Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB"

Transkrypt

1 Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych warunków pracy. Zagadnienie inżynierskie sprowadzono do ustalonego, dwuwymiarowego pola temperatury z wewnętrznymi źródłami. Obliczenia wykonano przy użyciu metody elementów brzegowych, z pośrednią dyskretyzacją obszaru do wyznaczania całek obszarowych. Wewnętrzne źródła ciepłe przewody grzejne są opisane jako źródło ciepła dodatnie, natomiast moc cieplna oddawana przez płytę grzejną do otoczenia źródła ujemne. Uzyskanie jednolitego pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej podczas pracy instalacji centralnego ogrzewania wpływa na komfort użytkowania pomieszczenia. Na etapie projektowania instalacji c.o. znane jest zapotrzebowanie na moc cieplną poszczególnych pomieszczeń. Instalatorzy dobierają długość elementów grzejnych w odniesieniu do powierzchni ogrzewanej, uwzględniając zagęszczenie przewodów w strefach, gdzie jest wzmożona wymiana ciepła. Istnieje możliwość przewymiarowania lub niedoszacowania mocy cieplnej grzejnika podłogowego dla poszczególnych stref grzewczych, co może powodować wyczuwalne różnice temperatur na poszczególnych powierzchniach grzewczych. Przy wykorzystaniu symulacji komputerowych istnieje możliwość na etapie wykonywania projektu zoptymalizowania pracy płyty grzejnej, zwłaszcza w narożach ścian, przy przegrodach zewnętrznych. Przedstawiona w artykule symulacja przedstawia pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej. Problem inżynierski sformułowano jako ustalone, zagadnienie płaskie, w których działają wewnętrzne źródła ciepła: źródła dodatnie elektryczne przewody grzejne oraz źródła ujemne moc cieplna oddawana przez płytę grzejną do otoczenia. Zagadnienie rozwiązano przy użyciu metody brzegowych równań całkowych z pośrednią dyskretyzacją obszaru. Przedstawiono przykładowe pola temperatury dla wybranych warunków pracy płyty grzejnej. Równania opisujące ustalone pole temperatury w obszarze płaskim dla rozpatrywanego zagadnienia. Równania różniczkowe opisujące ustalone pole temperatury w obszarze płaskim. Warunki brzegowe. W zagadnieniu przyjęto, że procesy przewodzenia ciepła są bliskie stanom ustalonym oraz w układzie występują wewnętrzne źródła ciepła. Dwuwymiarowe, ustalone pole temperatury z wewnętrznymi źródłami q υ opisane jest równaniem różniczkowym Poisson a: Zagadnienia brzegowe dla równań różniczkowych opisujących procesy ustalonego przewodzenia

2 ciepła formułuje się w postaci [1]: warunku brzegowego I rodzaju warunek Dirichleta zakładającego na brzegu obszaru wartości temperatury, warunku brzegowego II rodzaju warunek Neumanna zakładającego na brzegu obszaru wartości strumienia ciepła, Rys. 1. Szkic do rozważań zagadnień brzegowych w jednospójnym obszarze płaskim warunku brzegowego III rodzaju warunek Robina opisującego równość strumienia ciepła na brzegu obszaru dopływającego z wnętrza obszaru i strumienia ciepła przejmowanego przez medium otaczające rozważany obszar. Zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej R 2 Zagadnienie brzegowe drugiego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej R 2 Zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej R 2

3 Brzegowe równania całkowe opisujące ustalone przewodzenie ciepła w przestrzeni dwuwymiarowej Przy założeniu, że w obszarze płaskim (Λ) ograniczonym zamkniętą krzywą (L) (rys. 1) na części powierzchni są zadane wartości temperatury opisane warunkiem brzegowym (2), natomiast na części powierzchni są zadane wartości strumienia ciepła opisane warunkiem brzegowym (3) całkowe równanie opisujące ustalone pole temperatury na brzegu obszaru ma postać [2]: gdzie jądra całkowe (rozwiązania podstawowe) KT(p, q) i KQ(p, q) mają postać:

4 Współczynnik χ(p) jest zale żny od krzywizny krzywej (L) punkcie (p) i dla gładkiego fragmentu brzegu jest równy χ(p) = 1/2. Po wyznaczeniu niewiadomych wartości T(p) i q(p) odpowiednio na częściach linii brzegowej (Lf) i (Lg) przez rozwiązanie równania całkowego (5) temperaturę T(u) w dowolnym punkcie (u) obszaru płaskiego(λ) można wyznaczyć ze związku: Wyznaczanie całek po wnętrzu obszaru W rozpatrywanym zagadnieniu występuje całka po wnętrzu obszaru (7).

