2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

Transkrypt

1 . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik pomiaru jest zawsze róży od prawdziwej wartości wielkości mierzoej. Jest tylko jej miej lub więcej dokładym przybliżeiem. Wartość rzeczywista wielkości jest puktem a osi liczbowej, którego położeie moża opisać za pomocą ieskończoego ciągu cyfr. Już sam fakt skończoego zapisu wyiku jest też źródłem jego iedokładości. Zatem, podając wyik pomiaru określoej wielkości, ależy koieczie podać także pewą ilościową iformację o jakości tego wyiku, a ściślej o jego dokładości (czyli o stopiu przybliżeia do wartości prawdziwej), tak aby korzystający z tego wyiku mógł oceić jego wiarygodość. Bez takiej iformacji wyiki pomiarów ie mogą być porówywae ai między sobą, ai z daymi z literatury lub orm. Podstawowe pojęcia i parametry charakteryzujące dokładość wyiku pomiaru i metody ich obliczeń są treścią tego rozdziału... Pojęcia podstawowe i klasyfikacja błędów Podstawowym pojęciem jest błąd pomiaru defiioway jako różica między wyikiem pomiaru i wartością prawdziwą wielkości mierzoej =. (.) Błędu pojedyczego pomiaru ie moża obliczyć z zależości (.), poieważ ie jest zaa wartość prawdziwa wielkości mierzoej. Moża go oszacować (estymować) lub obliczyć jego iektóre składowe, przy czym sposób postępowaia zależy od rozpozaia rodzaju oddziaływań wielkości wpływających a wyik pomiaru. Moża wyróżić oddziaływaia przypadkowe i oddziaływaia systematycze. Biorąc pod uwagę rodzaje oddziaływań, błędy pomiaru moża podzielić a: przypadkowe, systematycze oraz grube (pomyłki). Błędy przypadkowe Są to błędy spowodowae przypadkowym oddziaływaiem dużej liczby trudo uchwytych czyików zakłócających (azywaych wielkościami wpływającymi), których łączy wpływ zmieia się z pomiaru a pomiar. Charakterystyczą cechą błędów przypadkowych jest to, że ich wartości są róże w kolejych pomiarach przeprowadzaych w jedakowy sposób (w warukach powtarzalości). Błąd przypadkowy jest zmieą losową, a w kolejych pomiarach tej samej wielkości, wykoywaych w warukach powtarzalości, otrzymuje się błędy o wartościach będących realizacjami tej zmieej. Wyiki pomiarów są rówież realizacjami zmieej losowej i ulegają rozproszeiu wokół wartości prawdziwej wielkości mierzoej. Stąd też szacowaie błędów przypadkowych jako miary rozproszeia wyików wokół wartości prawdziwej dokouje się metodami rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej. Błąd przypadkowy wyiku pomiaru ie może być skompesoway przez poprawkę, ale może być zmiejszoy przez wielokrote powtarzaie pomiarów, a ściślej przez wykoaie serii pomiarów i przyjęcie jako wyiku końcowego średiej arytmetyczej serii wyików i.

2 = i= i. (.) Wskutek oddziaływań przypadkowych średia arytmetycza (.) jest rówież zmieą losową, lecz jej rozrzut wokół wartości prawdziwej jest miejszy. Zatem bardziej dokładie przybliża oa wartość prawdziwą. Mówiąc iaczej staowi bardziej dokłade, lepsze iż pojedyczy pomiar oszacowaie wartości prawdziwej. Zatem wartość średiej arytmetyczej serii pomiarów moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej i traktować jako poprawy wyik pomiaru. Wyiki pomiarów przypisywae wielkości mierzoej, iezależie od sposobu przypisaia, wykazują rozrzuty wokół wartości prawdziwej, są więc iepewe. Pozwalają jedyie wyzaczyć przedział obejmujący iezaą wartość prawdziwą. Ilościową miarą iedokładości pomiaru, której odzwierciedleie staowi rozrzut wyików jest iepewość pomiaru. Pojęcie iepewość jako miara iedokładości zostało wprowadzoe stosukowo iedawo przez dokumet Guide to the Epressio of Ucertaity i Measuremet wyday w 993 roku przez Międzyarodową Orgaizację Normalizacyją ISO (azyway dalej Guide ). Stał się o ormą międzyarodową, obowiązującą także w Polsce, w której iepewość pomiaru jest defiiowaa jako parametr związay z wyikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej. Parametrem takim może być a przykład odchyleie stadardowe rozkładu wyików lub błędów pomiaru, albo połowa szerokości przedziału mającego ustaloy poziom ufości, o czym dalej. Istote jest rozróżieie między pojęciem błędu i pojęciem iepewości pomiaru. Błąd jest zmieą losową, a iepewość jest parametrem rozkładu prawdopodobieństwa błędu. Pojęcie iepewości pomiaru ajłatwiej było wyjaśić a przykładzie pomiarów wykoywaych w warukach oddziaływań przypadkowych, w powiązaiu z błędami przypadkowymi, lecz moża je rozszerzyć rówież a pomiary w warukach oddziaływań systematyczych i powiązać z błędami systematyczymi. Błędy systematycze Powstają wskutek systematyczych oddziaływań wielkości wpływających. W kolejych pomiarach wykoywaych w jedakowych warukach błąd systematyczy ma wartość stałą. Przy zmiaie waruków zmieia się z określoą prawidłowością, którą moża wyzaczyć aalityczie. Przykładem są błędy systematycze spowodowae przesuięciem skali mierika aalogowego, błędem wzorca (p. różą od omiału masą odważika), pomijaiem czyików wpływających a wyiki pomiaru (p. rezystacji przewodów przy pomiarze małych rezystacji), ustaloym wpływem waruków otoczeia (p. temperatury). Jeżeli błąd systematyczy powstaje wskutek rozpozaego oddziaływaia systematyczego wielkości wpływających, to wpływ tego oddziaływaia może być określoy ilościowo i skompesoway addytywie lub multiplikatywie, przez dodaie do wyiku pomiaru poprawki lub pomożeie wyiku przez współczyik poprawkowy. Wyik pomiaru przed korekcją błędu systematyczego azywa się wyikiem surowym, a po korekcji wyikiem poprawioym. Kompesacja błędu systematyczego ie może być zupeła, poieważ błąd te ie jest zay dokładie. Wyzaczoa poprawka jest obarczoa iepewością, która staje się jedym ze składików całkowitej iepewości pomiaru.

