Andrzej Ślęzak. Summary. Streszczenie. Polimery w Medycynie 2011, T. 41, Nr 1

Transkrypt

1 Polimery w Medycynie 0, T. 4, Nr Zastosowanie sieci termodynamicznych do interretacji transortu w mikroukładach: transort jednorodnych roztworów nieelektrolitów rzez membranę olimerową Andrzej Ślęzak Katedra Zdrowia Publicznego Politechnika zęstochowska, zęstochowa Streszczenie Wyrowadzone w racy równania Kedem-Katchalsky ego, rzy omocy symetrycznych i hybrydowych transformacji sieci termodynamicznych Peusnera, zastosowano do interretacji transortu wodnych roztworów glukozy rzez membranę Nehrohan. Obliczono wsółczynniki R ij, ij, H ij i P ij (i j=, ). Z obliczeń wynika, że wartość wsółczynników R, i H jest niezależna od stężenia (). Wartość ozostałych wsółczynników jest zależna od : wartości wsółczynników P,, i H rosną liniowo, a wsółczynników R i P maleją hierbolicznie wraz ze wzrostem wartości. Z kolei wsółczynnik H rzyjmuje wartości ujemne, malejące liniowo wraz ze wzrostem, natomiast wsółczynniki P i P rzyjmują wartości dodatnie, malejące liniowo wraz ze wzrostem. Słowa kluczowe: transort membranowy, termodynamika sieciowa, równania Kedem- Katchalsky ego Alication of the network thermodynamics to interretation of transort in a microsystems: transort of homogeneous solutions through olymeric membrane Summary The Kedem-Katchalsky equations, derived using symmetric and hybrid transformation of the Peusner s network transformation, to interretation of transort through Nehrohan membrane of glucose aqueous solutions were emloyed. The values of R ij, ij, H ij i P ij (i j=, ) coefficients were calculated. From these calculations it results that, the values of coefficients R, and H are indeendent on concentration (). The values of residual coefficients are deendent on : values of coefficients P,, and H increases linearly, while values of coefficients R and P hierbolic decreases together with growth of. In turn the coefficient H is negative and coefficients P and P are ositive. The values of these coefficients decreases together with growth of. Key words: membrane transort, network thermodynamics, Kedem-Katchalsky equations WSTĘP Zastosowanie oracowanej rzez arsa Onsagera w latach 30-tych ubiegłego wieku i rozwijanie w latach nastęnych głównie rzez Ilię Prigogine a i Aarona Katchalsky ego liniowej termodynamiki nierównowagowej do modelowania i analizy układów biofizycznych, nastręczało rzez wiele lat trudności natury formalnej [, ]. Układy biofizyczne,

2 30 Andrzej Ślęzak z uwagi na ich złożoną strukturę, organizację i liczne srzężenia, wykazują nieliniowe właściwości imlikujące ich wyjątkowe zachowania, szczególnie w organizmach żywych [3]. W związku z tym, ich analizy nie można zredukować do badania modeli liniowych układów termodynamicznych [4]. Owe trudności skłoniły badaczy do oszukiwania sosobów interretacji zjawisk obserwowanych w złożonych układach termodynamicznych. ednym ze sosobów oszukiwania raktycznych sformułowań koniecznych i niezbędnych rzy analizie takich układów były róby łączenia termostatyki, termodynamiki nierównowagowej, teorii sieci elektrycznych, toologii i kinetyki chemicznej [5 8]. W takich warunkach narodziła się, w latach 70-tych ubiegłego wieku, termodynamika sieciowa. Termin termodynamika sieciowa (Network Thermodynamics, NT) i ogólne jej zasady, w tym odstawowe rawa i symbolika, zostały oracowane rzez rofesora Aarona Katchalsky ego rzy udziale jego dwóch