki. Rówaie ruchu obrotowego eemetu beki, pry ałożeiu pomiięcia bewładości obrotowe, ma postać statycą (est to rówaie mometów wgędem środka eemetu, Rys. 5.8b): M ( x, Q( x,. (5.) Ze statycych obiceń wytrymałościowych beek wiadomo, że prawdiwa est astępuąca aeżość międy mometem gącym i premiesceiem poprecym (w koweci osi i dodatiego aku mometu gącego a Rys. 5.8b): M EIw, gdie I oaca geometrycy momet bewładości prekrou beki wgędem ego osi główe cetrae, będące osią oboętą giaia. W dyamice aeżość ta prymue postać: M( x, EI. (5.) Podstawiaąc apierw (5.) do (5., a astępie (5.) do (5.), otrymuemy ieedorode iiowe rówaie drgań poprecych beki: Uwaga a t b q( x,, gdie a b EI. (5.) A Wyprowadaąc rówaie beki (5.) pomięiśmy tłumieie, które w recywiste bece może wyikać oporów ruchu w ośrodku ub tarcia wewętrego w materiae. Dokładiesa aaia drgań beek wymaga uwgędieia tych efektów Drgaia swobode beki be tłumieia Drgaia swobode beki maą miesce pry q i opisue e rówaie: a b. (5.) t Aby rowiąać rówaie drgań (5.) i wyacyć drgaia swobode kokrete beki, aeży do rówaia (5.) dołącyć waruki pocątkowe i waruki bregowe. Waruki pocątkowe (w icbie rówe rędowi rówaia drgań wgędem casu) maą postać 7

3 aaogicą do te, którą mieiśmy do cyieia w prypadku struy. Są to fukce miee x, opisuące rokład premiesceń pocątkowych i prędkości pocątkowych wdłuż beki: w( x,) w ( x,) v t,. (5.5) Fukce w ( ) i v ( ) ie mogą być adae dowoie. Powiy oe spełiać geometryce x x waruki bregowe wyikaące e sposobu podparcia beki (podobie było w prypadku struy, pręta i wału). Licba waruków bregowych wyosi (taki est rąd rówaia drgań e wgędu a Mogą oe dotycyć: a) premiesceń w b) mometu gącego mechaice). i kątów obrotu skraego prekrou (waruki bregowe geometryce), M i siły poprece Q w skraych prekroach (waruki Mechaice waruki bregowe prekładaą się a pochode cąstkowe premiesceia poprecego beki wgędem miee x, w wiąku aeżościami (5.) i (5.): M( x, EI, Q( x, EI. (5.6) Prypomimy e statyce teorii beek, że iocy EI osi awę stywości gięte beki. Romaitość waruków bregowych beek est acie więksa iż w prypadku struy. Na każdym bregów występuą dwa waruki bregowe. Prykłady pokaao a Rys x ). Rys. 5.9 Prykłady waruków bregowych beki Prykładowe waruki bregowe pokaae a Rys. 5.9 opisae są rówaiami: w (,, w (,, (a) w (,, M(, (,, (b) 8

4 ( M, (,, Q(, (,, (c) ( M, (,, Q(, k w(, EI (, k w(, s s, (d) M (, (,, w(, s(, (e) w, (, Q(, (,. (f) ( Zwróćmy uwagę a to, że waruki bregowe (a)(d) są rówaiami, których prawe stroy są rówe, a rówaia ie awieraą casu w sposób awy. Takie waruki bregowe aywamy edorodymi. Waruki bregowe (e) i (f) aeżą do kategorii waruków ieedorodych. Ich rówaia awieraą fukce s( i (, które są odpowiedio adaym aeżym od casu premiesceiem iiowym i kątowym prawego końca beki. Takie waruki bregowe oacaą wymuseie kiematyce drgań beki. Rowiąaia rówaia drgań swobodych beki (5.) posukuemy, podobie ak w prypadku struy, w postaci: w( x, T(. (5.7) Podobie ak w prypadku struy, postać rowiąaia (5.7) umożiwi am sformułowaie i rowiąaie agadień bregowego i pocątkowego. Metoda rowiąaia est taka sama, ae agadieie bregowe beki różi się od tego, które poaiśmy w prypadku struy, pręta i wału. Podstawiaąc rowiąaie (5.7) do rówaia ruchu (5.) i rodieaąc miee, otrymuemy: Aby rówaie (5.8) było spełioe da każde pary argumetów IV T (. (5.8) a T ( b ( x,, ewa i prawa stroa tego rówaia musą być rówe icbie stałe (ueme, co wyika preciwych aków T ( i T ( w ruchu harmoicym). Licbę tę możemy apisać ako ( ieaą a raie icbą ieuemą. Wyrażeie (5.8) geerue rówaie agadieia bregowego: k ), gdie k est IV k (, (5.9) które est iiowym rówaiem różickowym wycaym cwartego rędu e wgędu a x ora rówaie agadieia pocątkowego drugiego rędu e wgędu a t : 9

