Średnie. Grażyna Rozmysłowicz, Dorian Śniegocki

Transkrypt

1 Średie Grażya Rozmysłowicz, Doria Śiegocki 30 styczia 09

2 Spis treści Czym jest średia? Średia, jako pojęcie matematycze 3 3 Szczególe średie 5 3. Średia arytmetycza Mediaa Średia arytmetyczo-geometrycza Średia geometrycza Średia geometryczo-harmoicza Średia harmoicza Średia kwadratowa Średia logarytmicza Średia potęgowa Średia quasi-arytmetycza Średia uciaa Średia ważoa Średia wisorowska Średia wykładicza Miimum i maksimum Domiata Średia całkowa Średia Chisiego Średia Stolarskiego Nierówości Cauchy ego między średimi 9 4. Średia arytmetycza, a geometrycza Średia geometrycza, a harmoicza Średia kwadratowa, a arytmetycza

3 Rozdział Czym jest średia? W wielu zagadieiach praktyczych, kiedy mamy do czyieia z jakimiś daymi, poszukujemy liczb, które w pewym sesie charakteryzują te dae. Na przykład kiedy chcielibyśmy sklasyfikować, powiedzmy przyzać agrody ucziom, wówczas liczymy zwyczajowo średią ich oce. Daymi w tym przypadku są ocey uczia, a tym parametrem charakteryzującym jest średia arytmetycza oce. Ale oczywiście moża wziąć iy parametr. Jakie własości powiie te parametr spełiać, aby moża azwać go średią? Słowo średi w zaczeiu potoczym ozacza pomiędzy małym, a dużym. Taka też jest ogólie przyjęta defiicja. Jest to liczba zajdująca się pomiędzy ajmiejszą z daych a ajwiększą. Stąd też róże są średie. Wybór średiej zależy od rodzaju badaych wielkości i potrzeb aalizy daych. Średia to jedo z podstawowych pojęć działu matematyki zwaego statystyką.

4 Rozdział Średia, jako pojęcie matematycze Defiicja.. Średia - w ajogóliejszej wersji dowola fukcja µ(a,..., a ) spełiająca dla dowolych a,..., a, waruek: mi(a,..., a ) µ(a,..., a ) max(a,..., a ) i jedocześie iemalejąca ze względu a każdą zmieą a i. Twierdzeie. (O zbieżości średich). Jeśli ciąg c ma graicę (właściwą lub iewłaściwą), to graica ciągu średich arytmetyczych A = istieje i jest jej rówa. k= c k Uwaga.. Jeśli poadto c > 0 dla każdego, to rówież ciągi średich k= geometryczych G = c k i harmoiczych H = mają tę samą graicę lim H = lim G = lim c. k= Dowód. Korzystając z twierdzeia Stolza dla ciągów a = i b = k=i c k otrzymujemy: I. lim ( b b ) = lim ( c a a ) = g lim II.( b b a a ) = ( c ) Dla średich geometryczych: lim k= k= ( c k k= ± ( c k c k ) = lim ( b ) = g a ) = ( b a ) ± c k = lim exp l k= l c k c k = lim exp k= 3 =

5 k= l c k = exp lim = exp lim l c = exp l lim c = lim c Czwarta rówość wyika z udowodioego wyżej twierdzeia, a pozostałe z własości fukcji wykładiczej i logarytmu, w szczególości ich ciągłości. Dla średich harmoiczych: k= c k = lim k= c k = lim c = lim c Druga rówość wyika z twierdzeia dla średich arytmetyczych. 4