3 Błąd systematyczy spowodoway oddziaływaiem systematyczym ierozpozaym ilościowo (p. iekotrolowaym wpływem temperatury) ie może być skorygoway. Często może być rozpozay jakościowo i oszacoway w postaci przedziału wyzaczoego przez błędy graicze. Do szacowaia błędów systematyczych spowodowaych oddziaływaiem ierozpozaym stosowae jest podejście statystycze i a podstawie przedziału wyzaczoego przez błędy graicze wyliczaa jest iepewość stadardowa typu B, defiiowaa dalej. Błędy grube Są to błędy spowodowae pomyłkami popełiaymi w trakcie wykoywaia pomiaru lub odczytu i zapisywaia wyiku. Przykładem mogą być błędy powstałe wskutek pomyleia skali w mieriku wielozakresowym, pomyleia jedostek lub przesuięcia przecika przy zapisie wyiku, zwarcia lub rozwarcia iektórych elemetów obwodu pomiarowego. Pomyłki moża zaczie ograiczyć przez starae wykoywaie pomiaru, a gdy powstają łatwo je zauważyć i wyelimiować, poieważ otrzymay wyik zaczie różi się od iych wyików pomiaru tej samej wielkości... Defiicje dotyczące iepewości pomiaru Jak już mówiliśmy, wyik pomiaru jest liczbą przybliżoą różą od wartości prawdziwej więc moża go iterpretować jako przedział a osi liczbowej, wewątrz którego zajduje się wartość prawdziwa. Przedział te, azywamy przedziałem iepewości wyiku pomiaru (lub przedziałem ufości). W celu ilościowego opisu tego przedziału dokumet Guide defiiuje cytowae już pojęcie iepewość pomiaru i szereg specyficzych miar ilościowych tego pojęcia. Niepewość stadardowa (u) iepewość wyiku pomiaru wyrażoa w formie odchyleia stadardowego lub estymaty tego odchyleia. Niepewość typu A (u A ) obliczaa metodą aalizy statystyczej serii pojedyczych obserwacji (ajczęściej wykorzystując ormaly rozkład wyików). Niepewość typu B (u B ) obliczaa iymi metodami iż w przypadku A (ajczęściej wykorzystując rozkład prostokąty opisujący błędy systematycze spowodowae ierozpozaym oddziaływaiem systematyczym). Złożoa iepewość stadardowa (u c ) określaa w przypadku występowaia wielu składowych iepewości; dla pomiarów bezpośredich jest pierwiastkiem sumy kwadratów iepewości składowych, dla pomiarów pośredich sumowaie kwadratów iepewości składowych odbywa się z odpowiedimi wagami, zgodie z prawem propagacji iepewości (omawiaym dalej). Niepewość rozszerzoa (U) jest iloczyem iepewości stadardowej i współczyika rozszerzeia k α U = k. (.3) αu c Określa oa graice przedziału iepewości, któremu moża przypisać określoy poziom ufości. Poziom ufości (p α ) - jest prawdopodobieństwem tego, że w przedziale iepewości wyiku pomiaru (w przedziale ufości) zajduje się wartość prawdziwa, co moża zapisać { ( U, ) } p + α = P U. (.4) 3

4 Prawdopodobieństwo to wyzacza się z rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmieej losowej modelującej wyik pomiaru lub błąd pomiaru. Poziom ufości jest często wyrażay w procetach. Wyik pomiaru zapisuje się w postaci: = ± u c a poziomie ufości odchyleia stadardowego (.5) lub = ± U a postulowaym poziomie ufości p α. (.6) Zapisy te przedziałowo określają wartość prawdziwą. Iterpretację graficzą zapisu (.6) ilustruje rys.. U U Rys... W tym przedziale z prawdopodobieństwem pα zajduje się wartość prawdziwa Niepewości pomiaru wg powyższych defiicji wyraża się w jedostkach wielkości mierzoej. Poieważ są oe oceiae szacukowo, ależy opisywać je rozsądą liczbą cyfr zaczących (ajczęściej ograiczoą do cyfr). Na przykład byłoby absurdem podawaie wyiku pomiaru przyspieszeia ziemskiego w postaci: g = 9,8 ±,385 m/s. Właściwe jest zaokrągleie iepewości pomiaru do dwóch cyfr po przeciku i przedstawieie wyiku w postaci: g = 9,8 ±, m/s. Obok omawiaych wyżej pojęć błędu i iepewości bezwzględej wyrażaych w jedostkach wielkości mierzoej, defiiuje się pojęcia błędu i iepewości względej wyrażae bezwymiarowo, bardzo często w procetach lub ppm (part per millio) błąd względy δ =, (.7) iepewość względa U U δ u =. (.8) Poieważ wartość prawdziwa ie jest zaa, w praktyce zastępuje się ją wartością umowie prawdziwą (wartością poprawą), którą może być a przykład skorygoway wyik pomiaru (po korekcji błędu systematyczego) lub ajlepsze oszacowaie wartości prawdziwej (ajczęściej średia arytmetycza serii pomiarów ), lub awet wyik pojedyczego pomiaru. W celu specyfikacji błędów istrumetalych, zwłaszcza mierików aalogowych, wykorzystuje się pojęcie klasy przyrządu, ozaczaej kl, defiiowaej jako graiczy błąd względy obliczay względem wartości zakresowej przyrządu i wyrażay w procetach g kl = %, (.9) zakr gdzie: g błąd graiczy przyrządu zakr wartość końcowa zakresu pomiarowego 4

5 Wartości liczbowe klasy przyrządu są wybierae z ciągu: (;,5; ;,5; 5) -, =,. Metody obliczaia iepewości zalecae w Guide dotyczą wyików skorygowaych, tz. po skompesowaiu składowej błędu systematyczego spowodowaej rozpozaym oddziaływaiem systematyczym, przez dodaie do surowego wyiku poprawki lub pomożeie go przez współczyik poprawkowy. Zakłada się, iż skorygoway wyik pomiaru jest zmieą losową, której wartość oczekiwaa jest rówa wartości prawdziwej ( ) E =. (.) Założeie to jest rówozacze z założeiem, że błąd pomiaru jest zmieą losową cetrowaą o wartości oczekiwaej rówej zeru =, (.) ( ) = E. (.).3. Obliczaie poprawki błędu systematyczego Jak już mówiliśmy, składowa determiistycza błędu systematyczego, spowodowaa rozpozaym oddziaływaiem systematyczym, może być określoa ilościowo i wykorzystaa do addytywego bądź multyplikatywego skorygowaia surowego wyiku pomiaru. Metody aalizy i obliczeń błędów systematyczych są zróżicowae. Brak jest ogólych metod obliczeń tych błędów w pomiarach bezpośredich. Metody takie istieją w przypadku pomiarów pośredich, w postaci tzw. praw propagacji błędów, które będą omawiae późiej. W pomiarach bezpośredich każdy przypadek aalizy błędu systematyczego wymaga idywidualego podejścia, przy czym metody obliczeń są ader proste, oparte a wykorzystaiu wzorów opisujących róże prawa fizyki. Typowy sposób postępowaia pokażemy a przykładzie obliczeń błędu systematyczego popełiaego w przypadku pomiaru prądu amperomierzem o iezerowej rezystacji R a, w obwodzie złożoym ze źródła apięcia E z o rezystacji wewętrzej R z i obciążeia R, pokazaym a rys..a. Włączeie amperomierza do obwodu wprowadza do iego dodatkową rezystację R a (rys..b), co powoduje, iż prąd w obwodzie pomiarowym I' jest miejszy od prądu w obwodzie pierwotym I a) I b) I' A R z R R z R a R E z E z Rys... Pomiar prądu w obwodzie elektryczym złożoym ze źródła apięcia i obciążeia: a) obwód pierwoty; b) obwód pomiarowy po włączeiu amperomierza Systematyczy błąd bezwzględy moża obliczyć ze wzoru: 5

