Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016"

Transkrypt

1 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016

2 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności 1 12 Różne typy zadań 2 13 Zadania 4 2 Zadania bez ograniczeń 5 21 Warunek konieczny istnienia ekstremum 5 22 Warunek wystarczający istnienia ekstremum 5 23 Ekstrema globalne 7 24 Zadania 9 3 Warunki konieczne istnienia ekstremum w zadaniach z ograniczeniami Ograniczenia typu równość Ograniczenia typu nierówność Ograniczenia mieszane Twierdzenie Kuhna-Tuckera Zadania 19 4 Warunki wystarczające istnienia ekstremum w zadaniach z ograniczeniami Ograniczenia typu równość Przypadek ogólny ograniczenia mieszane 22 5 Interpretacja mnożników Ograniczenia typu równość Ograniczenia typu nierówność 25 6 Twierdzenia o obwiedni Problem bez ograniczeń Zadanie z ograniczeniami 27 Bibliografia 29

3

4 Rozdział 1 Wprowadzenie do optymalizacji 11 Podstawowe definicje i własności Niech U R n, n 1, f : U R Definicja 11 Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x 0 U minimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy x U f (x) f (x 0 ) Analogicznie, f przyjmuje w punkcie x 0 U maksimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy x U f (x) f (x 0 ) Definicja 12 Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x 0 U minimum wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula otwarta K (x 0, δ) o środku w x 0 i promieniu δ > 0 taka, że x K (x 0, δ) f (x) f (x 0 ) Analogicznie, f przyjmuje w punkcie x 0 U maksimum wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula otwarta K (x 0, δ) o środku w x 0 i promieniu δ > 0 taka, że x K (x 0, δ) f (x) f (x 0 ) Uwaga 11 Maksimum oraz minimum zarówno lokalne i globalne, to wartość funkcji w punkcie, obie wartości obejmujemy wspólną nazwą ekstremum Natomiast sam punkt x 0, w którym ekstremum jest osiągnięte nazywamy punktem ekstremum (maksimum lub minimum) W odniesieniu do punktu x 0 funkcjonuje również w literaturze nazwa minimizer (maximizer) Uwaga 12 W wykładzie stosujemy umowę, według której określenie minimum oraz maksimum odnosi się zawsze do minimum oraz maksimum z definicji 12, zwanego w literaturze lokalnym Mówiąc o minimum lub maksimum globalnym musimy dodać przymiotnik globalne Kluczowe dla istnieniu ekstremów globalnych jest następujące Twierdzenie 11 (Weirstrassa) Jeśli U jest zbiorem zwartym (to znaczy domkniętym i ograniczonym), zaś funkcja f jest ciągła, to f osiąga swoje kresy Innymi słowy istnieją punkty ˇx, ˆx U, będące punktami maksimum i minimum globalnego: f (ˇx) = inf f (x), x U f (ˆx) = sup f (x) x U 1

5 ROZDZIAŁ 1 WPROWADZENIE DO OPTYMALIZACJI 2 Dowód Dowód przeprowadzimy dla minimum Rozważmy ciąg minimalizujący funkcji f, to znaczny ciąg (x n ) U taki, że lim f (x n) = inf f (x) n x U Istnienie powyższego ciągu wynika bezpośrednio z określenia kresu dolnego Ponieważ zbiór U jest zwarty, więc z ciągu (x n ) można wybrać podciąg (x nk ) k N zbieżny do pewnego x 0 U, to znaczy lim x n k = ˇx U k Oczywiście z jednoznaczności granicy mamy, że lim k f (x nk ) = inf x U f (x), czyli (x nk ) k N też jest ciągiem minimalizującym funkcji f Wobec ciągłości f mamy, że Zatem ˇx jest punktem minimum funkcji 12 Różne typy zadań inf f (x) = lim f (x n k ) = f (ˇx) x U k Podamy teraz kilka typów zadań, które będziemy badać w dalszej części wykładu Od tego momentu zakładamy w całym wykładzie, że zbiór U jest zbiorem otwartym W większości przykładów i zastosowań U = R n Zadanie bez ograniczeń Zadanie polega na znalezieniu maksimum lub minimum funkcji f na zbiorze U Symbolicznie zapisujemy powyższe zadanie jako: { f (x) max (min) (UM) x U Poprzez rozwiązanie zadania rozumiemy argument ekstremum Przy założeniu różniczkowalności f stosujemy tu podstawowe narzędzia rachunku różniczkowego Ze względu na otwartość zbioru U nie możemy zastosować twierdzenia Weirstrassa Zadanie z ograniczeniami typu równość Niech dane będą funkcje h i : U R, oraz stałe c i R, gdzie i = 1,, m Zadanie polega na znalezieniu maksimum lub minimum funkcji f na zbiorze C h := {x U : h i (x) = c i, i = 1,, m} Symbolicznie zapisujemy powyższe zadanie jako: { f (x) max (min) h i (x) = c i, i = 1, 2,, m (ECM) Przy założeniu ciągłości funkcji h i zbiór C h jest zbiorem domkniętym, jeżeli jest również ograniczony, to z twierdzenia Weirstrassa wynika natychmiast, że zadanie ma rozwiązanie (będące maksimum (minimum) globalnym) Przykład 11 { f (x1, x 2 ) = x 2 1x 2 min x x 2 2 = 1 W naszym przypadku h 1 (x 1, x 2 ) = x x 2 2, c 1 = 1 (i = 1) oraz U = R 2

6 ROZDZIAŁ 1 WPROWADZENIE DO OPTYMALIZACJI 3 Zadanie z ograniczeniami typu nierówność Niech dane będą funkcje g i : U R, oraz stałe b i R, gdzie i = 1,, k Zadanie polega na znalezieniu maksimum lub minimum funkcji f na zbiorze C g := {x U : g i (x) b i, i = 1,, k} Symbolicznie zapisujemy powyższe zadanie jako: { f (x) max (min) g i (x) c i, i = 1, 2,, k (ICM) Tak jak w zadaniu z ograniczeniami typu równość, przy założeniu ciągłości funkcji g i zbiór C g jest zbiorem domkniętym, jeżeli jest również ograniczony, to z twierdzenia Weirstrassa wynika natychmiast, że zadanie ma rozwiązanie (będące maksimum (minimum) globalnym) Przykład 12 Rozważmy sytuację, w której klient może zakupić na rynku dobra (towary lub usługi) 1 i 2 po cenach p 1, p 2 > 0 odpowiednio Przypuśćmy, że klient ma do dyspozycji budżet I > 0 Załóżmy, że I jest kwotą, której nie może przekroczyć zakupując dobra, ale nie musi jej całkowicie spożytkować Niech x 1, x 2 oznaczają ilości dóbr 1 i 2 zakupionych przez klienta odpowiednio W ekonomii rozważa się tzw funkcje użyteczności mierzące poziom zadowolenia klienta z nabytych dóbr Przykładem takiej funkcji jest funkcja postaci f (x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2, gdzie α jest ustaloną liczbę rzeczywistą Wówczas zadanie polegające na znalezieniu takiego koszyka dóbr, a więc ilości dóbr x 1, x 2, aby klient był maksymalnie zadowolony jest zadaniem maksymalizacji z ograniczeniami typu nierówność f (x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2 max x 1 0, x 2 0, x 1 p 1 + x 2 p 2 I Oczywiście U = R 2, g 1 (x 1, x 2 ) = x 1, g 2 (x 1, x 2 ) = x 2, g 3 (x 1, x 2 ) = x 1 p 1 +x 2 p 2 Ograniczenia g 1, g 2 są ograniczeniami wynikającymi z tego, że ilości zakupionych dóbr nie mogą być ujemne Zadanie z ograniczeniami mieszanymi Zadanie obejmuje zarówno ograniczenia typu równość jak i nierówność Polega na znalezieniu maksimum lub minimum funkcji f na zbiorze C g := {x U : h j (x) = c j, g i (x) b i, j = 1,, m, i = 1,, k} Symbolicznie zapisujemy powyższe zadanie jako: f (x) max (min) h j (x) = c j, j = 1,, m, g i (x) c i, i = 1, 2,, k (CM) Nie wykluczamy również przypadku m = 0 (brak ograniczeń typu równość) oraz k = 0 (brak ograniczeń typu nierówność), zakładamy jednak, że przynajmniej jedna z liczb m, k jest dodatnia

