Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej

Transkrypt

1 Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej MAP1156: Analiza Matematyczna II Wykład przeznaczony jest dla studentów I roku I stopnia Inżynierii Biomedycznej na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki. Odbywa się we wtorki, w godzinach 17:05 18:45 w sali 322/A1. Na stronie tej znajdziesz informacje o zasadach zaliczenia, realizowanym materiale, literaturze oraz listę zadań. Zasady zaliczania kursu Ćwiczenia Na ćwiczeniach odbędą się trzy 30 minutowe kolokwia. Na każdym z nich dostaniecie do zrobienia 3 zadania. Za każde z nich będziecie mogli otrzymać do 5 punktów. Za aktywność będzie można uzyskać dodatkowo do 5 punktów. Ocena końcowa (C) z ćwiczeń będzie wystawiana za pomocą następującej tabelki: Pkt C Osoby, które uzyskają z ćwiczeń ocenę 5.5 będą zwolnione z egzaminu. Egzamin Terminy: (sobota): godz. 11:00 13:00, sala 1.27/C (poniedziałek): godz. 13:00 15:00, sala 322/A1 ZASADY - OSTATECZNA WERSJA: Do egzaminu mogą przystąpić WSZYSTKIE osoby, nawet te, które otrzymały ocenę NDST z ćwiczeń. 2. Osoby, które otrzymały ocenę 5.5 z ćwiczeń będą ją miały przepisaną (nie musza się pojawiać na egzaminie). 3. Osoby, które mają ocenę 5.0 z ćwiczeń mogą zrezygnować z egzaminu. Jeśli nie przyjdą na egzamin, to będą miały przepisaną ocenę Osoby, które otrzymają z egzaminu ocenę 5.0 będa mogły poprawić ją na ocenę 5.5. W tym celu będą musiały się umówić ze mną na krótki egzamin ustny. 1/10

2 5. Do egzminu poprawkowego przystąpić mogą tylko te osoby, które z egzaminu w pierwszym terminie otrzymały ocenę ndst lub nie pojawiły się na nim (czyli: nie ma mozliwości poprawiania pozytywnych ocen). Wyniki pierwszego egzaminu Zadania oceniane były w skali [0,1]. Aby dostać ocenę dostateczną trzeba było uzbierać więcej niż 2 punkty. Przez ten prog nie przeszło 40 osób. Jedna osoba zebrała 5 pkt. Kilkanaście osób otrzymało zaledwie 0.5 pkt. Osoby, które otrzymały ocenę pozytywną mają wynki wpisane do systemu Edukacja (sobota, , godz. 20:00). Osobom które nie zdały tego ezaminu radzę aby bardzo ostro wzięły się do nauki musicie sobie również powtórzyć materiał z wykładu z Analizy I (nie mam pojęcia jak niektórym z was udało się zdać egzamin z Analizy I). Macie jeden tydzień czasu. Zadania na drugim egzaminie będą podobne do tych, które były na pierwszym egzaminie. Literatura Podstawowa 1. F. Leja, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Cz. I, PWN, Warszawa 2006 Pomocnicza 1. G. M. Fichtenholz, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, T. I II, PWN, Warszawa M. Zakrzewski, "Markowe Wyklady z Matematyki, analiza", wydanie I, Wroclaw 2013, Oficyna Wydawnicza GiS Lista zadań: Analiza2_20015_IB.p Przykładowe zadania na egzamin: Analiza2_Example_IB.p Pytania do mnie związane z kursem: QandA Zagadnienia omówione na wykładzie Drugie i wyższe pochodne 1. Wzór Taylora 2. Jeśli funkcja f jest (n+1) razy rózniczkowalna, to n 2/10