6 Rozdział 3 Szczególe średie Średie są statystykami stosowaymi jako tzw. miary tedecji cetralej, tz. wskaźiki pokazujące w jakiś sposób środek rozkładu. Środek moża zdefiiować a wiele sposobów. W szczególości możemy wyróżić wiele średich. 3. Średia arytmetycza Defiicja 3.. Średia arytmetycza liczb iloraz sumy liczb i ilości tych liczb. Dla liczb a, a,..., a jest to wyrażeie: a + a + + a Uwaga 3.. Średia arytmetycza ależy do klasyczych miar średich i wyraża oa przecięty poziom obserwowaej cechy. Stosujemy ją do obliczaia p. średiej oce, średiej wzrostu, wagi czy średiego wyagrodzeia. Przykład 3.. Niech liczby 3, 4, 3, 4, będą puktami zdobytymi przez studeta a kolejych wejściówkach z aalizy matematyczej. Wówczas średią arytmetyczą puktów wyrażamy wzorem , która jest rówa Mediaa Mediaa azywaa rówież wartością środkową / wartością przeciętą / drugim kwatylem. Defiicja 3.. Mediaa - wartość cechy w szeregu uporządkowaym, powyżej i poiżej której zajduje się jedakowa liczba obserwacji. 5

7 Przykład 3.. Niech liczby 3,4,3,4, będą puktami zdobytymi przez studeta a kolejych wejściówkach z aalizy matematyczej (podobie jak w poprzedim przykładzie). Uporządkujmy zdobyte pukty rosąco. Mamy wówczas:,3,3,4,4. Łatwo zauważyć, że wartością środkową uporządkowaego szeregu jest 3. Przykład 3.3. W kolejych 0 rzutach kostką sześcieą otrzymao astępujące wyiki: 6,,4,4,5,,,3,4,3. Uporządkujmy te wyiki malejąco. Mamy wówczas: 6,5,4,4,4,3,3,,,. Mediaą tych wyików jest 3,5. Obserwacja 3.. Łatwo zauważyć, iż dla uporządkowaego rosąco lub malejąco zbioru liczb, mediaa jest liczbą środkową (jeśli taka istieje, tz. jeśli zbiór liczb ma ieparzystą ilość elemetów), albo jest średią arytmetyczą dwóch liczb ze środka (jeśli zbiór ma parzystą ilość elemetów). 3.3 Średia arytmetyczo-geometrycza Defiicja 3.3. Średią arytmetyczo-geometryczą dwóch liczb rzeczywistych dodatich a i b, ozaczaą często w omeklaturze aglojęzyczej przez AGM(a, b) lub M(a, b), azywamy wspólą graicę astępujących ciągów określoych rekurecyjie: a + = a + b b + = a b gdzie a 0 = a oraz b 0 = b, przy czym średią tę moża rozszerzyć dla liczb zespoloych. Graica ta istieje dla dowolych a, b rzeczywistych dodatich, poieważ b b + a + a co wyika z ierówości Cauchy ego między średimi i rówocześie koleje różice pomiędzy odpowiedimi wyrazami ciągów (a ) i (b ) dążą do zera: Z samej kostrukcji mamy: lim (a b ) = 0 ab M(a, b) a + b Przykład 3.4. Aby wyzaczyć średią arytmetyczo-geometryczą liczb a 0 = 4 i b 0 = 6, ajpierw wyliczamy wartości średich: a = = 5

8 i dalej rekurecyjie: b = 4 6 = a = 5 + = 3, 5 b = 5 = 3, Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy: a b ,5 3, , , , , , , Jak widzimy a przykładzie, ciąg zgodych cyfr po przeciku (zazaczoych podkreśleiem) wydłuża się miej więcej dwukrotie z każdym powtórzeiem. Średia arytmetyczo-geometrycza liczb 4 i 6 jest wspólą graicą podaych dwóch ciągów, rówą w przybliżeiu: 3, Średia geometrycza Defiicja 3.4. Średią geometryczą dodatich liczb a, a,..., a azywamy liczbę: a a... a. Uwaga 3.. Średia ta jest stosowaa, gdy zmiea ma rozkład logarytmiczie ormaly. Obserwacja 3.. Jest oa szczególym przypadkiem średiej potęgowej rzędu 0: lim k i= k a k i = a a a. Uwaga 3.3. Istieje rówież wariat średiej geometryczej azyway ważoą średią geometryczą. 7