5 Dyskretyzacja podlega również wnętrze obszaru płaskiego. W celu uniknięcia dyskretyzacji wnętrza obszaru zastosowano pośrednią dyskretyzację obszaru. Podstawą proponowanej metody w rozwiązywaniu całek po obszarze płaskim (lub przestrzennym) jest założenie, że narożami płaskich powierzchni cząstkowych (trójkątów) lub objętości cząstkowych (ostrosłupów) są punkty wyznaczające panele i punkty kolokacji na panelach. Korzystając z brzegowych punktów paneli i punktów kolokacji można dokonać dyskretyzacji wnętrza zarówno obszaru płaskiego jak i przestrzennego [3]. Rys. 2. Zasada dyskretyzacji wnętrza obszaru płaskiego (Λ) przy wykorzystaniu brzegowych punktów kolokacji Obszar płaski o wypukłym brzegu można podzielić na dowolną ilość płaskich powierzchni cząstkowych, z których każda jest trójkątem, którego wierzchołki leżą na linii brzegowej. Przy założeniu, że jeden wierzchołek wszystkich trójkątów jest wierzchołkiem wspólnym, suma pól powierzchni cząstkowych jest równa powierzchni zdyskretyzowanego obszaru płaskiego (rys. 2.). Dla dwuwymiarowego, ustalonego przewodzenia ciepła, przyjmując, że na powierzchniach cząstkowych o wspólnym wierzchołku na elemencie [i] wartość funkcji qυ(p [i] ) opisujących pole źródłowe w obrębie danej powierzchni obszaru jest stała, całkę (7) można zapisać w postaci [3]:

6 Numeryczne rozwiązanie równań całkowych Zastępując powierzchnię brzegową (S) układem (J) powierzchni cząstkowych i przyjmując, że wartości funkcji i w obrębie każdej powierzchni cząstkowej mają stałą wartość równanie całkowe (5) można sprowadzić do układu algebraicznych równań liniowych (J): gdzie (K) jest liczbą podobszarów elementarnych wyodrębnionych w obszarze (Ω). Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej Wyznaczyć pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych przypadków ułożenia przewodów grzejnych. W celu wizualizacji wyników rozwiązania zagadnienia pola temperatury pokazano przypadek dla mniejszej ilości przewodów grzejnych. Moc przewodów grzejnych przyjęto w wysokości 7,5 W/mb. Moc cieplna oddawana z powierzchni grzejnej do otoczenia przyjęto w wysokości 60 W/m2. Warunki brzegowe przyjęto następujące: na krawędzi lewej i górnej przyjęto temperaturę przegrody równą 18 o C, na krawędzi prawej i dolnej przyjęto temperaturę przegrody równą 20 o C.

7 Na zdjęciu przedstawionym na rys. 3c widoczna jest wzmożona wymiana ciepła w rogu pomieszczenia oraz zdecydowanie wyższa temperatura posadzki z obniżoną temperaturą w narożu. Rys. 3a. Ułożenie przewodów grzejnych Rys. 3b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla jednego przewodu grzejnego (szkic rys. 3a) Rys. 3c. Zdjęcie kamerą termowizyjną naroża pomieszczenia, w którym źródłem ciepła jest ogrzewanie podłogowe

8 Rys. 4a. Ułożenie przewodów grzejnych Rys. 4b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla kilku przewodów (szkic rys. 4a) Rys. 5b. Pole temperatury Rys. 5a. Przesunięte na powierzchni płyty grzejnej przewody grzejne w dla kilku przewodów (szkic stosunku do układu z rys. 5a) Skala barw dla rys. rysunku 4a 4b i 5b identyczna Rys. 6a. Zmniejszenie ilości przewodów grzejnych oddalenie od przegrody ze źródłem ciepła Rys. 6b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla rys 6a Skala barw dla rys. 4b, 5b oraz 6b identyczna

