Związek między pojęciami transpozycji, podobieństwa i symetryzacji oraz równości macierzowe

Transkrypt

1 MATEMATYKA STOSOWANA 6, 2005 Tadeusz Kaczorek(Warszawa) Związek między pojęciami transpozycji, podobieństwa i symetryzacji równości macierzowe Streszczenie. Przeanalizowano związki między transpozycją, podobieństwem i symetryzacją macierzy. Wykazano, że zespolona macierz kwadratowa jest podobna do swojej macierzy transponowanej że istnieje macierz, która realizuje to podobieństwo i jednocześnie symetryzuje daną macierz. Sformułowano i udowodniono pewne równości macierzowe łączące macierze dołączone. Dowody przeprowadzono dla macierzy o elementach z ciała liczb zespolonych, ale wyniki są również prawdziwe dla innych ciał algebraicznie domkniętych. Słowa kluczowe: transpozycja, podobieństwo i symetryzacja macierzy; macierz dołączona. 1. Wprowadzenie. Podstawowym narzędziem matematycznym w teorii układów liniowych jest rachunek macierzowy[1, 2, 8]. Transpozycja i podobieństwo należą do podstawowych działań na macierzach[3]. Szczególnie często wykorzystuje się fakt, że macierze podobne mają ten sam wielomian charakterystyczny. Z symetryzacją macierzy spotykamy się rzadziej, ale również ona odgrywa ważną rolę w teorii układów liniowych. Pojawia się istotne pytanie o związek między tymi pojęciami. Celem tej krótkiej pracy jest zbadanie i wyjaśnienie tego związku. Wykażemy, że zespolona macierz kwadratowa jest podobna do swojej macierzy transponowanej że istnieje macierz, która realizuje to podobieństwo i jednocześnie symetryzuje daną macierz. Podobne zagadnienia były rozpatrywane w pracach[6, 7] dla macierzy nad dowolnym ciałem. W analizie układów liniowych[2, 5] często korzystamy z macierzy dołączonych. W pracy tej zostaną udowodnione pewne równości(tożsamości) macierzowe zawierające macierze dołączone. 2.Związekmiędzytranspozycjąipodobieństwem. Niech C n n będzie zbiorem macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała liczb zespolonych.macierztransponowanąa T macierzya C n n otrzymamy, zamieniającwierszenakolumny.macierzea,b C n n związanezależno- [21]

2 22 T. Kaczorek ścią (1) B=PAP 1 dlapewnejmacierzynieosobliwejp C n n (detp 0)nazywamymacierzami podobnymi. Pojawiasiępytanie,czydladowolnejmacierzyA C n n istniejemacierz nieosobliwap C n n taka,żezachodzirówność (2) A T =PAP 1. Wykażemy, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca, podamy sposób wyznaczania macierzy P. Wpracy[7]wykazano,żemacierzkwadratowaAoelementachzciała FjestzwiązanazeswojątranspozycjąA T zależnościąa T =S 1 AS,przy czymmacierzsjestmacierząsymetrycznąoelementachzciałafże A=S 1 S 2,gdzieS i =Si T,i=1,2(elementyS inależądociałaf). W pracy tej zostanie przedstawione inne podejście. NiechJ 1,...,J k będąklatkamijordanapostaci λ i λ i (3a) J i = , i=1,...,k, λ i lub λ i λ i (3b) J i= , i=1,...,k λ i λ i odpowiadającymiwartościomwłasnymλ 1,λ 2,...,λ k macierzya C n n. DlakażdejmacierzyA C n n istniejemacierznieosobliwap 1 C n n taka, że[1,3] (4) A=P 1 J A P1 1, gdzie (5) J A =diag[j 1 J 2... J k ]. Dalsze rozważania przeprowadzimy tylko dla klatek Jordana pierwszego rodzaju(3a), gdyż rozważania dla(3b) są analogiczne. Łatwo sprawdzić, że zachodzi równość (6) J T A=P 2 J A P 2,

3 przy czym (7) Równości macierzowe P 2 = Zzależności(4),(6)i(7)mamy =P 1 2 =P T 2. (8) A T =P T 1 J T AP T 1 =P T 1 P 2 J A P 2 P T 1 =P T 1 P 2 P 1 1 AP 1 P 2 P T 1 =PAP 1, przy czym (9) P=P1 T P 2 P1 1. Macierz (9) jest macierzą symetryczną, gdyż P T = (P T P T 1 P 2 P 1 1 =P. Zostało więc udowodnione następujące twierdzenie. 1 P 2 P1 1 ) T = Twierdzenie 1. Dla każdej macierzy kwadratowej A na miejsce podobieństwo(2), przy czym macierz P jest określona zależnością(9). Znająckolumnyp 1,p 2,...,p n macierzyp 1,możemywyznaczyćmacierz P 1,korzystajączzależności n (10) P 1 = p i p T n i+1. i=1 Zależność(10) otrzymamy z zależności(9) następująco: P 1 =(P1 T P 2 P1 1 ) 1 =P 1 P 2 P1 T p T p T =[p 1 p 2... p n ] p T n p T n p T n 1 =[p 1 p 2... p n ]. = n p i p T n i+1. p T i=1 1 Przykład 1. Łatwo sprawdzić, że macierz (11) P 1 = przekształca macierz (12) A=