6 I = I' I, (.3) biorąc pod uwagę, że: Ez I = R + R z Ez, oraz I' =. (.4) R + R + R Z zależości (.3) i (.4) moża wyprowadzić wzory a poprawkę z a i współczyik poprawkowy p I = I = ( R + R )( R + R + R ) z E z R a z a (.5) w p R + Rz + Ra =. (.6) R + R W rozważaym przypadku łatwiej jest skompesować błąd systematyczy multyplikatywie przez pomożeie surowego wyiku pomiaru I' przez współczyik poprawkowy obliczoy ze wzoru (.6). Omawiay przykład moża wykorzystać rówież do wysucia wiosku atury ogólej, odośie waruków miimalizacji zakłócającego wpływu przyrządu pomiarowego a badae zjawisko. Wykorzystując wzory (.3) i (.4) łatwo wyprowadzić wzór opisujący zależość systematyczego błędu względego: I' I δ I =, (.7) I' od rezystacji amperomierza R a. Po wstawieiu (.4) do (.7) otrzymujemy z a z R + Rz + Ra R + Rz Ra δ I = =. (.8) R + Rz R + R + R Zależość (.8) wskazuje, iż w celu miimalizacji błędu wywołaego rezystacją amperomierza ależy dążyć do zachowaia waruku R << R +, (.9) a R z który ozacza, iż rezystacja amperomierza powia być dużo miejsza od sumy pozostałych rezystacji w obwodzie. Fizycza iterpretacja waruku (.8) prowadzi do wiosku, iż przy bardzo małej rezystacji wewętrzej amperomierz pobiera mało eergii z obwodu i tym samym mało zakłóca badae zjawisko. Wymóg małego poboru eergii w celu miimalizacji zakłócającego wpływu przyrządu pomiarowego a obiekt baday ma charakter ogóly i dotyczy każdego przyrządu, m.i. woltomierza, który w trakcie pomiaru apięcia w obwodzie, pobiera mało eergii przy bardzo dużej rezystacji wewętrzej. Ią drogą ograiczaia błędów systematyczych jest stosowaie specjalistyczych metod lub układów pomiarowych. Istieje wiele takich metod elimiujących lub miimalizujących determiistycze składowe błędów systematyczych bez potrzeby 6

7 obliczaia poprawek. Przykładem może być czterozaciskowa metoda pomiaru bardzo małych rezystacji (w zakresie - -6 Ω), zilustrowaa a rys..3. I r I R I R r U r U U U Rys..3. Zasada 4-zaciskowego pomiaru bardzo małych rezystacji (styki Kelwia) Pozwala oa elimiować błędy woszoe przez rezystacje przewodów doprowadzających i styków, które mogą być współmiere lub awet większe od rezystacji R. Zastosowaie par zacisków: pary zacisków prądowych I-I służących do doprowadzeia i pomiaru prądu I R oraz osobej pary zacisków apięciowych służących do pomiaru apięcia metodą bezprądową lub z bardzo małym poborem prądu, daje możliwość pomiaru apięcia wprost a rezystacji R, a ie a jej zaciskach zewętrzych i w kosekwecji pozwala wyelimiować wpływ rezystacji r I i r U a wyik pomiaru. Należy jedak podkreślić, iż pozostają pewe ierozpozawale błędy resztkowe specjalistyczych metod pomiarowych. Zarówo błędy resztkowe jak też iepewości obliczoych poprawek są składikami iepewości całkowitej obliczaej metodami A lub B, przedstawioymi w kolejych puktach. U R.4. Probabilistycze podstawy i przykłady aalizy iepewości W aalizie iepewości pomiaru metodami probabilistyczymi (rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej) zakłada się, iż wyiki pomiarów są skorygowae i mogą być modelowae zmieą losową. Najlepszym opisem zmieej losowej ciągłej jest rozkład gęstości prawdopodobieństwa p(). Ma oa tę właściwość, że jej całka w dowolych graicach < określa prawdopodobieństwo zalezieia się zmieej losowej w tych graicach: p ( ) d = P{ (, )}. (.) Rozkład gęstości prawdopodobieństwa opisyway jest parametrami rozkładu, z których ajważiejszymi dla as są: wartość oczekiwaa E( ) = p( ) µ = d, (.) charakteryzująca środek zgrupowaia wyików pomiarów oraz { } odchyleie stadardowe σ = E ( µ ), (.) charakteryzujące rozproszeie wyików wokół środka zgrupowaia. Operuje się też wariacją σ. Zamiast zmieej losowej często wygodiej jest posługiwać się zmieą losową 7

8 cetrowaą = E( ) = µ, (.3) która modeluje błąd pomiaru i której wartość oczekiwaa jest rówa zero. Dla większości sytuacji spotykaych w praktyce wyiki pomiarów mogą być modelowae zmieą losową o rozkładzie ormalym, azywaym też rozkładem Gaussa p( ) = e σ π ( µ ) σ µ = ep σ π σ. (.4) Na rys..4 pokazay jest wykres fukcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu ormalego. p() σ π σ σ µ = Rys..4. Wykres fukcji rozkładu ormalego zmieej losowej modelującej wyik pomiaru Rozkład ormaly jest rozkładem dwuparametrowym, opisaym parametrami µ i σ. Bywa często ozaczay skrótowo przez N (µ, σ ). Wykres fukcji rozkładu jest krzywą o kształcie dzwoowym, symetryczie wyśrodkowaą wokół wartości oczekiwaej µ (zakłada się, że jest oa rówa wartości prawdziwej ). Odchyleie stadardowe σ odpowiada odległości puktu przegięcia krzywej od odciętej środka zgrupowaia. Zacieioe pole pod częścią krzywej rozpiętą a przedziale (µ - σ, µ + σ ) jest rówe P µ + σ ( µ σ < < µ + σ ) = p( ) d =, 68. (.5) Ozacza to, że prawdopodobieństwo (poziom ufości) tego, że wartość zmieej losowej o rozkładzie ormalym zajduje się w wymieioym przedziale o promieiu σ jest rówe,68 lub w procetach 68,%. Przedziałom dwu i trzykrotie szerszym, o promieiach σ i 3σ, odpowiadają poziomy ufości odpowiedio,954 i,997. Rozkład ormaly zmieej losowej cetrowaej modelującej błąd pomiaru ma postać µ σ ( ) σ ( ) p = e, (.6) σ π a ozaczay jest N (, σ ). Jego wykres jest pokazay a rysuku.5: 8

9 p( ) -σ +σ Rys..5. Wykres rozkładu ormalego N (, σ ) zmieej cetrowaej modelującej błąd pomiaru Warto zauważyć, iż kształt krzywej tego rozkładu jest idetyczy z krzywą rozkładu N (µ, σ ). Mówiąc iaczej zmiee losowe i modelujące wyik i błąd pomiaru mają takie same rozkłady wokół swoich wartości oczekiwaych, co ułatwia aalizę. Zamiast zależości (.5) do obliczeń poziomu ufości p α = P{ (µ - σ, µ + σ)}, moża użyć prostszej zależości p α + σ = P( σ < < + σ ) = p( ) d =, 68, (.7) która wyraża prawdopodobieństwo tego, iż błąd pomiaru (-σ, σ). W aalizie błędów i iepewości rozszerzoej użyteczy jest też rozkład ormaly zmieej losowej uormowaej (stadaryzowaej) σ opisay wzorem µ z =, (.8) σ p ( z) = e π z (.9) o zerowej wartości oczekiwaej (µ = ) i odchyleiu stadardowym rówym (σ z = ). Nosi o azwę uormowaego rozkładu ormalego i jest ozaczay skrótowo N (,). Jest wykorzystyway do obliczeń współczyika rozszerzeia k α przy postulowaym poziomie ufości iepewości rozszerzoej U. Wyzaczaie iepewości rozszerzoej pojedyczego pomiaru Róże postacie rozkładu ormalego i jego parametry mogą być wykorzystywae do obliczeń iepewości rozszerzoej U pojedyczego pomiaru, przy postulowaym poziomie ufości, w sytuacji gdy odchyleie stadardowe zmieej losowej modelującej pomiar σ jest zae a priori, a iezaa jest wartość oczekiwaa (µ = =?). Tak jest w liczych przypadkach pomiarów wykoywaych wypróbowaym wielokrotie przyrządem w rozpozaych i stabilych warukach. Wówczas wyik pojedyczego pomiaru moża zapisać: 9