9 Uwaga 3.4. Średia geometrycza w statystyce wykorzystywaa jest ajczęściej do obliczaia średiego tempa zmia. Przykład 3.5. Obliczyć średią geometryczą liczb, 5 oraz. 7 3 Z defiicji mamy: 5 = Przykład 3.6. Rocze procetowe przyrosty liczby studetów badaych w okresie 5 lat to odpowiedie wzrosty : %, 0%, 5% i 50%. Jaki był średi przyrost w tym okresie? 4, 0,, 05, 5, 8(, 8 ) 00% = 8% Zatem średi przyrost to około osiemastoprocetowy wzrost. 3.5 Średia geometryczo-harmoicza Defiicja 3.5. Średia geometryczo-harmoicza dwóch liczb rzeczywistych dodatich g i h wspóla graica ciągów (g ),(h ) określoych rekurecyjie: g + = g 0 = g, h 0 = h g h, h + = g +. h Uwaga 3.5. Graica ta istieje dla dowolych g, h rzeczywistych dodatich. Przykład 3.7. Obliczyć średią geometryczo-harmoiczą liczb 4 i 6. Ozaczmy g 0 = 4 i h 0 = 6. Wpierw wyliczamy wartości średich: i dalej rekurecyjie: g = 4 6 = h = = 9, 6 g h ,6 0, , , , , , , ,

10 3.6 Średia harmoicza Defiicja 3.6. Średią harmoiczą liczb dodatich a, a,..., a azywamy liczbę: a + a + +. a Obserwacja 3.3. Średia harmoicza jest średią potęgową rzędu [3.9]. Uwaga 3.6. Średią harmoiczą stosujemy do uśrediaia wielkości względych, czyli wówczas, gdy zmiee wyrażoe są w jedostkach względych, p. prędkość (km/h), czy gęstość zaludieia (osobach/km ). Przykład 3.8. Obliczyć średią harmoiczą liczb, 6, 4, 5, 8. Wówczas mamy: = = 5 5 = 5 Przykład 3.9. Drogę z A do B samochód przebył z prędością v = 60 km, h a z B do A z prędością v = 40 km. Jaka jest średia prędkość a trasie h A-B-A? Ozaczmy przez s odległość od A do B. Wówczas: t = s v - czas potrzeby a pokoaie drogi z A do B t = s v - czas potrzeby a pokoaie drogi z B do A Czas potrzeby a pokoaie w obie stroy wyosi t = t + t = s v + s v. Prędkość średia rówa jest: v r = s t = s s v + s = v v + = v v = v v + v = 48km h. 3.7 Średia kwadratowa Defiicja 3.7. Średia kwadratowa przykład miary statystyczej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii daych liczbowych lub fukcji ciągłej, użyteczy zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różią się zakiem. Uwaga 3.7. Średia kwadratowa jest szczególym przypadkiem iej miary, jest to miaowicie średia potęgowa rzędu [3.9], jedak ze względu a jej zaczeie praktycze ma odrębą azwę. 9

11 Średia kwadratowa liczb a, a,..., a jest to pierwiastek ze średiej arytmetyczej kwadratów tych liczb: a SK = a + a + + a Ważoa średia kwadratowa jest to średia kwadratowa z uwzględieiem wag poszczególych składików: a SKW = w a + w a + + w a w + w + + w Średią kwadratową fukcji ciągłej x(t) określoej w przedziale [T, T ] określamy według wzoru: x SK = T T T T [x(t)] dt Średia kwadratowa różic wartości zmieej i wartości oczekiwaej jest odchyleiem stadardowym tej zmieej (dla populacji skończoej): i= (x i x 0 ) σ =, gdzie: - liczebość populacji, x 0 - wartość oczekiwaa zmieej. Przykład 3.0. Obliczyć średią kwadratową liczb,,5 i 7. Wówczas mamy: , Średia logarytmicza Defiicja 3.8. Średia logarytmicza rodzaj średiej stosowaej szczególie często w iżyierii chemiczej p. do określaia średiej różicy temperatury pomiędzy czyikami w wymieikach ciepła. 0