4 24 T. Kaczorek do postaci kanonicznej Jordana (13) J A = Korzystając z zależności(10) macierzy(11), otrzymamy P 1 = p i p T n i+1= 1 [1 0 0]+ 0 [0 0 1]+ 0 [0 1 0] (14) i= = P= Macierze(12) i(14) spełniają równość(2), gdyż (14 ) PAP 1 = = =A T Symetryzacjamacierzy.Mówimy,żemacierzS C n n symetryzujemacierza C n n,gdy (15a) lub (15b) (AS) T =AS (SA) T =SA. Macierz S symetryzuje więc macierz A, jeżeli SA lub AS jest macierzą symetryczną. Macierzy S o własnościach(15a) lub(15b) jest na ogół wiele. Pojawia się pytanie, jaki jest związek symetryzacji(15) z podobieństwem (2)(a więc również z transpozycją). Wykażemy, że między tymi pojęciami występuje ścisły związek. Na powyższe pytanie odpowiedź daje następujące twierdzenie. Twierdzenie 2. Macierz P określona zależnością(9)(realizująca podobieństwo(2)) symetryzuje macierz A. Dowód. Z zależności(9) wynika, że macierz P jest macierzą symetryczną. BiorąctopoduwagęimnożącprawostronnierównośćPAP 1 =A T przez macierz P, otrzymamy (16) PA=A T P=(PA) T. Macierz P symetryzuje więc macierz A.

5 Równości macierzowe 25 Przykład 2. Wyznaczyć macierz S symetryzującą macierz(12). Wprzykładzie1wykazaliśmy,żemacierz(14)spełniazależność(14 ). Z zależności tej otrzymamy natychmiast równość (17) PA=A T P= = Macierz(17) jest macierzą symetryczną. Tak, więc macierz(14) symetryzuje macierz(12). (18a) 4. Równości macierzowe Twierdzenie3.NiechA C n n,b C n,c C 1 n.wtedy (A+BC) ad B=A ad B (18b) C(A+BC) ad =CA ad, gdziea ad jestmacierządołączonądomacierzya. Dowód tego twierdzenia zostanie przeprowadzony dwoma sposobami. Sposób 1. Łatwo sprawdzić, że zachodzi równość[4, str. 64] [A+BC] 1 =A 1 A 1 BCA 1 (19) 1+CA 1 B (mnożąc ją lewostronnie przez macierz A + BC). Mnożąc tę równość prawostronnie przez B korzystając z zależności otrzymamy (20) [A+BC] ad B det[a+bc] [A+BC] 1 = [A+BC] ad det[a+bc], =A 1 B A 1 BCA 1 B 1+CA 1 B = A 1 B 1+CA 1 B A ad B = deta+ca ad B. Korzystajączrównościdet(I n +BC)=1+CB,łatwowykazać,że[2, str. 757] (21) det[a+bc]=deta+ca ad B. Po uwzględnieniu(21) z równości(20) otrzymujemy równość(18a). Dowód równości(18b) różni się tylko tym, że równość(19) mnożymy lewostronnie przez C. (22a) Sposób 2. Weźmy pod uwagę następujące dwa równania: [I n s A]x=Bu

6 26 T. Kaczorek (22b) u=v Cx, gdziexjestn-wymiarowymwektorem,uivsąskalarami,ai n macierzą jednostkową stopnia n. Rugując z równań(22) u dwoma różnymi sposobami, wyznaczamy zależności wiążące x i v. W pierwszym przypadku zależność(22b) podstawiamy do(22a) i otrzymamy (23) [I n s+a+bc]x=bv x=[i n s+a+bc] 1 Bv= [I ns+a+bc] ad B det[i n s+a+bc] v. W drugim przypadku z równania(22a) wyznaczamy (24) x=[i n s+a] 1 Bu i otrzymaną zależność podstawiamy do(22b). Otrzymamy wówczas (25) u=v C[I n s+a] 1 Bu u= Zależność(25) podstawiamy do(24): (26) x= [I n s+a] 1 B 1+C[I n s+a] 1 B v= 1 1+C[I n s+a] 1 B v. Mianowniki zależności(23) i(26) są sobie równe: gdyż [I n s+a] ad B det[i n s+a]+c[i n s+a] ad B v. det[i n s+a+bc]=det{[i n s+a][i n +[I n s+a] 1 BC]} =det[i n s+a]det[i n +[I n s+a] 1 BC] =det[i n s+a]{1+c[i n s+a] 1 B} =det[i n s+a]+c[i n s+a] ad B, det[i n +[I n s+a] 1 BC]=1+C[I n s+a] 1 B. Z równości prawych stron zależności(23) i(26) mianowników wynika natychmiast, że zachodzi równość (27) [I n s+a+bc] ad B=[I n s+a] ad B dlawszystkichs. Podstawiając w tej zależności s = 0, otrzymamy(18a). Dowód równości (18b) jest analogiczny. Inny, znacznie dłuższy dowód tego twierdzenia jest podany w pracy[4].

