11 Przybliżenie semiklasyczne
|
|
- Julia Lisowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 11 Przybliżenie semiklasyczne W tym rozdziale rozważymy rachunek przybliżony, który opiera się na rozwinięciu funkcji falowej w szereg potęg stałej Plancka. Zakłada się przy tym jawnie, że h jest małym parametrem (co to znaczy mały parametr wymaga oczywiście uściślenia). Gdyby h było równe zeru, odtworzylibyśmy mechanikę klasyczną. Ograniczenie się do kilku pierwszych potęg h jest stąd nazywane przebliżeniem semiklasycznym. W literaturze znane jest ono także po nazwą przybliżenia WKB od nazwisk jego twórców: Wentzla, Kramersa i Brillouina. Warto też pamiętać, że uzyskane tą metodą wyrażenia na kwantyzację energii, były znane wcześniej jako warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda. Warunki te we wczesnym okresie rozwoju mechaniki kwantowej usiłowano zgadnąć na podstawie pewnych założeń; tu wyprowadzimy je ściśle Ogólna postać funkcji falowej Punktem wyjściowym jest zależne od czasu równanie Schrödingera i h ψ t = h m ψ + V ( r)ψ. (11.1) Ponieważ interesuje nas stan związany o zadanej energii E funkcję ψ zapiszemy w postaci: Równanie (11.1) można przepisać jako równanie na fazę S: 1 m ψ( r, t) = e i(et S( r))/ h. (11.) ( S( r) ) (E V ( r)) i h m S( r) = 0. (11.3) W przypadku jednowymiarowym, do którego się teraz ograniczymy, równanie (11.3) przyjmuje postać: S m (E V ) i hs = 0, (11.4) gdzie prim oznacza różniczkowanie po. Przybliżenie, które teraz zrobimy, polega na rozwinięciu fazy S w potęgi h. Warto w tym miejscu zauważyć, że rozwinięcie to ma nieco inny charakter niż rozwinięcie omawiane w rozdziale (??), ze względu na to, że h jest parametrem wymiarowym. W praktyce ograniczymy się do pierwszej potęgi h: co daje S = S 0 + h S , (11.5) S 0 + h S 0S m (E V ) i hs = 0. (11.6) Prównując współczynniki przy kolejnych potęgach h otrzymujemy dwa równania: S 0 = ± m (E V ), S 0 = i S 0S 1. (11.7) 61
2 Jak widać S 0 ma sens klasycznego pędu cząstki poruszającej się w potencjale V (). Pierwsze z równań (11.7) daje się łatwo scałkować: S 0 () = ± d m (E V ( )) + const., (11.8) gdzie stała const. związana z dolną granicą całkowania, redefiniuje i tak na razie dowolną stałą z rówania (11.) i dlatego może zostać pominięta. Drugie z równań (11.7) daje się też prosto scałkować i dalej S 0 S 0 = d d ln S 0 = i S 1 (11.9) S 1 () = i ln S 0() = i ln p(). (11.10) Warto zauważyć, że równanie na S 1 nie zależy od znaku S 0 (znak ten upraszcza się w (11.9)), a ewentualna stała addytywna znowu może zostać wciągnięta do. Podsumowując, ogólna postać funkcji falowej ψ dana jest jako ψ() = ± e ± ī h = 4 d m(e V ( )) e ln 4 m(e V ()) ± m (E V ()) e ± ī h d m(e V ( )). (11.11) Ponieważ wielkość E V () może przyjmować wartości ujemne i dodatnie, warto wprowadzić oznaczenia k() = 1 h m (E V ()) dla 1 < < κ() = 1 h m (V () E) dla < 1 lub <, (11.1) gdzie, są klasycznymi punktami zwrotu. 11. Postać funkcji falowej Zapiszmy funkcję (11.11) w obszarach I ) i II ): ψ I () = e hκ() 1 d κ( ), ψ (1) II () = C 1 e hk() i d k( ) C + e hk() i d k( ), (11.13) gdzie dla funkcji ψ I wybraliśmy znak " w eksponencie, aby znikała dla, a czynnik w normalizacji został dodany dla późniejszej wygody. Inde (1) przy funkcji 6
3 ψ II oznacza, że w całce po d za dolną granicę wybraliśmy. Zauważmy, że funkcję falową w obszarze II) możemy zapisać inaczej I wreszcie w obszarze III) ψ () II () = D 1 e hk() i d k( ) D + e hk() i d k( ). (11.14) ψ III () = B d κ( ) e. (11.15) hκ() 11.3 Warunki zszycia Wyprowadzoną w poprzednim paragrafie postać funkcji falowej użyjemy do opisu cząstki w trzech obszarach I ) na lewo od punktu zwrotu, II ) między punktami zwrotu < < i III ) na prawo od punktu. Zauważmy, że przybliżenie (11.11) nie stosuje się w punktach zwrotu i w pewnych otoczeniach wokół punktów zwrotu. Ponieważ, aby uzyskać funkcję falową dla wszystkich -ów, musimy dokonać zszycia fragmentów funkcji falowej zadanych w poszczególnych obszarach, zachodzi potrzeba zastosowania jakiegoś innego przybliżenia, słusznego w punktach zwrotu i w najbliższym ich otoczeniu. Najprostszym rozwiązaniem jest przybliżenie potencjału przez linię prostą V () = E F 1 ( ) +... dla, V () = E + F ( ) +... dla, (11.16) gdzie F 1, > 0. W tym przybliżeniu równanie Schrödingera redukuje się do równania Bessela i można go dokładnie rozwiązać. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie można następnie zszyć z funkcją falową (11.11) po lewej i po prawej stronie punktów zwrotu. Metoda ta opisana jest w podręczniku Schiffa. My postąpimy jednak inaczej: obejdziemy osobliwość funkcji (11.11) po małym okręgu w płaszczyźnie zespolonego. Jest to metoda opisana w podręczniku Landaua i Lifszica. Dla bliskich zachodzi W konsekwencji k() = 1 h mf1 ( ) 1/, κ() = 1 h mf1 ( ) 1/. (11.17) d k( ) = 1 mf1 ( ) 3/, d κ( ) = mf1 ( ) 3/ (11.18) 63
4 I II III ϕ =0 π +π +π π ϕ =0 Rysunek 1: nalityczne przedłużenie funkcji falowej w metodzie WKB. Przechodząc od obszaru I do II napotykamy na osobliwość związaną z zerem κ(). by ją ominąć przyjmiemy = ρe iϕ, (11.19) przy czym ϕ = 0 dla < i zmienia się od 0 do π, jeżeli poruszamy się od I do II po małym okręgu o promieniu ρ zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż do >, lub od 0 do π, jeżeli poruszamy się po dolnym półokręgu w stronę przeciwną niż wskazówki zegara. Przechodząc po górnym półokręgu mamy zatem 1 d κ( ) = mf 1 = mf 1 ρ 3/ mf 1 ρ 3/ e i 3π ( ) 3/ i = i d k( ) (11.0) Podobnie czynnik hκ() = 4 mf 1 ( ) 1/4 4 mf 1 ( ) 1/4 e i π 4 W sumie otrzymujemy, że: = hk() e i π 4. (11.1) ψ I () = e hκ() d κ( ) e i π 4 d k( ) e i 1. (11.) hk() 64
5 Widzimy, że dokonując obejścia osobliwości po górnym półokręgu odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II, przy czym zachodzi Obchodząc osobliwość po dolnym półokręgu otrzymujemy C = 1 ei π 4. (11.3) oraz 1 d κ( ) = mf 1 = mf 1 ρ 3/ mf 1 ρ 3/ e i 3π ( ) 3/ ( i) = i d k( ) (11.4) hκ() = 4 mf 1 ( ) 1/4 4 mf 1 ( ) 1/4 e +i π 4 hk() e +i π 4. (11.5) Z ròwnań (11.4,11.5) wynika, że ψ I () = e hκ() d κ( ) e i π 4 d k( ) ei 1. (11.6) hk() Zatem obchodząc osobliwość po dolnym półokręgu odtworzyliśmy drugi składnik funkcji falowej w obszarze II, przy czym C 1 = 1 e i π 4. (11.7) Zanim podstawimy wartości C 1 i C do równania (11.13) spróbujmy zastanowić się, dlaczego obchodząc osobliwość górą lub dołem odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II. W tym celu warto prześledzić zmianę pełnej funkcji falowej (11.13) przy przejściu w stronę przeciwną, to jest z obszaru II do obszaru I. W obszarze II w pobliżu = ±i d k( ) ρ 3/ (±i cos 3ϕ ) 3ϕ sin, (11.8) przy czym ϕ zmienia się od 0 do π dla przejścia górą lub 0 do π dla przejścia dołem. Rozważmy przejście górą. Decydujący jest tu czynnik ± sin 3ϕ : II () C 1 e ρ3/ sin 3ϕ + C e +ρ3/ sin 3ϕ, (11.9) ψ (1) który na początku maleje dla części proporcjonalnej do C 1, natomiast rośnie dla części proporcjonalnej do C. Stąd przy obejściu górą człon proporcjonalny do C 1 gubi się na 65
6 tle rosnącego członu proporcjonalnego do C. Przybliżenie semiklasyczne nie pozwala na utrzymanie wrazu eksponencjalnie małego na tle członu wiodącego. Dla przejścia dołem sytuacja się odwraca i gubi się człon proporcjonalny do C. Podstawiając (11.3) i (11.7) do równania (11.13) otrzymujemy ψ (1) II () = 1 e hk() i d k( ) i π 4 + e i d k( )+i π 4 = cos d hk() k( π ) (11.30) 4 Spróbujmy teraz powtórzyć to samo rozumowanie dla obszaru wok punktu. Przyjmijmy funkcje falowe w postaci: W tym obszarze ψ III () = B e hκ() d κ( ), ψ () II () = D 1 e hk() i d k( ) D + e hk() i d k( ). (11.31) k() = 1 h mf ( ) 1/, κ() = 1 h mf ( ) 1/. (11.3) Sparametryzujmy = ρ e iϕ, (11.33) 66
7 przy czym ϕ zmienia się od 0 do π lub π, jeśli poruszamy się po górnym względnie dolnym półokręgu przechodząc z obszaru III II. Ponieważ ( ) 3/ = ρ 3/ ρ 3/ e ±i 3π = i( ) 3/, ( ) 1/4 = ρ 1/4 ρ 1/4 e ±i π 4 = e ±i π 4 ( ) 1/4, (11.34) gdzie górny (dolny) znak odpowiada przejściu po górnym (dolnym) półokręgu. Zatem dla przejścia górą mamy ψ III () = natomiast dla przejścia dołem co implikuje ψ III () = Podobnie jak w przypadku (11.30) otrzymujemy ( ψ () II () = B 1 e hk() i = B d κ( ) e B e i π 4 d k( ) ei, (11.35) hκ() hκ() B d κ( ) e B e i π 4 d k( ) e i, (11.36) hκ() hκ() D 1 = 1 B e i π 4, D = 1 B ei π 4. (11.37) B cos hk() d k( ) i π 4 ) + e i d k( )+i π 4 d k( ) π. (11.38) 4 Na koniec warto jeszcze wspomnieć o warunkach zszycia dla potencjałów typu nieskończonej studni. Dla takich potencjałów przybliżenie semiklasyczne w obszarze II stosuje się aż do samego punktu zwrotu, zaś na zewnątrz funkcja falowa jest po prostu równa tożsamościowo zeru Warunki kwantowania Bohra-Sommerfelda Funkcje ψ (1) II i ψ() II muszą być sobie równe. Przepiszmy ψ(1) II w nieco innej formie cos d hk() k( π ) 4 1 = cos d hk() k( ) + π 4 + d k( π ) 1 = cos d hk() k( ) π 4 d k( π ) +. (11.39) ψ (1) II () = 67
8 Porównując (11.39) z (11.38) otrzymujemy d k( ) π = nπ i B = ( )n. (11.40) Pierwsze z równań (11.40) stanowi treść reguły kwantyzacji Bohra-Sommerfelda, którą zwyczajowo zapisuje się w postaci całki okrężnej po okresie ruchu z wyrażenia na pęd klasyczny: ( ) 1 d p( ) = π h + n (11.41) Oscylator harmoniczny Warto w charakterze przykładu rozpatrzeć oscylator harmoniczny, dla którego p() = ( m E 1 ) 1/ ω m = ( ) 1/ me 1 ω m E, (11.4) zaś punkty zwrotu Wprowadzając nową zmienną E, = ± mω. (11.43) wyliczmy całkę ξ = ω m, 1 < ξ < 1, d = E E dξ (11.44) mω d p( ) = d p( E ) = 4 ω 1 1 dξ 1 ξ = π E ω, (11.45) gdzie skorzystaliśmy z wartości całki 1 1 dξ 1 ξ = π. (11.46) Warunek Bohra-Sommerfelda (11.41) daje zatem dla oscylatora harmonicznego ( ) E 1 ω = h + n, (11.47) co jest identyczne z dokładnym wynikiem. 68
9 11.4. Nieskończona studnia potencjału Dla nieskończonej studni potencjału V () = { 0 dla a < < a dla < a, a < (11.48) zachodzi k() = 1 h me, (11.49) a funkcja falowa ma postać ψ II () = C 1 4 e i me a d k( ) C + 4 e i me a d k( ). (11.50) Ponieważ ψ II ( a) = 0, stąd C 1 = C C i. (11.51) zatem ψ II () = 4 C sin me Z kolei warunek ψ II (a) = 0 implikuje warunek kwantowania Podstawiając za k( ) wyrażenie (11.49) otrzymujemy co daje skwantowaną energię a a a d k( ). (11.5) d k( ) = nπ, n = 1,,... (11.53) a me = nπ, (11.54) h E n = h π 8a m n, (11.55) co pokrywa się z wynikiem dokładnym. Warto zauważyć, że n = 0 nie jest dozwolone, gdyż mielibyśmy wtedy do czynienia z funkcją tożsamościowo równą zeru. Wynik (11.53) można zrozumieć intuicyjnie w następujący sposób. Ponieważ funkcja falowa musi być zero w obszarach k;asycznie zaobronionych, na odcinku [ = a, = a] musi się zmieścić całkowita liczba połówek długości fali. Dla skończonych potencjałów funkcja falowa nie znika w punktach zwrotu. W przypadku rozwiązania symetrycznego o najniższej energii funkcja falowa nie powinna mieć zera między punktami zwrotu, więc odcinek [, ] powinien być krótszy od połówki długości fali. Dla wyższych stanów 69
10 wzbudzonych na tym odcinku powinno się mieścić mniej niż n połówek fali. Stąd warunek (11.53) przyjmuje postać d k( ) = (n ξ)π, n = 1,,... lub d k( ) = (n + ξ )π, n = 0, 1,..., gdzie ξ i ξ = 1 ξ są liczbami ułamkowymi. Z dokładnej procedury opisanej w tym rozdziale wynika, że ξ = ξ = 1/ Warunki stosowalności przybliżenia semiklasycznego Warunkiem stosowalności rozwinięcia (11.5) jest aby hs 1 S 0. (11.56) Jednak, zarówno S 0 jak i S 1 są funkcjami, przy czym S 0 jest funkcją monotoniczną. Zamiast badać równanie (11.56) przyjęło się badać stosunek pochodnych. hs 1 S 0 = k k 1. (11.57) Ostatni wzór bierze się stąd, że i h ds 1 d = i h d d ln p() = i h S 0 = p = hk. p p = i h Warto wzór (11.57) przepisać w nieco innej formie, zauważając, że długość fali de Broglie a λ = π/k: λ dk 4π d k, (11.58) co oznacza, że zmiana k na odcinku λ/4π jest mała w porównaniu z k. Innymi słowy względna zmiana k na odległości rzędu λ/4π jest mniejsza (silnie) od 1. Ponieważ za zmianę k z odpowiedzialny jest potencjał V (), to warunek (11.58) oznacza w praktyce, że potencjał jest na tyle wolno zmienny, że pęd cząstki jest prawie stały, przy zmianie o kilka długości fali de Broglie a. Widać stąd, że przybliżenie WKB załamuje się w pobliżu punktów zwrotu gdzie k 0 a λ. k k 70
11 V ma E 0 V Przejście przez barierę Rysunek : Tunelowanie Rozpatrzmy przypadek cząstki uwięzionej w potencjale pokazanym na rysunku. Ponieważ w obszarze < < formalnie pęd cząstki jest urojony funkcja falowa na zewnątrz bariery bedzie miała postać 1 ψ( ) = ψ( 0 )e d κ() 0 = ψ(0 )e γ. (11.59) Średni czas życia można oszacować semiklasycznie w następujący sposób. Wewnątrz studni cząstka ma prędkość v = p (E + m = V0 ). (11.60) m Częstość uderzeń w barierę w punkcie 0 wynosi ν = Przy każdym uderzeniu prawdopodobieństwo ucieczki wynosi v 0. (11.61) P = e γ. (11.6) Prawdopodobieństwo ucieczki na jednostkę czasu wynosi E + V0 1 R = P ν = e γ (11.63) m 0 a średni czas życia (pozostawania w studni) τ = 1 R. nalogicznie cząstka z zewnątrz może wpaść do studni. Kwantow, PWN 006). (Wg R. Shankar, Mechanika 71
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowox = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowor. akad. 2012/2013 wykład III-IV Mechanika kwantowa Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa
r. akad. 01/013 wykład III-IV Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa Zakład Zakład Biofizyki Biofizyki 1 Falowa natura materii Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 2
Wykład 7.12.2016 Budowa atomu 2 O atomach cd Model Bohra podsumowanie Serie widmowe O czym nie mówi model Bohra Wzbudzenie, emisja, absorpcja O liniach widmowych Kwantowomechaniczny model atomu sformułowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne
Bardziej szczegółowoChemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki
dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoPoczątek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy
Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoStudnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:
Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoAtom wodoru i jony wodoropodobne
Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoZadania z mechaniki kwantowej
Zadania z mechaniki kwantowej Gabriel Wlazłowski 13 maja 2016 Rachunek zaburzeń bez czasu 1. Metodą rachunku zaburzeń obliczyć pierwszą i drugą poprawkę dla poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowo(U.13) Atom wodoropodobny
3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoCZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowo