Sterowanie ślizgowe zapewniające zbieżność uchybu w skończonym czasie dla napędu bezpośredniego

Transkrypt

1 Stefan BROCK Politechnika Poznańska, Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej doi:0.599/ Sterowanie ślizgowe zaewniające zbieżność uchybu w skończonym czasie dla naędu bezośredniego Streszczenie. W racy rzedstawiono alikację sterowania ślizgowego o skończonym czasie trwania, nazywanego terminalnym sterowaniem ślizgowym, do naędu bezośredniego. Zaroonowano modyfikacje rawa sterowania, umożliwiające zastosowanie terminalnego ruchu ślizgowego także w rzyadku obiektów z oóźnieniem w torze sterowania. Rozważania teoretyczne zostały zweryfikowane w trakcie badań symulacyjnych z wykorzystaniem dokładnego modelu naędu bezośredniego o złożonej strukturze mechanicznej. Abstract. The aer resents a terminal sliding mode control alication for direct drive. A modified terminal sliding control law is roosed for a system with delays and unmodeled dynamics. Theoretical considerations were verified during simulation tests using an accurate direct drive model with a comlex mechanical structure. (Terminal sliding mode control of direct drive). Słowa kluczowe: terminalne sterowanie ślizgowe, naęd bezośredni, chattering, serwonaęd Keywords: terminal SMC, direct drive, chattering, servo drive Wstę Układy naędowe robotów rzemysłowych i obrabiarek sterowanych numerycznie muszą sełniać wysokie wymagania dotyczące właściwości dynamicznych. Jednym z istotnych wymagań jest odorność układu sterowania. Odorność to zdolność zamkniętego systemu regulacji do utrzymania określonych arametrów dynamicznych omimo nieewności modelowania obiektu regulacji i zakłóceń zewnętrznych. Odorność naędów dla oszczególnych osi obrabiarki lub maniulatora rzemysłowego jest konieczna do eliminacji wzajemnego oddziaływania naędów, oraz zaewnia minimalizację błędów owarzania zadanej trajektorii ruchu. Istotnym arametrem o szerokim zakresie zmienności jest moment bezwładności naędu, zależny na rzykład od masy obrabianego elementu w obrabiarce lub od wzajemnej konfiguracji ramion maniulatora rzemysłowego. Kryterium to jest szczególnie ważne zwłaszcza w rzyadku naędów bezośrednich, w których nie ma rzekładni mechanicznej searującej naędzany mechanizm od silnika elektrycznego. Stosunek bezwładności mechanizmu do bezwładności silnika jest w takich naędach znacznie większy niż w rzyadku naędów z rzekładnią redukcyjną. Stąd też zmiany momentu bezwładności i moment oorowy silniej wływają na zachowanie naędu. Sterowanie ślizgowe to metoda często stosowana w rzyadku naędów elektrycznych, zwłaszcza w rzyadku obiektów niestacjonarnych [, ]. W rzyadku teoretycznym możliwe jest uzyskanie ełnej odorności naędu ze sterowaniem ślizgowym na zmiany arametrów takich jak moment bezwładności i wsółczynnik tarcia oraz na zewnętrzne wymuszenie momentem oorowym. Projektowanie układów sterowania ślizgowego rzebiega w dwóch etaach: w ierwszym rojektowana jest owierzchnia ruchu ślizgowego, w drugim natomiast rawo sterowania zaewniające ruch wektora stanu obiektu o tej owierzchni. W klasycznym odejściu wykorzystywane są liniowe owierzchnie rzełączeń, natomiast zastosowanie nieliniowej owierzchni rzełączeń umożliwia uzyskanie korzystnych właściwości układu sterowania. W racy [3] zaroonowano czasootymalne sterowanie ze zmienną owierzchnią rzełączeń. Inna koncecja została zaroonowana w racy [4]. Metoda, nazwana rzez autorów terminalnym ruchem ślizgowym, olega na takiej definicji owierzchni rzełączeń, w której wystęują niecałkowite otęgi zmiennych stanu. Zaewnia to zbieżność uchybu do zera w skończonym czasie. Celem niniejszej racy jest weryfikacja możliwości zastosowania terminalnego ruchu ślizgowego w sterowaniu naędu bezośredniego. W raktyce w rzyadku