10 = ± U = ± k u, a poziomie ufości p α, (.3) gdzie współczyik rozszerzeia k α jest adekwaty do postulowaego poziomu ufości α { ( U, U )} p α = P +. (.3) Zapis (.3) umiejscawia wartość prawdziwą w przedziale iepewości wokół wyiku pomiaru. Przedział te ma stały promień, lecz jego położeie a osi liczbowej jest losowe, zmieia się z pomiaru a pomiar, co ilustruje rys..6. Pokazao a im położeia kilku przedziałów iepewości dla 4 różych wyików pomiarów,, 3, 4. Każdy z przedziałów ma ie położeie, jedak zawiera (przykrywa) wartość prawdziwą. 4 3 Rys..6. Położeie przedziałów iepewości dla 4 różych wyików pomiaru:,, 3, 4 Aby obliczyć współczyik rozszerzeia k α przy zadaym poziomie ufości p α, lub odwrotie poziom ufości dla zadaego współczyika rozszerzeia, ależy przekształcić wyrażeie (.3) do rówoważej postaci { ( U ) } α = P, U, (.3) p + która umiejscawia wyik pomiaru w przedziale iepewości wokół wartości prawdziwej. Przy przyjętych założeiach, iż wyiki pomiarów są modelowae zmieą losową o rozkładzie ormalym N (µ, σ ), przy czym = µ, u = σ, zależość (.3) przyjmuje postać p α = P Stosując podstawieie { ( µ k σ µ + k σ )} α µ + k σ ( µ ) α σ, α = e d. (.33) σ π µ k σ α (.33) moża przekształcić do postaci p α = µ z =, σ π kα e kα z dz, (.34) która jest całką uormowaego rozkładu zmieej losowej stadaryzowaej z N (,), opisaego wzorem (.9). Wyrażeie (.34) azywae jest fukcją błędu. Fukcja p α =ϕ (k α ) określa związki między k α i p α. Jest stabelaryzowaa, a tablice są powszechie dostępe. Na rys..7 pokazao fragmet wykresu tej fukcji oraz tablicę iektórych odpowiadających sobie wartości p α i k α.

11 p α % 95,4% 99,7% 5% 68%,674 3 k α kα,5,5,75,,5,5,75,,5 3, 3,5 pα[%] , ,4 98,8 99,7 99,95 Rys..7. Wykres fukcji p α = ϕ (k α ) oraz tablica wartości tej fukcji w wybraych puktach Jak widać poziom ufości dla iepewości stadardowej (u = σ ) wyosi 68,%, a dla dwusigmowej iepewości rozszerzoej U = σ jest rówy 95,4%. Dla wielu hadlowych i przemysłowych zastosowań takie poziomy ufości są wystarczające. Jedak w pewych zastosowaiach, zwłaszcza wtedy, gdy chodzi o zdrowie i bezpieczeństwo, wymaga się większych poziomów ufości. Wtedy zakłada się wymagay poziom ufości p α i z tablic fukcji p α = ϕ (k α ) wyzacza się odpowiedi współczyik rozszerzeia. Poziom ufości dla współczyika rozszerzeia 3 (U = 3σ ) wyoszący 99,7%, uzaje się za bardzo wysoki, bliski pewości. Promień tego przedziału określa tzw. błąd graiczy g, którym dawiej charakteryzowao dokładość pomiaru, a obecie jest wykorzystyway do obliczeń iepewości u B. Guide zaleca w powszechej praktyce posługiwać się główie iepewością stadardową. Pojęcia statystyki matematyczej Omawiaa wyżej sytuacja pojedyczego pomiaru w rozpozaych warukach opisywaych rozkładem ormalym jest łatwym przypadkiem szczególym aalizy iepewości pomiaru, dość często występującym w praktyce. Jedak metody aalizy i obliczeń iepewości zalecae w Guide są ukierukowae a pomiary w warukach oddziaływań ierozpozaych lub rozpozaych słabo, gdzie iezae są oba parametry rozkładu zmieej losowej modelującej pomiar (µ =?, σ =?) i trzeba je szacować a podstawie wyików serii pomiarów, które są jedyym lub główym źródłem iformacji o parametrach rozkładu. Zagadieiami szacowaia parametrów rozkładu a podstawie ograiczoego materiału statystyczego zajmuje się statystyka matematycza. Całość materiału statystyczego, który podlega badaiu a podstawie iewielkiej jego części osi azwę populacji geeralej lub populacji. Część populacji podlegającej bezpośrediemu badaiu azywa się próbą lub próbką. Wyiki serii pomiarów mogą być traktowae jako próba wzięta z populacji wszystkich możliwych wyików pomiarów, których liczość jest rówa ieskończoości. Szacowaie parametrów rozkładu wybraego jako model statystyczy populacji azywa się estymacją, zaś wyik obliczeń określoego parametru a podstawie próby, osi azwę estymaty tego parametru. Formuła obliczeń (tzw. statystyka) azywa się estymatorem. Często dla odróżieia parametru populacji i wyiku jego obliczeia z próby, do azwy parametru dodaje się słowo z próby. Tak więc, p. moża użyć

12 róworzędych azw: estymata odchyleia stadardowego (ozaczaa σˆ ) odchyleie stadardowe z próby lub odchyleie stadardowe eksperymetale..5. Obliczaie iepewości metodą typu A Jest to metoda obliczaia iepewości drogą aalizy statystyczej serii pojedyczych pomiarów (obserwacji), przy założeiu, że ich wyiki są skorygowae. Moża wykazać, iż ajlepszym oszacowaiem (estymatorem) wartości oczekiwaej zmieej losowej modelującej wyiki pomiarów wielkości X, a podstawie wyików i serii iezależych pomiarów jest średia arytmetycza ˆµ = = = i. (.35) Estymaty parametrów, czyli ich wartości obliczoe z próbki, ozaczać będziemy daszkiem ad ich symbolami, p. ˆ µ, ˆ σ. Gdy liczba pomiarów w serii zmierza do ieskończoości, średia arytmetycza dąży do wartości oczekiwaej i= = ˆ µ µ, gdy. (.36) Ozacza to, że jest oa estymatorem ieobciążoym. Estymatę odchyleia stadardowego σˆ (odchyleie stadardowe eksperymetale) oblicza się ze wzoru ( ) + ( ) ( ) ˆ σ =, >, (.37) gdy, ˆ σ σ. W kolejych seriach pomiarów z powodu oddziaływań wielkości wpływających otrzymuje się róże wartości średich arytmetyczych, zatem średia arytmetycza jest rówież zmieą losową. W przypadku, gdy zmiea losowa ma rozkład ormaly, średia arytmetycza rówież podlega rozkładowi ormalemu. Jest o bardziej skupioy wokół wartości oczekiwaej µ (rys..8). p() p( ) σ σ = σ = µ, Rys..8. Krzywa rozkładu średiej arytmetyczej serii pomiarów (ciągła) a tle rozkładu wyików pojedyczych pomiarów, ilustruje korzyść z przejścia od pojedyczego pomiaru do serii

