Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład"

Transkrypt

1 Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem losowym). Definicja 2 Wartość x = (x 1,..., x n ) wektora losowego X = (X 1,..., X n ) dla ustalonego ω, tzn. x i = X i (ω), dla każdego i {1,..., n}, nazywamy realizacją wektora losowego X. Przykład 1 Rozpatrzmy n-krotny rzut kostką. Niech X i, i = 1,..., n, będzie zmienną losową przyjmującą wartość x i równą liczbie oczek w i-tym rzucie. Wówczas X = (X 1,..., X n ) jest wektorem losowym oraz x = (x 1,..., x n ) taki, że x i = 6 dla każdego i {1,..., n}, jest jego przykładową realizacją. Rozkład wektora losowego (in. rozkład łączny wektora losowego), podobnie jak rozkład zmiennej losowej, może być określony przez jego dystrybuantę. Definicja 3 Funkcję F : R n [0, 1] określoną wzorem F (x 1,..., x n ) = P ({ω : X 1 (ω) x 1,..., X n (ω) x n }) nazywamy dystrybuantą rozkładu łącznego wektora losowego X = (X 1,..., X n ) lub krótko dystrybuantą wektora losowego X. Definicja 4 Jeżeli wektor losowy X = (X 1,..., X n ) przyjmuje wartości x = (x 1,..., x n ) z przeliczalnego zbioru W X = {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest on typu dyskretnego oraz funkcję p : R n [0, 1], określoną wzorem p(x 1,..., x n ) = P ({ω : X 1 (ω) = x 1,..., X n (ω) = x n }), (1.1) 1

2 Tablica 1.1: Ilustracja funkcji prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego x x x 2l x 11 p p 1l x 1k p k1... p kl Tablica 1.2: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 2 (x, y) /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 dla każdego x = (x 1,..., x n ) W X, nazywamy funkcją prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 W dalszej części wykładu P ({ω : X 1 (ω) x 1,..., X n (ω) x n }) i P ({ω : X 1 (ω) = x 1,..., X n (ω) = x n }) będziemy w skrócie zapisywać odpowiednio P (X 1 x 1,..., X n x n ) i P (X 1 = x 1,..., X n = x n ). W przypadku, gdy wektor losowy X = (X 1, X 2 ) jest dwuwymiarowym wektorem losowym typu dyskretnego i zbiór W X = {x = (x 1, x 2 ) : x 1 W X1 = {x 11,..., x 1k }, x 2 W X2 = {x 21,..., x 2l }} jest skończony, to funkcję prawdopodobieństwa rozkładu takiego wektora najcześciej przedstawia się w postaci tabeli (zobacz tablica 1.1), gdzie p ij = P (X 1 = x 1i, X 2 = x 2j ), x 1i W X1, x 2j W X2, i = 1,..., k, j = 1,..., l. Przykład 2 Jeżeli w przykładzie 1 założymy, że wykonujemy dwa niezależne rzuty słuszną kostką, to funkcja prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X 1, X 2 ) =: (X, Y ) określona jest w tablicy

3 Definicja 5 Jeżeli istnieje funkcja f : R n [0, 1], taka, że dla każdego x = (x 1,..., x n ), dystrybuantę F wektora losowego X możemy wyrazić następująco F (x) = x1... xn f(t 1,..., t n )dt 1... dt n, (1.2) to mówimy, że wektor losowy X jest typu ciągłego oraz funkcję f nazywamy gęstością rozkładu tego wektora. Fakt 1 Funkcja f jest gęstością rozkładu pewnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ) wtedy i tylko wtedy, gdy (i) f(x) 0, dla każdego x R n, (ii) Przykład 3 Niech f będzie funkcją postaci f(x, y) =... f(x 1,..., x n )dx 1... x n = 1. { exp( x y), gdy x > 0 i y > 0, 0, w przeciwnym wypadku. Mamy, że f(x, y) 0, dla każdego x R i y R oraz f(x, y)dxdy = 0 0 exp( x y)dxdy = 1. Zatem funkcja f spełnia warunek (i) oraz warunek (ii) faktu 1, czyli jest gęstością rozkładu pewnego dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ). 1.2 Rozkłady brzegowe wektora losowego Z rozkładem wektora losowego związane jest pojęcie rozkładu brzegowego. Pojęcie to zdefiniujemy w szczególnym przypadku dwuwymiarowego wektora losowego. Dwuwymiarowy wektor losowy będziemy oznaczać, dla wygody, (X, Y ) zamiast jak poprzednio (X 1, X 2 ). Definicja 6 Rozkładami brzegowymi wektora losowego (X, Y ) nazywamy rozkłady jego współrzędnych, tzn. zmiennych losowych X i Y. 3

