Drgania prętów (kamerton, cymbałki )

Transkrypt

1 Draia pręów kamero, cymbałki

2 Roważaliśmy iaie belek y M F ϕ d MdM FdF E - moduł Youa J - eomerycy mome bewładości w prekroju d diała mome MdM h M M Mome skręcający ależy od położeia, w prekroju diała mome M E E ϕ R J Wór krywią J Możemy o apisać używając druiej pochodej y M E J d Naddaek momeu, jes rówoważoy pre siły syce do prekroju dm F d F, M

3 F, M EJ 3 y 3 Naddaek siły diałającej a eleme d saowi siłę wroą diałająca wdłuż y a eleme pręa o masie m F y df d EJ y Pod wpływem siły df eleme m uyskuje pryspieseie Sąd rówaie ruchu: y y ρsd EJ d d mρsd ρ - ęsość pręa S powierchia prekroju pręa y y y y ρs EJ a die a EJ ρs Orymaliśmy rówaie drań poprecych pręa

4 Rówaie drań poprecych pręa kamerou y a y Waruki breowe: dla amocowaeo końca, cyli dla, y, y a końcu pręa powiie ikać mome iający i siła syca y 3 y 3 Waruki pocąkowe, wychyleie i prędkość y y, Posulujemy rowiąaie: meoda separacji mieych i podsawiamy do rówaia *** *** y, Y T

5 Ta d T d d Y Y d λ Skoro ukcje dwóch ieależych mieych są sobie rówe, o musą być sałe: λ - sała. Dla ukcji Y dosajemy więc rówaie: d Y d λy Rowiąaie oóle ma posać: Y Acosh λ Bsih λ C cos λ Dsi Z waruków breowych: dy Y, d 3 d Y d Y, 3 d d C-A, D-B Acosh λl cos λl Bsih λl si λl Asih λl si λl Bcosh λl cos λl λ

6 Układ rówań ma ierywialie rowiąaia A i B, dy wyacik układu jes rówy eru cosh λ cosh λ cos λ cos λ sih λl si λ Poieważ cosh si λ sih λ cos λ λ To orymujemy rówaie presępe: cosh µ cos µ die µ λ Jeo rowiąaia moża aleźć umerycie: µ,875, µ,9, µ 3 7,85 µ π/- dla >3 Zając warości µ możemy aleźć ampliudy A i B ora λ µ Poosaje am rowiąać era rówaie a ukcję T, ale o jes acie prosse

7 d T a λt d Rówaie oscylaora harmoiceo! Cęsość T a cos ω b si ω EJ µ EJ ω a λ λ ρs ρs Cęsoliwość µ π ν EJ ρs λ µ Sosuki cęsości dla drań poprecych pręa kamerou są ie iż dla sruy! Koleje cęsoliwości ie są wielokroościami cęsości podsawowej! Moża o badać doświadcalie używając aaliy ourierowskiej ν ν µ ν 3 µ , ν µ µ 7.58 Rówaia wyprowadoe dla pręa sosują się eż do drań pły cymbałki! Będiecie moli o sprawdić wykoując ćwiceia a Pracowi iycej!

8 Draia membray Powierchiowe źródła dźwięku płyy, membray Skorysajmy aaloii do sruy: T T ρ ρs σ ρ T - siła aciąu ρ - ęsość liiowa ρ- ęsość objęościowa σ - aprężeie W prypadku al sojących a membraie powiy powsać liie węłowe. Rówaie alowe drającej membray jes bardo podobe do drań sruy: y * y Załóżmy, że mamy do cyieia membraą rociąięą a kwadracie o boku. Na breach kwadrau wychyleie membray ika, pre aaloię e sruą sukamy rowiąań w posaci:, y, Asi k si k ysi ω y Po podsawieiu do rówaia * i różickowaiu dosajemy:

9 k k y ω Waruek a składowe wekora aloweo: pryjmując k k cosα, k y k siα dosajemy k ω Roważmy waruki breowe: ω si k si k m, y π ω, πν m m m, σ ρ k k y ω k ω k k y mπ π k [ k, k y k k y ν ] wiąek dyspersyjy ideycy jak dla sruy m, mπ π Cęsoliwość drań własych membray: m, całkowie m σ ρ