7 ROZDZIAŁ 1 WPROWADZENIE DO OPTYMALIZACJI 4 Przykład 13 Jeżeli w przykładzie 12 założymy, że na zakup dóbr przeznaczamy cały budżet, to otrzymujemy zadanie maksymalizacji z ograniczeniami mieszanymi postaci 13 Zadania f (x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2 max x 1 0, x 2 0, x 1 p 1 + x 2 p 2 = I Zadanie 11 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe funkcji f we wskazanych punktach x 0 i kierunkach h : a) f (x 1, x 2 ) = x 2 1x 3 2, x 0 = (1, 2), h = (2, 3) b) f (x 1, x 2 ) = x x 2 2, x 0 = ( 3, 4), h = ( 12, ) ( c) f (x 1, x 2, x 3 ) = e x 1x 2 x 3 1, x 0 = ( 1, 1, 1), h =, 3, ) d) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1x 2 2, x x 3 0 = (16, 3, 2), h = (1, 1, 1) 3 e) f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ln (x 1 + x 2 ), x 0 = (1, 1), h = (2, 1) Zadanie 12 Dla funkcji z zadania 11 obliczyć pochodne cząstkowe i gradienty, a następnie wykorzystując gradienty obliczyć pochodne kierunkowe funkcji f we wskazanych punktach x 0 i kierunkach h

8 Rozdział 2 Zadania bez ograniczeń 21 Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie 21 (Fermata) Niech f : U R (U R n jest zbiorem otwartym) będzie funkcją posiadającą wszystkie pochodne cząstkowe Wówczas, jeśli f ma w punkcie x 0 ekstremum, to f (x 0 ) = 0 Dowód Niech e i, i = 1,, n oznacza i ty wersor osi Wówczas f x i (x 0 ) = ϕ i (0), i = 1,, n, gdzie funkcja ϕ i, określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu ( ε, ε) liczby 0, jest dana wzorem ϕ i (t) = f (x 0 + te i ), i = 1,, n Skoro f posiada w x 0 ekstremum (dla ustalenia uwagi załóżmy, że jest to maksimum), to f (x 0 + te i ) f (x 0 ), t ( ε, ε), co oznacza, że ϕ i posiada maksimum w zerze, zatem ϕ i (0) = 0 22 Warunek wystarczający istnienia ekstremum Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym warunki wystarczające mogą być związane z drugą pochodną funkcji f Jej wielowymiarowym odpowiednikiem (w rozważanym przypadku funkcji f : U R) jest tzw macierz Hessego postaci f (x 0 ) = 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 ) 2 f (x 0 ) 2 f (x 0 ) W naszych rozważaniach będzie to zawsze macierz symetryczna Definicja 21 Mówimy, że symetryczna macierz M R n n jest: dodatnio określona fakt ten zapisujemy jako M 0; h R n \ {0} h M h T > 0, 5

9 ROZDZIAŁ 2 ZADANIA BEZ OGRANICZEŃ 6 dodatnio półokreślona fakt ten zapisujemy jako M 0; ujemnie określona fakt ten zapisujemy jako M 0; ujemnie półokreślona fakt ten zapisujemy jako M 0 h R n h M h T 0, h R n \ {0} h M h T < 0, h R n h M h T 0, Jeśli nie zachodzi żaden z powyższych przypadków, to mówimy, że macierz M jest nieokreślona Mamy Twierdzenie 22 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Niech f : U R będzie funkcją klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu x 0 U oraz niech (a) f (x 0 ) = 0, (b) f (x 0 ) będzie macierzą dodatnio lub ujemnie określoną Wówczas f przyjmuje w x 0 ekstremum lokalne, przy czym: jeśli f (x 0 ) 0, to x 0 jest punktem minimum, jeśli f (x 0 ) 0, to x 0 jest punktem maksimum Powyższe twierdzenie jest warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym Zatem jeśli f (x 0 ) nie jest ani dodatnio ani ujemnie określona to nie oznacza to, że punkt x 0 nie jest punktem ekstremum Jeżeli jednak f (x 0 ) jest nieokreślona, to funkcja nie posiada ekstremum w x 0 Przyjrzyjmy się dokładniej tej sytuacji Mamy Definicja 22 Niech f : U R Punkt x 0 U nazywa się punktem siodłowym funkcji f, jeśli funkcja osiąga w tym punkcie minimum w pewnym kierunku (to znaczy f E1 U osiąga minimum dla pewnej jednowymiarowej przestrzeni E 1 ) oraz osiąga maksimum w innym kierunku (to znaczy f E2 U osiąga maksimum dla pewnej jednowymiarowej przestrzeni E 2 ) Twierdzenie 23 Punkt krytyczny x 0 funkcji klasy C 1 jest punktem siodłowym, gdy hesjan f (x 0 ) jest nieokreślony Badanie określoności macierzy na podstawie definicji jest oczywiście bardzo kłopotliwe Podamy więc dwa kryteria ułatwiające to zadanie Pierwsze z niech jest oparte na wartościach własnych macierzy, drugie znane z literatury jako kryterium Sylvestera Twierdzenie 24 (Kryterium wartości własnych) Niech dana będzie rzeczywista, symetryczna macierz M R n n Wówczas: M 0, gdy jej wszystkie wartości własne są dodatnie, M 0, gdy jej wszystkie wartości własne są nieujemne,