9 Rys. 7b. Pole Rys. 7a. Zmniejszenie temperatury na ilości przewodów powierzchni płyty grzejnej grzejnych oddalenie od dla rys 6a Skala barw dla przegrody ze źródłem rys. 4b, 5b, 6b oraz 7b ciepła identyczna Wnioski Wyniki obliczeń numerycznej symulacji przedstawiają pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla kilku wybranych przypadków. Komputerowa symulacja, przy wykorzystaniu metody elementów brzegowych pola temperatury pozwala na optymalne zaprojektowanie trasy przewodów grzejnych, tak by temperatura posadzki nie przekraczała wartości dopuszczalnej związanej z wymaganiami komfortu cieplnego i jednocześnie jej rozkład był jak najbardziej równomierny. Dotyczy to zwłaszcza stref, gdzie jest wzmożona wymiana wzrost zapotrzebowania na moc cieplną, na przykład strefy przy drzwiach, oknach lub narożach przegród zewnętrznych. Sposób wyznaczania nieustalonego pola temperatury w przekroju poprzecznym płyty grzejnej metodą elementów brzegowych został opisany w artykule [4] Symulacja pola temperatury w płycie grzejnika podłogowego metodą brzegowych równań całkowych [4]. Obliczenia wykonano własnym programem autorskim w języku programowania Fortran przy użyciu kompilatora firmy Intel. LITERATURA [1] Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary Element Techniques. Theory and Applications in Engineering. Springer-Verlag NY [2] Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła, Wyd. Pol. Częstochowskiej [3] Piotr Rynkowski, Tomasz Janusz Teleszewski, Numeryczne modelowanie procesów przewodzenia ciepła w obiektach z wewnętrznymi źródłami Metodą Elementów Brzegowych z Pośrednią Dyskretyzacją Obszaru, XIII Warsztaty Naukowe PTSK Symulacja w Badaniach i Rozwoju, Kazimierz Dolny n/wisłą [4] Rynkowski Piotr, Teleszewski Tomasz, Symulacja pola temperatury w płycie grzejnika podłogowego metodą brzegowych równań całkowych, XIV Warsztaty Naukowe PTSK, Symulacja w Badaniach i Rozwoju, Krynica-Zdrój [5] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P.: Numerical Recipes Cambridge University Press Third ed

10 Autor: dr inż. Tomasz Janusz TELESZEWSKI, dr inż. Piotr RYNKOWSKI Politechnika Białostocka, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska; Katedra Ciepłownictwa, Białystok

Modelowanie przepływu ciepła w przegrodach z instalacjami ciepłej wody użytkowej metodą brzegowych równań całkowych

Modelowanie przepływu ciepła w przegrodach z instalacjami ciepłej wody użytkowej metodą brzegowych równań całkowych Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol., No. /011 Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Piotr RYNKOWSKI Politechnika Białostocka, WBiIŚ, ul.wiejska 45E, 15-351 Białystok E-mail: t.teleszewski@pb.edu.pl, rynkowski@pb.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WYMIANY CIEPŁA OŻEBROWANEJ PŁYTY GRZEWCZEJ Z OTOCZENIEM

ANALIZA WYMIANY CIEPŁA OŻEBROWANEJ PŁYTY GRZEWCZEJ Z OTOCZENIEM Wymiana ciepła, żebro, ogrzewanie podłogowe, komfort cieplny Henryk G. SABINIAK, Karolina WIŚNIK* ANALIZA WYMIANY CIEPŁA OŻEBROWANEJ PŁYTY GRZEWCZEJ Z OTOCZENIEM W artykule przedstawiono sposób wymiany

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej

Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej Katedra Silników Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej - - Wstęp teoretyczny Jednym ze sposobów wymiany ciepła jest przewodzenie.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE PROCESÓW ENERGETYCZNYCH Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: specjalności obieralny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE OKRĄGŁEGO OŻEBROWANIA RUR GRZEWCZYCH W OGRZEWANIU PODŁOGOWYM

ZASTOSOWANIE OKRĄGŁEGO OŻEBROWANIA RUR GRZEWCZYCH W OGRZEWANIU PODŁOGOWYM Karolina WIŚNIK, Henryk Grzegorz SABINIAK* wymiana ciepła, żebro okrągłe, ogrzewanie podłogowe, gradient temperatury, komfort cieplny ZASTOSOWANIE OKRĄGŁEGO OŻEBROWANIA RUR GRZEWCZYCH W OGRZEWANIU PODŁOGOWYM