5 T ( k a T(. (5.5) b Rowiąaie ogóe rówaia agadieia bregowego (5.9) est odmiee od tego, które otrymaiśmy w prypadku struy. Podstawiaąc do tego rówaia rowiąaie w postaci e rt, otrymuemy rówaie charakterystyce: które ma rowiąaia: r ik, r k, (5.5) r ik, r k, r k, (5.5) gdie i urooe pierwiastki oaca edostkę urooą w diediie icb espooych. Moża pokaać, że r, r prowadą do harmoice cęści rowiąaia, a pierwiastki recywiste preciwe r,r - do ego cęści hiperboice. Tak więc, rowiąaie ogóe rówaia agadieia bregowego (5.9) moża apisać w postaci: Acoskx Bsi kxgcoshkx H sih kx, (5.5) gdie A, B, G, H oacaą stałe które aeży wyacyć a podstawie waruków bregowych, a k est ieaą esce icbą ieuemą. W drgaiach swobodych występuą tyko edorode waruki bregowe, które ie awieraą casu w sposób awy. Każdy cterech waruków bregowych geerue iiowe rówaie agebraice iewiadomymi stałymi A, B, G, H. Otrymuemy więc układ iiowych rówań agebraicych, który est edorody. Ma o ogóą postać: gdie współcyiki e i e e e e A e A e A e A e B e B e B e B e G e G e G e G e H H H H (5.5) są fukcami e e (cosk,si k,cosh k,sih k). Warukiem i i istieia ieerowych stałych A, B, G, H est erowa wartość wyacika główego układu (5.5). Waruek te prowadi do rówaia iewiadomą k: e ( k)... e......, (5.55) e ( k)... e które, w wiąku aeżością od fukci harmoicych cos k i si k, ma ieskońcoy ciąg rowiąań k ),( k),( k),...( k),..., który geerue ciąg icb k k,,... będących ( ( k) ( k), k

6 wartościami własymi agadieia bregowego. Każde wartości włase odpowiada fukca własa: A cosk x B si k x G coshk x H sih k x, (5.56) pry cym, e wgędu a erowość wyacika główego da każde wartości włase k k, edą e stałych A H moża pryąć dowoie. Oaca to, że faktycie układu rówań (5.5) możemy wyacyć tyko stosuki trech stałych do te, którą ustaiiśmy dowoie. Jeśi atem prymiemy A, to obicoe ie stałe są stosukami B / A, G / A, H / A. Prypomimy, że podobe stosuki w drgaiach swobodych układów o wieu stopiach swobody, awaiśmy współcyikami postaci drgań. Fukce włase (5.5) maą właściwość ortogoaości, która poega a tym, że całka iocyu dwu różych fukci własych a długości beki est rówa eru: gdy, gdy. (5.57) Uwaga Waruek ortogoaości fukci własych ma postać (5.57) da wsystkich beek, które a swych końcach ie są połącoe ciałami o masie skupioe. Maąc ciąg fukci własych, moża prystąpić do rowiąywaia agadieia pocątkowego i do kostrukci całego rowiąaia rówaia drgań swobodych beki. Wartości włase geeruą ciąg rówań agadieia pocątkowego: T ( k a T (, (5.58) których wyikaą cęstości włase ietłumioych drgań swobodych beki: EI k ab k. (5.59) Rowiąaie ogóe -tego rówaia (5.58) ma postać harmoicą: Podobie ak w prypadku struy stałe b T ( C cos t D si t. (5.6) D C, wyaca się waruków pocątkowych beki, korystaąc waruków ortogoaości fukci własych (5.57). Pełe rowiąaie rówaia drgań swobodych beki est ieskońcoym seregiem: w( x, ( C cos t D si. (5.6)