4 Fakt 2 Niech F będzie dystrybuantą wektora losowego (X, Y ). Oznaczmy oraz Funkcje F X i F Y F X (x) = P (X x) = P (X x, Y < ) = lim y F (x, y) =: F (x, ) (1.3) F Y (y) = P (Y y) = P (X <, Y y) = lim x F (x, y) =: F (, y). (1.4) określone wzorami odpowiednio (1.3) i (1.4) są dystrybuantami zmiennych losowych odpowiednio X i Y oraz nazywamy je dystrybuantami rozkładów brzegowych wektora losowego (X, Y ). Fakt 3 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) przyjmuje wartości (x, y) z przeliczalnego zbioru W (X,Y ) = {(x, y) : x W X = {x 1, x 2,...}; y W Y = {y 1, y 2,...}}, z prawdopodobieństwem p(x, y), czyli jest typu dyskretnego, to rozkłady współrzędnych X, Y tego wektora są dyskretne i są określone przez funkcje prawdopodobieństwa p X, p Y p X (x i ) = y j W Y p(x i, y j ) = odpowiednio postaci p ij =: p i+, (1.5) j=1 p Y (y j ) = x i W X p(x i, y j ) = p ij =: p +j. (1.6) i=1 Zatem funkcje prawdopodobieństwa p X i p Y (X, Y ). określają rozkłady brzegowe wektora losowego Przykład 4 Jeżeli rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) określony jest przez funkcję prawdopodobieństwa daną w tablicy 1.2, to rozkłady brzegowe tego wektora możemy podać w dodatkowym (ostatnim) wierszu i dodatkowej (ostatniej) kolumnie jak w tablicy 1.3. Fakt 4 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego i f oznacza gęstość rozkładu wektora (X, Y ), to zmienne losowe X i Y też są typu ciągłego i gęstość f X rozkładu zmiennej losowej X jest postaci f X (x) = oraz gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest postaci f Y (y) = f(x, y)dy (1.7) f(x, y)dx. (1.8) 4

5 Tablica 1.3: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 4 wraz z rozkładami brzegowymi (x, y) p X 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 p Y 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Uwaga 2 Jeżeli zmienne losowe X i Y są typu ciągłego, to nie pociąga za sobą, że wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego. Fakt 5 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego i f oznacza gęstość rozkładu wektora (X, Y ), to dystrybuanta F X zmiennej losowej X jest postaci oraz dystrybuanta F Y F X (x) = F (x, ) = x f(u, y)dydu = zmiennej losowej Y jest postaci F Y (y) = F (, y) = y f(x, v)dxdv = x y f X (u)du f Y (v)dv. Przykład 5 W przykładzie 3 pokazaliśmy, że funkcja { exp( x y), gdy x > 0 i y > 0, f(x, y) = 0, w przeciwnym wypadku, jest gęstością rozkładu pewnego dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ). Korzystając ze wzoru (1.7), gęstość f X rozkładu zmiennej losowej X jest postaci { exp( x y)dy = exp( x), gdy x > 0, 0 f X (x) = 0, gdy x 0. Korzystając ze wzoru (1.8), gęstość f Y rozkładu zmiennej losowej Y jest postaci { exp( x y)dx = exp( y), gdy y > 0, 0 f Y (y) = 0, gdy y 0. Z postaci gęstości rozkładów zmiennych losowych X i Y, wnioskujemy, że rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ) są wykładnicze E(1). 5

6 1.3 Rozkłady warunkowe Pojęcie rozkładu warunkowego, podobnie jak pojęcie rozkładu brzegowego, wprowadzimy na przykładzie dwuwymiarowego wektora losowego. Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym. Np. niech X = 1, jeżeli losowo wybrana osoba posiada samochód i X = 0, jeżeli nie posiada samochodu oraz Y = 1, jeżeli jest kobietą i Y = 0, jeżeli jest mężczyzną. Może interesować nas prawdopodobieństwo, że osoba posiada samochód, jeżeli wiemy, że jest kobietą. Symbolicznie możemy to prawdopodobieństwo zapisać w postaci P (X = 1 Y = 1). Zauważmy, że jeżeli wiemy, że losowo wybrana osoba jest kobietą, to może ona posiadać samochód lub nie, zatem P (X = 1 Y = 1) + P (X = 0 Y = 1) = 1. Powyższe dwa prawdopodobieństwa warunkowe P (X = 1 Y = 1), P (X = 0 Y = 1) określają nam tzw. rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjęła wartość 1. Ogólnie rozkład warunkowy w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu dyskretnego, definiujemy następująco. Definicja 7 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu dyskretnego o rozkładzie określonym przez funkcję prawdopodobieństwa p. Wówczas rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjęła wartość y, określony jest przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego p X Y =y (x) = p(x, y) p Y (y), (1.9) gdzie p Y oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y. Analogicznie, rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X przyjęła wartość x, określony jest przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego p Y X=x (y) = p(x, y) p X (x), (1.10) gdzie p X oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. 6

7 Tablica 1.4: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 6 (x, y) , 1 0 0, , , 1 0 0, 1 Przykład 6 Niech rozkład wektora losowego (X, Y ) będzie dany w tablicy 1.4. Wówczas, korzystając ze wzoru (1.9), rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = 1, określony jest przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego: p X Y =1 (1) = 0.5, p X Y =1 (2) = 0, p X Y =1 (3) = 0.5. W przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego, pojęcie rozkładu warunkowego nie jest już takie intuicyjne jak w powyższym przypadku wektora losowego typu dyskretnego. Rozkłady warunkowe są wówczas określone przez tzw. gęstości warunkowe, które definiujemy następująco. Definicja 8 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu ciągłego o gęstości f. Wówczas warunkowa gęstość zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y jest postaci f X Y =y (x) = f(x, y) f Y (y), (1.11) gdzie f Y oznacza gęstość zmiennej losowej Y. Analogicznie, warunkowa gęstość zmiennej losowej Y, pod warunkiem, że X = x jest postaci f Y X=x (y) = f(x, y) f X (x), (1.12) gdzie f X oznacza gęstość zmiennej losowej X. Przykład 7 Niech rozkład wektora losowego (X, Y ) będzie określony przez następującą gęstość f(x, y) = 1 π exp[ (x2 2xy + 2y 2 )] dla każdego x, y R. Korzystając ze wzoru (1.8), gęstość f Y postaci zmiennej losowej Y jest f Y (y) = exp( y2 ) π, 7

8 a następnie, korzystając ze wzoru (1.11), rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y, określony jest przez następującą gęstość warunkową f X Y =y = exp[ (x y)2 ] π, z czego wynika, że rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = y jest rozkładem normalnym N (y, 1/2). Na przykład, gdy y = 0 mamy f X Y =0 = exp( x2 ) π, i rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = 0 jest rozkładem normalnym N (0, 1/2). Definicja 9 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu dyskretnego o rozkładzie określonym przez funkcję prawdopodobieństwa p. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y nazywamy wartość E(X Y = y) = x i p X Y =y (x i ), (1.13) gdzie sumowanie przebiega po wszystkich x i ze zbioru wartości W X zmiennej losowej X. Analogicznie, warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y, pod warunkiem, że X = x nazywamy wartość E(Y X = x) = y j p Y X=x (y j ), (1.14) gdzie sumowanie przebiega po wszystkich y j ze zbioru wartości W Y zmiennej losowej Y. Przykład 8 W przypadku wektora losowego (X, Y ) z przykładu 6, warunkowa wartość oczekiwana E(X Y = 1) zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = 1 wynosi E(X Y = 1) = = 2. Definicja 10 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu ciągłego o gęstości f. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y nazywamy wartość E(X Y = y) = xf X Y =y (x)dx. (1.15) Analogicznie, warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y, pod warunkiem, że X = x nazywamy wartość E(Y X = x) = 8 yf Y X=x (y)dy. (1.16)