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą

Zwój nad przewodzącą płytą Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której

Bardziej szczegółowo

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu I. Część teoretyczna Ciepło jest formą przekazywana energii, która jest spowodowana różnicą temperatur (inną formą przekazywania energii

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Podstawy procesów przepływowych Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: obieralny specjalności Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Fundamentals of modeling of fluid flow processes Forma

Bardziej szczegółowo

R = 0,2 / 0,04 = 5 [m 2 K/W]

R = 0,2 / 0,04 = 5 [m 2 K/W] ZADANIA (PRZYKŁADY OBLICZENIOWE) z komentarzem 1. Oblicz wartość oporu cieplnego R warstwy jednorodnej wykonanej z materiału o współczynniku przewodzenia ciepła = 0,04 W/mK i grubości d = 20 cm (bez współczynników

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych

Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych Spis treści Wykaz ważniejszych oznaczeń u Przedmowa 15 Wprowadzenie 17 1. Ruch falowy w ośrodku płynnym 23 1.1. Dźwięk jako drgania ośrodka sprężystego 1.2. Fale i liczba falowa 1.3. Przestrzeń liczb falowych

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA 1 PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA dla budynku mieszkalnego Budynek oceniany: Nazwa obiektu Zdjęcie budynku Adres obiektu Całość/ część budynku Nazwa inwestora Adres inwestora Kod, miejscowość

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. W programie COMSOL multiphisics 3.4 Wykonali: Łatas Szymon Łakomy Piotr Wydzał, Kierunek, Specjalizacja, Semestr, Rok BMiZ, MiBM, TPM, VII, 2011 / 2012 Prowadzący: Dr hab.inż.

Bardziej szczegółowo

4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE

4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE 4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE WYTYCZNE PROJEKTOWE www.immergas.com.pl 26 SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE 4. SPRZĘGŁO HYDRAULICZNE - ZASADA DZIAŁANIA, METODA DOBORU NOWOCZESNE SYSTEMY GRZEWCZE Przekazywana moc Czynnik

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wykorzystanie pakietu MARC/MENTAT do modelowania naprężeń cieplnych Spis treści Pole temperatury Przykład

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Metoda superpozycji - rozwiązanie obwodu elektrycznego.

Metoda superpozycji - rozwiązanie obwodu elektrycznego. Metoda superpozycji - rozwiązanie obwodu elektrycznego. W celu rozwiązania obwodu elektrycznego przedstawionego na rysunku poniżej musimy zapisać dla niego prądowe i napięciowe równania Kirchhoffa. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Ćw. 1. BADANIE PRZEBIEGÓW NAGRZEWANIA SIĘ I STYGNIĘCIA PRZEWODÓW PRZY OBCIĄŻENIU PRZERYWANYM

Ćw. 1. BADANIE PRZEBIEGÓW NAGRZEWANIA SIĘ I STYGNIĘCIA PRZEWODÓW PRZY OBCIĄŻENIU PRZERYWANYM Ćw. 1. BADANIE PRZEBIEGÓW NAGRZEWANIA SIĘ I SYGNIĘCIA PRZEWODÓW PRZY OBCIĄŻENIU PRZERYWANYM 1. Wprowadzenie 1.1. Wiadomości podstawowe W eksploatacji urządzeń elektroenergetycznych i ich elementów, a do

Bardziej szczegółowo

KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 200 λ 33 PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 200)

KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 200 λ 33 PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 200) KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 200 λ 33 PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 200) Płyty styropianowe KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 200 λ 33 oznaczane są poniższym kodem wg normy EN 13163:2012+A1:2015

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Temperatury na klatkach schodowych i w korytarzach

Temperatury na klatkach schodowych i w korytarzach Temperatury na klatkach schodowych i w korytarzach Temperatury klatek schodowych, podane w aktach prawnych, wahają się w dużych granicach i stąd prawidłowe ich dobranie w obliczeniach zapotrzebowania ciepła

Bardziej szczegółowo

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Informatyzacja i Robotyzacja Wytwarzania Semestr 7 PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

FDS 6 - Nowe funkcje i możliwości: Modelowanie instalacji HVAC część 2 zagadnienia hydrauliczne