idealnego ruchu ślizgowego wystęują zmiany sygnału sterującego o wysokiej częstotliwości (chattering) rowadzące do obudzania wyższych, niemodelowanych modów dynamiki układu. Fizyczne ograniczenia budowy układu naędowego, związane z dyskretną racą układu sterowania, nie douszczają do takiego trybu racy. Dlatego też w wielu racach rzedstawiane są różne metody eliminacji tego zjawiska, rzy zachowaniu możliwie dobrych właściwości naędu [5, 6]. Wśród tych metod można wyróżnić zastęowanie ostrej funkcji rzełączeń funkcją nasycenia, filtrowanie sygnału sterującego, wykorzystanie obserwatorów ślizgowych, rojektowanie układu sterowania z uwzględnieniem ochodnej sygnału sterującego (układy ślizgowe drugiego rzędu) i inne. Koncecja sterowania ślizgowego zaewniającego zbieżność uchybu w skończonym czasie. Analizowany jest układ dynamiczny drugiego rzędu, oisany równaniami: () dx x () dx f ( x) b( x) ud( x, t) T gdzie x x x jest wektorem stanu i u jest skalarnym sygnałem wejściowym. Funkcje f ( x), b( x ) są znane, natomiast składnik d( x, t) oisuje nieznane zakłócenia oraz zmienność arametrów obiektu; znane jest tylko ograniczenie tego składnika: (3) d( x, t) D W rzyadku klasycznego ruchu ślizgowego [, 3, 7] definiuje się owierzchnię rzełączeń sygnału sterowania: (4) x x 0, gdzie 0 określa szybkość zanikania uchybu uogólnionego. Zadaniem układu sterowania jest srowadzenie wektora stanu do oczątku układu wsółrzędnych. Jeżeli wartość x (0) x (0) 0, to w oczątkowa wektora stanu wynosi 4 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06

2 trybie ruchu ślizgowego układ będzie dążył do stanu ustalonego zgodnie z równaniem: (5) (0) t x x e Układ zatem zmierza asymtotycznie do stanu równowagi ze stałą czasową równą i osiągnie go o czasie nieskończenie długim. W racy [8] zaroonowano nową ostać owierzchni rzełączeń w ostaci: (6) x x 0 gdzie, są dobranymi liczbami całkowitymi niearzystymi, sełniającymi warunek. Biorąc od uwagę douszczalny zakres wartości zmiennych stanu, równanie (6) należy zaisać w zmodyfikowanej ostaci (6a) (6a) x x sgn( x) 0 Wystarczającym warunkiem wystąienia ruchu ślizgowego jest, by dla całego zakresu zmienności arametrów i możliwych zakłóceń zaewnić, że ochodna funkcji Launowa V ( x ) sełnia zależność: d d d (7) V ( x ) dla dodatniej stałej. Zaroonowane zostało rawo sterowania wyrażone wzorem: (8) u b ( x) f( ) x x xsgn( x) Lsgn( ) Niech x 0. Po odstawieniu rawa sterowania (8) do równań obiektu (,) ochodną uchybu uogólnionego (6) można zaisać w ostaci: (9) dx x x d f ( x) b( x) ud( x, t) x x d( x, t) Lsgn( ) Warunek (7) jest zatem sełniony, jeżeli amlituda części rzełączającej zostanie dobrana tak, by: (0) L d( x, t) W trybie ruchu ślizgowego układ dąży do stanu ustalonego zgodnie z równaniem: () x x Czas trwania ruchu, od warunków oczątkowych x (0) do osiągnięcia unktu (0,0), jest skończony i oisany wzorem: () t s x (0) Eliminacja osobliwości w rawie sterowania W rzeczywistym układzie sterowania możliwa jest sytuacja, w której x 0 i x 0. Stan taki nie wystęuje w idealnym ruchu ślizgowym oisanym równaniem (6), może jednak wystąić w fazie dojścia do owierzchni ślizgowej lub też w trakcie ruchu ślizgowego na skutek błędów związanych z dyskretyzacją omiarów zmiennych. W takim rzyadku składnik rawa sterowania x x wnosi wartość dążącą do nieskończoności. Może to wywołać oscylacje i niestabilność w układzie sterowania. Dla wyeliminowania tej osobliwości zaroonowana została zmodyfikowana owierzchnia rzełączeń [9] (3) x sgn( x) x 0 W trakcie ruchu ślizgowego równanie (3) jest równoważne z równaniem (6a). Modyfikacja wykorzystana w (3) umożliwia jednak wrowadzenie rawa sterowania (4) (4) u b ( x) f( x ) x sgn( x) Lsgn( ) Podobna analiza stabilności ruchu ślizgowego jak w (9) ozwala na zaisanie d dx