9 Przykład 9 W przypadku wektora losowego (X, Y ) z przykładu 7, warunkowa wartość oczekiwana E(X Y = 0) zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = 0 wynosi E(X Y = 1) = x exp( x2 ) π dx = Niezależność zmiennych losowych Definicja 11 Współrzędne X 1,..., X n wektora losowego X = (X 1,..., X n ) są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli dla każdego wektora (x 1,..., x n ) R n, zdarzenia {ω : X 1 (ω) x 1 },..., {ω : X n (ω) x n } są wzajemnie niezależne. Fakt 6 Jeżeli F jest dystrybuantą wektora losowego X = (X 1,..., X n ), którego współrzędne X 1,..., X n są niezależne, to F (x 1,..., x n ) = F 1 (x 1 )... F n (x n ), gdzie F i jest dystrybuantą zmiennej losowej X i, i = 1,..., n. Fakt 7 Niech p X będzie funkcją prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X 1,..., X n ) oraz p Xi oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i, i = 1,..., n. Wówczas zmienne losowe X 1,..., X n są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy p X (x) = n p Xi (x i ), i=1 dla każdego x = (x 1..., x n ) R n. Wniosek 1 W przypadku dwywymiarowego wektora losowego (X, Y ) typu dyskretnego o funkcji prawdopodobieństwa określonej przez p ij, i = 1, 2..., j = 1, 2,..., zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i = 1, 2... oraz j = 1, 2,..., p ij = p i+ p +j, (1.17) gdzie p i+ i p +j określone są odpowiednio wzorami (1.5) i (1.6). Przykład 10 Niech funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ) będzie dana w tablicy 1.5. Dla i = 1, j = 1 mamy, że p 11 = 0, 1, p 1+ = 0, 3, p +1 = 0, 2, p 11 = 0, 1 p 1+ p +1 = 0, 06. Zatem istnieje takie i oraz j, dla których nie jest spełniony warunek (1.17), czyli zmienne losowe X i Y nie są niezależne. 9

10 Tablica 1.5: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 10 (x, y) , 1 0, 1 0, , , 1 0, 1 0, 1 Przykład 11 Łatwo można pokazać, że zmienne losowe X i Y z przykładu 2 są niezależne. Fakt 8 Niech f X będzie gęstością rozkładu wektora losowego X = (X 1,..., X n ) oraz f Xi oznacza gęstość rozkładu zmiennej losowej X i, i = 1,..., n. Wówczas zmienne losowe X 1,..., X n są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy f X (x) = n f Xi (x i ), i=1 dla każdego x = (x 1..., x n ) R n. Wniosek 2 W przypadku dwywymiarowego wektora losowego (X, Y ) typu ciągłego o funkcji gęstości rozkładu f, zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x R oraz y R, f(x, y) = f X (x)f Y (y), (1.18) gdzie f X i f Y określone są odpowiednio wzorami (1.7) i (1.8). Przykład 12 W przykładzie 3 mamy, że dla każdego x R oraz y R, f(x, y) = f X (x)f Y (y). Zatem spełniony jest warunek (1.18) i zmienne losowe X i Y z tego przykładu są niezależne. Definicja 12 Próbą losową lub krótko próbą, nazywamy wektor losowy X = (X 1,..., X n ), którego współrzędne są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Jeżeli p jest funkcją prawdopodobieństwa lub f jest gęstością rozkładu zmiennych losowych X 1,..., X n, to mówimy, że X jest próbą z rozkładu odpowiednio p lub f. 10