FDS 6 - Nowe funkcje i możliwości: Modelowanie instalacji HVAC część 2 zagadnienia hydrauliczne FDS 6 - Nowe funkcje i możliwości: Modelowanie instalacji HVAC część 2 zagadnienia hydrauliczne Wstęp W poprzednim odcinku zaprezentowany został sposób modelowania instalacji wentylacyjnych. Możliwość

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA 1 PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA dla budynku mieszkalnego nr LK&642 Budynek oceniany: Nazwa obiektu Zdjęcie budynku Adres obiektu Całość/ część budynku Nazwa inwestora Adres inwestora Kod, miejscowość

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze

Bardziej szczegółowo

KRAWĘDŹ G wartość temperatury w węzłach T=100 C; KRAWĘDŹ C wartość strumienia cieplnego q=15,5 W/m^2;

KRAWĘDŹ G wartość temperatury w węzłach T=100 C; KRAWĘDŹ C wartość strumienia cieplnego q=15,5 W/m^2; PODZIAŁ MODELU NA GRUPY MATERIAŁOWE ORAZ OZNACZENIE KRAWĘDZI MODELU ZALEŻNOŚĆ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ MIEDZI OD TEMPERATURY Wartość temperatury Wartość przewodności cieplnej miedzi deg W/m*deg 0 386 100

Bardziej szczegółowo

III/2 INSTALACJA CENTRALNEGO OGRZEWANIA

III/2 INSTALACJA CENTRALNEGO OGRZEWANIA III/2 INSTALACJA CENTRALNEGO OGRZEWANIA I. Spis zawartości 1.1. Straty ciepła dla budynku 1.2. Instalacja centralnego ogrzewania 1.3. Przewody i rozprowadzenie instalacji 1.4. Próby, montaż, izolacja termiczna

Bardziej szczegółowo

OCENA OCHRONY CIEPLNEJ

OCENA OCHRONY CIEPLNEJ OCENA OCHRONY CIEPLNEJ 26. W jakich jednostkach oblicza się opór R? a) (m 2 *K) / W b) kwh/m 2 c) kw/m 2 27. Jaka jest zależność pomiędzy współczynnikiem przewodzenia ciepła λ, grubością warstwy materiału

Bardziej szczegółowo

Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia. Michał Durka

Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia. Michał Durka Numeryczna symulacja opływu wokół płata o zmodyfikowanej krawędzi natarcia Michał Durka Politechnika Poznańska Inspiracja Inspiracją mojej pracy był artykuł w Świecie Nauki opisujący znakomite charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z PROEKOLOGICZNYCH ŹRÓDEŁ ENERGII ODNAWIALNEJ

LABORATORIUM Z PROEKOLOGICZNYCH ŹRÓDEŁ ENERGII ODNAWIALNEJ KATEDRA APARATURY I MASZYNOZNAWSTWA CHEMICZNEGO Wydział Chemiczny POLITECHNIKA GDAOSKA ul. G. Narutowicza 11/12 80-233 GDAOSK LABORATORIUM Z PROEKOLOGICZNYCH ŹRÓDEŁ ENERGII ODNAWIALNEJ IX-WPC WYZNACZANIE

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli.

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar współczynnika przewodzenia ciepła materiałów budowlanych Strona 1 z 5 Cel ćwiczenia Prezentacja metod stacjonarnych i dynamicznych pomiaru

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM WIEDZY. Opracowanie: BuildDesk Polska CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA BUDYNKÓW I ŚWIADECTWA ENERGETYCZNE NOWE PRZEPISY.

KOMPENDIUM WIEDZY. Opracowanie: BuildDesk Polska CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA BUDYNKÓW I ŚWIADECTWA ENERGETYCZNE NOWE PRZEPISY. Sprawdzanie warunków cieplno-wilgotnościowych projektowanych przegród budowlanych (wymagania formalne oraz narzędzie: BuildDesk Energy Certificate PRO) Opracowanie: BuildDesk Polska Nowe Warunki Techniczne

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)

Bardziej szczegółowo

Instrukcja stanowiskowa

Instrukcja stanowiskowa POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Instytut Inżynierii Mechanicznej w Płocku Zakład Aparatury Przemysłowej LABORATORIUM WYMIANY CIEPŁA I MASY Instrukcja stanowiskowa Temat:

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Wpływ sposobu ogrzewania na efektywność energetyczną budynku

Wpływ sposobu ogrzewania na efektywność energetyczną budynku Wpływ sposobu ogrzewania na efektywność energetyczną budynku dr inż. Adrian Trząski MURATOR 2015, JAKOŚĆ BUDYNKU: ENERGIA * KLIMAT * KOMFORT Warszawa 4-5 Listopada 2015 Charakterystyka energetyczna budynku

Bardziej szczegółowo

CENTRALNE OGRZEWANIE

CENTRALNE OGRZEWANIE CENTRALNE OGRZEWANIE CENTRALNE OGRZEWANIE urządzenie, którego zadaniem jest ogrzewanie pomieszczenia znajdującego się w pewnej odległości od źródła ciepła oraz w którym istnieje możliwość wyraźnego wyodrębnienia

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,

Bardziej szczegółowo

Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego z kolekcji Muratora M03a Moje Miejsce. i audytorów energetycznych

Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego z kolekcji Muratora M03a Moje Miejsce. i audytorów energetycznych Optymalizacja energetyczna budynków Świadectwo energetycznej Fizyka budowli dla z BuildDesk. domu jednorodzinnego. Instrukcja krok po kroku Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA TESTU SPRAWDZAJĄCEGO STOPIEŃ OPANOWANIA WIADOMOŚCI O RÓWNANIACH I-GO STOPNIA ZJEDNĄ NIEWIADOMĄ.

CHARAKTERYSTYKA TESTU SPRAWDZAJĄCEGO STOPIEŃ OPANOWANIA WIADOMOŚCI O RÓWNANIACH I-GO STOPNIA ZJEDNĄ NIEWIADOMĄ. CHARAKTERYSTYKA TESTU SPRAWDZAJĄCEGO STOPIEŃ OPANOWANIA WIADOMOŚCI O RÓWNANIACH I-GO STOPNIA ZJEDNĄ NIEWIADOMĄ. Jest to test warstwowo liniowy, przeznaczony do badań programowych w obrębie jednego działu

Bardziej szczegółowo

INSTALACJE WODNO- KANALIZACYJNE

INSTALACJE WODNO- KANALIZACYJNE INSTALACJE WODNO- KANALIZACYJNE Dane do projektu http://riad.pk.edu.pl/~azastawna/ Instalacje i sieci miejskie Projekt http://archon.pl/projekty-domow/domy-male/1/1?per_page=100 Dla celów projektowych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych-Projekt Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk prof. nadzw. Wykonali : Grzegorz Paprzycki Grzegorz Krawiec Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Specjalność: KMiU Spis

Bardziej szczegółowo

Informacja o pracy dyplomowej

Informacja o pracy dyplomowej Informacja o pracy dyplomowej 1. Nazwisko i Imię: Duda Dawid adres e-mail: Duda.Dawid1@wp.pl 2. Kierunek studiów: Mechanika I Budowa Maszyn 3. Rodzaj studiów: inżynierskie 4. Specjalnośd: Systemy, Maszyny

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Liczby i działania klasa III

Liczby i działania klasa III Liczby i działania klasa III - oblicza wartość bezwzględną liczby - wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych proste przykłady - potęguje liczby naturalne proste przykłady - pierwiastkuje liczby

Bardziej szczegółowo

Wymiennik ciepła. Dane wyjściowe i materiały pomocnicze do wykonania zadania projektowego. Henryk Bieszk. Gdańsk 2011

Wymiennik ciepła. Dane wyjściowe i materiały pomocnicze do wykonania zadania projektowego. Henryk Bieszk. Gdańsk 2011 Henryk Bieszk Wymiennik ciepła Dane wyjściowe i materiały pomocnicze do wykonania zadania projektowego Gdańsk 2011 H. Bieszk, Wymiennik ciepła, projekt 1 PRZEDMIOT: APARATURA CHEMICZNA TEMAT ZADANIA PROJEKTOWEGO:

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej

Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej w Systemach Technicznych Symulacja prosta dyszy pomiarowej Bendemanna Opracował: dr inż. Andrzej J. Zmysłowski

Bardziej szczegółowo

Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego z kolekcji Muratora M03a Moje Miejsce. i audytorów energetycznych

Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego z kolekcji Muratora M03a Moje Miejsce. i audytorów energetycznych Optymalizacja energetyczna budynków Świadectwo energetycznej Fizyka budowli dla z BuildDesk. domu jednorodzinnego. Instrukcja krok po kroku Materiały edukacyjne dla doradców Na podstawie projektu gotowego

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Ogrzewanie i chłodzenie ścienne KAN-therm

Ogrzewanie i chłodzenie ścienne KAN-therm Ogrzewanie i chłodzenie ścienne KAN-therm Kompletne, wyposażone w nowoczesną automatykę ogrzewanie i chłodzenie ścienne KAN-therm spełni oczekiwania wszystkich użytkowników, zapewniając im odpowiedni komfort

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA 1 PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA dla budynku mieszkalnego nr 1 Budynek oceniany: Nazwa obiektu dom jednorodzinny Zdjęcie budynku Adres obiektu Gdańsk ul. Seleny, dz. nr 1219/10 Całość/ część

Bardziej szczegółowo

DIF SEK. Część 2 Odpowiedź termiczna

DIF SEK. Część 2 Odpowiedź termiczna Część 2 Odpowiedź termiczna Prezentowane tematy Część 1: Oddziaływanie termiczne i mechaniczne Część 3: Odpowiedź mechaniczna Część 4: Oprogramowanie inżynierii pożarowej Część 5a: Przykłady Część 5b:

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO UM DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO

INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO UM DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO UM DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO 1. Informacje ogólne 1.1. Zastosowanie Typoszereg układów mieszających UM jest przeznaczony do instalacji centralnego ogrzewania

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Sufitowa folia grzewcza niewidoczne ogrzewanie komfortowe

Sufitowa folia grzewcza niewidoczne ogrzewanie komfortowe Sufitowa folia grzewcza niewidoczne ogrzewanie komfortowe Sufitowa folia grzewcza jest niewidoczna i nie zajmuje miejsca, ponieważ montowana jest wewnątrz stropu. Ogrzewanie sufitowe wraz z podłączonym

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO FIRMY RUMET

INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO FIRMY RUMET INSTRUKCJA MONTAŻU I OBSŁUGI UKŁADU MIESZAJĄCEGO DO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO FIRMY RUMET 1. Informacje ogólne 1.1. Zastosowanie Typoszereg układów mieszających UM jest przeznaczony do instalacji centralnego

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Stanowisko pomiarowe do pomiaru parametrów mikroklimatu w pomieszczeniu

Rys. 1. Stanowisko pomiarowe do pomiaru parametrów mikroklimatu w pomieszczeniu Ćwiczenie Nr 3 Temat: BADANIE MIKROKLIMATU W POMIESZCZENIACH Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi badania mikroklimatu w pomieszczeniach za pomocą wskaźników PMV, PPD.

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA

PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA 1 PROJEKTOWANA CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA dla budynku mieszkalnego nr 1 Budynek oceniany: Nazwa obiektu Przebudowa pmieszczeń na lokale mieszkalne Zdjęcie budynku Adres obiektu Całość/ część budynku...

Bardziej szczegółowo

KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 100 λ 35 PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 100)

KNAUF Therm EXPERT FLOOR HEATING 100 λ 35 PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 100) PŁYTA DO WODNEGO OGRZEWANIA PODŁOGOWEGO (TYP EPS 100) Płyty styropianowe oznaczane są poniższym kodem wg normy PN-EN 13163:2009: EPS-EN 13163-T2-L2-W2-S2-P4-BS200-CS(10)100-DS(N)2-DS(70,-)1-DLT(1)5 Płyty

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE DR ADAM SOJDA Czasem istnieje wiele kryteriów oceny. Kupno samochodu: cena prędkość maksymalna spalanie kolor typ nadwozia bagażnik najniższa najwyższa najniższe {czarny*, czerwony, } {sedan, coupe, SUV,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1 Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM 1. 2. 3. 4. 5. 6. czytać dane przedstawione na diagramach i w tabelach przekształcać równania liniowe na równania równoważne ekształcać układy równań

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORYJNA NR 3-WPC WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA MATERIAŁÓW BUDOWLANYCH

INSTRUKCJA LABORATORYJNA NR 3-WPC WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA MATERIAŁÓW BUDOWLANYCH LABORATORIUM ODNAWIALNYCH ŹRÓDEŁ ENERGII Katedra Aparatury i Maszynoznawstwa Chemicznego Wydział Chemiczny Politechniki Gdańskiej INSTRUKCJA LABORATORYJNA NR 3-WPC WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODZENIA

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo