1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

Transkrypt

1 pis treści ymulacja procesów cieplnych Algorytm ME 3 Implementacja rozwiązania 4 Całkowanie numeryczne w ME 3 ymulacja procesów cieplnych Procesy cieplne opisuje równanie różniczkowe w postaci: ( k x (t) t ) + ( k y (t) t ) + ( k z (t) t ) + Q = 0 () z z gdzie k x (t), k y (t), k z (t) to anizotropowe współczynniki przewodzenia ciepła zależne od temperatury, a Q to prędkość generowania ciepła. W Metodzie Elementów kończonych rozwiązanie zagadnienia otrzymujemy poprzez minimalizację funkcjonału odpowiadającego danemu równaniu różniczkowemu. W naszym przypadku funkcjonał będzie następujący: ( k x (t) ( ) t + k y (t) ( ) t + k z (t) ( ) t Qt) d () z W przypadku materiału izotropowego funkcjonał upraszcza się do postaci: ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) k(t) t t t + + Qt d (3) z Aby równanie różniczkowe miało jednoznaczne rozwiązanie należy zadać warunki brzegowe. W przypadku zagadnień cieplnych możliwe są następujące warunki: na powierzchni zadana jest temperatura na powierzchni zadany jest strumień ciepła q zgodnie z prawem konwekcji: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a z = α konw (t t 4) na powierzchni zadany jest strumień ciepła zgodnie z prawem wymiany ciepła przez promieniowanie: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a ( z = σ rad t 4 t 4 ) (5) na powierzchni zadany jest strumień ciepła będący efektem konwekcji i promieniowania: ( t k(t) a x + t a y + t ) z a z = α (t t 6) gdzie α to efektywny współczynnik wymiany ciepła dany wzorem: α = α konw + σ rad ( t t ) (t + t 7)

2 Zadanie warunków brzegowych polega na dodaniu do funkcjonału czynnika: α (t t ) d + qtd (8) gdzie to powierzchnia, na której zadane są warunki brzegowe. Zatem ostatecznie otrzymujemy funkcjonał w postaci: ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) k(t) t t t α + + Qt d + z (t t ) d + qtd (9) Algorytm ME Algorytm rozwiązania zadania za pomocą ME jest następujący: Dyskretyzacja zadania: podział obszaru na elementy skończone, wybór funkcji kształtu Obliczenie składowych lokalnej macierzy sztywności dla każdego elementu skończonego z uwzględnieniem warunków brzegowych Wstawienie lokalnych macierzy sztywności do globalnej macierzy i rozwiązanie układu równań Wizualizacja wyników obliczeń i ich interpretacja 3 Implementacja rozwiązania Pierwszym krokiem do rozwiązania zadania jest dyskretyzacja postawionego problemu. Zajmiemy się problemem cieplnym w przypadku dwuwymiarowym. Dziedzina naszego zadania przedstawiona jest na rysunku: Rysunek : Dziedzina Warunki brzegowe są następujące: Tempeatura początkowa wynosi t 0 = 00 C Temperatura otoczenia wynosi t ot = 00 C Współczynnik przewodzenia ciepła wynosi k=5mk Współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła wynosi α = 000W/m

3 Interpolacja wartości temperatury będzie wykonana za pomocą liniowych funkcji kształtu. Aby zminimalizować funkcjonał liczymy jego pochodne cząstkowe względem temeratury i przyrównujemy do zera. Otrzymamy w ten sposób układ równań: J {t} = ( ( { } { } T { } { } ) ) T k {N} {N} + {N} {N} {t} d + (0) + α ( ) {N} T {t} t {N}d + q {N} d = 0 Po uporządkowaniu równań dostaniemy układ równań linowych w postaci: gdzie: [H = k (t) ( { {N} } { } T {N} + Natomiast wektor prawej strony układu jest równy: {P } = 4 Całkowanie numeryczne w ME [H {t} + {P } = 0 () { } { } ) T {N} {N} d + α{n}{n} T d () α {N} t d + q {N} d (3) Aby utworzyć lokalną macierz pojemności cieplnej dla danego elementu skończonego musimy obliczyć całki: ( { {N} } { } T { } { } ) T {N} {N} {N} I = k (t) + d e (4) e I = α{n}{n} T d e e (5) Do wyznaczenia wartości współrzędnych wektora obciążeń konieczne jest obliczenie: I 3 = α {N} t d e + e q {N} d e e (6) Najpierw zajmijmy się całką I. Wiemy, że: oraz: tąd: Zatem: = + J = [ [ [ [ = J [ = J [ (7) (8) (9) (0) () 3

4 Funkcje kształtu są następujące: A więc: N = 0.5( ξ)( η) N = 0.5( + ξ)( η3) N 3 = 0.5( + ξ)( + η4) N 4 = 0.5( ξ)( + η5) H e ij = = = ( k i e T + i ) d + I = [(J k 00 i + J 0 i J k=0 l=0 [(J k 00 i k + J0 i l J00 + J 0 k + J0 i + J i + J0 l + J 0 i k J 0 + J i l J0 + J k ) detjdηdξ + I = ) + J l detj + I (6) 4

5 Wróćmy teraz do naszego zadania: Rysunek : iatka elementów skończonych oraz warunki brzegowe Węzły ponumerowane są na czarno liczbami arabskimi, natomiast elementy na niebiesko liczbami rzymskimi. Na krawędzi czerwonej zadajemy strumień ciepła, na zielonej wymianę ciepła z otoczeniem. Bok każdego elementu skończonego ma długość. Potrzebne dane do obliczeń: Temperatura początkowa T 0 = 00 o C Temperatura otoczenia T ot = 00 o C Współczynnik przewodzenia ciepła k = 5 Współczynnik wymiany ciepła α = 300W/m trumień ciepła q = 000W Obliczmy teraz dla przykładu element macierzy lokalnej elementu trzeciego (III) o wpółrzędnych H : globalny numer węzła lokalny numer węzła x y ξ η Tabela : Współrzędne globalne i lokalne węzłów elementu trzeciego Numer punktu całkowania x g y g Tabela : Współrzędne punktów całkowania Gaussa dla całek powierzchniowych 5

6 Funkcje kształtu: N 0 (ξ, η) = 0.5( ξ)( η7) 0 (ξ, η) 0 (ξ, η) = 0.5( η8) = 0.5( ξ9) Obliczamy Jacobian dla każdego węzła w elemencie: [ N (ξ, η) = 0.5( + ξ)( η30) (ξ, η) (ξ, η) = 0.5( η3) = 0.5( + ξ3) N (ξ, η) = 0.5( + ξ)( + η33) (ξ, η) (ξ, η) = 0.5( + η34) = 0.5( + ξ35) N 3 (ξ, η) = 0.5( ξ)( + η36) 3 (ξ, η) 3 (ξ, η) = = 0.5( + η37) = 0.5( ξ38) [ 3 i=0 i x i 3 i i=0 x i 3 i i=0 y i 3 i i=0 y i (39) Dla macierzy o wymiarach x macierz odwrotną można bardzo łatwo obliczyć: dla danej macierzy: [ J00 J 0 J 0 J J = [ J J 0 detj J 0 J 00 Obliczamy teraz pochodne funkcji kształtu względem współrzędnych lokalnych i i g i g = i g J00 + i g J0 = i g J0 + i g J i oraz : (40) (4) (4) Teraz już możemy wstawić wyrazy do macierzy lokalnej: ( i H ij = k + i ) detj (43) Wystarczy jeszcze tylko dodać warunki brzegowe, warunki brzegowe nałożone są tylko na niektóre zewnętrzne powierzchnie modelu. Dlatego do macierzy pojemności cieplnej należy dodać wartości całki I tylko w pozycjach, które odpowiadają węzłom, na których 6

7 zadano wymianę ciepła. Wartości tej całki moṅa obliczyć analitycznie. Całkowanie odbywa się po powierzchni elementu (wzdłuż odcinka). Potraktujemy powierzchnie te jak elementy skończone jednowymiarowe z liniowymi funkcjami kształtu: N 0 = ξ N = ξ (44) Wyznacznik jakobianu dla takiego przekształcenia jest równy długości elementu L. A więc: αnn T d e = α( ξ)ξldξ = αl (ξ ξ )dξ (45) e 0 0 CałkĘ tę można obliczyć analitycznie i otrzymamy: 6 αl 6 αl 6 αl 6 αl (46) Pozostaje nam obliczyć składowe wektora obciążeń. Jeżeli w węźle i tym zadano wymianę ciepła z otoczeniem: Jeżeli w węźle i tym zadano strumień ciepła: P [i = αnt d e = e P [i = qnd e = e 0 0 αt ξdξl = 0.5αt L (47) qξldξ = 0.5qL (48) Ostatnim etapem rozwiązania zadania jest wstawienie macierzy lokalnych w odpowiednie pozycje w macierzy globalnej oraz rozwiązanie układu równań. 7