11 Przykład 13 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ), λ > 0, czyli zmienne losowe X 1,..., X n są niezależne i rozkład zmiennej X i, i = 1,..., n, ma gęstość postaci f(x) = { 1 x λ λ), gdy x > 0, 0, gdy x 0. Wówczas, korzystając z faktu 8, mamy, że rozkład wektora losowego X ma gęstość postaci n 1 i=1 f X (x 1,..., x n ) = exp ( ) ( x n ) i λ λ = 1 exp λ n i=1 x i, gdy x λ i > 0, i {1,..., n}, 0, w przeciwnym przypadku. 1.5 Charakterystyki liczbowe dwuwymiarowego wektora losowego Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o funkcji prawdopodobieństwa p lub gęstości rozkładu f. Wówczas wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z = g(x, Y ), gdzie g : R 2 R jest dowolną (mierzalną) funkcją, możemy obliczyć z następującego wzoru E(Z) = (x i,y j ) g(x i, y j )p(x i, y j ), (1.19) w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu dyskretnego lub E(Z) = w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego. g(x, y)f(x, y)dxdy, (1.20) Kowariancja zmiennych losowych Definicja 13 Kowariancją zmiennych losowych X i Y nazywamy Cov(X, Y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) E(X)E(Y ). Definicja 14 Jeżeli Cov(X, Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi. Fakt 9 Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. 11

12 Uwaga 3 Implikacja odwrotna w fakcie 9 nie jest prawdziwa, tzn. z faktu, że Cov(X, Y ) = 0 nie wynika, że zmienne losowe X i Y są niezależne. Przykład 14 Niech funkcja prawdopodobieństwa wektora losowego (X, Y ) będzie dana w talicy 1.4. Wówczas E(X) = 2, E(Y ) = 2, E(XY ) = 4, czyli Cov(X, Y ) = 0, ale zmienne losowe X i Y nie są niezależne, bo np. P (X = 1, Y = 1) = 0, 1 P (X = 1)P (Y = 1) = Fakt 10 Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y zachodzi następująca nierówność [Cov(X, Y )] 2 Var(X)Var(Y ). (1.21) Współczynnik korelacji zmiennych losowych Definicja 15 Współczynniikem korelacji zmiennych losowych X i Y, takich, że Var(X) > 0 i Var(Y ) > 0, nazywamy ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ). (1.22) Z nierówności (1.21) wynika, że dla dowolnych zmiennych losowych X i Y, takich, że Var(X) > 0 i Var(Y ) > 0, [ρ(x, Y )] 2 1, a więc ρ(x, Y ) 1. Można pokazać, że współczynnik korelacji ρ(x, Y ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdopodobieństwem 1, zmienne losowe X i Y związane są zależnością liniową, tzn. P (Y = ax + b) = 1. Współczynnik korelacji można zatem traktować jako miarę liniowej współzależności zmiennych losowych. 12

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

Rozkłady łaczne wielu zmiennych losowych

Rozkłady łaczne wielu zmiennych losowych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 3 Motywacje Przykłady sytuacji z kilkoma zmiennymi losowymi: Antropometria: wzrost, waga ciała i grubość skóry przedramienia

Bardziej szczegółowo

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne. Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Podstawowe modele probabilistyczne

Podstawowe modele probabilistyczne Wrocław University of Technology Podstawowe modele probabilistyczne Maciej Zięba maciej.zieba@pwr.edu.pl Rozpoznawanie Obrazów, Lato 2018/2019 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienne losowe i ich rozkłady Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

1 Gaussowskie zmienne losowe

1 Gaussowskie zmienne losowe Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach. Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych. Wykład dr inż. Łukasz Graczykowski

Komputerowa analiza danych doświadczalnych. Wykład dr inż. Łukasz Graczykowski Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 9.03.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Dwuwymiarowe rozkłady zmiennych losowych Jednoczesne pomiary

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb

Bardziej szczegółowo