7 W ceu wyaceia stałych C, D waruki pocątkowe beki (5.6) apisuemy w postaci: w v C D,, a astępie możymy e stroami pre wybraą fukcę własą o umere wgędem x wdłuż beki. Otrymuemy astępuące dwie aeżości: (5.6) i całkumy w v C D,. (5.6) Ze wgędu a waruek ortogoaości fukci własych (5.57), seregów po prawe stroie aeżości (5.6) poostaą tyko wyray o umere. Zatem stałe C, D są astępuące: C, D v(, (5.6) gdie. W te sposób drgaia swobode ietłumioe beki, spełiaące adae waruki bregowe i waruki pocątkowe ostało w pełi okreśoe w postaci ieskońcoego seregu (5.6). Wyra tego seregu o umere opisue -tą postać drgań ietłumioych beki, o cęstości. Fukcę własą ( występuącą w -te postaci drgań aywamy - tą formą drgań własych (swobodych) beki. Prykład 5.5 Zaeźć wartości włase, fukce włase i cęstości włase edorode beki o długości prekrou A, stywości gięte EI i gęstości materiału pregubowo (obydwie podpory są typu a) a Rys. 5.9)., podparte obustroie, Waruki bregowe ropatrywae beki są typu (5.b), pokaaego a Rys. 5.9b. Ich rówaia, po wyrażeiu mometu gącego pre ugięcie beki, maą postać: ( w,, (,, w(,, (,. (a) Geeruą oe astępuące waruki bregowe fukci własych ( da x i x : ( ), (), ( ), ( ) (b)

8 Waruki (b), podstawioe do rowiąaia ogóego (5.5), prowadą do edorodego układu rówań a stałe A, B, G, H : G k A k G cosk Bsi k G coshk H sih k k Acosk k Bsi k k G coshk k H sih k Aby istiały ieerowe rowiąaia układu rówań edorodych (c), wyacik główy tego układu musi być rówy. Prowadi to do rówaia iewiadomą k (c) ub k, typu (5.55). Zauważmy edak wceśie, że dwóch pierwsych rówań układu (c) pry k wyika, że A G, a układ (c) uprasca się do dwóch rówań: Bsi k H sih k Bsi k H sih k Dodaąc te rówaia i biorąc pod uwagę, że pry pry B : k sih k, otrymuemy (d) H ora si k k, N. (e) Jedyą ieerową stałą poostae więc stała B, które wartość - pry erowym wyaciku główym moża pryąć dowoie, p. B da każde icby. Ciągi wartości własych, fukci własych i cęstości własych ropatrywae beki są więc astępuące: k, si x, EI, N. (f) Zauważmy, że wartości włase i fukce włase beki obustroie pregubowo podparte są takie same ak w prypadku struy. Cęstości włase są odmiee. Prykład 5.6 Bekę Prykładu 5. wygięto wstępie godie fukcą w ax( ), gdie a i x puscoo be prędkości pocątkowe. Wyacyć drgaia środkowego puktu beki. Wartości włase, fukce włase i cęstości włase beki acerpiemy Prykładu 5.5. Drgaia swobode maą ogóą postać (5.6), która pry erowe prędkości pocątkowe v ( i fukcach własych si x, uprasca się do: w( x, C si x cost. (a)

9 Do wyaceia poostaą stałe C. Założoy waruek pocątkowy apisuemy w postaci: ax( C si x. (b) Możąc rówość (b) stroami pre -tą fukcę własą, całkuąc stroami wdłuż beki i korystaąc ortogoaości fukci własych, otrymuemy ogóie: a w scegóości: a a C x( si x ( ) C, (c) a a a, C, C, C, C5,... (d) 8 7 Posukiwae drgaia swobode środkowego puktu beki ( x / ) opisue sereg: a w, t ( ) w którym wyray o umere parystym są rówe. cos t, (d) Prykład 5.7 Bekę Prykładu 5.5 podparto a ewym bregu pre utwierdeie, poostawiaąc prawy breg swobody (beka wsporikowa). Zaeźć pierwse try wartości włase i try cęstości włase ora okreśić ciąg fukci własych te beki. Zmiaa sposobu podparcia beki mieia asadico e wartości włase, fukce włase, a w kosekweci rówież e cęstości drgań swobodych. Waruki bregowe ropatrywae w tym prykładie beki są astępuące: ( w w,, (,, (,, (,. (a) Geeruą oe waruki bregowe da fukci własych ( : ( ), (), ( ), ( ), (b) które prowadą do astępuącego układu rówań edorodych a stałe A, B, G, H w rowiąaiu ogóym agadieia bregowego (5.5): G Bk Hk Ak cosk Bk si k Gk coshk Hk sih k k si k Bk cosk Gk sih k Hk coshk (c)