3 f(a + x) = n k=0 f (k) (a) k! θ (0, 1) dla pewnego. x k + f (n+1) (a + θx) (n + 1)! x k 3. Funkcja wykładnicza 4. e x = lim n n k=0 x k k! = k=0 x k k! A R 2 ( P, Q A)( PQ A) 5. Def. Zbiór jest wypukły, jeśli. f f (a) = 0 f (a) > 0 f 6. Tw: Jeśli ma ciągłą drugą pochodną oraz i to ma lokalne minimum w punkcie a. f f (a) = 0 f (a) < 0 f 7. Tw: Jeśli ma ciągłą drugą pochodną oraz i to ma lokalne maksimum w punkcie a. 8. Def: Funkcja f jest wypukła na odcinku I, jeśli zbiór jest wypukły. {(x, y) : y f(x)} 9. Def: Funkcja f jest wklęsła na odcinku I, jeśli zbiór jest wypukły. f (x) > 0 x I f I 10. Tw. Jeśli dla to jest wypukła na odcinku. f (x) < 0 x I f I 11. Tw. Jeśli dla to jest wklęsła na odcinku. {(x, y) : y f(x)} Szeregi 1. Def. Szereg n=0 a n jest zbieżny jeśli ciąg sum częściowych s n = n n=0 a k jest zbieżny Przykład: n 0( ) n = Tw. Jeśli szereg jest zbieżny, to Przykład: n 1 =. n 5. Def. Szereg jest bezwzględnie zbieżny jeśli szereg jest zbieżny 6. Tw: Jeśli szereg n=0 a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny 7. Kryterium d'alamberta a n+1 1. Jeśli, to szereg jest zbieżny a n+1 2. Jeśli, to szereg n=0 a n jest rozbieżny 8. Kryterium Cauchy'ego n=0 a n lim n a n = 0 n=0 a n n=0 a n lim n a n < 1 n=0 a n lim n > 1 a n lim n n a n < 1 n=0 a n 1. Jeśli, to szereg jest zbieżny 3/10

4 2. Jeśli, to szereg jest rozbieżny 9. Tw (o zagęszczaniu) Jeśli to następujące zdabia są równoważne: 1. szereg n=0 a n jest zbieżny 2. szereg jest zbieżny 10. Tw (o szeregach naprzemiennych) Załóżmy, że oraz, że. Wtedy szereg jest zbieżny 11. Przykład: Przestrzeń lim n n a n > 1 n=0 a n a0 a1 a2 0 n=0 2n a2 n a0 a1 a2 0 lim n a n = 0 ( 1) n n=0 = ln 2 n R n 1. Def. (Odległość euklidesowa). (P n ) R N lim n P n = G 2. Def. Ciąg punktów przestrzeni jest zbieżny do punktu G R N ( ) jeśli n=0 ( 1)n a n d(x, y) = n k=1 (x k y k ) 2 ( ϵ > 0)( N)( n N)(d(P n, G) < ϵ) = (1, e, 1) 3. Przykład: lim n ( n+1 1, (1 + ) n, n) n. n+2 n [ ] Pochodna - I 1. Wykresy 3D oraz wykresy konturowe funkcji f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = x 2 y 2 f(x, y) = 1 f(x, y) = 1 f(x, y) = xy x 2 +y 2 x 2 y 2,,,. 2. Tw. Jeśli jest zwarty i jest ciągła, to istnieje punkt w którym funkcja f osiąga maksimum. 3. Tw. Dla dowolnych mamy ; czyli n średnia geometryczna jest mniejsza lub równa od średniej arytmetycznej. 4. Def. Funkcjonał liniowy: odwzorowanie liniowe ϕ postaci x 2 +y 2 A f : A R a A ϕ( x) = a1x1 + + a n x n x1,, x n 0 n x1 x n x 1+ +x n 5. Def. Pochodną funkcji nazywamy taki funkcjonał liniowy, że ϕ : R n R f : R n R 6. lim h 0 f(x + h) (f(x) + ϕ(h)) h = 0 f (x) h = h h2 n h h Funkcjonał ten oznaczamy Uwaga:, czyli oznacza długość wektora. 7. Pochodna cząstkowa: (a1,, a n ) = g 1 (a 1) g1(x) = f(x, a2,, a n ) 1., gdzie, dx1 (a1,, a n ) = g 2 (a 1) g2(x) = f(a1, x, a2,, a n ) 2., gdzie, dx2 4/10