13 Odchyleie stadardowe σ rozkładu średiej arytmetyczej jest powiązae z σ σ zależością σ =. (.38) Poieważ taka sama zależość wiąże rówież estymatory obu odchyleń, a podstawie (.37) otrzymuje się wzór a estymator odchyleia stadardowego średiej arytmetyczej serii pomiarów ˆ ( )... ( ) ˆ + + σ = σ =. (.39) ( ) Tak więc, jeżeli jako uzasadioy wyik pomiaru przyjmuje się średią arytmetyczą wyików serii pomiarów, to iepewość stadardową takiego wyiku ˆ σ u A = ˆ σ = (.4) ależy obliczać ze wzoru (.39). Obliczaa w te sposób iepewość jest azywaa iepewością stadardową typu A i ozaczaa u A. Niepewość stadardowa u A, bywa często jedyą składową iepewości i a jej podstawie oblicza się iepewość rozszerzoą. Powstaje pytaie jaka powia być liczość serii pomiarów i jak obliczać współczyik rozszerzeia przy postulowaym poziomie ufości. Jak wyika z (.38), współczyik poprawy iepewości stadardowej w astępstwie przejścia od pojedyczego pomiaru do serii pomiarów wyosi /. Na rys..9 pokazao wykres tego współczyika w fukcji Rys..9. Wykres przebiegu współczyika / w fukcji. Jak widać z rysuku, współczyik poprawy maleje szybko a początku układu współrzędych (dla = 4 zmiejsza się -krotie), a dla dużych maleje powoli. Stąd admiere zwiększaie liczby pomiarów w serii ie jest uzasadioe. Liczba ta jedak powia być a tyle duża, aby zapewić, że estymaty i σˆ są wiarygodymi oszacowaiami wartości prawdziwej =µ oraz iepewości stadardowej u A = σ. 3

14 Uzasadioa liczba pomiarów w serii zależy jak to wykażemy od wymagaego poziomu ufości iepewości rozszerzoej. W celu wyzaczeia relacji między poziomem ufości p α i współczyikiem rozszerzeia k α dla rozważej sytuacji, ależy sięgąć do zmieej losowej uormowaej z (.8) µ z =. (.4) σ W przypadku, gdy odchyleie stadardowe σ ie jest zae a priori i zastępuje się je estymatą obliczoą z próby σˆ, wtedy (.4) przekształca się w iloraz dwóch zmieych losowych (dla odróżieia ozaczay t) µ t =. (.4) ˆ σ Zmiea losowa t jest opisaa rozkładem t-studeta o ν = stopiach swobody (ν >). Fukcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać p ( t, v) = v + Γ t + v Γ v vπ v+, (.43) gdzie: Γ () - fukcja gamma. Wartość oczekiwaa zmieej t jest rówa zero. Reprezetacją graficzą rozkładu t-studeta (rys..) jest rodzia krzywych o kształtach dzwoowych i szerokości zależej od stopi swobody v i =,, 3,.... Najbardziej płaska jest krzywa rozkładu dla pierwszego stopia swobody v =. Ze wzrostem v rozmycie krzywych zmiejsza się, a przy v rozkład t-studeta zmierza do uormowaego rozkładu ormalego N (,). Zatem te ostati jest rozkładem graiczym rozkładu t-studeta p(t,ν)..5 ν = ν = ν = 5 ν = t Rys... Krzywe rozkładu t-studeta o różych stopiach swobody Pseudoim matematyka agielskiego Gosseta, który swoje prace publikował pod pseudoimem Studet 4

15 Zależość między poziomem ufości p α i współczyikiem rozszerzeia k α wyzacza się z całki błędu kα pα = p( t, v) dt dla v =,,3,... (.44) kα która jest stablicowaa dla różych wartości v. Wybrae dae zestawioo w tablicy. Współczyiki rozszerzeia k α obliczoe z rozkładu t-studeta dla wybraych poziomów ufości p α i różych stopi swobody v i p α ν,7,9,95,99.,96 6,3,7 63,66.,88,9 4,3 9,9 3.,85,35 3,8 5,84 4.,9,3,78 4,6 5.,5,,57 4,3 6.,3,94,45 3,7 7.,,89,36 3,5 8.,,86,3 3,36 9.,,83,6 3,5,3,64,96,57 Tablica. Tablica. pozwala wysuć wioski co do racjoalego wyboru liczby pomiarów w serii. Jak widać z porówaia daych z tablicy. oraz tablicy a rys..7, dla v = = współczyiki rozszerzeia k α obliczoe z rozkładu t-studeta i rozkładu ormalego pokrywają się. Natomiast różice są zacze dla krótkich serii pomiarów, ajwiększe dla serii pomiarów. Są oe tym większe im większy jest postuloway poziom ufości. Przyczyą tych różic jest duża iepewość (mała dokładość) wyzaczeia estymaty odchyleia stadardowego σˆ z mało liczej próby. Dla iezbyt dużych poziomów ufości p α 7% różice między daymi obliczoymi z obu rozkładów są istote tylko dla krótkich serii pomiarów 5, atomiast stają się mało istote a serii dłuższych ( > 5). Stąd wiosek, że dla serii 5 współczyik rozszerzeia ależy obliczać z rozkładu t-studeta, atomiast dla >5 moża obliczać z rozkładu ormalego. Przy dużych poziomach ufości (p α 95%) różice między daymi obliczoymi z rozkładów ormalego i t-studeta są zacze awet przy dużej liczości próby, powyżej pomiarów. Stąd wiosek, że przy dużym postulowaym poziomie ufości p α (p. 99%), ależy wybierać duże próby (p. > ). Przykład Dokoao serii 5 pomiarów rezystacji metodą mostkową. Otrzymao astępujące wyiki: 53,; 53,6; 53,; 54,9; 53,7 Ω. Obliczyć iepewość stadardową u A, współczyik rozszerzeia k α i iepewość rozszerzoą U A dla poziomu ufości p α = 95%. Średia arytmetycza serii pomiarów 5

16 53, + 53,6 + 53, + 54,9 + 53,7 = = 53, 7Ω. (.45) 5 Estymata odchyleia stadardowego pojedyczego pomiaru 5 ˆ σ = ( i 53,7) = (,5) + (,) + (,6) + (, ) =, 7Ω. (.46) Estymata odchyleia stadardowego średiej arytmetyczej ˆ σ,7 ˆ σ = = =, 3Ω. (.47) 5 5 Współczyik rozszerzeia k α wyzaczamy z tablic t-studeta dla p α = 95%, ν = 5-=4. Jego wartość jest rówa,77. Zatem otrzymaliśmy: iepewość stadardową u A =,3Ω, współczyik rozszerzeia k α =,77 i iepewość rozszerzoą U A = k α u A =,9Ω. Zaleca się wyik pomiaru zapisać i skometować astępująco: = 53,7Ω ±,9Ω przy poziomie ufości 95%, ze współczyikiem rozszerzeia k α =,77 obliczoym z rozkładu t-studeta o liczbie stopi swobody ν = 4. W przypadku wykorzystaia do obliczeń rozkładu ormalego przy p α = 95% otrzymuje się: współczyik rozszerzeia k α =,96 i iepewość rozszerzoą U =,64Ω. Wyik moża zapisać: = 53,7Ω ±,64Ω przy poziomie ufości 95%, ze współczyikiem rozszerzeia k α =,96 obliczoym z rozkładu ormalego. Jak widać z porówaia zapisów obu wyików, obliczeia a podstawie rozkładu ormalego dają miejszą iepewość, czyli zawyżają dokładość pomiaru. W tym przypadku rozkład ormaly ie powiie być stosoway do obliczeń. Jedak może być stosoway przy dłuższych seriach pomiarów lub miejszych poziomach ufości..6. Obliczaie iepewości metodą typu B Metoda typu B, wg Guide a dotyczy obliczaia iepewości sposobami iymi iż aaliza serii obserwacji i zalecaa jest do aalizy i szacowaia błędów istrumetalych (aparaturowych). Powtarzaie obserwacji ie ujawia tych błędów. Niepewość stadardową u B błędów tego typu określa się a drodze aalizy opartej a wszystkich możliwych iformacjach (poprzedie pomiary, dae istrumetów, wyiki wzorcowaia itp.). Błędy istrumetale są błędami systematyczymi o iezaej wartości (ich części zae uwzględia się w poprawkach). Każdy z tych iezaych błędów istrumetalych (azywaych iekiedy błędami typu B) jest kokretą realizacją błędu kokretego egzemplarza przyrządu daego typu (p. wzorca), jest więc zmieą losową w zbiorze przyrządów tego typu i w tym zbiorze ma określoy rozkład prawdopodobieństwa, często zay a priori. Jeżeli ie jest o dobrze zay przyjmuje się, że jest to rozkład rówomiery (jedostajy) ograiczoy błędami graiczymi ± g (rys..). 6