doktorantów Georga Ostera i Alana Perelsona w latach 70-tych ubiegłego wieku [7]. NT jest syntezą termodynamiki nierównowagowej, teorii obwodów elektrycznych, teorii grafów i geometrii różniczkowej [7 9]. W najogólniejszym ujęciu NT umożliwia wgląd do toologii układu i analizę dynamiki nierównowagowych rocesów transortu masy, ładunku, energii i informacji. Praktyczne zastosowanie NT oiera się na metodzie grafu ołączeń (bond grah method) oracowanej rzez Playtnera [0] i wrowadzona do termodynamiki rzez Ostera, Perelsona i Katchalsky ego [7] oraz metodzie Peusnera, wykorzystującej symbolikę i teorię obwodów elektrycznych []. Obydwie metody są równoważne [9, ]. Metoda termodynamiki sieciowej jest wykorzystywana do fenomenologicznego oisu układów dynamicznych o różnej naturze. est używana w różnych dziedzinach biofizyki, biochemii, elektrochemii czy inżynierii chemicznej [n. 3 8]. Główna idea NT Ostera, Perelsona i Katchalsky ego oarta jest na kombinacji zasad termostatyki i termodynamiki nierównowagowej z koncecjami toologii i teorii sieci [7]. Szczegółowy ois tej termodynamiki jest rzedstawiony w kilku oracowaniach [n. 3, 7 9,, 3, 5]. Na otrzeby tego oracowania naszkicowane zostaną tylko odstawowe idee NT Ostera, Perelsona i Katchalsky ego. Idea tej termodynamiki jest realizowana w raktyce za omocą rostych i intuicyjnych notacji graficznych, oartych na metodzie łączenia grafów [7, 5]. Ta metoda olega na mentalnym dzieleniu złożonego układu termodynamicznego na roste wyidealizowane elementy o znanych właściwościach, a nastęnie na ich wiązaniu w sieć, rzy omocy łączników. Łączniki są wyidealizowanymi kanałami rzenoszącymi moc, natychmiast i bez strat. Procedura tworzenia sieci w systemie wykorzystuje zasady zachowania, ograniczenia toologiczne oraz związki rzyczynowo-skutkowe. Sieć otrzymana w taki sosób, nazywana związanym grafem (grah bond), ilustruje rocesy konwersji i rzenoszenia energii w systemie. NT Ostera, Perelsona i Katchalsky ego jest szczególnie rzydatna do analizy srzężonych, nieliniowych i czasowo-zależnych rocesów w niejednorodnych ośrodkach. Końcowy eta tworzenia formalizmu NT, olega na rzejściu z wizualnej rerezentacji w ostaci związanego grafu do analitycznej rerezentacji rocesu. Metoda związanego grafu dotyczy dwóch zmiennych dynamicznych: uogólnione siły czynne (effort, e) oraz uogólnione rzeływy (flow, f) [7, 5]. Podstawowymi elementami, wykorzystywanymi do budowy sieci termodynamicznych są: uogólniony rezystor (Z), czyli element dyssyatywy, uogólniony kondensator (), tj. element rzechowujący energię otencjalną, rzetwornik (TD), memrystor czyli rezystor z amięcią (MZ) oraz źródło energii (S) [7, 9, 5, 9, 0]. Elementy są związane w sieci z łącznikami. Łączniki grafu stają się zorientowane rzez dodanie ółstrzałek do każdego łącznika. Półstrzałki wskazują znak konwersji dla dodatniego rzeływu energii. Każdy łącznik w sieci jest zasocjowany z arą skonjugowanych zmiennych obydwu tyów i mogą być rerezentowane w ten sosób rzez wektor ze składnikami (e i, f i ). Iloczyn siły czynnej i rzeływu związany z danym łącznikiem jest równy mocy, która rzez nie rzechodzi. Te unkty, gdzie kilka łączników sotyka się, są węzłami sieci. Są dwa tyy węzłów, jeden z nich rerezentuje uogólnione ołączenie równoległe (zerowy węzeł) i drugi rerezentujący uogólnienie szeregowe (węzeł jedynkowy) [7]. Węzły są idealnymi ołączeniami, w ten sosób moc nie jest akumulowana ani nie ulega dyssyacji. Stąd złącza rzestrzegają ewnych warunków toologicznych w ostaci raw Kirchhoffa. Zerowy węzeł sełnia rądowe rawo Kirchhoffa (K), a jedynkowy węzeł sełnia naięciowe rawa Kirchhoffa (KV) [7, 5]. ak już wsomniano, eonardo Peusner do oracowania swojej wersji NT, wykorzystał do analizy układów termodynamicznych termodynamikę nierównowagową oraz symbolikę i teorię obwodów elektrycznych [6,, 5]. Koncecję NT rzedstawił w racy [6]. W kolejnych racach [ 5] idee te rozwija, stosując idee NT do układów rzetwarzających energię [, 3], układów i rocesów mem-

3 TRANSPORT MEMBRANOWY branowych [], ruchów Browna [4] oraz reakcji chemicznych z dyfuzją [5]. W racy [] wrowadził arametr Q (energy couling arametr), który służy do badania srawności i stabilności układów fizycznych i biologicznych, rzetwarzających energię. W racy [] okazał sosoby transformowania liniowych równań Onsagera rzy omocy oisów hybrydowych. Pokazał także sosoby wyrowadzania równań Kedem-Katchalsky ego orzez szereg transformacji sieciowych. Wybrane wyniki tych rozważań rzytoczymy w kolejnym rozdziale. elem racy jest rozwinięcie termodynamiki sieciowej Peusnera (Peusner s Network Thermodynamics, NTP) na układy membranowe, w których transort odbywa się w warunkach olaryzacji stężeniowej. Praca jest zorganizowana nastęująco. W ierwszej części zostanie rzedstawiona NTP transortu membranowego, odbywającego się w warunkach jednorodności roztworów rozdzielanych rzez membranę. W części drugiej omówiono zastosowania raktyczne NTP, a w szczególności okazano jak można wyrowadzić transformowane równania Kedem-Katchalsky ego z NTP, dla warunków jednorodności roztworów rozdzielanych rzez membranę. W kolejnej części rzedstawiono obliczenia wsółczynników klasycznych i zmodyfikowanych wystęujących w macierzach [R], [], [H] i [P]. Pracę kończą wnioski. PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA TERMODYNAMIKI SIEIOWE PEUSNERA Punktem wyjścia w termodynamice sieciowej Peusnera jest liniowa termodynamika nierównowagowa Onsagera (inear Nonequilibreum Thermodynamics, NET) []. Podstawową funkcją matematyczną NET jest szybkość nieodwracalnej rodukcji entroii, =d i S/dt lub funkcja dyssyacji Φ=T, która oisuje rozraszanie energii swobodnej w jednostce czasu. Dla rocesów nieodwracalnych zarówno jak i Φ są dodatnie. Funkcja dyssyacji jest odstawową wielkością wykorzystywaną do analizy różnych rocesów izotermicznych, w tym także rocesów transortu membranowego []. Można ją wyrazić w ostaci sumy iloczynów i-tych rzeływów ( i ) oraz i-tych sił (X i ) termodynamicznych Φ = i X i > 0 () i 3 Przeływy i siły termodynamiczne wystęujące w owyższym równaniu są związane równaniem fenomenologicznym, które można zaisać w ostaci X i = Rik k () i i = ik Xk (3) i gdzie: R ik uogólnione wsółczynniki ooru, ik uogólnione wsółczynniki rzewodnictwa. Analogicznie jak w racach [, ], rozatrzmy rzedstawioną na ryc. skrzynkę ilustrującą dwukierunkowy dwuort, osiadający ojedyncze wejście dla rzeływu i srzężonej siły X oraz ojedyncze wyjście dla rzeływu i siły X. Obydwa rzeływy są zdefiniowane jako wchodzące do skrzynki, z tym, że obydwa orty mogą stawać się wyjściem rzez odwrócenie kierunku rzeływu. iniowy dwuort można oisać rzy omocy równań fenomenologicznych () z dwoma niezależnymi i dwoma zależnymi zmiennymi. Korzystając z równania () otrzymujemy X X = [ R] R R gdzie: [ R ] = (4a) R R W owyższych równaniach nie ma wymogu sełnienia relacji symetrii R =R. eśli równania (4) i (4a) nie są rzemienne, mają coś wsólnego z termodynamiką Onsagera z uwagi na fakt, że ary (X, ) i (X, ) są srzężone do każdego z nich. Termodynamika sieciowa rerezentuje te równania rzez uśrednione liniowe rezystancje, źródła siły i źródła rzeływów owiązanych zgodnie do równań Kirchhoffa. ednym z odstawowych rezultatów jest to, że równania (4) i (4a) można rzetransformować odczas utrzymywania srzężonej natury tych sił i rzeływów. Korzystając z równania (3) otrzymujemy X = [ ] X (4) (5) gdzie: [ ] = (5a) Znowu zakładamy, że nie ma wymogu sełnienia relacji symetrii = nawet wtedy, gdy używamy notacji tyu Onsagera. Można również otrzymać

4 3 Andrzej Ślęzak + + X X Ryc.. Ogólna rerezentacja liniowego dwu-ortu składającego się z dwóch rzeływów i dwóch sił: dodatni kierunek rzeływu jest skierowany do skrzynki. Odowiednia definicja końcowego ortu wymaga, aby rzeływ wchodził do dodatniego terminalu (+) i był równy rzeływowi wychodzącemu z węzła ujemnego ( ) [] Fig.. General linear two ort reresentation of a two flow two force system: the ositive direction of flow is into box. The consistent definition of the terminal ort requires that the flow going into ositive terminal (+) equals the flow leaving the negative ( ) node [] dwie dodatkowe sieci równań, które można otrzymać rzy omocy technik termodynamiki sieciowej X = [ H ] X (6) h P h v H H gdzie: [ H ] = (6a) H H oraz s l P l X X = [ P] (7) P P gdzie: [ P ] = (7a) P P Równania (6) i (7) są hybrydowe bo mieszają siły i rzeływy jako zmienne, ale odobnie jak równania (4) i (5) rowadzą do dwu-ortowej rerezentacji. M Ryc.. Schemat układu jedno-membranowego: M membrana, v strumień objętościowy, s strumień solutu, h i l ( h > l ) stężenia roztworów rozdzielanych rzez membranę, P h i P l (P h >P l ) ciśnienia hydrostatyczne Fig.. Scheme of the single-membrane system: M membrane, v volume flux, s solute flux, h i l ( h > l ) concentrations of solutions searated by membrane, P h i P l (P h >P l ) hydrostatic ressures ZASTOSOWANIA TERMODYNAMIKI SIEIOWE PEUSNERA Otrzymane wyniki w ostaci równań (4) (7) można zastosować do wyrowadzenia równań Kedem-Katchalsky ego rzy omocy transformacji sieci termodynamicznych, odobnie jak to uczyniono w racy [7]. Równania K-K są odstawowymi narzędziami badawczymi transortu membranowego w układzie rzedstawionym na ryc.. W warunkach jednorodności roztworów rozdzielanych rzez membranę, ich klasyczna ostać jest nastęująca v = Δ P σδπ (8) = ωδπ + ( σ) (9) s v

5 TRANSPORT MEMBRANOWY = ( h l)[ln( hl )] ( h + l ) W równaniach tych v oznacza strumień objętościowy, a s strumień solutu rzez membranę w warunkach jednorodności roztworów. Z kolei, σ oraz ω oznaczają odowiednio wsółczynniki: rzeuszczalności hydraulicznej, odbicia oraz rzeuszczalności solutu. Pierwszy człon rawej strony równania (8) jest objętościowym strumieniem hydraulicznym, a drugi objętościowym strumieniem osmotycznym. Pierwszy człon równania (9) oisuje strumień dyfuzyjny, a drugi strumień adwekcyjny. ΔP = P k P l jest różnicą ciśnień hydrostatycznych (P h, P l oznacza wyższą i niższą wartość ciśnienia hydrostatycznego). Δπ = RT( h l ) jest różnicą ciśnień osmotycznych (RT oznacza iloczyn stałej gazowej i temeratury termodynamicznej, natomiast h i l stężenia roztworów). jest średnim stężeniem solutu w membranie. Wartości liczbowe wsółczynników, σ oraz ω można wyznaczyć w serii niezależnych ekserymentów []. Przy omocy rostych maniulacji algebraicznych, równania (8) i (9) można rzekształcić do ostaci [,, ] ( σ) ΔP Δ π = ω + ω v σ ω s (0) Δπ σ = v + s () ω ω Powyższy układ równań, stanowiący jedną z ostaci transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego dla warunków jednorodności roztworów, można zaisać w ostaci równania macierzowego (,, ) Δ P v Δπ Δπ = [ R] () s gdzie: [R] jest macierzą wsółczynników R ij (oorowych) dla warunków jednorodności roztworów daną wyrażeniem [ R] = ( σ) ω σ ω + ω σ ω ω Porównując równania (4a) i (a) otrzymujemy R ( σ) = ω + ω (a) (b) σ R = = R ω 33 (c) R = ω (d) Proste rzekształcenia algebraiczne ozwalają zaisać równania (8) i (9) w ostaci [,, ] v s Δπ = ( ΔP Δπ) + ( σ) (3) = ( σ ) (ΔP Δ π) + + [ ω + ( σ) Δ π ] (4) Powyższy układ równań, jest kolejną ostacią transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego dla warunków olaryzacji stężeniowej, który można zaisać w ostaci równania macierzowego v s Δ P = Δπ Δπ [ ] (5) gdzie: [] jest macierzą wsółczynników ij (rzewodnictwa) dla warunków jednorodności roztworów daną wyrażeniem ] = ( σ) ( σ) [ [ ω + ( σ) ] Porównując równania (4a) i (5a) otrzymujemy (5a) = (5b) = ( σ = (5c) ) = [ ω + ( σ) ] (5d) Przy omocy rostych maniulacji algebraicznych, równania (8) i (9) można rzekształcić do ostaci (,, ) Δπ ΔP Δπ = v ( σ) (6) Δπ s = ( σ) v + ω (7) Powyższy układ równań, stanowiący jedną z ostaci transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego, można zaisać w ostaci równania macierzowego (,, )

6 34 Andrzej Ślęzak Δ P Δπ v = [ H ] Δπ s (8) gdzie: [H] jest macierzą wsółczynników H ij dla warunków jednorodności roztworów daną wyrażeniem ( σ) [ H ] = (8a) ( σ) ω Porównując równania (4a) i (8a) otrzymujemy H = (8b) H ) = ( σ = H (8c) H = ω (8d) Przy omocy rostych maniulacji algebraicznych, równania (8) i (9) można rzekształcić do ostaci (,, ) ω v = (ΔP Δπ) + ω + ( σ) ( σ) + ω + ( σ) Δπ ( σ) = (ΔP Δπ) + ω + ( σ) + [ ω + ( σ) ] s s (9) (0) Powyższy układ równań, stanowiący jedną z ostaci transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego, można zaisać w ostaci równania macierzowego (,, ) v ΔP Δπ Δ π = [ P] () s gdzie: [P] jest macierzą wsółczynników P ij dla warunków jednorodności roztworów daną wyrażeniem ω ω + ( σ) [ P] = ( σ) ω + ( σ) lub ( σ) ω + ( σ) [ ω + ( σ) ] (a) ω ( σ) P [ ] = ω ( σ) + ( σ) (b) Porównując równania (4a) i (a) otrzymujemy = (c) ω + ( σ) P P P ( σ) = ω + ( σ) = P (d) = (e) [ ω + ( σ) ] Wystęujące w równaniach (b d), (5b d), (8b d) oraz (c e) wsółczynniki, σ, i ω określają właściwości transortowe membrany. Dla tych wsółczynników sełnione są warunki 0 ( ) max, 0 σ oraz 0 ω ω max. Dla membrany nieselektywnej =( ) max, σ=0 oraz ω=ω max. Membranę ółrzeuszczalną charakteryzuje >0, σ= oraz ω=0. Z kolei dla membrany selektywnej >0, 0<σ< oraz ω>0. Rozatrzmy rzyadek membrany nieselektywnej. Dla takiej membrany równania (b d), (5b d), (8b d) oraz (c e) rzyjmą ostać R =[( ) max +ω max )][( ) max ω max ], R = (ω max ), R =(ω max ), =( ) max, =( ) max, =[ω max +( ) max ], H =[( ) max ], H =, H =ω max, P =[( ) max ω max ][ω max +( ) max ], P =( ) max [ω max +( ) max ], P ={[ω max +( ) max]}. Dla membrany ółrzeuszczalnej wartość równą zeru rzyjmują wsółczynniki,,, H, H i H. Z kolei w wyrażeniach dla wsółczynników R, R, R, P, P i P i membrany ółrzeuszczalnej wystęują zerowe mianowniki. W związku z tym rzedstawiony formalizm jest słuszny jedynie dla membran nieselektywnych i selektywnych.

7 TRANSPORT MEMBRANOWY WYNIKI OBIZEŃ I DYSKUSA 35 W celu obliczenia wsółczynników wystęujących w macierzach [R], [], [H] oraz [P] weźmy od uwagę równania (b d), (5b d), (8b d) oraz (c e). Po rawej stronie tych równań wystęują wsółczynniki rzeuszczalności hydraulicznej ( ), odbicia (σ), rzeuszczalności dyfuzyjnej (ω) wyznaczane w warunków jednorodności roztworów rozdzielanych rzez membranę oraz tzw. średnie stężenie roztworu w membranie (). Owe wielkości wynikają z formalizmu Kedem i Katchalsky ego, którego odstawę stanowią równania (8) i (9). Założenie o jednorodności roztworów jest realizowane rzy omocy intensywnego mieszania roztworów rzez mieszadła mechaniczne, umieszczone w układzie omiarowym o obydwu stronach membrany [3]. Dla membrany olimerowej Nehrohan i wodnych roztworów glukozy o stężeniach od h =5 mol m 3 do h =80 mol m 3 i ustalonym stężeniu l =0 mol m 3, wartość tych wsółczynników jest niezależna od stężenia roztworów i wynosi: =5 0 m 3 N s, σ=0,068 i ω=0,8 0 9 mol N s. Przytoczone wartości wskazują, że membrana Nehrohan wykazuje cechy selektywności, onieważ >0, 0<σ< oraz ω>0. Wykorzystując owyższe dane oraz równania (b), (c) i (d) obliczono wartości wsółczynników R, R i R, a rzy omocy równań (5b), (5c) i (5d) wartości wsółczynników, i. Z kolei wsółczynniki H, H i H obliczono na odstawie równań (8b), (8c) i (8d), a wsółczynniki P, P i P na odstawie równań (c), (d) i (e). Z rzerowadzonych obliczeń wynika, że wartość wsółczynników R, i H jest niezależna od stężenia. W związku z tym ich wartość jest stała i wynosi odowiednio R =,6 0 9 N s mol, =5 0 m 3 N s i H = 0 N s m 3. Wartość ozostałych wsółczynników jest zależna od stężenia roztworów (), co ilustrują ryciny od do 0. Z ryc. 3, 5, 6 i 8 wynika, że wartość wsółczynników P,, i H rośnie liniowo wraz ze wzrostem. Dane rzedstawione na ryc. 4 i 0 okazują, że wartości wsółczynników R i P maleją hierbolicznie wraz ze wzrostem wartości. W rzeciwieństwie do ozostałych wsółczynników, wsółczynnik H rzyjmuje wartości ujemne malejące liniowo wraz ze wzrostem. Z kolei wsółczynniki P i P rzyjmują wartości dodatnie, także malejące liniowo wraz ze wzrostem.,4,3 R 0 - [N s m 3 ],,, Ryc. 3. Graficzna ilustracja zależności R =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika R obliczono na odstawie równania (b) Fig. 3. Grahic illustration of deendence R =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient R it was calculated on the basis of equation (b)

8 36 Andrzej Ślęzak 5 4 R 0 8 [kg m 4 mol s ] Ryc. 4. Graficzna ilustracja zależności R =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika R obliczono na odstawie równania (d) Fig. 4. Grahic illustration of deendence R =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient R it was calculated on the basis of equation (d),0,5 0 0 [mol N s ],0 0,5 0, Ryc. 5. Graficzna ilustracja zależności =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika obliczono na odstawie równania (5c). Fig. 5. Grahic illustration of deendence =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient it was calculated on the basis of equation (5c).

9 TRANSPORT MEMBRANOWY [mol s kg m 4 ] Ryc. 6. Graficzna ilustracja zależności =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika obliczono na odstawie równania (5d) Fig. 6. Grahic illustration of deendence =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient it was calculated on the basis of equation (5d) 0 - H Ryc. 7. Graficzna ilustracja zależności H =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika H obliczono na odstawie równania (8c) Fig. 7. Grahic illustration of deendence H =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient H it was calculated on the basis of equation (8c)

10 38 Andrzej Ślęzak 3,5 3,0 H 0 8 [mol s kg m 4 ],5,0,5,0 0,5 0, Ryc. 8. Graficzna ilustracja zależności H =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika H obliczono na odstawie równania (8d) Fig. 8. Grahic illustration of deendence H =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient H it was calculated on the basis of equation (8d) 5,0 4,8 P 0 [m 3 N s ] 4,6 4,4 4, 4, Ryc. 9. Graficzna ilustracja zależności P =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika P obliczono na odstawie równania (b) Fig. 9. Grahic illustration of deendence P =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient P it was calculated on the basis of equation (b)

11 TRANSPORT MEMBRANOWY 39 5,8 5,6 P 0 3 [m 3 mol ] 5,4 5, 5,0 4, Ryc. 0. Graficzna ilustracja zależności P =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika P obliczono na odstawie równania (c) Fig. 0. Grahic illustration of deendence P =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient P it was calculated on the basis of equation (c) 5 P 0 8 [kg m 4 mol s ] Ryc.. Graficzna ilustracja zależności P =f() dla wodnych roztworów glukozy. Wartości wsółczynnika P obliczono na odstawie równania (d) Fig.. Grahic illustration of deendence P =f() for aqueous glucose solutions. Values of the coefficient P it was calculated on the basis of equation (d)

12 40 Andrzej Ślęzak WNIOSKI Na odstawie rzerowadzonych badań można sformułować nastęujące wnioski.. Wsółczynniki R, i H rzyjmują wartości stałe i niezależne od stężenia roztworów rozdzielanych rzez membranę.. Wartości wsółczynników P,, i H rosną liniowo, a wsółczynników R i P maleją hierbolicznie wraz ze wzrostem wartości. 3. Wsółczynnik H rzyjmuje wartości ujemne, a wsółczynniki P i P wartości dodatnie, malejące liniowo wraz ze wzrostem. ITERATURA [] Katchalsky A., urran P. F.: Nonequilibrium thermodynamics in biohysics, Harvard Univ. Press, ambridge,965. [] Blumenfeld. A.: Problemy fizyki biologicznej. PWN Warszawa, 978. [3] Demirel Y.: Nonequilibrium thermodynamics. Transort and rate rocesses in hysical and biological systems. Elsevier, Amsterdam, 00. [4] Newman S. A., Forgacs G.: omlexity and self-organization in biological develoment and evolution. W: omlexity in chemistry, biology and ecology, D.D. Bonvchev, D. Rouvaray red., Sringer, Berlin 005, [5] Meixner.: Network theory in its realation to thermodynamics. W: Proceedings of the symosium on generalized networks,. Fox, red., Wiley Interscience, New York, 966, 3 5. [6] Peusner.: The rinciles of network thermodynamics and biohysical alications. Ph. D. Thesis, Harvard Univ., ambridge, 970. [7] Oster G.F., Perelson A., Katchalsky A.: Network thermodynamics. Nature (97), 34, [8] Perelson A. S.: Network thermodynamics. Biohys.. (975), 5, [9] Mikulecky D.: The circle that never ends: can comlexity be made simle? W: omlexity in chemistry, biology and ecology, D.D. Bonvchev, D. Rouvaray red., Sringer, Berlin 005, [0] Playtner H.: Analysis and design of engineering systems. MIT, ambridge, 96. [] Peusner.: Studies in network thermodynamics. Elsevier, Amsterdam, 986. [] Wódzki R.: Termodynamika sieciowa. Interretacja transortu membranowego. W: Membrany teoria i raktyka, red. R. Wódzki, Wyd. Fund. Rozwoju Wydz. hemii UMK, Toruń, (003), [3] Imai Y.: Network thermodynamics: analysis and synthesis of membrane transort system. aan.. Physiol. (996), 46, [4] Imai Y.: Grahic modeling of eithelial transort system: causality of dissiation. BioSystems (003), 70, 9 9. [5] Ksenzeh O. S, Petrova S. A.: Network thermodynamics may be of use for electrochemistry. In: Advances in mathematical modeling and simulation of electrochemical rocesses and oxygen deolarized cathodes and activated cathodes for chlor-alcali and chlorate rocesses. W: The Electrochemical Society,.W. Van Zee, T.F. Fuller, P.. Foller, F. Hine red. Pennington Inc, (998), [6] Soh K.., Hatzimanikatis V.: Network thermodynamics in the ost-genomic era. urr. Oinion Microbiol. (00), 3, [7] Plasson R., Brandenburg A., ullien., Bersini H.: Autocatalyses. [8] Wódzki R.: Dyfuzyjno-wymienny transort jonów w modelach ścian komórkowych bakterii. Wyd. UMK, Toruń 994. [9] Oster G.F., Auslander D.M.: The memristor: a new bond grah element.. Dyn. Sys. Meas. ontr. (97), 94, [0] Strukov D. B., Snider G. S., Steward D. R., Williams R. S.: The missing memristor found. Nature (008), 453, [] Peusner.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems: a network thermodynamics aroach. I. inear steady state without storage.. Theoret. Biol. (983), 0, [] Peusner.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of linear transort equations.. Theoret. Biol. (985), 5, [3] Peusner.: Hierarchies of irreversible energy conversion rocesses. III. Why are Onsager equations recirocal? The Euclidean geometry of fluctuaction-dissiation sace.. Theoret. Biol. (986),, [4] Peusner.: Network reresentation yelding the evolution of Brownian motion with multile article interaction. Phys. Rev. (985), 3, [5] Peusner., Mikulecky D.., Bunow B., alan S. R.: A network thermodynamic aroach to hill and King-Altman reaction-diffusion kinetics.. hem. Phys. (985), 83,

13 TRANSPORT MEMBRANOWY 4 [6] Barry P. H., Diamond. M.: Effects of unstirred layers on membrane henomena. Physiol. Rev. (984), 64, [7] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transort across a horizontally mounted membrane. Biohys. hem. (989), 34, 9 0. [8] Dworecki K., Ślęzak A., Ornal-Wąsik B., Wąsik S.: Effect of hydrodynamic instabilities on solute transort in a membrane system.. Membr. Sci. (005), 65, [9] Bryll A.: Wływ rzeływów objętościowych na rocesy kreacji stężeniowych warstw granicznych. Dys. Dokt. Uniw. Śląski, Katowice 00. [30] Ginzburg B. Z., Katchalsky A.: The frictional coefficients of the flows of non-electrolytes through artificial membranes.. Gen. Physiol. (963), 47, [3] Ślęzak A., Grzegorczyn S., asik-ślęzak., Michalska-Małecka K.: Natural convection as an asymmetrical factor of the transort through orous Membrane. Transort in Porous Media (00), 84, Adres do koresondencji: Prof. dr hab. Andrzej Ślęzak Katedra Zdrowia Publicznego Wydział Zarządzania, Politechnika zęstochowska al. Armii Krajowej 36b 4-00 zęstochowa tel. (034) tel./fax (034) andrzejslezak@oczta.onet.l