10 Z dwóch pierwsych rówań (c) wyika, że G, ora H B, atem układ (c) sprowada się do dwóch astępuących rówań a A, B pry k : (cosk coshk) B(si k sih k) ( si k sih k) B(cosk cosh k) (d) Biorąc pod uwagę, że (coshk) (sih k), rówaie wartości własych (wyikaące erowości wyacika główego układu (d) możemy sprowadić do postaci: cos, cosh Lewa stroa rówaia (e) est mootoicie rosąca w obsare gdie k. (e), atomiast prawa stroa est fukcą okresową, datego rówaie to ma ieskońceie wiee rowiąań. Jest to rówaie prestępe, które moża rowiąać graficie ub umerycie. Rowiąaie grafice pokaao a Rys. 5.. Try amiese icby dokładością do cterech miesc diesiętych wyosą: spełiaące rówaie (e), podae,875;,69; 7,855. (f) Odpowiadaące im try pierwse wartości włase ora cęstości włase są astępuące: k,875,69 7,855 EI EI EI, k, k ; k, k, k (g) Rys. 5.. Grafica iterpretaca rówaia wartości własych beki wsporikowe Rówaia (d) po podstawieiu k k są rówaiami a A, B aeżymi od siebie, atem edą tych stałych, p. postaci: gdie: B, moża pryąć dowoie i predstawić -tą fukcę własą w B cosk x si k x coshk x sih k x, (h) A si k sih k. (i) B cosk coshk 5

11 Wartość stałe B moża wybrać dowoie, p. B, ae moża też tak ą dobrać, aby wsystkie fukce włase da x miały wartość ub -. Będie tak wówcas, gdy: B cosk si k cosh k sih k. () Wykresy trech pierwsych fukci własych według woru (h) e stałą dowoą () pokaao a Rys. 5.. Rys. 5.. Try pierwse fukce włase beki wsporikowe Prykładu Dyskretyaca agadieia drgań swobodych beki metoda Rayeigha W te cęści wykładu predstawimy prybiżoą metodę obicaia pierwse cęstości włase ietłumioych drgań swobodych beek o różych warukach bregowych, rówież w prypadkach połąceia ich w prekroach bregowych ciałami o masie skupioe. Stosowaa tu metoda, aa ako metoda redukci mas Rayeigha, ie wymaga rowiąaia agadieia bregowego, które może być skompikowae i casochłoe. Wymaga prybiżoego okreśeia rokładu premiesceń poprecych beki ora rokładu prędkości, które wyikaą adaych waruków bregowych. Maąc ogóą wiedę dotycącą postaci drgań własych, możemy dobrym prybiżeiem prewidieć prebieg wybrae fukci włase (acęście pierwse) i a te podstawie sprowadić układ ciągły, akim est beka, do pewego astępcego układu o edym stopiu swobody. Jest to dyskretyaca, o które mówi tytuł te cęści wykładu. Ropatrmy bekę o aych parametrach geometrycych i materiałowych ora o adaych edorodych warukach bregowych, ieaeżych awie od casu. Zbuduemy 6

12 astępcy układ drgaący o edym stopiu swobody o masie m i stywości astępce sprężyy k. Kryterium rówoważości beki recywiste i układu astępcego będie rówość eergii potecae ora eergii kietyce obydwu układów w każde chwii Posukuąc w te sposób -te cęstości włase beki, buduemy układ astępcy właściwy do -te postaci drgań beki. Wyik prybiżeia będie tym epsy, im prewidyway rokład premiesceia i prędkości będie biżsy recywiste -te fukci włase roważae beki. Rokład te musi spełiać co amie geometryce waruki bregowe beki. Eergia kietyca beki w casie e drgań wyosi: w Ek A. (5.65) t t. Eergia potecaa E p wyika tyko odkstałceia sprężystego beki. Na podstawie statyce teorii beek, eergia odkstałceia eemetu beki o długości wyosi: de M ( x p EI ). (5.66) Biorąc pod uwagę aeżość międy mometem gącym i premiesceiem (5.6), eergię potecaą beki w casie e drgań możemy apisać w postaci całki: E p EI x. (5.67) Eergie kietyca i potecaa oscyatora astępcego predstawiaą się astępuąco: gdie y E k m y, E p k y, (5.68) oaca premiesceie oscyatora astępcego. Współrędą y moża utożsamiać dowoym premiesceiem recywiste beki, ocywiście poa puktami, których premiesceie w dae postaci rówa się eru. Nacęście est to premiesceie maksymae roważae postaci drgań. Fukcę w ( x, w wyrażeiach (5.66) i (5.67) wyrażamy w postaci: w( x, F( T(, (5.69) gdie F ( est fukcą możiwie dobre prybiżaącą ieaą fukcę własą ( ) ub wyżse. Niech x oaca pukt redukci, to est y ( x,. Podstawiaąc (5.69) do r aeżości (5.66) i (5.67) ora porówuąc odpowiedie eergie, otrymuemy: r x A F( m ( ) F xr, (5.7) 7