7 Równości macierzowe 27 Przykład 3. Niech b 1 (28) A= 1 2 1, B= b 2, C=[c 1 c 2 c 3 ]. 0 0 a b 3 Wykażemy, że są spełnione równości(18) dla dowolnych elementów macierzy BiCwartościparametruamacierzyA.Zauważmy,żedlaa=0 macierzajestmacierząosobliwą.macierzdołączonaa ad mapostać 2a a 1 A ad = a a Wobec tego 2ab 1 ab 2 +b 3 A ad B= a(b 2 b 1 ) b 3, (29) b 3 CA ad =[2ac 1 ac 2 a(c 2 c 1 ) c 1 c 2 +c 3 ]. Macierz dołączona do macierzy b 1 c 1 +1 b 1 c 2 +1 b 1 c 3 A+BC= b 2 c 1 +1 b 2 c 2 +2 b 2 c 3 +1 b 3 c 1 b 3 c 2 b 3 c 3 +a ma postać (30) [A+BC] ad = [ ] 2a+ab2 c 2 +2b 3 c 3 b 3 c 2 ab 1 c 2 b 3 c 2 a b 2 c 3 +b 1 c 2 2b 1 c 3 +1 b 3 c 1 ab 2 c 1 b 3 c 3 a a+ab 1 c 1 +b 3 c 3 b 1 c 3 b 1 c 1 b 2 c 3 1. b 3 c 2 2b 3 c 1 b 3 c 1 b 3 c 2 2b 1 c 1 +b 2 c 2 b 1 c 2 b 2 c 1 +1 Zatem [A+BC] ad B [ 2a+ab2 c 2 +2b 3 c 3 b 3 c 2 ab 1 c 2 b 3 c 2 a b 2 c 3 +b 1 c 2 2b 1 c 3 +1 = b 3 c 1 ab 2 c 1 b 3 c 3 a a+ab 1 c 1 +b 3 c 3 b 1 c 3 b 1 c 1 b 2 c 3 1 b 3 c 2 2b 3 c 1 b 3 c 1 b 3 c 2 2b 1 c 1 +b 2 c 2 b 1 c 2 b 2 c ab 1 ab 2 +b 3 = a(b 2 b 1 ) b 3 b 3 ][ b1 C[A+BC] ad =[c 1 c 2 c 3 ] [ ] 2a+ab2 c 2 +2b 3 c 3 b 3 c 2 ab 1 c 2 b 3 c 2 a b 2 c 3 +b 1 c 2 2b 1 c 3 +1 b 3 c 1 ab 2 c 1 b 3 c 3 a a+ab 1 c 1 +b 3 c 3 b 1 c 3 b 1 c 1 b 2 c 3 1 b 3 c 2 2b 3 c 1 b 3 c 1 b 3 c 2 2b 1 c 1 +b 2 c 2 b 1 c 2 b 2 c 1 +1 =[2ac 1 ac 2 a(c 2 c 1 ) c 1 c 2 +c 3 ]. b 2 b 3 ]

8 28 T. Kaczorek Tak więc równości(18) są spełnione dla dowolnych elementów macierzy B icwartościparametrówamacierzya. 5. Uwagi końcowe. W pracy przeanalizowano związek trzech pojęć: transpozycji, podobieństwa i symetryzacji macierzy. Wykazano, że pojęcia te łączy ścisły związek. Udowodniono, że zespolona macierz kwadratowa jest podobna do swojej macierzy transponowanej że istnieje macierz, która realizuje to podobieństwo i jednocześnie symetryzuje daną macierz. Sformułowano i udowodniono równości macierzowe(18)(twierdzenie 3) wiążące macierze dołączone. Rozważania ogólne zilustrowano przykładami. Szczegółowe rozważania przeprowadzono dla macierzy o elementach z ciała liczb zespolonych C. Łatwo zauważyć, że otrzymane wyniki są również prawdziwe dla innych ciał algebraicznie domkniętych. Serdecznie dziękuję Recenzentom za cenne uwagi. Cytowane prace [1] B. N. Datta, Numerical Methods for Linear Control Systems, Elsevier, Amsterdam, [2] T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN,Warszawa, [3] T. Kaczorek, Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice, WNT, Warszawa, [4] P. Lancaster, M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, wyd. II, Academic Press, Orlando, [5] W. Malesza, Pewien dowód ciekawego twierdzenia z algebry macierzowej, opracowanie wewnętrzne Instytutu Sterowania i Elektroniki Przemysłowej Politechniki Warszawskiej, [6] O. Taussky, H. Zassenhaus, On the similarity transformation between a matrix and its transpose, Pacific J. Math. 9(1956), [7] O. Taussky, The role of symmetric matrices in the study of general matrices, Linear Algebra Appl. 5(1972), [8] S. H. Żak, Systems and Control, Oxford University Press, New York, Instytut Sterowania i Elektroniki Przemysłowej Wydział Elektryczny Politechnika Warszawska Koszykowa 75, Warszawa kaczorek@isep.pw.edu.pl