12 Przykład 3.. T m = T T l T = T T, T l T T gdzie T T i ozaczają różicę temperatur czyików a wlocie i wylocie wymieika. Defiicja 3.9. Średia logarytmicza liczb dodatich a i a to liczba określoa wzorem: a a l a l a. Przykład 3.. Średia logarytmicza liczb i 8 wyosi: 8 l 8 l 3.9 Średia potęgowa 4, 33. Defiicja 3.0. Średią potęgową rzędu k (lub średią uogólioą) liczb a, a,..., a azywamy liczbę:. µ k = k a k + a k + + a k Uwaga 3.8. Powyższą defiicję uzupełiamy dla k =, k = 0 oraz k = + w sposób astępujący: µ = mi(a, a,..., a ), µ 0 = (a a a ), µ + = max(a, a,..., a ). Co warte podkreśleia, dla dowolych dodatich a, a,..., a tak zdefiiowaa fukcja µ k zmieej k jest ciągła i iemalejąca a zbiorze R {, + } jeśli zaś dla jakichkolwiek i i j, zachodzi a i a j jest oa awet rosąca (wyika to wprost z ierówości między średimi potęgowymi). Istieje rówież wariat azyway ważoą średią potęgową.

13 Przykład 3.3. Średią potęgową rzędu 3 liczb,,3,4,5 jest liczba: = = 3 45 Przykład 3.4. Stefa ma kwadratowe działki ziemi o bokach 0m, 50m i 0m. Chce podzielić ziemię po rówo między swoimi dziećmi - Zosię, Marysię i Tomka. Postaowił zamieić działki a 3 także kwadratowe, ale jedakowej wielkości. Jaki musi być bok tych działek? Wykorzystując defiicję średiej potęgowej mamy: = = = 4900 = Średia quasi-arytmetycza Średia quasi-arytmetycza lub f-średia uogólieie bardziej zaych średich jak średia arytmetycza lub średia potęgowa. Defiicja 3.. Jeżeli f jest fukcją ciągłą, silie mootoiczą przekształcającą odciek I w zbiór liczb rzeczywistych to defiiujemy f-średią dwóch liczb x, x I, jako M f (x, x ) = f ( f(x ) + f(x ) ). Podobie dla liczb x,... x I określamy f-średią jako M f (x,..., x ) = f ( f(x ) + + f(x ) ). Obserwacja 3.4. Jeśli f(x) = x p (gdzie p jest róże od zera), to średia quasi-arytmetycza jest średią potęgową p-tego rzędu [3.9]. Obserwacja 3.5. Jeśli f = id, to średia quasi-arytmetycza jest średią arytmetyczą [3.]. Obserwacja 3.6. Jeśli f(x) = log x, to jest to średia geometrycza [3.4]. 3. Średia uciaa Defiicja 3.. Średia uciaa, średia obcięta lub średia trymowaa jest obok iych średich, mody i mediay jedą z miar statystyczych tedecji

14 cetralej. Przy obliczaiu średiej uciaej obserwacje porządkuje się od ajmiejszej do ajwiększej, odrzuca się mały procet ajbardziej ekstremalych obserwacji a obu krańcach (wartości ajmiejsze oraz ajwiększe w próbce), a ogół rówej liczości, a astępie oblicza się średią z pozostałych obserwacji. Uwaga 3.9. Na ogół odrzuca się miimum i maksimum z próbki lub wartości poiżej 5 cetyla i powyżej 75 cetyla. Obserwacja 3.7. Skraja wersja średiej uciaej, przy usuięciu wysokiego procetu obserwacji w rówej liczbie z każdego krańca, to mediaa [3.]. Przykład 3.5. Miara ta jest używaa do obliczaia puktacji w kokursach jazdy figurowej a lodzie i w iych kokursach, w których pukty przyzawae są przez większą liczbę sędziów. 3. Średia ważoa Defiicja 3.3. Średia ważoa średia elemetów, którym przypisywae są róże wagi (zaczeia) w te sposób, że elemety o większej wadze mają większy wpływ a średią. Jeżeli wszystkie wagi są takie same (wszystkie elemety tak samo zaczące), średia ważoa rówa jest średiej bazowej (wyjściowej). W różych zastosowaiach średia może być liczoa a róże sposoby (jako arytmetycza, geometrycza lub ia), dlatego kokrety wzór a średią ważoą zależy od rodzaju średiej. Uwaga 3.0. Średią ważoą stosuje się więc z powodzeiem do obliczaia wartości średiej i jej iepewości tam, gdzie wszystkie Xij są iezależe, a przykład gdy każda z wielkości Yi została zmierzoa w iym laboratorium (a iym sprzęcie i w iych warukach). W przypadku braku iezależości ależy stosować ią średią. Przykład 3.6 (Średia ważoa arytmetycza). Niech zbiór daych [x, x,..., x ] ma ieujeme wagi, z których przyajmiej jeda jest róża od zera, odpowiedio [w, w,..., w ]. Wówczas średia ważoa arytmetycza jest wyrażoa wzorem: x = i= w i x i i= w i = w ix i + w x + + w x w + w + + w 3