13 EI F k ( F xr. (5.7) Z aeżości (5.7) i (5.7) otrymuemy posukiwae parametry oscyatora astępcego masę astępcą: i stywość astępcą: m F( A (5.7) F( x ) r k F EI, (5.7) F( x ) a odpowiadaąca im kwadrat cęstości drgań wyosi: r F k EI. (5.7) m F( Cęstość est biska -te cęstości włase, eśi F ( est biska -te fukci włase ropatrywae beki. Uwaga Jeśi beka połącoa est e sprężyą ub ciałem o masie skupioe to eemety te maą swó udiał odpowiedio w eergii potecae i kietyce i w te sposób wpływaą a masę i stywość oscyatora astępcego, a więc rówież a ego cęstość drgań. Pokażemy to w edym prykładów. Prykład 5.8 Metodą Rayeigha osacować pierwsą cęstość drgań swobodych beki obustroie podparte pregubowo, Prykładu 5.5. Fukca kstałtu F ( we worach (5.7) musi spełiać geometryce waruki bregowe beki podparte pregubowo, których wyika, że: F ( ), F( ). (a) Naprostsą fukcą spełiaącą waruki (a) est fukca kwadratowa: F x x, (b) 8

14 która prybiża pierwsą fukcę własą ropatrywae beki. Zgodie wyrażeiem (5.7), kwadrat prybiżoe pierwse cęstości drgań swobodych beki wyosi: p EI [ F( ] [ F( ] EI ( x x Sama pierwsa cęstość drgań otrymaa w tym prybiżeiu wyosi: EI. (c) x ),95 EI. (d) p Porówuąc wyik prybiżoy (d) wyikiem Prykładu 5.5, stwierdamy, że błąd wgędy wyosi:,95,9. (e) W pierwsym prybiżeiu błąd,9% ie est akceptoway, datego dokoamy epsego prybiżeia, wymagaąc od fukci F( pregubowo podparte, to est dodatkowo, opróc waruków (a): spełieia wsystkich waruków bregowych beki F ( ), F ( ). (f) Aby spełić waruki (a) i (f), fukca F( musi być wieomiaem cwartego stopia: F x bx cx e, (g) w którym stałe wyosą: c e, b, d. Zatem fukca kstałtu i e druga pochoda maą postać: F( x x x, F x x. (h) Kwadrat pierwse cęstości włase w tym prybiżeiu wyosi: p EI (x 97,96 EI ( x x Cęstość własa i popełioy błąd wyosą tera odpowiedio:. (i) 9,9 EI 9,9 - p,,. () Zatem, ie ropatruąc awet rówaia drgań beki, metodą prybiżoą uyskaiśmy pierwsą cęstość drgań beki pregubowo podparte dokładością %. 9

15 Prykład 5.9 Zaeźć pierwsą cęstość drgań beki Prykładu 5.8, eśi w e środku umiescoo pukt materiay o masie m. Prymiemy fukcę kstałtu F( spełiaącą tyko geometryce waruki bregowe, a pukt redukci masy w środku beki ( Dodatkowe ciało o masie m k x r / ) : F x x, (a) umiescoe w środku beki ie wpływa a stywość astępcą, okreśoą we wore (5.7). Wyosi oa w ropatrywaym prypadku: 6EI k. (b) Rówość eergii kietyce beki i układu astępcego prowadi do rówaia: A F( m F( / ) m F( / ), (c) którego wyika, że masa oscyatora astępcego wyosi: m 8 x m 6 m. (d) 5 Zatem prybiżoą pierwsą cęstość drgań beki ciałem puktowym o masie m wyacoą a pomocą metody Rayeigha predstawia wór: 8 m 5 p. (e) 6EI Pytaia sprawdaące do Wykładu. Jakie są ałożeia w wyprowadeiu techicego rówaia beki?. Jaką postać ma techice rówaie beki?. Waruki pocątkowe i waruki bregowe beki.. Zagadieie bregowe beki i ego rowiąaie. 5. Co to est postać drgań swobodych beki? 6. Naskicować kika pierwsych fukci własych beki wsporikowe. 7. Jak obicamy cęstości drgań własych beki? 8. Co to są waruki ortogoaości fukci własych? 9. Jak opisaa est -ta postać drgań beki podparte obustroie pregubowo?. Metoda Rayeigha prybiżoego obicaia cęstości własych beek. 5