5 3. (a1,, a n ) = g n(a1) g dx n n (x) = f(a1, a2,, a n 1, x) 4., gdzie f (a)(h) = c1h1 + + c n h n c i = (a) 8. Tw. Jeśli to f : R n R f a R n 9. Def. Jeśli to gradientem funkcji w punkcie nazywamy wektor grad(f)(a) = f(a) =[ (a),, (a)]. dx1 dx i dx n [ ] Pochodna - II 1. Tw. Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe są ciągłe w pewnym dx i otoczeniu element a R n to funkcja coągła jest rózniczkowalna w punkcie a. R n f : R n R c R {x R n : f(x) = c} f : R n R a 2. Tw. Jeśli jest ciągła i to zbiór jest domkniętym podzbiorem. 3. Def. Pochodną kierunkową funkcji w punkcie w kierunku v nazywamy liczbę f v(a) = lim t 0 4. Tw. Jeśli jest rózniczkowalna w punkcie to 5. Def. Funkcja ma lokalne minimum [maksimum] w punkcie a jeśli 6. Jeśli f ma lokalne ekstremum w punkcie a i ma pochodne cząstkowe w punkcie a to (a) = (a) = = (a). dx1 dx2 dx n 7. Def. Macierzą Jacobiego funkcji w punkcie a nazywamy macierz 8. Przykład: Dla mamy. Ponadto. f(a + tv) f(a) f a f v(a) = f(a) v f : R n R ( ϵ > 0)( x K(a, ϵ)(x a f(x) > f(a)) [( ϵ > 0)( x K(a, ϵ)(x a f(x) < f(a))] J f (a) = f(t) = r cos(ωt) r sin(ωt) vt J f (t) = r 2 ω 2 + v 2 f : R n R 9. Def. Hesjanem funkcji w punkcie a nazywamy macierz H f (a) = [a i,j ] i,j=1,,n, gdzie a i,j = d2 f dx j dx j t f = (f1,, f m ) : R n R m f1(a) f2(a). (a) f m J f (t) = rω sin(ωt) rω cos(ωt) v [ ] Ekstrema 5/10

6 1. Kryterium na istnienie lokalnych ekstremów Niech będzie funkcją różniczkowalną. Załóżmy, że f : R n R f(a) = 0 H f (a) = [a i,j ] i,j=1, n M k = det([a i,j ] i,j=1,,k]. Niech oraz. ( k = 1,, n)(m k > 0) f a ( k = 1,, n)(( 1) k M k > 0) 1. Jeśli, to ma lokalne minimum w punkcie 2. Jeśli, to f ma lokalne maksimum w punkcie a 3. Jeśli, ale nie zachodzi warunek (1) lub (2), to f ma punkt siodłowy w punkcie a M n 0 (Dowód: zapraszam chętnych na konsultacje) 2. Przykłady. Znajdowanie ekstremów funkcji na zbiorach zwartych. f : R n R m 3. Pochodna funkcji złożonej. Niech oraz będą funkcjami różniczkowalnymi. Wtedy J g f(a) = J g (f(a)) J f (a). g : R m R k f : R n R m g : R m R d(g f) (a) = m dg (f(a)) k (a), dx i k=1 dy k dx i 4. Przykład (reguła łańcucha): Jeśli oraz, to [ ] Całkowanie 1. Omówiliśmy kilka przykładów na zastosowanie mnożników Lagrange'a 2. Pojęcie prostokąta n wymiarowego i jego n wymiarowej objętości: λ([a1, b1] [a n, b n ]) = b1 a1 b n a n 3. Pojęcie całki funkcji n zmiennych 4. Tw. Funkcje ciągłe sa całkowalne 5. Twierdzenie Fubbiniego (dla funkcji 2 zmiennych). Jeśli oraz jest całkowalna, to A = [a, b] [c, d] R f : A R 6. f(x, y)dxdy = b ( d f(x, y)dy) dx A a c 7. Policzyliśmy kilka przykładów. [ ] Całkowanie 1. Obserwacje: λ (1) (A) = długość (A); λ (2) (A) = pow(a) ; λ (3) (A) = vol(a) 2. Obserwacja: λ(a) = P 1 A ( x)d x, gdzie P jest n wymiarowym prostokątem takim, że A P oraz 6/10

7 3. Twierdzenie Fubbiniego Jeśli, P = [a1, b1] Q oraz 1 A (x) ={ 1 : x A 0 : x A Q = [a2, b2] [a n, b n ] f : P R jest całkowalna, to 4. P f( x)dx1 dx n = b 1 a1 ( f( x)dx2 ) dx n dx1 Q 5. Przykład: Jeśli Σ n = {(x1,, x n ) : 0 x1,, x n x1 + + x n 1} λ(σ n ) = 1. n! A R n Φ : R n R n 6. Twierdzenie Załóżmy, że, jest różniczkowalna oraz różnowartościowa wewnątrz zbioru A oraz to f : R n R, to 7. f( u)d u = (f Φ)( x) det(jφ( x) d x. Φ(A) A 8. Pokazaliśmy, że wielkoludy mocno się pocą a krasnoludki marzną. [ ] Całkowanie; współrzędne biegunowe i cylindryczne 1. Powierzchnia elipsy: rozważaliśmy odwzorowanie Φ(x, y) = (ax, by) ; policzyliśmy wyznacznik Jakobianu det(jφ(x, y)) = ab; wzieliśmy K = {(x, y) : x 2 + y 2 1} ; sprawdziliśmy, że x Φ(K) = {(x, y) : 2 y + 2 1} ; policzyliśmy a 2 b 2 1 dxdy = 1 ab dudv = πab. K 2. Współrzędne biegunowe: ; mamy 3. CAŁKA GAUSSA Φ(K) Φ(r, t) = (r cos(t), r sin(t)) Φ : [0, ) [0, 2π] R 2 ; ponadto det(jφ(r, t)) = r 4. + e x2 dx = π 5. Współrzędne sferyczne: Φ(r, θ, t) = (r sin(θ) cos(t), r sin(θ) sin(t), r cos(θ)) 7/10