15 Obserwacja 3.8. W te sposób dae, którym przypisao większe wagi, mają większy udział w określeiu średiej ważoej iż dae, którym przypisao miejsze wagi. Obserwacja 3.9. Jeśli wszystkie wagi są rówe, średia ważoa jest rówa średiej arytmetyczej [3.]. Przykład 3.7. Oblicz średią oce Jasia: prace klasowe (waga 4) ocey: 3,, sprawdziay (waga 3 ) ocey: 4, 3, 5, 3 odpowiedź (waga ) ocey: 4 zadaie domowe (waga ) ocey: zadaie dodatkowe (waga ) ocey: 6 Wówczas mamy: = Średia wisorowska Defiicja 3.4. Średia wisorowska, często błędie azywaa średią widsorską, jest jedą ze średich, statystyczą miarą tedecji cetralej zbliżoą do zwykłej średiej arytmetyczej lub mediay, a ajbardziej podobą do średiej uciaej. Oblicza się ją tak samo jak średią arytmetyczą, zastąpiwszy uprzedio odpowiedio wybrae skraje obserwacje (z góry określoą liczbę ajmiejszych i ajwiększych wartości w próbie) wartością maksymalą i miimalą z pozostałej części. Ciekawostka 3.. Procedura ta azywaa bywa wisoryzacją (ag. wisorizig). Nazwa ta (i azwa średiej) pochodzą od azwiska statystyka Charlesa Wisora (895 95). Ciekawostka 3.. Zazwyczaj zastępuje się w te sposób 0 do 5 procet zakresu z obu końców rozkładu. W przypadku gdy współczyik te wyosi 0 procet, średia wisorowska sprowadza się do średiej arytmetyczej [3.], gdy zastępowae są wszystkie obserwacje z wyjątkiem jedej lub dwóch, sprowadza się do mediay [3.]. Przykład 3.8. Weźmy próbkę 0 liczb, uporządkowaych od ajmiejszej do ajwiększej: x,..., x 0. W celu obliczeia 0 procetowej średiej wisorowskiej zastępujemy 0% próbek z każdego końca (czyli po jedej) ajbliższą wartością spośród pozostałych i obliczamy: x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x

16 3.4 Średia wykładicza Defiicja 3.5. Średia wykładicza, średia wygładzaa wykładiczo średia krocząca, w której koleje wartości są wykładiczo o coraz miejszej wadze. Średia wyraża się wzorem: E t = αc t + ( α) E t, gdzie: E t - średia wykładicza z t okresów, C t - elemet o ieksie t, E t - poprzedia średia wykładicza z (t ) okresów, α - procet wykładiczy wyrażoy wzorem: - elemet zestawu. α = + Przykład 3.9. Średią wykładiczą stosuje się często w celu obserwacji zmia ceowych lub kapitałowych. 3.5 Miimum i maksimum Defiicja 3.6. Fukcje miimum i maksimum fukcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowaemu jego odpowiedio elemet ajmiejszy i ajwiększy (o ile takie elemety istieją). Uwaga 3.. Często w zastosowaiach praktyczych rozważay zbiór ma skończeie wiele elemetów (p. tylko dwa). Przykład 3.0. Miimum i maksimum formalie są fukcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych R odpowiedio miejszą (w przypadku miimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładiej, dla x, y R fukcje te dae są wzorami: { y, gdy x y mi(x, y) = x, gdy y x max(x, y) = { x, gdy x y y, gdy y x Obliczmy wartość miimum i wartość maksimum liczb 9 i 7. Wówczas mi(9, 7) = 9, a max(9, 7) = 7. 5

17 3.6 Domiata Defiicja 3.7. Domiata (wartość modala, moda, wartość ajczęstsza) to jeda z miar tedecji cetralej, statystyka dla zmieych o rozkładzie dyskretym, wskazująca a wartość o ajwiększym prawdopodobieństwie wystąpieia, lub wartość ajczęściej występująca w próbie. Dla zmieej losowej o rozkładzie ciągłym jest to argumet, dla którego fukcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość ajwiększą. Uwaga 3.. W szkole średiej domiatą azywaliśmy wartość występującą w daym zbiorze ajczęściej. Uwaga 3.3. Należy pamiętać, że domiatą może być więcej iż jeda wartość. Przykład 3.. Mamy zestaw liczb, 3, 3, 4, 5, 5, 7. Domiatami powyższego zestawu są liczby 3 i 5. Uwaga 3.4. Domiata może być szczególie użytecza, gdy wartości zmieej obserwowaej ie są liczbowe, a opisowe - co uiemożliwia (bez przypisaia wartości liczbowych) zastosowaia m.i. mediay czy średiej arytmetyczej. Przykład 3.. Mamy zbiór: jabłko, gruszka, jabłko, pomarańcza, gruszka, baa, jabłko. Domiatą powyższego zestawu jest jabłko. Przykład 3.3. W klasie jest 5 bruetek, 3 blodyki i 4 szatyki. Domiatą jest bruetka. Uwaga 3.5. Domiata jest często wykorzystywaa w zagadieiach społeczych czy ekoomiczych p. przy aalizowaiu zagadień płacowych gdyż w iektórych przypadkach lepiej od powszechie stosowaego średiego wyagrodzeia oddaje strukturę wyagrodzeń. Przykład 3.4. W sklepie pracuje 5 osób: kierowik z wyagrodzeiem 0000 zł, zastępca z wyagrodzeiem 7000 zł i trzech sprzedawców z wyagrodzeiem po 000 zł. Średie wyagrodzeie to 4 tysiące. Domiata to 000 złotych. 6

18 3.7 Średia całkowa Defiicja 3.8. Średia całkowa średia wartość fukcji w przedziale będąca uogólieiem średiej arytmetyczej. Niech fukcja f jest całkowala w przedziale [a, b] i ograiczoa m f(x) M. Wówczas średią całkową fukcji f w przedziale [a, b] defiiuje się jako µ = b f(x)dx b a a lub ogóliej µ = b a f(x)dx b a dx Uwaga 3.6. Opierając się a twierdzeiu o wartości średiej otrzymujemy m µ M. Jeśli o fukcji f dodatkowo założyć, że jest ciągła, to średia µ jest osiągaa dla pewego puktu ξ [a, b] tz. µ = f(ξ). Uwaga 3.7. W przypadku dyskretym pojęcie średiej całkowej redukuje się do zwykłej średiej arytmetyczej (dyskretej). Przykład 3.5. Obliczyć średią całkową fukcji f(x) = x a przedziale [, 4]. Mamy wówczas: 4 dx = 4 x 4 dx = 4 x = Średia Chisiego Defiicja 3.9. Średia Chisiego charakteryzacja pewej rodziy średich, w tym arytmetyczej, harmoiczej, geometryczej, uogólioej, Heroa i kwadratowej. Ściślej, średią Chisiego związaą z -argumetową fukcją f z elemetów x,..., x, azywamy takie M, że f(x, x,..., x ) = f(m, M,..., M). Fukcja f musi być tak dobraa, aby M było wyzaczoe jedozaczie. 7

19 3.9 Średia Stolarskiego Defiicja 3.0. Średia Stolarskiego średia, której szczególymi przypadkami jest wiele klasyczych średich, zdefiiowaa dla ustaloego parametru p oraz dodatich argumetów wzorem gdzie parametr p R/{0, }. x, jeśli x = y S p (x, y) = ( xp y p ) p p(x y), wpp. Ciekawostka 3.3. Moża pokazać, że tak zdefiiowaa fukcja jest średią jej argumetów stosując twierdzeia Lagrage a dla liczb x i y oraz fukcji f(x) = x p. Przykład 3.6. S (x, y) jest średią geometryczą [3.4]. Przykład 3.7. S (x, y) jest średią potęgową dla wykładika [3.9]. Przykład 3.8. S (x, y) jest średią arytmetyczą [3.]. Przykład 3.9. lim p 0 S p (x, y) jest średią logarytmiczą [3.8]. Przykład lim p S p (x, y) jest miimum [3.5]. Przykład 3.3. lim p S p (x, y) jest maksimum [3.5]. 8

20 Rozdział 4 Nierówości Cauchy ego między średimi Twierdzeie 4.. Niech a,..., a - liczby dodatie. Wówczas zachodzą ierówości: a + a + + a a + a + + a a a a + a + +. a Obserwacja 4.. Zauważmy, że ierówości stają się rówościami wtedy i tylko wtedy, gdy a = = a. Uwaga 4.. Dla ułatwieia dowodzeia powyższego twierdzeia, podzielimy je a części. 4. Średia arytmetycza, a geometrycza Twierdzeie 4.. Niech a,..., a - liczby dodatie. Wówczas zachodzi ierówość: a + a + + a a a. Dowód. (Klasyczy dowód poday przez A. Cauchy ego) Jeśli a = = a, to ierówość jest oczywista. Wystarczy zatem pokazać, że jeśli ie wszystkie spośród liczb a,..., a są rówe, to zachodzi ierówość ostra. Bez straty ogólości załóżmy, że a a. Dla = mamy: a a < a + a 0 < ( a a ). 9

21 Dla = 4 mamy: 4 a a a 3 a 4 = a a a3 a 4 a a + a 3 a 4 < a +a + a 3+a 4 = a + a + a 3 + a 4 4 Kotyuując to rozumowaie, dowodzimy prawdziwości twierdzeia dla potęg dwójki. Niech teraz < k dla pewego k N. Ozaczając A = a +...+a oraz stosując udowodioą ierówość dla liczb a,..., a, A,..., A, uzyskujemy: }{{} k k a a A k < a + + a + ( k )A = A + (k )A = A k k a a A k < A k a a < A a a < A = a + + a 4. Średia geometrycza, a harmoicza Twierdzeie 4.3. Niech a,..., a - liczby dodatie. Wówczas zachodzi ierówość: a a a + a + +. a Dowód. Zgodie z ierówością między średimi arytmetyczą i geometryczą: x + x + + x, x x x gdzie x i są dodatie (z czego wyika, że ich odwrotości są dodatie). Fukcja f : R + R +, f(x) = x jest malejąca, więc po ałożeiu jej obustroie a powyższą ierówość otrzymujemy: x x... x x + x + + x co kończy dowód. 0

22 4.3 Średia kwadratowa, a arytmetycza Twierdzeie 4.4. Niech a,..., a - liczby dodatie. Wówczas zachodzi ierówość: a + a + + a a + a + + a. Dowód. Korzystając z twierdzeia o ciągach jedomootoiczych, rozważmy sumę a + a + + a, ierosącego ciągu liczb rzeczywistych dodatich a,..., a. Zgodie z twierdzeiem o ciągach jedomootoiczych jest to ajwiększa suma, jaką możemy uzyskać poprzez możeie wyrazów podaego ciągu.po pomożeiu jej przez otrzymujemy: (a + a + + a ), co zgodie z ierówością jest ie miejsze iż suma dowolych sum powstałych w wyiku podobego możeia. Łatwo zauważyć, że iloczy: (a +a + +a ) jest sumą dokładie takich sum, zatem: dzielimy obustroie przez (a + a + + a ) (a + a + + a ) a + a + + a (a + a + + a ) i wyciągamy obustroie pierwiastek kwadratowy: co kończy dowód. a + a + + a a + a + + a

23 Bibliografia [] Szymo Draga, Kilka dowodów ierówości Cauchy ego między średimi [] Kiga Kolczyńska-Przybycień, Średie [3] eszkola o średiej harmoiczej [4] MATH EDU o średiej harmoiczej [5] PWN o średiej logarytmiczej [6] Wikiwad o średiej potęgowej [7] Wikipedia o średich