17 p ( ) g - g g g σ = 3 Rys... Rozkład rówomiery modelujący błędy istrumetale jako zmieą losową w zbiorze przyrządów daego typu, dla przypadku, gdy rozkład jest symetryczy o wartości oczekiwaej rówej zero Przy takich założeiach iepewość stadardowa typu B będzie rówa odchyleiu stadardowemu rozkładu jedostajego: g u B = σ =. (.48) 3 Współczyik rozszerzeia w tym przypadku jest opisay zmieą losową uormowaą rozkładu jedostajego. Z całki błędu dla takiego rozkładu moża wyzaczyć prostą zależość między współczyikiem rozszerzeia i odpowiedim poziomem ufości kα = 3 p α. (.49) Niepewość rozszerzoa typu B jest rówa U B = kαub = kα 3 g, przy postulowaym p α. (.5) W szczególym przypadku, gdy domiuje błąd typu B o składiku, oceia się zwykle wartość graiczą iepewości rozszerzoej dla poziomu ufości p α = (%) U B = k g α ub = 3 p α = g, dla p α = %, (.5) która jest rówa wartości błędu graiczego g. W ogólym przypadku zaleca się operować stadardową iepewością u B. Jest oa bardzo często obliczaa a podstawie specyfikacji producetów aparatury, daych wzorcowaia lub świadectwa certyfikacji. Typowy sposób obliczeń u B a podstawie dokumetacji wzorca zilustrujemy przykładem. Przykład Świadectwo certyfikacji stwierdza, że rezystacja R s wzorca rezystacji o wartości omialej Ω wyosi (74 ± 9) µω w temperaturze 3 C i że podaa iepewość 9µΩ określa przedział o poziomie ufości 99% obliczoy z rozkładu ormalego. Jaka jest iepewość stadardowa tego wzorca? Z tablic fukcji p α = ϕ (k α ) stwierdzamy, że poziomowi ufości 99% odpowiada współczyik rozszerzeia k α =,

18 Zatem iepewość stadardowa u Rs = 9µΩ /,58 = 5µΩ, zaś względa iepewość stadardowa u Rs /R s = 5, Określaie złożoej iepewości stadardowej Pomiary bezpośredie Dla wielkości mierzoej bezpośredio, kiedy uwzględia się iepewość stadardową typu A i typu B złożoa iepewość stadardowa u c jest pierwiastkiem sumy kwadratów tych iepewości c A B u = u + u. (.5) Niepewość rozszerzoa jest iloczyem współczyika rozszerzeia i złożoej iepewości stadardowej U = k. (.53) Współczyik rozszerzeia dla zadaego poziomu ufości p α powiie być obliczay a podstawie rozkładu stadaryzowaej zmieej losowej o rozkładzie będącym splotem rozkładu ormalego i rozkładu jedostajego, kiedy próba jest licza lub rozkładu t-studeta i jedostajego, kiedy próba jest małolicza. Pomiary pośredie W większości przypadków wielkość poszukiwaa y ie jest mierzoa bezpośredio, lecz wyzaczaa a podstawie pomiarów iych wielkości i związaych z ią określoą zależością fukcyją αu c ( ) y = f,,...,, (.54) azywaą rówaiem pomiaru. Na przykład, moc prądu lub rezystację wyzacza się iekiedy a podstawie pomiarów prądu i apięcia, korzystając z odpowiedich wzorów. Wielkości,,..., azywae są wielkościami wejściowymi, a y wielkością wyjściową. Aby wyzaczyć zmiaę y fukcji (.54) spowodowaą zmiaami jej argumetów o,,..., ależy obliczyć jej różicę w puktach i + i oraz i, i =,,...,. ( + +,..., + ) f (,,..., ) y = f. (.55), Rozwijając pierwszy czyik wyrażeia (.55) w szereg Taylora oraz zachowując w im tylko wyrazy pierwszego rzędu otrzymuje się taką jego postać f f f y = , (.56) która odwzorowuje rówaie pomiaru w dziedziie błędów i azywaa jest czasami rówaiem błędów. Pochode cząstkowe f i = c, i =,,...,, (.57) i 8

19 azywae są współczyikami wrażliwości, zaś całe wyrażeie azywa się różiczką zupełą. Należy wyraźie podkreślić, iż różiczka zupeła wierie opisuje przyrost fukcji liiowej, atomiast w przybliżeiu reprezetuje (aproksymuje) przyrost fukcji ieliiowej. Przybliżeie to jest tym lepsze im miejsze są przyrosty i. Najłatwiej moża to zilustrować graficzie a przykładzie fukcji jedej zmieej, pokazaej a rys.., dla której (.56) upraszcza się do postaci df y =. (.58) d Na rysuku zazaczoo rzeczywisty przyrost fukcji y i różiczkę zupełą dy = df / d. y=f() y df dy = d + Rys... Ilustracja różicy między różiczką zupełą dy i rzeczywistym przyrostem fukcji y Różiczka zupeła (.56) może być wykorzystywaa do obliczeń poprawki błędu systematyczego wielkości wyjściowej a podstawie zaych co do wartości i zaku poprawek błędów wielkości wejściowych. Prawo propagacji iepewości Na podstawie różiczki zupełej formułowae jest prawo propagacji iepewości w postaci u cy i= ui f =, (.59) i gdzie u i iepewości stadardowe pomiaru wielkości wejściowych obliczoe metodą typu A lub typu B Złożoa iepewość stadardowa u cy jest estymatą odchyleia stadardowego σˆ y i charakteryzuje rozrzut wartości, które moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej y. Prawo propagacji iepewości w postaci (.59) jest słusze jeżeli zmiee wejściowe są ieskorelowae, co w praktyce pomiarowej ma ajczęściej miejsce. Gdy iektóre z wielkości wejściowych są skorelowae, ależy korzystać z bardziej złożoych wzorów zamieszczoych w Guide. Wyik końcowy pomiaru wielkości Y oblicza się z fukcji (.54), przyjmując średie arytmetycze wielkości bezpośredio mierzoych (..., ) y = f,,. (.6) 9