10 Posać drań własych membray: ν m, m σ ρ m k mπ, k y π Draia włase membray amocowaej a kwadracie mają więc posać: ν, mπ π, y, Asi si siπν m, 5 ν, ν ν,, 3,,,3, ν, Rowiąaie oóle: mπ π, y, si si m, m, m, m, m ν ν ν ν ν,,. 58, ν, 3. ν,,, [ A siπν B cosπν ]

11 Membraa kołowa Sosuki cęsości podsawowych dla kolejych drań własych membray kołowej, amocowaej a breu Zbadajmy wioką membraę w świele sroboskopowym

12 Fiury Chladieo Draia pły W ależości od eo jaki mod wbudamy a płycie orymujemy róże wory Płyę umiejęie pobudamy smyckiem

13 Fale bieące Układy amkięe eeria amkięa w pewym określoych raicach draia układu swobode i sacjoare moża predsawić w superpoycji al sojących drań ormalych. Układy oware - ale bieące, cyli ale wędrujące od źródła, kóre je wyworyło diałając a ośrodek owary siłą wymusającą. Towarysy emu raspor eerii i pędu. Załóżmy, że w pukcie, srua wykouje draia DAcosω eeraor Sukamy Dla,, D Acos ω Jeśli abureie rochodi się e sałą prędkością, o ruch elemeu w pukcie w chwili, jes aki sam jak ruch elemeu w pukcie, ale w casie wceśiejsym o odsęp casowy jaki ala używa, aby dobiec do puku

14 Poieważ:, ' - ϕ ω, ' Acos ω' Acos ω Acos ω ϕ ϕ,, Dla usaloeo, ukcja predsawia oscylacje harmoice w casie W usaloej chwili, ukcja predsawia oscylacje harmoice presree ω k ϕ, Acos ω k Waro apamięać: ϕ ω k Fukcja aowa aa Śledeie sałej ay: ϕ Prędkość aowa: Wróćmy do al a sruie. πν λ νλ ϕ π / λ T ϕ, ω k dϕ ϕ, cos ωd kd d d ϕ [ dϕ ] ω k

15 Fale bieące ρ T - prędkość aowa ali Klasyce rówaie alowe: Oóle rowiąaie daje się apisać w posaci sumy al bieących w lewo i w prawo., Wprowadźmy miee: Podsawiamy do rówaia aloweo

16 Cyli rówaie alowe pryjmuje posać: Całkujemy ieależie po każdej e mieych i orymujemy rówaie w posaci sumy rowiąań ależych jedyie od pojedycej mieej lub :, * d *,,, k k ω ω lub w lewo w prawo

17 Rowiąaie oóle rówaia aloweo Jeśli w chwili pocąkowej, [ ] ds s, Rowiąaie klasyceo rówaia aloweo wyraża się a pomocą woru d Alembera :, ukcje rosąde odpowiedio dwukroie i jedokroie różickowale Dowód: Zapismy waruki pocąkowe:,, Sąd

18 Całkujemy obusroie: C ds s Z pierwseo waruku pocąkoweo mamy Dodając i odejmując sroami dosajemy: C ds s C ds s Te rówości są spełioe pry dowolej warości arumeu C ds s C ds s Zsumujmy obusroie e wyrażeia.

19 ds s ds s, ds s, ] [, G G Ceo mieliśmy dowieść! Wyodie jes casem używać woru d Alembera w posaci Gdie ukcja ds s G

20 Roważmy syuację a ieskońcoej sruie Ierpreacja iyca, Prędkość pocąkowa sruy rówa eru, Brak miay ksału wyika braku dyspersji. ωkk iacej impuls będie się ropływał 3 Sprawdamy rowiąaie doświadcalie a wężu ora a alowicy 3

21 Odbicie ali meoda predłużeń I. Jeśli waruki pocąkowe dla ieskońcoej sruy są ukcjami ieparysymi wlędem peweo puku, o rowiąaie, rówaia aloweo w pukcie jes awse rówe eru. II. Jeśli waruki pocąkowe dla ieskońcoej sruy są ukcjami parysymi wlędem peweo puku o jes awse rówe eru. Ad. I. Niech,, [ ] s ds Ad. II. Dowód aaloicy jak dla I. Korysamy eo, że d d d d Tera możemy kosruować odbicie ali od amocowaeo i swobodeo końca sruy Całkowaie ukcji ieparysej po prediale symerycym

22 Zmiaa ay pry odbiciu od syweo końca 3

23 Brak miay ay pry odbiciu od końca swobodeo 3