10 ROZDZIAŁ 2 ZADANIA BEZ OGRANICZEŃ 7 M 0, gdy jej wszystkie wartości własne są ujemne, M 0, gdy jej wszystkie wartości własne są niedodatnie Przed podaniem drugiego kryterium przypomnijmy kilka definicji Definicja 23 Minorem macierzy M nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej A otrzymanej z M poprzez skreślenie (usunięcie) pewnej liczby wierszy i pewnej liczby kolumn Jeżeli macierz M jest kwadratowa, zaś usunęliśmy dokładnie n k (gdzie k {1,, n}) wierszy i kolumn o tych samych numerach, to wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywa się minorem głównym rzędu k Jeżeli dodatkowo, usunęliśmy wszystkie wiersze i kolumny o numerach większych niż pewne k n, to minor główny nazywa się minorem głównym wiodącym rzędu k 1 Twierdzenie 25 (Kryterium Sylvestera) Niech dane będzie macierz M R n n, wówczas M 0, gdy jej wszystkie minory główne wiodace są dodatnie, M 0, gdy jej minory główne wiodące zmieniają znak (czyli brane po kolei mają naprzemienny znak), przy czym minor rzędu pierwszego jest ujemny (innymi słowy dowolny minor rzędu k ma znak ( 1) k ), M 0, gdy jej wszystkie minory główne są nieujemne, M 0, gdy jej wszystkie minory główne nieparzystego rzędu są niedodatnie oraz wszystkie minory główne parzystego rzędu są nieujemne Na podstawie kryterium Sylvestera można bez trudu sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum w oparciu o twierdzenie 22 Tu ograniczymy się jedynie do przypadku funkcji dwu zmiennych Twierdzenie 26 Niech f : U R (gdzie U R 2 ) będzie funkcją klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu x 0 U Załóżmy że f (x 0 ) = 0 Wówczas, jeśli det f (x 0 ) > 0, to f osiąga w x 0 ekstremum, przy czym jeśli 2 f (x 0 ) > 0, to f ma w x 0 minimum, 2 f (x 0 ) < 0, to f ma w x 0 maksimum Jeśli det f (x 0 ) < 0, to x 0 jest punktem siodłowym, czyli f nie osiąga ekstremum w x 0 23 Ekstrema globalne Definicja 24 Zbiór E R n nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowolnych punktów x, y E cały odcinek łączący x i y należy do E, tzn x, y E t [0, 1] t x + (1 t) y E Definicja 25 Załóżmy, że E R n jest zbiorem wypukłym Mówimy, że funkcja f : E R jest: 1 Zarówno w przypadku minora głównego jak i głównego wiodącego jego rzędem jest jego wymiar

11 ROZDZIAŁ 2 ZADANIA BEZ OGRANICZEŃ 8 wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy x, y E t [0, 1] f (t x + (1 t) y) t f (x) + (1 t) f (y), ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy x, y E t (0, 1) f (t x + (1 t) y) < t f (x) + (1 t) f (y), wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy x, y E t [0, 1] f (t x + (1 t) y) t f (x) + (1 t) f (y), ściśle wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy x, y E t (0, 1) f (t x + (1 t) y) > t f (x) + (1 t) f (y) Twierdzenie 27 Załóżmy, że U R n jest zbiorem wypukłym i otwartym, f : U R funkcją klasy C 2 Wówczas: (a) następujące trzy warunki są równoważne: (i) f jest funkcją wklęsłą (ii) x, y U f (y) f (x) f (x) (y x), (iii) x U f (x) 0 (f (x) jest ujemnie półokreślona dla wszystkich x U), (b) następujące trzy warunki są równoważne: (i) f jest funkcją wypukłą (ii) x, y U f (y) f (x) f (x) (y x), (iii) x U f (x) 0 (f (x) jest dodatnio półokreślona dla wszystkich x U), (c) jeśli f jest wklęsła oraz f (x 0 ) = 0 dla pewnego x 0 U, to f osiąga w x 0 maksimum globalne, (d) jeśli f jest wypukła oraz f (x 0 ) = 0 dla pewnego x 0 U, to f osiąga w x 0 minimum globalne Przykład 21 Niech f (x 1, x 2 ) = x x 4 2 Znajdziemy ekstrema f Mamy: f (x 1, x 2 ) = [ 4x 3 1, 4x 3 2] = 0 x1 = x 2 = 0 Zatem f może osiągnąć ekstremum jedynie w punkcie (0, 0) Skorzystamy najpierw z warunku wystarczającego Mamy [ ] 12x f 2 (x 1, x 2 ) = x 2 2 a więc kryterium z twierdzenia 26 nie rozstrzyga Zauważmy jednak, że f (x) 0 dla dowolnych x R 2 (wszystkie minory główne są nieujemne) a zatem f jest wypukła i na mocy twierdzenia 27 punkt (0, 0) jest argumentem minimum globalnego oraz f max (0, 0) = 0

12 ROZDZIAŁ 2 ZADANIA BEZ OGRANICZEŃ 9 24 Zadania Zadanie 21 Zbadać określoność macierzy [ ] [ ] [ a) b) c) f) g) ] d) [ ] e) Zadanie 22 Dla podanych niżej funkcji wyznaczyć punkty krytyczne oraz rozstrzygnąć, czy powyższe punkty są punktami minimum, maksimum, czy też punktami siodłowymi a) f (x 1, x 2 ) = x x 2 2 6x 1 x 2 + 3x 2 2 b) f (x 1, x 2 ) = x 2 1 6x 1 x 2 + 2x x 1 + 2x 2 5 c) f (x 1, x 2 ) = x 1 x x 3 1x 2 x 1 x 2 d) f (x 1, x 2 ) = 3x x 2 1x 2 x 3 2 e) f (x 1, x 2, x 3 ) = x x 1 x 2 + x 2 2 3x 2 x 3 + 4x x 1 5x 2 21x 3 f) f (x 1, x 2, x 3 ) = (x x x 2 3) e (x2 1 +x2 2 +x2 3) Zadanie 23 Które z punktów krytycznych z zadania 22 są punktami maksimum lub minimum globalnego?

13 Rozdział 3 Warunki konieczne istnienia ekstremum w zadaniach z ograniczeniami 31 Ograniczenia typu równość Zajmować się będziemy zadaniem minimalizacji (maksymalizacji) z ograniczeniami typu równość postaci { f (x) min (max) (ECM) h i (x) = c i, i = 1, 2,, m gdzie f : R n R, h i : R n R, c i R, i = 1, 2,, m Najpierw rozważymy przypadek dwuwymiarowy (n = 2) przy jednym ograniczeniu (m = 1) Mamy następujące Twierdzenie 31 Niech f, h : R 2 R będą funkcjami klasy C 1 Przypuśćmy, że punkt x = (x 1, x 2) R 2 jest rozwiązaniem zadania (ECM) postaci { f (x) min (max) h (x) = c Przypuśćmy, że x nie jest punktem krytycznym h, tzn h 0 (31) Wówczas istnieje liczba rzeczywista µ taka, że (x 1, x 2, µ ) R 3 jest punktem krytycznym funkcji L (x 1, x 2, µ) := f (x 1, x 2 ) µ (h (x 1, x 2 ) c) Innymi słowy L L ((x 1, x 2, µ )) = 0 L x 2 L ((x 1, x 2, µ )) = 0 L L µ ((x 1, x 2, µ )) = 0 Twierdzenie 32 Niech f : R n R, oraz h i : R n R, i = 1, 2,, m będą funkcjami klasy C 1 Przypuśćmy, że x R n jest rozwiązaniem (lokalnym) zadania (ECM) Załóżmy dalej, że h 1 (x h ) 1 rank = m (32) h m (x h ) m 10

14 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 11 Wówczas istnieje wektor µ R m taki, że punkt (x, µ ) R n R m jest punktem krytycznym funkcji m L (x, µ) := f (x) µ i (h (x) c i ) (33) Innymi słowy { L i=1 L (x, µ ) = 0,, L L (x, µ ) = 0 L µ 1 L (x, µ ) = 0,, L µ m L (x, µ ) = 0 Uwaga 31 Funkcję L : R n R m R zdefiniowaną wzorem (33) nazywamy funkcją Lagrange a Uwaga 32 Warunek (32) jest wielowymiarowym odpowiednikiem warunku (31) Rzeczywiście, definiując funkcję h = (h 1,, h m ) : R n R m widzimy, że macierz warunku (32) jest macierzą Jakobiego funkcji h Warunek rzędu (32) oznacza teraz, że pochodna h jest odwzorowaniem liniowym, które jest bijekcją (odwzorowaniem na) Przyjmuje się nawet, że jeśli ten warunek nie jest spełniony, czyli rank h < m, to x nazywa się punktem krytycznym funkcji h W dalszych rozważaniach będziemy mówić, że jeśli w punkcie x jest spełniony warunek (32), to odwzorowanie h = (h 1,, h m ) : R n R m spełnia warunek (NDCQ) nondegenerate constraint qaulification w punkcie x Uwaga 33 Warunek (32) łatwo jest zapamiętać, jeśli zauważymy, że wiersze macierzy z tego warunku są gradientami funkcji h i Wtedy warunek (32) można wyrazić jako żądanie liniowej niezależności wektorów h 1,, h m W dowodzie twierdzenia 32 wykorzystujemy następujące Twierdzenie 33 (O funkcji uwikłanej) Niech F = (F 1,, F k ) : U R k, gdzie U R n+k jest zbiorem otwartym, będzie funkcją klasy C 1 Niech (x, y ) = ((x 1,, x n), (y1,, yk )) U Załóżmy dalej, że F (x, y ) = 0 oraz F 1 y 1 (x, y F ) 1 y k (x, y ) det 0, F k y 1 (x, y G ) k y k (x, y ) to znaczy pochodna F y (x, y ) : R k R k jest odwracalna Wówczas istnieją kule K (x, δ 1 ) R k, K (y, δ 2 ) R k oraz odwzorowanie ϕ : K (x, δ 1 ) K (y, δ 2 ) takie, że F (x, y) = 0 y = ϕ(x) dla (x, y) K (x, δ 1 ) K (y, δ 2 ) Dowód twierdzenia 32 Pokażemy najpierw, że rząd macierzy f (x f ) h 1 x 1 (x h ) 1 h m (x h ) m jest mniejszy niż m+1 Przypuśćmy przeciwnie, że wynosi on m+1 Oczywiście m n Oznacza to, że z macierzy (34) można wybrać podmacierz nieosobliwą wymiaru (m + 1) (m + 1) Załóżmy dla prostoty, że jest to macierz f (x f ) x m+1 (x ) h 1 x 1 (x h ) 1 x m+1 h m (x h ) m x m+1 (34)

15 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 12 Niech c 0 = f Dla ustalonego t rozważmy układ równań f ( x 1,, x m+1, x ( m+1, xn) c0 t = 0 h 1 x1,, x m+1, x m+2, xn) c1 = 0 h m ( x1,, x m+1, x m+2, x n) cm = 0 z niewiadomymi x 1,, x m+1 Wiadomo, że ( x 1,, x m+1) jest rozwiązaniem tego układu dla t = 0 Niech F 0 (x 1,, x m+1, t) = f ( x 1,, x m+1, x m+2, x n) c0 t oraz F i (x 1,, x m+1, t) = h i ( x1,, x m+1, x m+2, x n) ci, i = 1,, m Z twierdzenia 33 wynika teraz, że istnieją kule ( ε, ε), K 1 = K (( ) x 1,, xm+1), δ, oraz funkcja ϕ = (ϕ 1,, ϕ m+1 ) : ( ε, ε) K 1 taka, że f ( x F 0 (x 1,, x m+1, t) = 0 1,, x m+1, x m+2, xn) c0 t = 0 ( h 1 x1,, x m+1, x m+2, xn) c1 = 0 ϕ 1 (t) = x 1 F m (x 1,, x m+1, t) = 0 h m ( x1,, x m+1, x m+2, x n) cm = 0 dla (x 1,, x m+1, t) K 1 ( ε, ε) W szczególności, dla pewnego t 0 ( x 1,, x n ) = ( ϕ 1 (t 0 ),, ϕ m+1 (t 0 ), x m+2, xn) taki, że f ( x 1,, x n ) (c 0 + t 0 ) = 0 h 1 ( x 1,, x n ) c 1 = 0 h m ( x 1,, x n ) c m = 0 ϕ m+1 (t) = x m+1 (35) > 0 istnieje punkt Oznaczałoby to, że punkt x = ( x 1,, x n ) spełnia ograniczenia h i ( x) = c i, i = 1, 2,, m oraz f ( x) = c 0 + t 0 > f Ze względu na fakt, że promienie δ i ε mogą być dowolnie zmniejszane dostajemy sprzeczność z faktem, że x jest rozwiązaniem zadania (ECM) Pokazaliśmy zatem, że wektory f, h 1,, h m są liniowo zależne Zatem istnieją stałe µ 1,, µ m R takie, że f = m h j, j=1 skąd 32 Ograniczenia typu nierówność Tym razem zajmiemy się zadaniem maksymalizacji z ograniczeniami typu nierówność postaci { f (x) max (ICM) g i (x) b i, i = 1, 2,, k gdzie f : R n R, g i : R n R, b i R, i = 1, 2,, k Ustalmy punkt x R n spełniający warunki ograniczenia Wówczas, jeśli dla pewnego i 0 {1,, k} zachodzi warunek g i0 = b i0, to mówimy, że ograniczenie i 0 (g i0 (x) b i0 ) jest

16 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 13 aktywne w punkcie x W przeciwnym razie, ograniczenie i 0 jest nieaktywne (pasywne) w punkcie x Dla ustalonego punktu x R n zmieniając ewentualnie porządek indeksów możemy zawsze założyć, że pierwsze k 0 (k 0 {0,, k}) ograniczeń jest aktywnych w x, zaś pozostałe k k 0 ograniczeń, to ograniczenia pasywne w x Nie wykluczamy tu oczywiście sytuacji, że k 0 = 0 (wszystkie ograniczenia są pasywne w x ) oraz k 0 = k (wszystkie ograniczenia są aktywne w x ) Tak jak poprzednio najpierw rozważymy przypadek dwuwymiarowy (n = 2) przy jednym ograniczeniu (k = 1) Mamy następujące Twierdzenie 34 Niech f, g : R 2 R będą funkcjami klasy C 1 Przypuśćmy, że punkt x = (x 1, x 2) R 2 jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji (ICM) postaci { f (x) max g (x) b Przypuśćmy, że x nie jest punktem krytycznym g, tzn Rozważmy funkcję Lagrange a postaci g 0 (36) L (x 1, x 2, λ) := f (x 1, x 2 ) λ (g (x 1, x 2 ) b), dla (x 1, x 2, λ) R 3 Wówczas istnieje liczba nieujemna λ 0 taka, że 1 L (x 1, x 2, λ ) = 0, 2 L x 2 (x 1, x 2, λ ) = 0, 3 λ (g (x 1, x 2) b) = 0, 4 λ 0 5 g (x 1, x 2) b Twierdzenie 35 Niech f : R n R, oraz g i : R n R, i = 1, 2,, k będą funkcjami klasy C 1 Przypuśćmy, że x R n jest rozwiązaniem (lokalnym) zadania maksymalizacji (ICM) postaci { f (x) max (37) g i (x) b i, i = 1, 2,, k Załóżmy dalej, że pierwsze k 0 ograniczeń, to ograniczenia aktywne w x, zaś pozostałe k k 0 ograniczeń, to ograniczenia pasywne w x Załóżmy dalej, że warunek (NDCQ) jest spełniony dla indeksów aktywnych: rank g 1 g 1 g k0 (x g ) k0 Rozważmy funkcję Lagrange a L : R n R k R postaci L (x, λ) := f (x) k λ j (g j (x) b j ) Wówczas istnieje wektor λ R k taki, że para (x, λ ) spełnia warunki j=1 = k 0 (38)

17 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 14 1 L x i (x, λ ) = 0, dla i = 1,, n, 2 λ i (g i b i ) = 0, dla i = 1,, k, 3 λ i 0, dla i = 1,, k, 4 g i b i, dla i = 1,, k Dowód Przypuśćmy, że x R n jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji (ICM) Załóżmy, że tylko pierwsze k 0 ograniczeń, to ograniczenia aktywne w x : g i = b i, dla i = 1,, k 0, g i < b i, dla i = k 0 + 1,, k Wobec ciągłości funkcji g mamy, że istnieje pewna kula otwarta K (x, r), r > 0 otaczająca punkt x, że dla punktów z tej kuli ograniczenia k 0 + 1,, k pozostają nieaktywne: g i (x) < b i, dla x K (x, r), i = k 0 + 1,, k Zauważmy, że punkt x jest rozwiązaniem następującego zadania typu (ECM) w kuli K (x, r) f (x) max x K (x, r) g i (x) = b i, i = 1, 2,, k 0 Gdyby tak nie było, to istniałby punkt x R n spełniający ograniczenia g i (x ) = b i, i = 1, 2,, k 0 i taki, że f (x ) > f Oczywiście również g i (x ) < b i, i = k 0 + 1,, k, czyli x jest rozwiązaniem zadania (37) oraz f (x ) > f, co jest sprzeczne z tym, że x już również rozwiązaniem tego zadania a promień r > 0 może być dowolnie zmniejszony Połóżmy λ k0 +1 = = λ k Stosując twierdzenie 32 dostajemy, że istnieją liczby µ 1,, µ k 0, że ( x, µ 1,, µ k 0 ) jest punktem krytycznym funkcji k 0 ˆL (x, µ 1,, µ m ) := f µ j (g j (x) b j ) Kładąc λ k 0 +1 = = λ k = 0 i λ = ( µ 1,, µ k 0, λ k 0 +1, λ k) mamy więc, że L x i (x, λ ) = f x i dla i = 1,, n, oraz dla i = 1,, k 0, skąd k 0 j=1 µ j (g j (x) b j ) k j=k 0 +1 j=1 ˆL µ i ( x, µ 1,, µ k 0 ) = µ i (g i b i ) = 0 λ i (g i b i ) = 0, λ j (g j (x) b j ) = ˆL x i ( x, µ 1,, µ k 0 ) = 0, dla i = k 0 + 1,, k Aby zakończyć dowód twierdzenia wystarczy więc pokazać, że µ i 0 dla i = 1,, k 0 W tym celu dla ustalonego parametru t rozważmy układ równań ( g 1 x1,, x k0, x k 0 +1,, n) x = b1 t (39) ( g k0 x1,, x k0, x k 0 +1,, ) x n = bk0

18 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 15 z niewiadomymi x 1,, x k0 Wobec założenia (NDCQ) i z faktu, że x 1,, x k 0 spełnia układ (39) dla t = 0 możemy do układu zastosować twierdzenie 33 o funkcji uwikłanej Zatem istnieje przedział ( ε, ε), kula K 1 = K (( ) ) x 1, x k 0, δ oraz funkcja ϕ = (ϕ1, ϕ k ) : ( ε, ε) K 1 taka, że ( g 1 x1, x k0, x k 0 +1,, n) x = b1 t x 1 = ϕ 1 (t) ( g k0 x1, x k0, x k 0 +1,, ) x n = bk0 x k0 = ϕ k0 (t) dla (x 1, x k0, t) K 1 ( ε, ε) Zauważmy teraz, że dla t (0, ε) punkt ( ϕ 1 (t),, ϕ k0 (t), x k 0 +1,, x n spełnia ograniczenia (bo spełnia układ), więc f ( ϕ 1 (t),, ϕ k0 (t), x k 0 +1,, x n) f ( ϕ1 (0),, ϕ k0 (0), x k 0 +1,, x n) = f, (310) dla t (0, ε), bo x maksymalizuje f na zbiorze ograniczeń Zauważmy, że d dt f ( ϕ 1 (t),, ϕ k0 (t), x k 0 +1,, x n) ( ) t=0 = f ϕ 1 (0),, ϕ k 0 (0), 0,, 0 0, (311) gdyby tak nie było, to ze względu na to, że zarówno ϕ, jak i f są klasy C 1 istniałoby otoczenie zera w którym pochodna ta jest dodatni, co przeczyłoby nierówności 310) Różniczkując stronami równości g 1 ( ϕ1 (t),, ϕ k0 (t), x k 0 +1,, x n) = b1 t g i ( ϕ1 (t),, ϕ k0 (t), x k 0 +1,, x n) = bi dla i = 2,, k 0 dla t = 0 dostajemy, że ( ) g 1 ϕ 1 (0),, ϕ k 0 (0), 0,, 0 = 1 ( ) g i ϕ 1 (0),, ϕ k 0 (0), 0,, 0 = 0 dla i = 2,, k 0 Stąd i z (311) mamy, że ( L 0 = (x, λ ),, L co kończy dowód = f ) (x, λ ) ( ϕ 1 (0),, ϕ k 0 (0), 0,, 0 ( ) ϕ 1 (0),, ϕ k 0 (0), 0,, 0 ) + λ 1 λ 1 ) 33 Ograniczenia mieszane Sformułujemy teraz twierdzenie opisujące sytuację ogólną warunki typu równość oraz nierówność Twierdzenie 36 Niech f : R n R, h i : R n R, i = 1, 2,, m, g i : R n R, i = 1, 2,, k będą funkcjami klasy C 1 Przypuśćmy, że x R n jest rozwiązaniem (lokalnym) zadania maksymalizacji (CM) postaci f (x) max g i (x) b i, i = 1, 2,, k (CM) h i (x) = c i, i = 1, 2,, m

19 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 16 Załóżmy, że w ograniczeniach typu nierówność pierwsze k 0 ograniczeń, to ograniczenia aktywne w x, zaś pozostałe k k 0 ograniczeń, to ograniczenia pasywne w x Załóżmy dalej, że spełniona jest następująca wersja warunku (NDCQ): rank Rozważmy funkcję Lagrange a L : R n R k R m R postaci L (x, λ, µ) := f (x) g 1 (x g ) 1 g k0 (x g ) k0 h 1 (x h ) 1 = k 0 + m (312) h m (x h ) m k λ j (g j (x) b j ) j=1 Wówczas istnieją wektory λ R k oraz µ R m takie, że 1 L x i (x, λ, µ ) = 0, dla i = 1,, n, 2 λ i (g i b i ) = 0, dla i = 1,, k, 3 λ i 0, dla i = 1,, k, 4 g i b i, dla i = 1,, k, 5 h i (x) = c i, dla i = 1, 2,, m m µ j (h j (x) b i ) Uwaga 34 W przypadku zadania minimalizacji przy ograniczeniach mieszanych wystarczy zauważyć, że funkcja f osiąga minimum na danym zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy f osiąga maksimum na tym samym zbiorze Ta prosta obserwacja prowadzi do wniosku, że dla zadania minimalizacji z ograniczeniami j=1 g i (x) b i, h i (x) = c i, i = 1, 2,, k i = 1, 2,, m zachodzi twierdzenie niemal identyczne jak twierdzenie 36 z tą różnicą, że mnożniki λ i, i = 1,, k będą niedodatnie Zatem w twierdzeniu 36 warunek 3 należy zastąpić warunkiem 3 λ i 0, dla i = 1,, k W praktyce przy zadaniach minimalizacji funkcji częściej spotyka się jednak zadanie z ograniczeniami typu nierówność to znaczy zadanie f (x) min g i (x) b i, i = 1, 2,, k h i (x) = c i, i = 1, 2,, m W tym przypadku obserwacja poczyniona w uwadze 34 prowadzi do twierdzenia o identycznej tezie jak w twierdzeniu 36

20 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI Twierdzenie Kuhna-Tuckera Rozważmy szczególny przypadek zadania (ICM) z ograniczeniami typu nierówność f (x) max g i (x) b i, i = 1, 2,, k x i 0, i = 1, 2,, n, (KTP) gdzie f : R n R, g i : R n R, b i R, i = 1, 2,, k Problem ten ma duże znaczenie praktyczne, ze względu na to, że w większości zagadnień praktycznych zmienne decyzyjne x 1,, x n oznaczają wielkości, które z natury rzeczy nie mogą być ujemne (np wielkość produkcji) Zadanie (KTP) nazywa się zadaniem Kuhna-Tuckera od nazwisk matematyków amerykańskiego Harolda Williama Kuhna ( ) i kanadyjskiego Alberta Williama Tuckera ( ) Twierdzenie 37 Rozważmy zadanie (KTP), gdzie f i g i, i = 1,, k są klasy C 1 Załóżmy, że x R n jest rozwiązaniem zadania (KTP) Załóżmy dalej, że w ograniczeniach g i (x) b i tylko pierwsze k 0 ograniczeń jest aktywnych w x, że x j 1 > 0,, x j p > 0 dla j 1,, j p {1,, n} oraz, że spełniona jest następująca wersja warunku (NDCQ): g 1 g 1 x j1 x jp rank g k0 x j1 (x g ) k0 x jp Niech ˆL : R n R k R będzie funkcją postaci ˆL (x, λ) = f (x) Wówczas istnieje wektor λ R k taki, że 1 ˆL x i (x, λ ) 0, dla i = 1,, n, 2 ˆL λ i (x, λ ) 0, dla i = 1,, k, 3 x i ˆL x i (x, λ ) = 0, dla i = 1,, n, 4 λ i ˆL λ i (x, λ ) = 0, dla i = 1,, k k λ j (g j (x) b j ) j=1 = k 0 (313) Dowód Zauważmy, że zadanie (KTP) jest szczególnym przypadkiem zadania maksymalizacji typu (ICM) o postaci f (x) max g i (x) b i, i = 1, 2,, k, k + 1,, k + n, gdzie g j (x) := x j, b j = 0 dla j = k + 1,, k + n Mamy też, że g j x j (x) = 1 oraz g i x j (x) = 0 gdy i j Niech x będzie rozwiązaniem zadania (KTP) Sprawdzimy, że spełnione są założenia

21 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 18 twierdzenia 35 łatwo zauważyć, że dokonując zmiany porządku wierszy i kolumn macierz o której mowa w założeniu (38) tego twierdzenia można otrzymać macierz g 1 x j1 (x g ) 1 x jp B g k0 A = x j1 (x g ) k0 x jp (314) 0 I gdzie I jest (n p) wymiarową macierzą jednostkową, zaś B pewną macierzą wymiaru k 0 (n p) Założenie (38) twierdzenia 35 jest więc spełnione, gdy rank A = k 0 + n p, co jest równoważne warunkowi (313) Niech L : R n R k R n R będzie określona wzorem L (x, λ, ν) = ˆL (x, λ) + n ν j x j W myśl twierdzenia istnieją zatem wektory λ R k oraz ν R n takie, że λ i 0, dla i = 1,, k, ν i 0 dla i = 1,, n spełnione są warunki j=1 L x i (x, λ, ν ) = 0, dla i = 1,, n, (315) Wobec (315) mamy, że λ i (g i b i ) = 0, dla i = 1,, k, (316) νi x i = 0, dla i = 1,, n, (317) g i b i, dla i = 1,, k, (318) x i 0, dla i = 1,, n (319) L (x, λ, ν ) = ˆL (x, λ ) + νi = 0, dla i = 1,, n, x i x i skąd Dalej z (318) mamy, że ˆL x i (x, λ ) = ν i 0, dla i = 1,, n (320) oraz wobec (317) i (320) W końcu korzystając z (316) dostajemy, że ˆL λ i (x, λ ) = (g i b i ) 0, dla i = 1,, k x i ˆL x i (x, λ ) = x i ν i = 0, dla i = 1,, n co kończy dowód λ i ˆL λ i (x, λ ) = λ i (g i b i ) = 0, dla i = 1,, k

22 ROZDZIAŁ 3 WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI Zadania Zadanie 31 W oparciu o zasadę mnożników Lagrange a wyznaczyć punkty, które mogą być rozwiązaniami poniższych zadań a) f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 max przy warunku h (x 1, x 2 ) = x 1 + 4x 2 = 16 b) f (x 1, x 2 ) = x 2 1x 2 max przy warunku h (x 1, x 2 ) = 2x x 2 2 = 3 c) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 max przy warunkach: h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1+x 2 2 = 1, h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 3 = 1 d) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 3 + x 1 x 3 max przy warunkach: h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 3 = 1, h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 3 = 3 e) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 2 3 max przy warunkach: h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 = 1, h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 = 0 f) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 2 3 min przy warunkach: h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 = 1, h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 = 0 g) f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 max przy warunku: g (x 1, x 2 ) = x x h) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 max przy warunkach:x 1 + x 2 + x 3 1, x 1 0, x 2 0, x 3 0 i) f (x 1, x 2 ) = x x 2 2 max przy warunkach 2x 1 + x 2 0, x 1 0, x 2 0 j) f (x 1, x 2 ) = 2x x 1 max przy warunkach x x 2 2 1, x 1 0, x 2 0 k) f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 3 max przy warunkach: x x x 3 6, x 1 0, x 2 0, x 3 0 l) f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 2 max przy warunkach x x 2 2 = 4, x 1 0, x 2 0 m) f (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 x 3 1 max przy warunkach 2x 1 x 2 = 5, 5x 1 + 2x 2 37, x 1 0, x 2 0 Jeśli to możliwe rozstrzygnąć, czy znalezione punkty są rozwiązaniami zadania Zadanie 32 Znaleźć największą i najmniejszą odległość początku układu współrzędnych od elipsy o równaniu x x 1 x 2 + x 2 2 = 3 Zadanie 33 Na paraboli y = x 2 znaleźć punkt, który jest najbliższy punktowi (2, 1) Zadanie 34 Znaleźć punkt, który leży najbliżej początku układu współrzędnych i jednocześnie leży na płaszczyznach 3x 1 + x 2 + x 3 = 5, x 1 + x 2 + x 3 = 1

23 Rozdział 4 Warunki wystarczające istnienia ekstremum w zadaniach z ograniczeniami Jak pamiętamy z poprzednich wykładów warunkiem wystarczającym istnienia maksimum funkcji (dwukrotnie różniczkowalnej) f : R n R w punkcie x 0 jest ujemna określoność macierzy drugiej pochodnej (hesjanu) w tym punkcie tzn spełnienie warunku: xf (x 0 ) x T < 0 dla dowolnych x R n t że x 0 Analogicznie dla minimum mamy dodatnią określoność xf (x 0 ) x T > 0 dla dowolnych x R n t że x 0 Warunki wystarczające dla zadań z ograniczeniami będą podobne, z tym że druga pochodna będzie liczona z funkcji Lagrange a oraz nie będzie wymagane spełnienie warunku określoności tej macierzy na całej przestrzeni, lecz jedynie na pewnej podprzestrzeni 41 Ograniczenia typu równość Twierdzenie 41 Rozważmy problem maksymalizacji (ECM) postaci { f (x) max h i (x) = c i, i = 1, 2,, m gdzie f : R n R, h i : R n R, są funkcjami klasy C 2, c i R, i = 1, 2,, m Rozważmy funkcję Lagrange a L : R n R m R postaci L (x, µ) := f (x) m µ i (h i (x) c i ) i=1 Załóżmy, że (a) punkt x R n spełnia warunki ograniczenia tzn h i = c i, i = 1, 2,, m, (b) istnieje wektor µ R n taki, że L (x, µ ) = 0 tzn L x i (x, µ ) = 0, dla i = 1,, n, L µ i (x, µ ) = 0, dla i = 1,, m, 20

24 ROZDZIAŁ 4 WARUNKI WYSTARCZAJĄCE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 21 (c) hesjan L x (x, µ ) funkcji L ze względu na zmienną x w punkcie (x, µ ) jest ujemnie określony na zbiorze {x R n : h x = 0} to znaczy x L x (x, µ ) x T < 0 dla dowolnych x R n t że x 0 i h x = 0 (41) Wówczas x jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji (ECM) Warunek (41) jest oczywiście trudny do zbadania Można podać warunek podobny do warunku z twierdzenia Sylvestera sformułowany jednak dla macierzy zwanej hesjanem obrzeżonym funkcji Lagrange a Jest to macierz postaci [ H = ] 0 h (h ) T L x (x, µ ) h (x h ) 1 h 0 0 m = (x h ) m h 1 x 1 (x h ) m (x ) 2 L (x, µ ) 2 L (x, µ ) h 1 (x h ) m (x ) 2 L (x, µ ) 2 L (x, µ ) Wówczas warunek (41) twierdzenia 41 jest spełniony jeśli wszystkie minory główne wiodące macierzy H o rzędach wyższych niż 2m zmieniają znak przy czym minor det H ma znak ( 1) n Dla ilustracji sformułujemy twierdzenie opisujące sytuację dwuwymiarową Twierdzenie 42 Niech f, h : R 2 R będą funkcjami klasy C 1 Rozważmy problem (ECM) postaci { f (x) max h (x) = c Zdefiniujmy funkcję Lagrange a L : R 2 R 1 R postaci L (x, µ) := f (x) µ (h (x) c) Załóżmy, że punkt (x, µ ) R 2 R 1 spełnia warunki (a) L (x, µ ) = L (x, µ ) = L (x, µ ) = 0, x 2 µ i (b) det h 0 h (x, µ ) 2 L h 2 L x 2 (x, µ ) (x, µ ) (x, µ ) x 2 (x, µ ) h x 2 (x, µ ) 2 L x 2 (x, µ ) 2 L (x, µ ) > 0 Wówczas x jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji (ECM), to znaczy jest maksimum lokalnym funkcji f na zbiorze ograniczeń C h = {x R 2 : h (x) = c}

25 ROZDZIAŁ 4 WARUNKI WYSTARCZAJĄCE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 22 Uwaga 41 Dla zadania minimalizacji (ECM) postaci { f (x) max h i (x) = c i, i = 1, 2,, m warunek warunek (41) twierdzenia 41 należy zastąpić warunkiem x L x (x, µ ) x T > 0 dla dowolnych x R n t że x 0 i h x = 0, który jest spełniony jeśli n m minorów głównych wiodących macierzy H ma znak ( 1) m W przypadku dwuwymiarowym (n = 2, m = 1) oznacza to, że wyznacznik macierzy z warunku (b) twierdzenia 42 jest ujemny 42 Przypadek ogólny ograniczenia mieszane Twierdzenie 43 Rozważmy problem maksymalizacji (CM) postaci f (x) max g i (x) b i, i = 1, 2,, k h i (x) = c i, i = 1, 2,, m gdzie f : R n R, g j : R n R, h i : R n R są funkcjami klasy C 2, c i, b j R, j = 1, 2,, k, i = 1, 2,, m Zdefiniujmy funkcję Lagrange a L : R n R k R m R postaci k L (x, λ, µ) := f (x) λ j (g j (x) b i ) j=1 m µ i (g i (x) c i ) i=1 (a) Załóżmy, że istnieje punkt x R n oraz wektory λ R k oraz µ R m takie, że L x i (x, λ, µ ) = 0, dla i = 1,, n, λ i 0, dla i = 1,, k, λ i (g i b i ) = 0, dla i = 1,, k, h i (x) = c i, dla i = 1, 2,, m (b) przyjmijmy, dla prostoty, że pierwsze k 0 ograniczeń typu nierówność to ograniczenia aktywne, pozostałe to ograniczenia nieaktywne, oznaczmy g A = (g 1,, g k0 ) : R n R k 0 i załóżmy, że hesjan L x (x, λ, µ ) funkcji L ze względu na zmienną x w punkcie (x, λ, µ ) jest ujemnie określony na zbiorze to znaczy {x R n : g A x = 0 oraz h x = 0} x L x (x, µ ) x T < 0 dla dowolnych x R n t że x 0 i g A x = 0 oraz h x = 0 Wówczas x jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji (CM), to znaczy maksimum lokalnym funkcji f na zbiorze ograniczeń C g,h = {x R n : g j (x) b j oraz h i (x) = c i dla j = 1,, k, i = 1,, m}

26 ROZDZIAŁ 4 WARUNKI WYSTARCZAJĄCE ISTNIENIA EKSTREMUM W ZADANIACH Z OGRANICZENIAMI 23 Tak jak poprzednio dla zbadania określoności hesjanu możemy zbudować hesjan obrzeżony postaci g g 1 g k0 g k0 h h 1 H = h m h m g 1 g k0 h 1 h m 2 L 2 L g 1 g k0 h 1 h m 2 L 2 L w punkcie (x, λ, µ ) Dla warunku maksimum żądamy zatem, aby ostatnie n (k 0 + m) minorów głównych wiodących macierzy H zmieniało znak, przy czym det H miało znak ( 1) n, zaś dla minimum, aby wszystkie powyższe minory miał znak ( 1) k 0+m

27 Rozdział 5 Interpretacja mnożników 51 Ograniczenia typu równość Rozważmy problem (ECM) z jednym ograniczeniem postaci { f (x1, x 2 ) max h (x 1, x 2 ) = a (ECM) Będziemy traktować a R jako zmienny parametr Jeśli (x 1, x 2) R 2 jest rozwiązaniem powyższego zadania, to punkt ten jest zależny od parametru a Możemy więc rozważać funkcję R a (x 1 (a), x 2 (a)) R 2 (51) Stosując zasadę mnożników Lagrange a e (twierdzenie 31) przy odpowiednich założeniach wnosimy o istnieniu mnożnika µ, również zależnego od a, mamy więc również funkcję Mamy R a µ (a) R (52) Twierdzenie 51 Niech f, h będą funkcjami klasy C 1 Załóżmy, że funkcje (51) oraz (52) są różniczkowalne oraz spełniony jest warunek (NDCQ) postaci h (x 1, x 2 ) 0 dla (x 1, x 2 ) = (x 1 (a), x 2 (a)) Wówczas µ (a) = d da f (x 1 (a), x 2 (a)) Powyższe twierdzenie mówi, że wartość mnożnika µ (a), przy ustalonym ograniczeniu a, mierzy szybkość zmiany wartości maksymalnej funkcji f ze względu na zmianę ograniczenia a Mniej dokładna interpretacja pochodnej (pochodząca z ekonomii) prowadzi do wniosku, że mnożnik mówi o ile zmieni się wartość maksymalna funkcji, jeśli wartość parametru a w ograniczeniu zmieni się o jedną jednostkę Mnożnik jest więc miarą wrażliwości wartości maksymalnej funkcji f ze względu na zmianę ograniczenia a Przejdźmy teraz do ogólnego przypadku ograniczenia typu równość Twierdzenie 52 Niech f : R n R, oraz h i : R n R, i = 1, 2,, m bądą funkcjami klasy C 1 Rozważmy zadanie (ECM) polegające na znalezieniu maksimum (lokalnego) funkcji f na zbiorze C h := {x R n : h i (x) = a i, i = 1,, m} 24

