II.3 Rozszczepienie subtelne. Poprawka relatywistyczna Sommerfelda

Transkrypt

1 . akad. 004/005 II.3 Rozszczepienie subtelne. Popawka elatywistyczna Sommefelda Jan Kólikowski Fizyka IVBC

2 . akad. 004/005 II.3. Mechanizmy fizyczne odpowiedzialne za ozszczepienie subtelne Istnieją dwie pzyczyny fizyczne ozszczepienia subtelnego: Efekt elatywistyczny zależny od zmiennej pędkości elektonów na obitach eliptycznych dookoła jąde. Oddziaływanie momentów magnetycznych w atomie tzw. spzężenie spin-obita. To zagadnienie będzie omówione w cz. II.4. Oba mechanizmy uzyskały wspólny i spójny opis za pomocą elatywistycznego ównania Diaca. Jan Kólikowski Fizyka IVBC

3 II.3. Popawka elatywistyczna- omówienie jakościowe. akad. 004/005 Sommefeld (96) doszedł do wniosku, że powinno się dopuścić obity eliptyczne, podobnie jak w poblemie Keplea. Na kolistych obitach Boha pędkość elektonów jest stała. Na obitach eliptycznych pędkość zmienia się w zależności od odległości od jąda. Pędkość elektonów w atomie wodou jest <%c ale elatywistyczny wzó na pęd i enegię powoduje niewielkie zmiany enegii obit o óżnych małych półosiach (któych długość zależy od obitalnego momentu pędu L). Sommefeld policzył wielkość tych zmian enegii w zależności od obitalnej liczby kwantowej l. Pokazał także, że watości obitalnej liczby kwantowej zależą od n- głównej liczby kwantowej w modelu Boha: l=0,...n-, zaś poziom Boha opisywany pzez n ozszczepia się na n podpoziomów o óżnych l. Mówimy, że efekty elatywistyczne znoszą degeneację enegii poziomów ze względu na obitalną liczbę kwantową l. Jan Kólikowski Fizyka IVBC 3

4 . akad. 004/005 II.3. Popawka elatywistyczna omówienie jakościowe cd. Podstawową konsekwencją uzupełnienia modelu Boha jest pojawienie się zależności enegii poziomów nie tylko od głównej liczby kwantowej n ale także od obitalnej liczby kwantowej l (popawki elatywistyczne) i/lub liczby kwantowej j związanej z całkowitym momentem pędu (popawki spin-obita). E n=3 BOHR H α SOMMERFELD d: l= p: l = s: l=0 n= p: l= s: l=0 Jan Kólikowski Fizyka IVBC 4

5 . akad. 004/005 II.3. Popawka elatywistyczna omówienie jakościowe cd. Wzó Sommefelda na enegie poziomów atomów wodoopodobnych uwzględniający piewszą popawkę elatywistyczną (zędu (v/c) α ): 4 ÏZ Z α n E R hc Ê 3 =- n, + - Ì n n 4 Ó Ë + 4 gdzie stała stuktuy subtelnej dana jest wzoem: α= e ª ª 4 πε c 37 0 v( - szaobitaboha) c Jan Kólikowski Fizyka IVBC 5

6 . akad. 004/005 II.3.3 Dygesja: symbole spektoskopowe Poziomy (temy, stany) w atomach oznaczamy symbolami spektoskopowymi np..: Główna liczba kwantowa n. Tu n=. S / Multipletowość s+; Tu s=/. J = L + S Watość obitalnej liczby kwantowej l. Tadycyjnie oznaczana liteami: S (l=0), P (l=), D (l=), F (l=3) itd. Tu l=0. Watość liczby całkowitego momentu pędu j=/ Jan Kólikowski Fizyka IVBC 6

7 Dygesja: symbole spektoskopowe cd.. akad. 004/005 Komentaze: Oznaczenia l: małe litey stany jednoelektonowe np. w atomie wodou s, duże litey stany wieloelektonowe, wszystkie liczby dotyczą sum wektoowych spinów, obitalnych momentów pędu i całkowitych momentów pędu stanu wieloelektonowego. Pochodzenie oznaczeń liteowych dla l: Nazwy seii widmowych w widmie sodu: P= Pincipal: pzejścia z n=3, 4,..., l= na n=3, l=0, S=Shap: pzejścia z n=4, 5,... l=0 na n=3, 4,... l=, D=Diffuse: pzejścia z n=3, 4,... l= na n=3,4...l=, F=Fundamental: pzejścia z n>3, l=3 na n=3, l= Jan Kólikowski Fizyka IVBC 7

8 . akad. 004/005 Dygesja: symbole spektoskopowe cd. S=sha p F=fundamen tal D=diffu se P=pinc ipal Diagam Gotaiana dla pzejść elektonów walencyjnych sodu Na Jan Kólikowski Fizyka IVBC 8

9 II.3.3 Wypowadzenie wzou Sommefelda. akad. 004/005 Relatywistyczny wzó na pęd: p=mγv Składowe adialna i tanswesalna pędu (we współzędnych biegunowych w płaszczyźnie uchu): p = mγ p = mγ φ = L = const za ś wzó na czynnik Loentza: γ = - ( + φ ) c φ Enegia całkowita: E= mc Ruch odbywa się w polu siły kulombowskiej o potencjale V=- e ( γ - ) - = p 4πε 0 e 4πε ( c m c mc ) e 4πε 0 Jan Kólikowski Fizyka IVBC 9

10 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Ruch cząstki elatywistycznej odbywa się po kzywej ozetkowej danej wzoem: ( φ) p = - ε cos(g φ ) paamet g π spawia, że elipsa się nie zamyka, twoz ąć ozetę. Jan Kólikowski Fizyka IVBC 0

11 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Sommefeld założy ł spełnienie t.zw. waunków kwantowania osobno dla adialnej i tanswesalnej składowej pędu: J Ú Ú = pd= m γ d= nh Ú Ú J = p dφ = m φ dφ = πp = kh φ Pzedostatnia ówno ść wynika z tego, że p jest waunkiem kwantowania. Ostatecznie dostajemy p φ φ kh = = k π φ jest zachowane. Ostatnia ówność Jan Kólikowski Fizyka IVBC

12 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Obliczymy całkę J pzekształcając elatywistyczne wyażenia na składowe pędu oaz kozystając z zasady zachowania enegii: Stąd = mγ = mγβc β = = E p c φ p c + + mc p gdzie p c p c p φc = p φ p + + Analogicznie mc ( ) φ = p p p c φ φ + + m c Jan Kólikowski Fizyka IVBC

13 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Kozystając z pawa zachowania enegii i zachowania momentu pędu obliczymy p, podstawimy pod całkę J i skozystamy z eguły całkowania J = n h. p p Ê φ e Ê φ Ê kh E = c p + + ( mc ) - mc - oaz = Ë 4πε Ë Ë π daj ą nam 0 p E Ê e E me Ê 4 Ê e Êkh = Á + me Á - c Á Ë πε c πε Á Á πε Ë π Ë4 4 Ë ( ) 0 0 Jan Kólikowski Fizyka IVBC 3

14 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Ú J = p d = n h Całkowanie d oznacza całkowanie od minimalnej do maksymalnej odległości od jada: od do J = A + B + C = Ú Ê A - - B B Á Ê B + C = A + B + C + ac sin + C ac sin A Á - Á B - AC Ë B - AC Á Ë Ú min max. Wobec tego oba acusy daj ą po π zaś wyażenie pod piewiastkiem zeuje się dla _max i _min co daje nam ostatecznie: max min J Ê me e E + B Á 4 Ê 4πε 4πε c k h e 0 0 = πá + C = πá - - = Ë -A Á E 4π ( 4πεoc) Á -me - Ë c n h Jan Kólikowski Fizyka IVBC 4

15 J Wypowadzenie wzou Sommefelda cd. Ê me e E + Á 4 4πε 4πε c k h e 0 0 = π Á - - = Á E 4π ( 4πεoc) Á -me - Ë c Poszukujemy ozwiązania E=E n J ( ) Wpowadźmy stałą stuktuy subtelnej,k. Ê me E Ê Á + πε Ë mc 4 kh π e π Á = - - = π n Á È E π kh ( πε c ) - m c Ê Í - Á Ë mc Ë Î n h. akad. 004/005 α = e 4πε 0 c E oaz zmienn ą pomocnicz ą ξ = + Dostajemy. mc È α ξ α J / π = Í - k - = n ÍÎ - ξ k Jan Kólikowski Fizyka IVBC 5

16 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd.. akad. 004/005 Pzekształcając dostajemy ξ ξ -ξ = + - α ( ) n k α Ê E = + = ª Ë m c α + ( n + k) ( n + k) ( ) n + k - α α α n 3 Ë k 4 4 Ê ª Oddtwazamy więc wynik Boha z n=n + k mc Z α È Z α n E Ê 3 = n Í n Ë k Î 4 oaz dostajemy popawki wyższego zędu w α Jan Kólikowski Fizyka IVBC 6

17 Wypowadzenie wzou Sommefelda cd. Wpowadzając główną liczbę kwantową n=n +k oaz obitalną liczbę kwantową = k + Dostajemy ostatecznie wzó Boha- Sommefelda. akad. 004/005 ( ) E n, mc Z α È Z α Ê n = n Í n Ë Î + 4 È α n R hc Ê 3 =- + - Í + n 4 Î n Ë + 4 Jan Kólikowski Fizyka IVBC 7

18 . akad. 004/005 II.3.4 Stuktua subtelna wodou dla kilku piewszych n : n=, l = 0 n=, l = 0, E E E 0,, Ï = - + Ó R h c, 0 Ì α 4 Rhc Ï α Ê 3 Rhc Ï 5α =- Ì+ - =- Ì+ Ë Ó 4 4 Ó 6 Rhc Ï α Ê 3 Rhc Ï α =- Ì+ - =- Ì+ Ë Ó 4 4 Ó 6 gdzie R α a = ª ~ cm - Jan Kólikowski Fizyka IVBC 8

19 . akad. 004/005 Stuktua subtelna wodou dla kilku piewszych n cd. n=3, l =0,,: gdzie Rhc Ï α Rhc E Ê3 / Ï α 9 =-, Ì =- Ì Ó 3 Ë 9 Ó 9 4 Rhc Ï α Rhc Ï α E =- + Ê3 - / 3 =- +, Ì 3 4 Ë Ì 3 3 Ó 3 9 Ó 9 4 Rhc Ï α Rhc Ï α E =- + Ê3 - / =- + 3, Ì 3 4 Ë Ì 3 Ó Ó 9 4 Rα a = ª ~ cm Jan Kólikowski Fizyka IVBC 9

20 . akad. 004/005 Stuktua subtelna wodou dla kilku piewszych n cd. Linia H α jest więc dubletem dwóch linii odległych o a ~0.36 cm - (pzejścia do stanów s i p). Każda z tych linii powinna się składać z typletu linii ozszczepionych na poziomie n=3 (stany 3s, 3p, 3d). Rozszczepienie poziomów o n=3 wynosi a 3 /9 ~ 0.00 cm - i jest badzo małe. Napawdę widać 3 silne i słabe linie. Obowiązują bowiem dodatkowe eguły tzw. eguły wybou, któe wymagają, żeby dla silnych linii: =± n - bak oganiczeń Jan Kólikowski Fizyka IVBC 0

21 . akad. 004/005 Stuktua subtelna wodou dla kilku piewszych n cd. E n=3 Boh Stuktua linii H α 3d 3p 3s Sommefeld n= p s Jan Kólikowski Fizyka IVBC