x x x f b u d t x (, ) sgn( ) x d x t L (5) ( x) ( x) ( x, ) Gdy oraz gdy L dobrane jest zgodnie z wzorem (0) to warunek (5) jest sełniony. Prawo sterowania (4) eliminuje osobliwość wystęującą w rawie sterowania (8) i zaewnia rzy tym tą samą trajektorię ślizgową. Modyfikacja owierzchni ślizgowej Powierzchnia ślizgowa oisana równaniami (6) lub (3) nie zaewnia ograniczenia zakresu zmiennych stanu. Natomiast w raktycznych alikacjach naędowych konieczne jest na rzykład ograniczenie rędkości, do której rozędza się układ wykonawczy. Dlatego też zaroonowana została modyfikacja owierzchni sterowania zgodnie z zależnością: x x sgn( x ) gdy x x (6) x sgn( x ) x gdy x x Sełnienie warunku ruchu ślizgowego 0 dla owierzchni ślizgowej zdefiniowanej równaniem (6) zaewnia ruch z rędkością x w większej odległości od oczątku układu wsółrzędnych. Punkt rzełączenia wyznaczany jest w miejscu rzecięcia charakterystyk. W trakcie ruchu ze stałą rędkością x sgn( x) rawo sterowania (4) redukuje się do ostaci: (7) u b ( x) f ( x ) Lsgn( ) W układach sterowania naędem elektrycznym konieczne jest uwzględnienie oóźnienia wrowadzanego rzez bloki dyskretnego rzetwarzania algorytmu sterowania, bloki filtracji sygnałów omiarowych i zamknięty układ regulacji siły lub momentu obrotowego. Takie PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06 5

3 oóźnienie w obwodzie sterowania ogranicza douszczalne wzmocnienie. Dla ruchu o owierzchni ślizgowej oisanej równaniem (6) można wyznaczyć wzmocnienie rędkościowe toru regulacji: (8) x x x x Dla bliskich zeru wartości x wyrażenie (8) dąży do nieskończoności. W zamkniętym układzie regulacji z oóźnieniami tak duże wzmocnienie dorowadzi do owstania drgań niegasnących. Dlatego też zaroonowano ograniczenie wzmocnienia rędkościowego dla małych wartości zmiennej x. Zmodyfikowana owierzchnia ślizgowa ma zatem ostać: (9) x x x x x sgn( x) gdy min l x, x x x sgn( x) x gdy min l x, x l l x gdy min x, x Wartość nachylenia liniowej części owierzchni ślizgowej l została dobrana tak, by wyeliminować drgania dla małych wartości zmiennej x. W tym zakresie rawo sterowania będzie miało ostać: (0) u b ( x) f ( x ) x Lsgn( ) Na rysunku rzedstawione zostały składowe owierzchni ślizgowej oisane równaniem (9). Górna część rysunku ilustruje owierzchnie dla zakresu ruchu naędu od 5 rad do 0, natomiast dolna rzedstawia owiększenie w obliżu oczątku układu wsółrzędnych. Eliminacja szybkich rzełączeń sygnału sterującego Prawa sterowania oisane równaniami (4, 7, 0) zawierają składnik zależny od znaku uogólnionego uchybu. W trybie ruchu ślizgowego składnik ten rzełącza się z nieskończenie dużą częstotliwością, gwarantując oruszanie się wektora stanu obiektu o owierzchni ślizgowej. W układzie rzeczywistym częstotliwość tych rzełączeń jest ograniczona rzez oóźnienia wystęujące w obiekcie, co rowadzić może do utraty możliwości utrzymania wektora stanu na zadanej owierzchni [7]. Zastosowanie szybko zmiennego sygnału sterującego obudza także niemodelowane mody drgań obiektu, co jest niekorzystne z unktu widzenia dokładności ruchu i trwałości urządzenia. W imlementacjach sterowania ślizgowego często zastęuje się nieciągły składnik rawa sterowania ciągłą aroksymacją. Stosowana na rzykład jest funkcja nasycenia, zdefiniowana zgodnie z równaniem () () sat( ) sgn( ) l gdy gdy Rys.. Składowe owierzchni ślizgowej Funkcja sat() wyznacza asmo o szerokości o obu stronach owierzchni rzełączeń, w którym nieciągły składnik rawa sterowania zastęowany jest rzez składnik roorcjonalny do uogólnionego uchybu. Badania rzedstawione w [7] nie wykazały istotnych zalet roonowanych w literaturze nieliniowych aroksymacji funkcji sgn() w stosunku do funkcji sat(). Należy rzy tym zwrócić uwagę, że zastąienie funkcji sgn() rzez funkcję