20 Warto zazaczyć, iż wielkościami wejściowymi i w rówaiu pomiaru (.54) oraz wyikających z iego rówaiach (.56) i (.59), mogą być ie tylko wielkości mierzoe bezpośredio, lecz także wielkości wpływające, których iepewości zae są z literatury, orm lub dokumetacji aparatury. Zilustrujemy to a przykładzie. Przykład Jeda z pośredich metod pomiaru mocy rozpraszaej przez oporik w temperaturze t, który ma rezystację zależą od temperatury o wartości R w określoej temperaturze t i liiowy współczyik temperaturowy rezystacji α, polega a bezpośredim pomiarze apięcia V a zaciskach oporika oraz temperatury otoczeia t i wyzaczeiu wartości mocy P ze wzoru P = f ( V, R,, t) V α =. (.6) R [ + α( t t )] Złożoa iepewość stadardowa wyiku pomiaru mocy tą metodą może być wyrażoa astępująco gdzie cp ( c u ) + ( c u ) + ( c u ) ( c u ) u = α +, (.6) c c 3 4 V R 3 4 t f c = = V / R V f c = = V / R R [ + α( t t )] f = = V α f = = V α / R t [ + α( t t )] ( t t )/ R [ + α( t t )] [ + α( t t )] (.63) Niepewości stadardowe pomiarów wielkości mierzoych bezpośredio, apięcia V i temperatury t, są wyzaczae jako estymaty odchyleń stadardowych średich arytmetyczych obu tych wielkości. Wielkości R i α są wielkościami wpływającymi, których wartości i iepewości stadardowe są wyzaczae z daych rezystora R i tablic fizyczych metodą typu B..8. Wyzaczaie iepewości rozszerzoej w pomiarach pośredich W pomiarach pośredich iepewość rozszerzoą oblicza się jako iloczy współczyika rozszerzeia k α i iepewości stadardowej złożoej u cy obliczaej z (.59) a wyik pomiaru zapisuje się U = k, (.64) y αu cy y = y ± U a poziomie ufości p α. (.65)

21 Spotyka się też zapis bardziej zwięzły y = y ±, (.66) w którym doly ideks ozaczeia U p iformuje o poziomie ufości (w procetach), p. U 95. Ścisłe obliczaie współczyika rozszerzeia dla postulowaego poziomu ufości jest w przypadku pomiarów pośredich zagadieiem trudym, poieważ wymaga zajomości fukcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmieej losowej modelującej wyik pomiaru y. Jest oa splotem rozkładów składowych zmieych losowych modelujących wielkości wejściowe. Obliczaie splotów jest trude za wyjątkiem przypadków szczególych, do których ależy splot dowolej liczby rozkładów ormalych. Jest o µ = µ + µ , rozkładem ormalym o łatwych do obliczeia parametrach ( y µ ) ( σ = σ + σ σ ). y Z tego względu w praktyce stosuje się przybliżoe metody wyzaczaia współczyika rozszerzeia. U p Przybliżoe metody wyzaczaia iepewości rozszerzoej Przedstawimy tu kilka ajszerzej zaych i stosowaych metod przybliżoych. Metoda I - arzucoych wartości współczyika rozszerzeia: k α = dla p 95% i k α = 3 dla p α 99%. Metodę tę zaleca Guide dla sytuacji pomiarowych, w których zmiee losowe modelujące błędy woszoe przez wielkości wejściowe mają rozkłady ormale lub zbliżoe do ormalego lub też, gdy przy iych rozkładach serie pomiarów są licze ( > ). Metoda zakłada, iż wystarczającą jest przybliżoa zajomość poziomu ufości (co w praktyce często ma miejsce), stąd wartości p α są zaokrągloe w dół. Metoda II sumy geometryczej, polega a obliczaiu iepewości rozszerzoej U i dla każdej wielkości wejściowej (dla każdej składowej błędu) osobo i obliczaiu iepewości rozszerzoej wielkości wyjściowej U y jako pierwiastka sumy kwadratów składowych iepewości U = U + U U. (.67) y Współczyiki rozszerzeia iepewości składowych ależy obliczać dla tego samego poziomu ufości. Metoda III sumy zwykłej (algebraiczej) Sumowaie w dziedziie iepewości U = U A + U B lub U = U + U U y. (.68) W dziedziie błędów stosuje się sumowaie wartości bezwzględych błędów składowych y = c + c c. (.69) Metoda zakłada ajgorszy przypadek sumowaia się błędów, tz. taką sytuację, w której wszystkie błędy składowe mają wartości maksymale i jedakowe zaki. Jest to mało prawdopodobe, co ozacza, iż metoda zawyża iepewość pomiaru, jest ajbardziej pesymistycza.

22 Jest oa stosowaa w pomiarach warsztatowych, z powodu łatwości obliczeń, a także w szczególych sytuacjach lub przypadkach, p. wyzaczaiu toleracji, w wymiarowaiu detali maszy wymagających zachowaia określoych luzów itp. Metoda IV domiującego składika, zalecaa dla przypadków, gdy domiuje jeda ze składowych iepewości typu A lub B. Jeżeli u A > u B to k α = k αa, jeżeli u B > u A to k α = k αb U = k (.7) Metoda V efektywych stopi swobody, jest zalecaa przez Guide dla serii iejedakowo liczych, w sytuacji gdy poziomy ufości muszą być zae z dużą wiarygodością. Zakłada oa, że jeżeli złożoa iepewość stadardowa jest składaa z dwóch lub więcej czyików, a podstawie prób o iejedakowej liczości (o iejedakowych stopiach swobody v i ) i iezaych odchyleiach stadardowych σ, to iezay rozkład modelujący łączy błąd pomiaru y może być przybliżoy rozkładem t-studeta dla liczby efektywych stopi swobody ν eff, którą moża wyzaczyć z ogólej formuły Welcha-Satterthwaite a i= αu c 4 ucy ν eff =, (.7) N 4 4 y ui i ν i gdzie: u - złożoa iepewość stadardowa wielkości wyjściowej, cy u i - iepewości stadardowe wielkości wejściowych, i =,,... N. ν i - liczby stopi swobody dla serii pomiarowej wielkości wejściowej i. Dla ułatwieia wyboru podejścia i metody odpowiediej dla daej sytuacji pomiarowej, zwięzłą charakterystykę omówioych metod przedstawioo w postaci tablicowej. Zestawieie metod przybliżoych Tablica. Najbardziej zae przybliżoe metody wyzaczaia iepewości rozszerzoej Metoda przybliżoa Niepewość rozszerzoa U Współczyik rozszerzeia k I. arzucoych wartości współczyika rozszerzeia U = k α u c II. sumy U = U A + U B geometryczej U = U + U U k α k α i dla p = 3 dla p α α = 95% = 99% określa się dla tych samych p α i

23 III. sumy zwykłej (arytmetyczej) IV. domiującego składika V. efektywych stopi swobody U = U y = c + U + c U U = k α u c U = k α u c c Poziom ufości ie jest podaway. Sumowaie charakteryzuje się opisowo k α k = k αa αb dla dla u u A A > u < u p α = ϕ( k α ) wyzacza się z rozkładu t-studeta o ν eff stopiach swobody B B Propagacja iepewości względych Dotychczasowe rozważaia dotyczyły główie iepewości i błędów bezwzględych. W praktyce pomiarowej często wygodie jest posługiwać się iepewością względą, która iekiedy daje pełiejszą charakterystykę dokładości pomiaru. Na przykład pomiar apięcia V z iepewością stadardową V moża uzać za dość dokłady, atomiast pomiar apięcia 5 V z tą samą iepewością stadardową jest mało dokłady. Wzory a sumowaie (propagacje) iepewości względych łatwo wyprowadzić z różiczki zupełej (.56) lub prawa propagacji iepewości (.59). Moża je iekiedy przedstawić eplicite w postaci prostszej od przypadku iepewości lub błędów bezwzględych. Pokażemy to a kilku przykładach. Przykład potęgowej fukcji y = f() jedej zmieej Ze wzoru (.58) łatwo otrzymać y = k. (.7) u y u δ u = = k = kδ y u y. (.73) Ozacza to, że iepewość względa wielkości wyjściowej y mierzoej pośredio jest k razy większa od iepewości wielkości wejściowej mierzoej bezpośredio. Przykładem pomiaru tego rodzaju jest pomiar mocy a podstawie pomiaru apięcia stałego a zaej rezystacji R i wyzaczaie mocy ze wzoru P U =. R Przykład fukcji postaci y = z z z m. (.74) Dla takiej fukcji z różiczki zupełej (.56) otrzymuje się wzór a sumowaie błędów względych metodą sumy algebraiczej w postaci y z z z δ y = = (.75) y z z z m m 3