28 ROZDZIAŁ 5 INTERPRETACJA MNOŻNIKÓW 25 Przypuśćmy, że x (a) R n, gdzie a = (a 1,, a m ) R m jest rozwiązaniem powyższego zadania, zaś µ (a) R m odpowiadającym mu mnożnikiem, o którym jest mowa w twierdzeniu 32 Załóżmy też, że spełniony jest warunek (NDCQ) postaci rank h 1 (x (a)) h m (x h (a)) m h 1 (x (a)) (x (a)) = m oraz, że odwzorowania R m a x (a) R n i R m a µ (a) R n są różniczkowalne Wówczas µ j (a) = a j f (x 1 (a 1,, a m ),, x n (a 1,, a m )) dla j = 1,, m 52 Ograniczenia typu nierówność Twierdzenie 53 Niech f : R n R, oraz g i : R n R, i = 1, 2,, k bądą funkcjami klasy C 1 Rozważmy zadanie (ICM) polegające na znalezieniu maksimum (lokalnego) funkcji f na zbiorze C g := {x R n : g i (x) a i, i = 1,, k} Przypuśćmy, że x (a) R n, gdzie a = (a 1,, a k ) R k jest rozwiązaniem powyższego zadania, zaś λ (a) R k odpowiadającym mu mnożnikiem, o którym jest mowa w twierdzeniu 35 Ustalmy pewną wartość a = (a 1,, a k ) Rk Załóżmy też, że w punkcie (x (a), λ (a)) R n R k spełniony jest warunek (NDCQ) z twierdzenia 35 oraz, że odwzorowania R m a x (a) R n i R m a µ (a) R n są różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu a Wówczas λ j (a ) = f (x 1 (a a 1,, a m),, x n (a 1,, a m)) dla j = 1,, k j

29 Rozdział 6 Twierdzenia o obwiedni Okazuje się, że twierdzenia z poprzedniego rozdziału są szczególnymi przypadkami twierdzeń znanych z literatury jako twierdzenia o obwiedni 61 Problem bez ograniczeń Niech f : R n R (x, a) f(x, a) R Na funkcję f będziemy patrzeć jak na rodzinę funkcji zmiennej x parametryzowaną zmienną a : {f (, a) : a R} Zakładać będziemy, że f jest klasy C 1 (ze względu na zespół zmiennych) Twierdzenie 61 Dla ustalonego a R rozważamy zadanie maksymalizacji (minimalizacji) bez ograniczeń funkcji f : ( ) f (x, a) max min (61) x x Niech x (a) R n będzie rozwiązaniem zadania (61) Przypuśćmy, że odwzorowanie R a x (a) R n jest klasy C 1 Wówczas d da f (x (a), a) = a f (x (a), a) Dowód Z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia oraz faktu, że f (, a) osiąga ekstremum w x (a), mamy: d da f (x (a), a) = n i=1 f (x (a), a) dx i (a) + f (x (a), a) x i da a 1 = f (x (a), a) a Przykład 61 Rozważmy zadanie f (x, a) = x 2 + ( a + a 2) x + 1 max f (x, a) x R n Oczywiście maksimum funkcji jest osiągane w punkcie x (a) = a+a2 i wynosi a2 +2a 3 +a 4 +4 Zatem 2 4 d da f (x (a), a) = d ( ) a 2 + 2a 3 + a = 1 da 4 2 a a2 + a 3 Z drugiej strony a f (x, a) = ( x 2 + ( a + a 2) x + 1 ) = x + 2ax a 26

30 ROZDZIAŁ 6 TWIERDZENIA O OBWIEDNI 27 zatem a f (x (a), a) = x + 2ax x= (a+a 2 ) 2 = 1 2 a a2 + a 3 Zauważmy, że wartość f a (x (a), a) można obliczyć bez znajomości wartości maksymalnej wartości funkcji f Ponieważ wartość ta jest, w myśl twierdzenia 61, równa d f da (x (a), a), więc mierzy ona szybkość zmiany wartości maksymalnej f ze względu na zmianę parametru a Interpretacja pochodnej stosowana w ekonomii, choć dająca niezbyt dokładne wyniki mówi, że wartość f a (x (a), a) informuje o ile zmieni się maksymalna wartości funkcji f jeśli parametr a zmieni się jednostkę W naszym przypadku ustalając wartość a = a 0 i przyjmując x = x (a 0 ), mamy, że a f (x, a 0 ) = x + 2a 0 x Jeśli więc x > 0, to, w myśl twierdzenia 61, wraz ze wzrostem wartości a, rośnie wartość maksimum funkcji f 62 Zadanie z ograniczeniami Analogicznie jak w poprzednim podrozdziale rozważamy funkcje f, h i : R n R R, i = 1,, m o których zakładamy, że są klasy C 1 Każdą z tych funkcji będziemy traktować jako rodzinę funkcji zmiennej x R n prametryzowaną wartością a R Mamy Twierdzenie 62 Niech x (a) = (x 1 (a),, x n (a)) R n będzie, dla ustalonego a R rozwiązaniem zadania f (x, a) max x h i (x, a) = 0, i = 1,, m Przypuśćmy, że µ (a) R m jest odpowiadającym x (a) mnożnikiem (zob twierdzenie 32) Załóżmy też, że spełniony jest warunek (NDCQ) postaci h 1 (x h (a), a) 1 (x (a), a) rank = m h m (x h (a), a) m (x (a), a) oraz, że odwzorowania R a x (a) R n i R a µ (a) R n są klasy C 1 Wówczas d da f (x (a), a) = a L (x (a), µ (a), a), gdzie L jest funkcją Lagrange a dla powyższego zadania

31 Zagadnienia na egzamin 1 Definicja maksimum i minimum funkcji 2 Twierdzenie Weierstrassa wraz z dowodem 3 Sformułowania zadań optymalizacji 4 Twierdzenie Fermata wraz z dowodem 5 Określoność macierzy symetrycznej Definicje, kryterium wartości własnych i kryterium Sylvestera 6 Warunek wystarczający ekstremum funkcji (tw 22, tw 26) 7 Warunek wystarczający punktu siodłowego (tw 23) 8 Definicja funkcji wypukłej i wklęsłej Twierdzenie 27 (kryteria wypukłości i wklęsłości) 9 Zasady mnożników Lagrange a: twierdzenia 31, 32, 35, 36 (w tym pojęcie ograniczeń aktywnych i pasywnych) 10 Warunek wystarczający istnienia ekstremum dla zadań z ograniczeniami twierdzenie Interpretacja mnożników twierdzenie Twierdzenie o obwiedni twierdzenie 61 28

32 Bibliografia [1] Simon, CP, Blume, LE, Mathematics for Economists W W Norton & Company, New York, NY,

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Metoda Karusha-Kuhna-Tuckera

Metoda Karusha-Kuhna-Tuckera Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe 8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo