PROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ

Transkrypt

1 D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 4 (8) 007 (Wrocław) PROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ Abstract. In this aer is shown a concet of exlanation of the oveent and collision of two objects by eans of analytical geoetry. Key words: equation of line, equation of ellise, oveent of two objects, energy, kinetic energy, seed, collision of two objects.. Prosta i elisa RozwaŜy dwa ciała, o asach odowiednio oraz oruszające się o linii rostej z rędkościai v oraz v. ZałóŜy, Ŝe <. Oznaczy rzez ęd układu, a rzez E jego energię kinetyczną. May zate: oraz v + v () v + v E. () W układzie wsółrzędnych: 0v odcięta oraz 0v rzędna, równanie () rzedstawia rostą, a równanie () elisę. Paraetrai rostej i elisy są asy cząstek, wartość ędu i wartość energii kinetycznej. Dowolny unkt łaszczyzny (v, v ) interretujey jako stan układu złoŝonego z dwu oruszających się unktów. Pojęcie stanu układu oisuje rędkości cząstek, a nie ich ołoŝenia na. Wzór () wyraŝa ęd układu, a wzór () jego energię kinetyczną. Prosta () jest zbiore stanów o identyczny ędzie, natoiast elisa () jest zbiore stanów o takiej saej energii kinetycznej.

2 4 W rzyadku, gdy asy obu cząstek są równe, równanie () rzedstawia okrąg. Prosta oŝe ieć względe elisy trzy ołoŝenia. Albo jest sieczną elisy, albo styczną do elisy, albo nie a z elisą unktów wsólnych. Sybolai 0,,, 3 oraz 4 oznaczyy roste równoległe do rostej danej równanie (); ają one równania v + v k, (3) gdzie k 0,,, 3, 4. Dla uroszczenia syboliki roste oznaczay w taki sa sosób, jak wartości ędu: zob. równanie (3). Prosta nie a z elisą Ŝadnych unktów wsólnych. NieoŜliwy jest zate stan układu, w który ęd jest równy i jednocześnie energia kinetyczna jest równa E. WyraŜa to fizykalny fakt, Ŝe rzy danej energii kinety-cznej ęd układu jest ograniczony. Posługując się rys., odczytay aksyalny ęd, który oŝe ieć układ dwu ciał rzy zadanej energii kinety-cznej równej E. v v v 0 4 H G B C B v 3 D H G Rys.

3 Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 5 Proste oraz 3 są styczne do elisy, a roste, 0 oraz 4 są siecznyi elisy. Z ołoŝenia rostych względe elisy wyciągniey wnioski waŝne z unktu widzenia fizyki.. Maksyalny i inialny ęd, inialna energia kinetyczna Na rysunku zaznaczono rostą jako styczną do elisy danej równanie () w unkcie C(c, c), który a obie wsółrzędne równe, a rostą 3 jako styczną do elisy w unkcie D(d, d), który odobnie jak unkt C a obie wsółrzędne równe. Elisa jest syetryczna względe oczątku układu wsółrzędnych, skąd wynika, Ŝe 3 oraz d c. WykaŜey, Ŝe roste równoległe do rostej danej równanie () i styczne do elisy danej równanie () rzeczywiście ają unkty styczności leŝące na rostej o równaniu v v, (4) czyli Ŝe ołoŝenie rostych oraz 3 stycznych do elisy () i równoległych do rostej () jest takie, jak na rys.. Z ogólnych wzorów dotyczących elisy i dostęnych w kaŝdych tablicach wiadoo, Ŝe styczna do elisy () w unkcie C(c, c), a równanie: c v + c v E, (5) gdzie c jest rozwiązanie układu równań () i (4), skąd: E c, rzy czy rzez oznaczono całkowitą asę układu, a więc: +. Wektor rostoadły do rostej danej równanie (5) jest równy: c, a więc jest on równieŝ rostoadły do rostej (), co, ( ) dowodzi, Ŝe roste równoległe do rostej danej równanie () i styczne do elisy danej równanie () ają unkty styczności leŝące na rostej o równaniu v v, czyli Ŝe sytuacja wygląda tak, jak rzedstawiono na rys.. Równanie (5) rzedstawiy w ostaci: v + v E. (6)

4 6 Stąd wnosiy, Ŝe jeŝeli araetr w równaniu () sełnia nierówność < E, to układ równań () i () a dwa rozwiązania, co oznacza, Ŝe dla danych wartościa ędu i energii kinetycznej są oŝliwe dwa stany, w których układ oŝe ieć zadane wartości ędu i energii kinetycznej. Na rysunku sytuacja taka zachodzi dla rostych:, 0, 4. Jeśli sełniona jest nierówność > E, to układ równań () i () nie a rozwiązań. Na rysunku sytuację taką rzedstawia rosta. W taki wyadku nieoŝliwy jest taki stan, w który to układ iałby zadane wartości ędu i energii kinetycznej. JeŜeli zachodzi równość E, to układ równań () i () a jedno rozwiązanie. Na rysunku zob. roste i 3. Wartość E jest aksyalną, a wartość 3 E jest aksyalną i inialną wartością ędu układu rzy zadanej wartości energii kinetycznej równej E. Odwrotnie, rozwaŝyy zbiór elis o równaniach v + v E j, gdzie i 0,,, 3. (7) B v v v 0 B B 0 B v E 3 E E E 0 B

5 Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 7 Rys. Jeśli wartość energii kinetycznej sełnia nierówność E >, to istnieją dwa rozwiązania układu równań () i (), a więc oŝliwe są dwa stany, w których oŝe znaleźć się układ rzy z góry zadanych wartościach ędu i energii kinetycznej. Na rysunku są to elisy oznaczone sybolai E oraz E. Jeśli wartość energii kinetycznej sełnia nierówność E >, to istnieją układ równań () i () nie a rozwiązania. Na rysunku warunek ten sełnia elisa E 3. W tej sytuacji nieoŝliwy jest stan, w który układ rzybierałby takie wartości ędu i energii kinetycznej. W wyadku równości E 3 wartość E 3 jest inialną energią kinetyczną, jaką usi ieć układ rzy zadany ędzie równy (wartość ędu oŝe być dodatnia lub ujena). Z tego, Ŝe unkty styczności rostej i elisy leŝą na rostej o równaniu (4) wynikają wnioski: dla zadanej wartości ędu układ a inialną energię, jeśli rędkości obu cząstek są równe. Dla zadanej energii kinetycznej ęd układu jest aksyalny, jeśli rędkości obu cząstek są równe i dodatnie, a inialny, jeśli rędkości obu cząstek są równe i ujene. Prosta 0 jest zbiore stanów, dla których łączny ęd układu wynosi zero. Wsółczynnik kierunkowy tej rostej wynosi. Iloczyn wsółczynników kierunkowych rostej danej równanie (4) i rostej 0 wynosi równieŝ.

6 8 Półoś wielka elisy () jest równa a ółoś ała wynosi skąd ay równość E a, E b, b. a Wynika stąd, Ŝe zawarte w elisie odcinki rostych o równaniach (4) i (3), dla 0 0, a więc odcinki C, D oraz G, G są arą średnic srzęŝonych elisy, co oznacza, Ŝe rosta o równaniu (4) ołowi odcinki B, B, H, H oraz G, G. Przy zerowy ędzie jest oŝliwa dowolna wartość energii kinetycznej. Minialna energia kinetyczna takiego układu wynosi zero i jest osiągnięta wówczas, gdy obie cząstki są w stanie soczynku. 3. Zderzenie cząstek Przy odbiciu sręŝysty zachowane są zarówno ęd, jak i energia kinetyczna. Jeśli układ a ęd równy i energię kinetyczną równą E, to z analizy rysunku i równań () oraz () wynika, Ŝe o odbiciu sręŝysty układ ze stanu B(b, b ) rzejdzie w stan B (b, b ). Jeśli układ znajduje się w stanie B, to o odbiciu sręŝysty znajdzie się w stanie B. Podobnie zachowa się układ, jeśli będzie iał ęd 4 i energię kinetyczną równą E; wówczas ze stanu H rzejdzie o odbiciu sręŝysty w stan H i odwrotnie ze stanu H rzejdzie w stan H. Jeśli układ a ęd równy zeru to ze stanu G rzejdzie o odbiciu sręŝysty w stan G i odwrotnie ze stanu G w stan G; wsółrzędne obu unktów wynoszą odowiednio G( g, g ) oraz G (g, g ), rzy czy, rozwiązując układ równań () i (3) dla k 0 dostajey równości: g E oraz g E.