24 Natomiast z zależości (.58) otrzymuje się taki wzór a propagacje iepewości względych U y U U U U z U z U zm δ U = = (.76) y y z z z Przykład obliczaia toleracji W celu zilustrowaia przydatości metody III do obliczeń toleracji rozpatrzymy przykład obliczaia toleracji rezystacji wypadkowej otrzymaej z szeregowego i rówoległego połączeia oporików o różych toleracjach. Dwa oporiki R = Ω ± 5% i R = 4Ω ± %, połączoo raz szeregowo, raz rówolegle. Obliczyć wartości i toleracje rezystacji wypadkowych otrzymaych w obu wymieioych połączeiach. Toleracja rezystacji może być wyrażoa względą iepewością graiczą lub względym błędem graiczym. Do jej obliczeń moża wykorzystać wzór (.7) y = c + c c, który dla względych błędów graiczych przyjmuje postacie (.77) i (.78), zależie od sposobu połączeń.. Połączeie szeregowe Współczyik czułości: R sz = R + R = Ω + 4Ω = 5Ω. Rsz Rsz c = =, c = = R R m δ R sz Rsz R R R R = = + = δ R + δ R. (.77) R R + R R + R R + R R + R sz Podstawiając wartości rezystacji i toleracje oporików R i R otrzymujemy: δ,8%; R = 5Ω ±,8%. R sz = sz. Połączeie rówoległe RR R r = = 8Ω. R + R Współczyiki czułości w tym przypadku wyoszą odpowiedio: stąd: c ( R + R ) ( R + R ) Rr R R = =, c =, R δ R r g Rr R R = = δ R + δ R. (.78) R R + R R + R r Po podstawieiu daych otrzymujemy: δ 4,%; R = 8Ω ± 4,%. R r = r 4

25 .9 Niektóre termiy i pojęcia statystycze Zróżicoway stopień opaowaia rachuku prawdopodobieństwa w szkole średiej oraz fakt, iż rówolegle wykładay przedmiot Metody probabilistycze jest jeszcze iewiele zaawasoway, skłaiają do zdefiiowaia lub przypomieia iektórych pojęć statystyczych. Celowym wydaje się metrologicze podejście i iterpretacja tych pojęć a przykładzie serii wielokrotie powtarzaych pomiarów (lub obserwacji) i uporządkowaie ich wyików a podstawie przyależości do jedakowych przedziałów i w postaci histogramu. Częstość Liczba przypadków zajścia zdarzeia losowego lub liczba obserwacji ależących do określoej klasy. W przypadku serii pomiarów, w której zakres rozproszeia wyików podzieloo a przedziały o szerokości i częstość wyraża się ilorazem i, gdzie i liczba wyików ależących do przedziału i. Częstość względa Jest to częstość zormalizowaa względem szerokości przedziału przyależości i i. Histogram Rozkład częstości lub częstości względej. Na rysuku pokazay jest przykład histogramu częstości względej dla zbiorowości (serii) = pomiarów i 5 przedziałów przyależości o jedakowej szerokości i =,3. Częstość względa wyików ależących do określoego przedziału jest rówa wysokości zaś częstość jest rówa powierzchi słupka rozpiętego a tym przedziale. Wyika stąd, iż pole histogramu jest rówe jedości, co łatwo wykazać i = = i i 5

26 i i µ = Rys..3. Histogram dla zbiorowości = pomiarów i 5 przedziałów przyależości i =,39 Jeżeli liczość zbiorowości pomiarów rośie, a szerokość przedziałów przyależości i maleje histogram staje się coraz bardziej wieloschodkowy (rys..3), a jego obwiedia wygładza się i w graicy, przy i i przechodzi w krzywą ciągłą przedziałow =.3 i.5 i..5 = µ = Rys..4 Histogram dla zbiorowości = pomiarów i 5 przedziałów przyależości i =,36 Zmiea losowa Zmiea, która może przyjmować odosobioe lub dowole wartości z określoego zbioru i z którą związay jest rozkład prawdopodobieństwa. Zmiea losowa, która może przyjmować jedyie odosobioe wartości azywaa jest dyskretą, zaś ta, która może przyjmować dowole wartości ze skończoego lub ieskończoego przedziału azywaa jest zmieą losową ciągłą. 6

27 Dystrybuata Fukcja określająca dla każdej wartości prawdopodobieństwo, że zmiea losowa przyjmuje wartość miejszą lub rówą F ( ) = P( ) Na rysuku.5 pokazaa jest przykładowa dystrybuata F() Rys..5. Przykładowa dystrybuata zmieej losowej ciągłej Fukcja gęstości prawdopodobieństwa Dla zmieej losowej ciągłej jest pochodą dystrybuaty ( ) p = df( ) d Na rys..6 pokazaa jest fukcja gęstości prawdopodobieństwa (azywaa też krótko gęstością prawdopodobieństwa) zmieej losowej o dystrybuacie z rys..5 Rys..6. Fukcja gęstości prawdopodobieństwa odpowiadająca dystrybuacie z rys..5 7

28 Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmieą losową wartości z przedziału (, ) wyraża się jako całka z gęstości prawdopodobieństwa tej zmieej w tym przedziale P < ( < ) = p( ) d = F( ) F( ) Jest oo rówe polu pod krzywą rozpiętą a tym przedziale lub różicy wartości dystrybuaty w puktach i. Fukcja gęstości prawdopodobieństwa może być iterpretowaa fukcja graicza obwiedi histogramu w warukach, gdy liczość zbiorowości dąży do a szerokość przedziału przyależości dąży do zera, tz.: gdy, i, wtedy też i P i ( < < + d) oraz p( ) Zatem prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa mogą być iterpretowae jako wartości graicze odpowiedio częstości i częstości względej. i 8

29 . Wykaz ozaczeń: c i f = współczyik wrażliwości, pochoda cząstkowa i g błąd graiczy pomiaru, ε błąd pomiaru wielkości (bezwzględy) δ u względa iepewość wyiku pomiaru wielkości δ względy błąd pomiaru wielkości E () wartość średia zmieej losowej k α współczyik rozszerzeia kl klasa przyrządu µ wartość oczekiwaa µˆ estymata wartości oczekiwaej, wartość oczekiwaa z próby N (µ, σ) rozkład ormaly o parametrach (µ, σ) N (, ) uormoway rozkład ormaly v liczba stopi swobody rozkładu t-studeta v eff efektywa liczba stopi swobody p α poziom ufości wyrażay ułamkiem lub w procetach p α = ϕ(k α ) fukcja błędu p = - poprawka wyiku pomiaru wielkości σ odchyleie stadardowe zmieej losowej σ wariacja zmieej losowej σˆ estymata odchyleia stadardowego, odchyleie stadardowe z próby u iepewość stadardowa u A iepewość stadardowa typu A (obliczaa metodą A) u B iepewość stadardowa typu B (obliczaa metodą B) u c złożoa iepewość stadardowa u, u y iepewość stadardowa wyiku pomiaru odpowiedio wielkości i y U iepewość rozszerzoa U, U y iepewość rozszerzoa wyiku pomiaru odpowiedio wielości i y w p współczyik poprawkowy zmiea losowa wyik pomiaru wielkości, wielkość mierzoa, y średia arytmetycza serii pomiarów odpowiedio wielkości i y zakr wartość zakresowa wielkość prawdziwa wielkości mierzoej z, t zmiee losowe uormowae (stadaryzowae) 9