sat() wrowadza skończone wzmocnienie w układzie regulacji. Z unktu widzenia stabilności istotne jest rzy tym łączne, wyadkowe wzmocnienie w torze regulacji, określone rzez szerokość strefy aroksymacji oraz nachylenie owierzchni ślizgowej l [7]. Warunki rzełączeń omiędzy oszczególnymi segmentami owierzchni ślizgowej (9) i odowiadającymi im rawami sterowania (4, 7, 0) zaewniają bezuderzeniową zmianę struktury układu sterowania tylko w rzyadku idealnego ruchu ślizgowego, gdy wektor stanu znajduje się na zdefiniowanej owierzchni ślizgowej. Jednak zastąienie w rawach sterowania funkcji sgn() rzez ciągłą aroksymację sat() owoduje, że wektor stanu orusza się w ewnej odległości 0 od owierzchni ślizgowej. W takim rzyadku rzełączenie struktury sterowania wiązać się będzie z duża, skokową zmianą sygnału sterującego, nieożądaną w układzie raktycznym. Zaroonowano częściowe ograniczenie tego efektu orzez dynamiczną zmianę szerokości strefy aroksymacji min od wartości maksymalnej do minimalnej. Wartość maksymalna szerokości rzyjmowana jest w momencie zmiany owierzchni ślizgowej (9), a nastęnie jest ona wykładniczo zmniejszana, zgodnie z wzorem () do wartości minimalnej, gwarantującej orawną racę rzy eliminacji szybkich rzełączeń sygnału sterującego: e min min tt () Szybkość zmian szerokości aroksymacji, określona rzez T, została dobrana ekserymentalnie. Stanowisko laboratoryjne Badania symulacyjne zostały rzerowadzone na modelu stanowiska naędu bezośredniego z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych. Rysunek rezentuje schemat funkcjonalny stanowiska, rzedstawionego dokładnie we wcześniejszych racach [, 6, 7]. Silnik obciążony jest zestawem mechanicznym, złożonym z łyt montowanych o obu stronach wału oraz z tarczy hamulcowej wraz z zaciskami. Silnik jest zasilany z rzekształtnika naięcia MSI i sterowany rzez sterownik DSP. 6 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06

4 Rys.. Schemat funkcjonalny stanowiska laboratoryjnego Rys.3. Przeływ sygnałów w modelu symulacyjnym Zaimlementowane orogramowanie realizuje zadanie sterowania wektorowego z szybkimi regulatorami PI składowych czynnej i biernej rądu. Sygnał czynnego rądu zadanego wyznaczany jest rzez analizowany w racy regulator ołożenia i rędkości. Chwilowe ołożenie wału silnika mierzone jest za omocą rzetwornika obrotowo imulsowego, i z tego sygnału wyliczana jest wartość rędkości. Dla wyeliminowania drgań rezonansowych zesołu mechanicznego zastosowano cyfrową filtrację w torze wyznaczania rędkości [7]. Zidentyfikowane arametry stanowiska laboratoryjnego zostały wykorzystane do syntezy modelu symulacyjnego naędu. W modelu tym uwzględniono: dyskretny charakter racy regulatora wielkości mechanicznych, zastęczy model układu regulacji momentu, zawierający oóźnienie i inercję, złożoną wielomasową strukturę obciążenia mechanicznego oraz skwantowany omiar ołożenia kątowego wału silnika. Prędkość obrotowa, wyznaczona na odstawie dyskretnego omiaru ołożenia, oddawana jest filtracji cyfrowej eliminującej wływ właściwości rezonansowych obciążenia mechanicznego (rys. 3). Badania symulacyjne Dla zweryfikowania orawności rzedstawionej analizy teoretycznej rzerowadzono zestaw testów symulacyjnych. Zarojektowany został ślizgowy regulator ołożenia naędu bezośredniego. Jako wektor stanu obiektu oisanego równaniami (,) rzyjęto ołożenie i rędkość silnika d (3) (4) d kˆ f kt ref i d Jˆ Jˆ gdzie estymowany moment bezwładności układu Ĵ jest średnią geometryczną z zakresu zmienności momentu bezwładności naędu: (5) min Ĵ J J natomiast k ˆf to estymowany wsółczynnik tarcia wiskotycznego, równy ołowie maksymalnego wsółczynnika tarcia w obiekcie. Składnik d oisuje wływ momentu oorowego oraz zastęczy efekt zmienności momentu bezwładności i wsółczynnika tarcia w rzyjętym zakresie. Sosób wyznaczenia zakresu D zmienności składnika d rzedstawiono w racy []. Sygnałem ref sterującym jest rąd zadany w osi naędu i, ref roorcjonalny do zadanego momentu obrotowego T m. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06 7

5 Wszystkie badania wykonano dla takiego samego testu: skokowa zmiana ołożenia zadanego od wartości oczątkowej 8 radianów do zera. Przyjęto ograniczenie rędkości obrotowej w trakcie racy naędu równe 0 rad/s. W ierwszym etaie badań do badań rzyjęto rzyadek o najmniejszym momencie bezwładności. Z uwagi na największe wzmocnienie obiektu, rzyadek ten wyznacza zakres stabilnej racy naędu. Zaimlementowane zostało rawo sterowania zgodnie z równaniem (6a). Zastosowano rzy tym funkcję nasycenia sat() oraz owierzchnię ślizgową oisaną analogicznie do wzoru (6). Wyniki badań rzedstawiono na rysunku 4. naędu bezośredniego o złożonej, wielomasowej strukturze mechanicznej takie oscylacje zadanego momentu obrotowego mogą rowadzić do wzbudzenia drgań wysokiej częstotliwości, negatywnie wływających na jakość regulacji i trwałość mechanizmu. Dlatego też wskazane jest ich wyeliminowanie. W tym celu w trzecim etaie badań zastosowano zmodyfikowaną owierzchnię ślizgową (9) i odowiednio rawo sterowania rzełączane w oszczególnych fazach ruchu (4, 7, 0). Wyniki testów dla najmniejszej rzyjętej bezwładności naędu rzedstawione są na rysunku 6. Rys.4. Badania rawa sterowania klasycznego terminalnego ruchu ślizgowego Ponieważ w rzeczywistej imlementacji układu ślizgowego wystęują sytuacje, w których zmierzone ołożenie jest równe zeru i jednocześnie rędkość jest niezerowa, rawo sterowania (8) wrowadza sygnały sterującej o bardzo dużej amlitudzie i dużej częstotliwości rzełączeń. Taki stan racy jest niedouszczalny w układzie raktycznym. Należy rzy tym zauważyć, że zwiększanie szerokości w funkcji sat() rowadziło do ogorszenia jakości śledzenia owierzchni ślizgowej, nie eliminując rzy tym szybkich rzełączeń w trakcie ostoju naędu. Rys.6. Badania rawa sterowania terminalnego ruchu ślizgowego z fazą liniową Dla tak zarojektowanego układu regulacji nie zaobserwowano drgań rądu zadanego, a czas regulacji uległ tylko nieznacznemu wydłużeniu w stosunku do terminalnego ruchu ślizgowego trwającego aż do zatrzymania naędu. W drugiej części badań symulacyjnych rzetestowano odorność zarojektowanego układu regulacji. Przerowadzono testy dla niesymetrycznego obciążenia mechanizmu oraz dla maksymalnego momentu bezwładności. Niesymetryczne obciążenie wniosło do układu grawitacyjny moment oorowy rzy średnim momencie bezwładności. Wyniki testu zamieszczone są na rysunku 7. Układ zachowuje się rawidłowo, a rzebiegi rędkości i ołożenia są zbliżone do rzebiegów dla układu o małej bezwładności z rysunku 6. Widoczna różnica wystęuje tylko w trakcie fazy ruchu o stałej rędkości, onieważ zastosowanie zamiast funkcji sgn() funkcji sat() w rawie ruchu sterowania owoduje, że wektor stanu nie ślizga się dokładnie o zadanej owierzchni ślizgowej. Ostatni z rezentowanych testów wykonano dla rzyadku maksymalnego momentu bezwładności, a rzebiegi sygnałów zostały rzedstawione na rysunku 8. Rys.5. Badania rawa sterowania zmodyfikowanego terminalnego ruchu ślizgowego W drugim etaie badań zastosowano zmodyfikowane rawo sterowania (4), w którym wyeliminowano unkty osobliwości matematycznej. Dla testowanego rzyadku uzyskano zadawalające rzebiegi, rzedstawione na rysunku 5. Dokładniejsza analiza wskazuje jednak na ojawienie się drgań niegasnących wokół oczątku układu wsółrzędnych. Sowodowane są one zbyt dużym wzmocnieniem rędkościowym w obliżu uchybu ołożenia równego zero. Z uwagi na oóźnienia w torze regulacji takie wzmocnienie rowadzi do utraty stabilności. W układzie Rys.7. Badania naędu o średniej bezwładności i dużym momencie oorowym. 8 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06

6 W rzebiegu fazy ruchu ze stałą rędkością można zauważyć, że odchylenia od zadanej rędkości zmniejszają się. Jest to wynikiem zastosowanej modyfikacji szerokości strefy liniowej w funkcji sat(), zgodnie z wzorem (). Dla ilustracji, na rysunku 0 rzedstawiono zmienność dla rzyadku o maksymalnej bezwładności z rysunku 8. Umożliwiło to wyeliminowanie skokowych zmian rądu zadanego w trakcie rzełączania rawa sterowania. Rys.8. Badania naędu o maksymalnej bezwładności.. Podsumowanie W racy rzedstawiono imlementację zmodyfikowanej metody terminalnego ruchu ślizgowego dla sterowania naędu bezośredniego. Z uwagi na warunki stabilnej racy układu regulacji dla obiektu z oóźnieniem konieczne było zastosowanie ciągłej aroksymacji nieciągłego składnika rawa sterowania oraz zastąienie nieliniowej owierzchni ślizgowej rzez odcinek liniowy o stałym nachyleniu w otoczeniu zerowego uchybu ołożenia. Przedstawione wnioski każą krytycznie ocenić analizowaną metodę sterowania w odniesieniu do naędów ze złożoną struktura mechaniczną. Z zakresu sterowania ślizgowego leszymi właściwościami charakteryzują się na rzykład metoda zmiennej owierzchni rzełączeń [3] oraz metoda z modelem wzorcowym [7]. Warto jednak zaznaczyć, że z zakresu terminalnego sterowania ślizgowego ublikowane są nowe race, na rzykład [0] eliminująca chattering bez konieczności stosowania aroksymacji funkcji nieciągłej w rawie sterowania. Dlatego też rzedstawiony temat jest otwarty i aktualny Autor: dr hab. inż. Stefan Brock, Politechnika Poznańska, Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej, ul. Piotrowo 3a, Poznań, Stefan.Brock@ut.oznan.l Rys.9. Trajektorie fazowe w trakcie terminalnego ruchu ślizgowego z ograniczeniem rędkości i fazą liniową hamowania Rys.0. Zmienność szerokości strefy liniowej funkcji sat() Dla orównania rzedstawionych testów na rysunku 9 zbiorczo wyrysowano trajektorie fazowe. Istotne różnice wystęują tylko w fazie rozędzania, nieobjętej ruchem ślizgowym. W fazie ruchu ze stałą rędkością widoczne są odchyłki wywołane momentem grawitacyjnym dla wariantu o średnim momencie bezwładności. Wyraźnie widoczna jest także faza hamowania oczątkowo o trajektorii nieliniowej, a w końcowym odcinku o trajektorii liniowej. LITERATURA [] Utkin V., Gulder J., Shijun M., Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. CRC 999. [] Brock S., Sliding mode controller for direct drive with dry friction, Przegląd Elektrotechniczny, 85 (009), nr 7, 5-9 [3] Bartoszewicz A., Nowacka-Leverton A., Time-Varying Sliding Modes for Second and Third Order Systems. Sringer 009 [4] Venkataraman S.T., Gulati S., Terminal sliding modes: a new aroach to nonlinear control synthesis, 9 ICAR., Fifth International Conference on Advanced Robotics. Robots in Unstructured Environments 99, vol., [5] Utkin V., Lee H., Chattering Problem in Sliding Mode Control Systems, IEEE International Worksho on Variable Structure Systems, VSS 006, [6] Brock S., Sliding mode control of a ermanent magnet direct drive under non-linear friction, COMPEL: The International Journal for Comutation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 30 (0), n.3, [7] Brock S., Struktury odornego sterowania elektrycznego naędu bezośredniego z wykorzystaniem koncecji sterowania ślizgowego, Wydawnictwo Pol. Poznańskiej 03 [8] Yu X., Man Z., On finite time mechanism: terminal sliding modes. Variable Structure Systems, VSS 96. Proceedings, [9] Feng Y., Yu X., Man Z., Non-singular terminal sliding mode control of rigid maniulators. Automatica., 38 (00), n., [0] Liu J., Wang X., Advanced Sliding Mode Control for Mechanical Systems Sringer Berlin 0 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 5/06 9