7 Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 9 Stąd wynika, Ŝe ęd układu dwu cząstek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich rędkości wynosi E. Jeśli rzy zadany ędzie energia kinetyczna jest inialna, to rędkości obu cząstek są identyczne, a więc zderzenie cząstek nie nastąi. Tak więc, warunkie konieczny zderzenia cząstek jest energia kinetyczna układu rzekraczająca wartość inialną dla danego ędu. ZaleŜność iędzy wsółrzędnyi stanów rzy zderzeniu sręŝysty rzed i o zderzeniu, a więc zaleŝność iędzy wsółrzędnyi unktów B oraz B zacytujey z klasycznego odręcznika (R. Resnick, D. Halliday (980), str. 7, 7). Z równań energii kinetycznej i ędu dostajey: oraz skąd wynika, Ŝe i b b b b ( ) ( ) + + b b b b + +, ( ( ) ) (( ) ) b b b b ( b b ) ( b b ). Dzieląc stronai dwie ostatnie równości, otrzyujey: a o uorządkowaniu b +, b b + b b, b b b skąd wynika, Ŝe rędkość zbliŝania się cząstek rzed zderzenie jest równa rędkości oddalania się cząstek o zderzeniu. Rozwiązując układy równań, dostajey o krótkich rachunkach zaleŝności iędzy wsółrzędnyi stanów B i B : oraz b b + b (8)

8 0 b b + b. (9) Wzory te ozwalają rawidłowo interretować ołoŝenie unktów B i B. Rozwiązując układ równań () i (), o krótkich rachunkach dostajey zaleŝności: oraz b b ( E ), (0) ( E ) + () ( E ) + b, () ( E ) b. (3) Wstawiając wyniki dane wzorai (0)-(3) do wzorów (8) i (9) łatwo srawdzić zgodność wyników. W czasie zderzenia cząstek ogą nastąić rozroszenie energii kinetycznej lub jej ziana w ewną forę energii otencjalnej, oŝe nastąić równieŝ wyzwolenie ewnej energii otencjalnej, która była ukryta w układzie dwu cząstek, a zderzenie było sygnałe do jej uwolnienia. RozwaŜyy te rzyadki. Zderzenie całkowicie niesręŝyste olega na ty, Ŝe w czasie zderzenia oba ciała łączą się i dalszy ruch odbywają wsólnie. Zachowuje się rzy ty ęd całego układu. Z tego, co owiedziano urzednio wynika, Ŝe równa rędkość obu ciał ociąga za sobą inializację energii kinetycznej układu. W taki wyadku zarówno ze stanu B, jak i ze stanu B układ o zderzeniu całkowicie niesręŝysty znajdzie się w stanie B 0 o wsółrzędnych B 0 (b 0, b 0 ), zob. rys.. Punkt B 0 leŝy na elisie o równaniu

9 Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał v + v (4) oraz na rostej o równaniu (4), skąd wynika, Ŝe b 0. Dla wartości energii kinetycznej E większej od E elisa o równaniu v + v E jest większa od elisy danej wzore (), w związku z czy rosta o równaniu () rzecina taką elisę w dwu unktach B oraz B, które rerezentują stany układu o ędzie równy i energii kinetycznej E większej od E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai (0) i (), rzy czy wartość E w tych wzorach naleŝy zastąić wartością E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai () i (3), rzy czy wartość E w tych wzorach równieŝ naleŝy zastąić wartością E. Jeśli w zderzających się ciałach jest zagazynowana jakaś energia otencjalna, która wyzwoli się odczas zderzenia (R. Resnick, D. Halliday (980), str. 73), i energia układu o zderzeniu będzie większa niŝ rzed zderzenie, to rzy zachowany ędzie równy stan układu zieni się odczas zderzenia od unktu B do unktu B. Jeśli wyjściowo układ znajduje się w stanie B, wówczas o zderzeniu będzie w stanie B, zob. rys.. B v v v B B 0 B B v E E E 0 Rys. 3

10 elisa Dla wartości energii kinetycznej E niejszej od E, lecz większej od E 0 v + v E jest niejsza od elisy danej wzore (), lecz większa od elisy danej wzore (4) i a dwa unkty rzecięcia z rostą daną wzore (). Są to unkty B i B, zob. rys. 3. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai (0) i (), rzy czy wartość E w tych wzorach naleŝy zastąić wartością E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai () i (3), rzy czy wartość E w tych wzorach równieŝ naleŝy zastąić wartością E. Jeśli w zderzających się ciałach część energii zostanie rozroszona lub zagazynowana w forie energii otencjalnej w oruszających się cząstkach, to energia kinetyczna układu o zderzeniu będzie niejsza niŝ rzed zderzenie, lecz większa od inialnej energii kinetycznej układu rzy zachowaniu ędu srzed zderzenia. Stan układu zieni się odczas zderzenia od unktu B do unktu B. Jeśli wyjściowo układ znajduje się w stanie B, to o zderzeniu będzie w stanie B, zob. rys. 3. Literatura R. Resnick, D. Halliday (980). Fizyka. PWN. Warszawa. J. Królikowski C. Steckiewicz (963). Mateatyka wzory, definicje i tablice. Wydawnictwo Kounikacji i Łączności. Warszawa.