8 JCI Analiza matematyczna 1 Φ : [0, + ) [0, π] [0, 2π] R 3 det(jφ(r, θ, t)) = r 2 sin(θ) ; [ ] Całkowanie; całka skierowana 1. Pokazliśmy, że objętość n wymiarowej kuli o promieniu R wyraża się wzorem V n (R) = a n R n, gdzie ciąg (a n ) spełnia następującą zależność rekurencyjną a n+2 = n+2 2π. V2n(1) 2. Pokazaliśmy, że. 3. Wprowadzilismy pojęcie pola wektorowego i przyjrzeliśmy się kilku przykładom: 1. F(x, y) = (x, y) lim n = 0 2 2n 2. G(x, y) = ( y, x) 4. Zdefiniowaliśmy całke krzywoliniową z pola wektorowego i pokazaliśmy, że 8/10

9 JCI Analiza matematyczna 1 F dl = b L a F(ϕ(t)) ϕ (t)dt, jeśli ϕ jest parametryzacją łuku skierowanego L. [ ] Całka skierowana F( x) = (F1( x),, F n ( x) 1. Oznaczenie: jeśli to F dl = ϕ ϕ 2. Pole potencjalne: takie pole wektorowe, że istnieje funkcja taka, że U : R n R Funkcję U nazywamy potencjałem. U : R n R ϕ : [a, b] R n (F1dx1 + + F n dx n ). 4. Omówiliśmy podstawowe zastosowania całki krzywoliniowej do zbadania pola z potencjałem, gdzie. 5. Twierdzenie Green'a. Jeśli jest obszerem jednospójnym, to (Pdx + Qdy) = P( dq dp ) dxdy. P dx dx F F = U. 3. Tw. Jeśli jest potencjałem pola wektorowego F oraz jest krzywą zorientowaną, to F dl = U(b) U(a). ϕ U(x, y, z) = c r r = x 2 + y 2 + z 2 P R 2 [ ] Rotacja i Twierdzenie Gaussa v = u w 1. Iloczyn wektorowy (pracujemy w R 3 ): jeśli v jest prostopadły do wektorów u i w, jego długość równa u w sin(α), gdzie α jest równa kątowi między wektorami u i w zaś orientacja jest wyzanczona za pomocą "reguły kciuka"$. i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) 2. Oznaczamy,,. Wtedy u w = det i j k z u x u y u z v x v y v 3. Rotacją pola wektorowego nazywamy wektor F rot( F) = F = det i j k F x F y F z 4. Twierdzenie: Jeśli pole jest potencjalne, to. 9/10 d dx d dy d dz F F = 0

10 JCI Analiza matematyczna 1 8. Pierwsze równanie Maxwela: F dσ 5. Pojęcie całki powierzchniowej: Φ 6. Dywergencja pola: div( F) = F = n df i k=1 dx i 7. Twierdzenie Gaussa Jeśli V jest bryłą (bez "dziur") w przestrzeni R 3 oraz V oznacza jej brzeg skierowany na zewnątrz bryły, to F dσ = ( F)dxdydz. V V E E = ρ ϵ0 9. Wniosek. Jeśli jest centralnym polem elektrycznym to 1 Q E r =, 4πϵ0 gdzie Q oznacza ładunek wewnątrz kuli o promieniu r. r 2 [ ] Całka powierzchniowa 1. Przykłady obliczeń skierowanej całki powierzchniowej z pola wektorowego. 3. Zastosowania twierdzenia Stockes'a. 4. Równania Maxwell'a Σ 2. Twierdzenie Stokes'a: Jeśli jest płatem powierzchniowym, to F dl = ( F) dσ Σ Σ 5. Relatywistyczna interpretacja pochodzenia pola magnetycznego [ ] Podsumowanie Omówiliśmy najważniejsze pojęcia, metody i twierdzenia omówione na całym wykładzie. 10/10