Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera K ij membrany polimerowej
|
|
- Franciszek Czajkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 prace oryginalne Polim. Med. 03, 43, 4, ISSN opyright by Wroclaw Medical University ornelia M. Batko, a e, Izabella Ślęzak-Prochazka, a e, Andrzej Ślęzak3, a f Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej Network Form of the edem-atchalsky Equations for Ternary Non-Electrolyte Solutions. 6. Evaluation of ij Peusner s oefficients for Polymeric Membrane atedra Informatyki Ekonomicznej, Uniwersytet Ekonomiczny, atowice, Polska Instytut Marketingu, Politechnika zęstochowska, zęstochowa, Polska 3 atedra Zdrowia Publicznego, Politechnika zęstochowska, zęstochowa, Polska A koncepcja i projekt badania; B gromadzenie i/lub zestawianie danych; analiza i interpretacja danych; D napisanie artykułu; E krytyczne zrecenzowanie artykułu; F zatwierdzenie ostatecznej wersji artykułu Streszczenie Wprowadzenie. Termodynamika sieciowa Peusnera (PNT) umożliwia transformację równań transportu membranowego edem-atchalsky ego (-) z postaci klasycznej do sieciowej. W przypadku ternarnych i jednorodnych roztworów nieelektrolitów wynikiem transformacji są dwie symetryczne i sześć hybrydowych postaci sieciowych równań -. Symetryczne postaci tych równań zawierają współczynniki Peusnera R ij lub L ij, a hybrydowa współczynniki Peusnera H ij, W ij, N ij, ij, S ij lub P ij. Do obliczeń tych współczynników można użyć wyznaczonych doświadczalnie parametrów transportowych, tj. współczynników przepuszczalności hydraulicznej (L p ), przepuszczalności solutu (ω) i odbicia (σ). el pracy. Wyprowadzenie sieciowej postaci równań - dla jednorodnych ternarnych roztworów nieelektrolitów zawierającej współczynniki Peusnera ij (i, j {,, 3}) tworzące macierz trzeciego stopnia współczynników Peusnera [], obliczenie zależności współczynników ij od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie ( ) przy ustalonej wartości drugiego ( ) oraz porównanie tych zależności z odpowiednimi zależnościami dla współczynników R ij, L ij, H ij i N ij przedstawionymi w 5 części pracy. Materiał i metody. Materiałem badawczym była membrana do hemodializy (Nephrophan) o znanych parametrach transportowych dla wodnych roztworów glukozy i etanolu. Narzędziem badawczym jest formalizm PNT oraz klasyczna postać równań - dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. Wyniki. orzystając z hybrydowych transformacji sieci termodynamicznych Peusnera, przedstawiono sieciową postać równań - dla roztworów ternarnych składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych. Obliczono zależności współczynników Peusnera ij zależności ilorazów ij /R ij, ij /L ij, ij /H ij i ij /N ij (i, j {,, 3}) dla warunków jednorodności roztworów od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie ( ) przy ustalonej wartości drugiego ( ). Wnioski. Sieciowa postać równań - zawierająca współczynniki Peusnera ij (i, j {,, 3}) jest kolejnym narzędziem nadającym się do badania transportu membranowego. Wykazano na podstawie obliczeń, że współczynniki,, 3 i 3 są czułe na skład i stężenie roztworów rozdzielanych przez membranę polimerową (Polim. Med. 03, 43, 4, 77 95). Słowa kluczowe: transport membranowy, termodynamika sieciowa Peusnera, współczynniki Peusnera, równania edem- -atchalsky ego, roztwory ternarne.
2 78.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak Abstract Background. Peusner Network Thermodynamics (PNT) enables transformation of edem-atchalsky (-) membrane transport equations from classical to network form. For ternary and homogenous nonelectrolyte solutions, transformation results in two symmetrical and six hybrid forms of network - equations. Symmetrical forms of these equations contain Peusner s coefficients R ij or L ij, whereas hybrid forms contain Peusner s coefficients H ij, W ij, N ij, ij, S ij or P ij. Experimental transport parameters can be used to calculate Peusner s coefficients, i.e. hydraulic permeability (L p ), solute permeability (ω) and reflection (σ) parameters. Objectives. The aim of this paper is to derive network form of - equations for homogenous ternary nonelectrolyte solutions that contain Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}). These coefficients form a third degree matrix of Peusner s coefficients []. Moreover, we aim to calculate dependences of ij coefficients on average concentration of one component of solution in a membrane ( ) when value of the second one ( ) is fixed and to compare these dependences with appropriate dependences for coefficients R ij, L ij, H ij and N ij presented in 5 parts of the paper. Materials and Methods. A cellulose hemodialysis membrane (Nephrophan) of known transport parameters for aqueous glucose and ethanol solutions was a research material. The PNT formalism and classical form of - equations for ternary non-electrolyte solutions was a research tool in this paper. Results. The network form of - equations was presented using the hybrid transformation of Peusner s thermodynamic networks for ternary solutions that contain solvent and two dissolved substances. For homogenous solutions, we calculated dependences of Peusner s coefficients ij and quotients ij /R ij, ij /L ij, ij /H ij and ij /N ij (i, j {,, 3}) on average concentration of one component ( ) of the solution in a membrane when value of the second one is fixed ( ). onclusions. The network form of - equations that contain Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}) is a novel tool to study membrane transport. We showed based on calculations that coefficients,, 3 and 3 are sensitive for composition and concentration of solutions separated by a polymer membrane (Polim. Med. 03, 43, 4, 77 95). ey words: membrane transport, Peusner s network thermodynamics, edem-atchalsky equations, Peusner s coefficients, ternary solution. Termodynamika sieciowa (Network Thermodynamics, NT), która jest połączeniem termodynamiki klasycznej, nierównowagowej, teorii sieci, topologii i analizy matematycznej, jest jednym z ostatnich wielkich wkładów do nauki profesora Aharona atchalsky ego [, ]. Opiera się na pionierskiej idei Meixnera wprowadzającej zapis powiązań między nierównowagowymi systemami transportu a sieciami elektrycznymi [3, 4]. Zwykle NT jest narzędziem do modelowania i formalizmem matematycznym dla teorii systemów wprowadzającym relacje modelujące wykorzystywane do definiowania modeli analogowych [, 5]. Obecnie sieciowe modele analogowe układów ciągłych są narzędziami badawczymi stosowanymi w dyscyplinach nauki, techniki i medycyny [5 6]. NT, jaką stworzyli George Oster, Alan Perelson i Aharon atchalsky, została użyta do reprezentacji systemu nazywanego grafem połączeń (bond graph) wykorzystywanego w nauce i technice do analizy układów złożonych [, 6]. W wersji NT, opracowanej przez Leonardo Peusnera, używa się reprezentacji i symboliki teorii obwodów elektrycznych [ 5]. Należy wspomnieć, że obydwie wersje NT są równoważne [7]. W latach 80. XX w. Peusner zastosował NT do symetrycznej i hybrydowej transformacji klasycznych równań edem-atchalsky ego (-), które są jednym z podstawowych narzędzi badawczych transportu membranowego [6, 3, 7 36]. Otrzymał w ten sposób transformowane równania -, które stanowią sieciową postać równań - [6, 3]. Dla roztworów nieelektrolitów składających się z rozpuszczalnika i jednej substancji rozpuszczonej symetryczne postaci sieciowych równań - zawierają współczynniki Peusnera R ij lub L ij, a hybrydowe współczynniki Peusnera H ij lub P ij [6, 3]. Gdy roztwory nieelektrolitów składają się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych, wynikiem transformacji klasycznych równań - są dwie symetryczne (zawierające współczynniki Peusnera R ij lub L ij,) i sześć hybrydowych (zawierających współczynniki Peusnera H ij, W ij, S ij, N ij, ij lub P ij ) postaci sieciowych równań - [37 4]. Równania - są stosowane do badania transportu membranowego roztworów o różnym składzie i różnych właściwościach fizykochemicznych zarówno w wersji klasycznej, jak i sieciowej [6, 3, 7 36]. Współczynniki Peusnera R ij, L ij, H ij, W ij, S ij, N ij, ij lub P ij są wynikiem rozważania dwukierunkowego dwuportu termodynamiki sieciowej Peusnera (Peusner Network Thermodynamics, PNT) dla trzech sił i trzech strumieni termodynamicznych [6, 3, 6, 37 4]. Rozważany dwuport ma wejścia dla: strumienia J i sprzężonej z nim siły X, strumienia J i sprzężonej z nim siły X oraz strumienia J 3 i sprzężonej z nim siły X 3. Procedura obliczania współczynników Peusnera R ij, L ij, H ij, W ij, S ij, N ij, ij lub P ij (i, j {,, 3}) wymaga znajomości parametrów transportowych membrany, tj. współczynników: przepuszczalności hydraulicznej (L p ), przepuszczalności solutu (ω) i odbicia (σ) [7 ]. Współczynniki te można wyznaczyć doświadczalnie, zgodnie z metodyką opracowaną i opisaną w pracy [7]. W poprzednich pracach autorów przedstawiono sieciowe postaci równania edem-atchalsky ego otrzymane w wyniku symetrycznych lub hybrydowych transformacji sieci termodynamicznych Peusnera dla ternarnych roztworów nieelektrolitów w warunkach jednorodności roztworów [7 ]. Otrzymane równa-
3 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 79 nia zawierają współczynniki R ij, L ij, H ij, W ij lub N ij (i, j {,, 3}) [37 4]. W pracach tych przedstawiono wyniki obliczeń stężeniowych zależności tych współczynników, tj. charakterystyki R ij f ( ), L ij f ( ), H ij f ( ), W ij ) f ( const. i N ij f ( ), gdzie, średnie stężenia składników i roztworu w membranie. W obecnej pracy, autorzy będą rozważać kolejną kombinację strumieni (J, J, J 3 ) i sił termodynamicznych (X, X, X 3 ), a mianowicie: X J X J X J 3 [ ] J X J 3 () orzystając z powyższego równania, zostanie przedstawiona hybrydowa transformacja klasycznej postaci równań - do sieciowej postaci równań - zawierających współczynniki ij (i, j {,, 3}). W pracy zostaną przedstawione wyniki obliczeń zależności ij f ( ) (i, j {,, 3}) dla membrany polimerowej Nephrophan i roztworów składających się z wody i rozpuszczonych w niej dwóch substancji nieelektrolitycznych. Owe substancje oznaczono subskryptami i. Stężeniowe zależności współczynników ij ze stężeniowymi zależnościami współczynników H ij, R ij, L ij, W ij i N ij (i, j {,, 3}) poprzez obliczenie ilorazów ij /R ij, ij /L ij, ij /H ij, ij /W ij i ij /N ij. elem obecnych badań, podobnie jak poprzednio opisanych badań autorów, jest ocena właściwości transportowych membrany polimerowej dla ternarnych roztworów nieelektrolitów za pomocą współczynników Peusnera ij [37 4]. Opis transportu membranowego jednorodnych roztworów za pomocą PNT Analogicznie jak w poprzednich pracach autorzy rozważają stacjonarne i izotermiczne przepływy osmotyczno-dyfuzyjne przez membranę (M) ustawioną w płaszczyźnie wertykalnej [37 4]. Owa membrana rozdziela przedziały oznaczone h i l, wypełnione mieszanymi mechanicznie roztworami tych samych dwóch substancji oznaczonych indeksami i o stężeniach w chwili początkowej h, h, l i l ( h > l, h > l ) [37 4]. Autorzy zakładają, że membrana jest selektywna dla wody i rozpuszczonych w niej substancji oraz jest elektroobojętna, ponadto, że strukturę membrany chrakteryzuje izotropowość oraz poprzeczna symetria, a roztwory rozdzielane przez membranę, w każdym punkcie, spełniają warunek jednorodności. Ten ostatni wymóg dotyczy także powierzchni styku roztworów z membraną. Wszystkie rozważania będą przeprowadzone zgodnie z formalizmem edem-atchalsky ego, który wymaga między innymi, aby właściwości transportowe membrany były określone przez współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ, σ ) i przepuszczalności substancji rozpuszczonej (ω, ω, ω, ω ) [7]. Zgodnie z nomenklaturą i symboliką zaproponowanymi przez O. edem i A. atchalsky ego strumień objętościowy i strumienie substancji rozpuszczonych przez membranę oznaczono odpowiednio przez J v, J s i J s [7]. Owe strumienie ternarnych roztworów nieelektrolitów można wyrazić matematycznie za pomocą równań -, które dla warunków jednorodności roztworów rozdzielanych przez membranę można zapisać w postaci [7, 30, 3]: J J Jv Lp ( P σ π σ π ) () s ω π + ω π + Jv ( σ) (3) s ω π + ω π + Jv ( σ ) (4) gdzie: J v strumień objętościowy, J s i J s strumienie solutu substancji i przez membranę w warunkach jednorodności roztworów, L p współczynnik przepuszczalności hydraulicznej, σ i σ współczynniki odbicia odpowiednio substancji i, ω i ω współczynniki przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indeksami i oraz ω i ω współczynniki krzyżowej przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indeksami i. ΔP P h P l różnica ciśnień hydrostatycznych (P h, P l oznacza wyższą i niższą wartość ciśnienia hydrostatycznego). Δπ k RT( kh kl ) jest różnicą ciśnień osmotycznych (RT oznacza iloczyn stałej gazowej i temperatury termodynamicznej, natomiast h i l stężenia roztworów, k, ). k ( kh kl )[ln( khkl )] średnie stężenie solutu w membranie. W celu przetransformowania równań edem-atchalsky ego do postaci zgodnej z równaniem macierzowym () autorzy przekształcą równania () i (3) oraz odejmą Δπ i Δπ od lewej i prawej strony równania (). W wyniku tych operacji algebraicznych otrzymuje się: J P π π (5) v π ( σ) π ( σ ) Lp π J ω π J ( σ ) s v (6) ω ω ω Za pomocą stosunkowo prostych manipulacji algebraicznych polegających na uwzględnieniu w równaniach (3) (5), równania (6) i czynników i, otrzyma się następującą postać równań (4) (6):
4 80.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak P ( σ ) ( σ ) ω π σ π π + Jv + σ Js Lp ω + ω (7) ω J s ( σ) ω ωω π ω ( σ ) Jv ω + Js ω + ω (8) ω π σ ω π (9) Jv + J s ω ω ω Układ równań (7) (9) stanowi kolejną postać sieciowych równań - otrzymanych przez hybrydową transformcję sieci termodynamicznych Peusnera. Ów układ równań można również zapisać w postaci równania macierzowego: P π π Js π Jv Jv π π [ ] Js Js (0) Porównując równania (7) (9) z równaniem (0), można napisać: ( σ) + () L ω p ( σ) ω + σ () ω σ 3 (3) ω ( σ ) ω ( σ) (4) ω ωω ω (5) ω ω 3 (6) ω σ 3 3 ω ω (7) 3 (8) ω 33 ω (9) Zasady termodynamiki sieciowej [6] dla współczynników niediagonalnych występujących w równaniu (0) nie wymagają spełnienia relacji przemienności tych współczynników, tj. relacji ij ji (i j). W opisanym powyżej przypadku dla współczynników niediagonalnych mamy 3 3, oraz 3 3. Z równań () (9) wynika ponadto, że wartość współczynników 3, 3 i 3 jest niezależna od stężenia. Autorzy obliczą teraz wyznacznik macierzy [], korzystając z algorytmu algebry macierzy [4]. Zgodnie z nim det [] ( ) + ( ) + 3 ( 3 3 ). Uwzględniając wyrażenia () (9), w tym równaniu otrzyma się: det[ [ ω + L ( σ ] ] L ω p p ) (0) Analogicznie jak w przypadku det [R], det [L], det [H], det [N] i det [] jest wyznacznikiem trzeciego stopnia. Oznacza to, że ma on dziewięć minorów przynależnych do elementów ij (i, j {,, 3}). Wyniki obliczeń współczynników i omówienie Stężeniowe zależności współczynników N ij (i, j {,, 3}) występujących w macierzy [N] obliczono zgodnie z procedurą opisaną w poprzednich pracach autorów na podstawie wyrażeń () (9) [37 4]. Obliczenia wykonano dla membrany polimerowej Nephrophan i roztworów ternarnych składających się z rozpuszczalnika (wody), substancji oznaczonej indeksem (glukoza) i substancji oznaczonej indeksem (etanol). Parametry transportowe membrany określone są przez współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ, σ ), przepuszczalności dyfuzyjnej (ω, ω, ω, ω ). Do obliczeń przyjęto stałe wartości tych współczynników: L p 4,9 0 m 3 N s, σ 0,068, σ 0,05, ω 0,8 0 9 mol N s, ω 0,8 0 3 mol N s i ω, mol N s i ω,63 0 mol N s. Dane te zostały zaczerpnięte z pracy [3]. Ponadto do obliczeń przyjęto następujące założenia:
5 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 8 stężenie substancji w przedziale h zmienia się w zakresie od h mol m 3 do h 00 mol m 3, stężenie substancji w przedziale h jest stałe i wynosi h 0 mol m 3, stężenie substancji i znajdujących się w przedziale l jest stałe i wynosi l l mol m 3, średnie stężenia składników roztworu i w membranie (, ), ze stężeniami h, h, l i l ( h > l, h > l ), związane są za pomocą następujących wyrażeń: ( h l )[ln ( h l )] i ( h l )[ln ( h l )]. Wykorzystując powyższe dane oraz równania () (9), obliczono zależności współczynników Peusnera,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 od średniego stężenia w membranie ( ) dla, const. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że wartość współczynników 3 3 i 3 jest niezależna od stężenia. W związku z tym ich wartość jest stała i wynosi odpowiednio 3 3 6,8 0 8 N s mol oraz 3 5, Z uwagi na przyjętą konwencję obliczania współczynników danych równaniami () (0) stałe wartości przyjmują także współczynniki i 33. Obliczone na podstawie równań () i (0) wartości tych współczynników wynoszą 0,3 0 7 N s m 3 i 33, mol N s m 3. Wartości pozostałych współczynników, tj. współczynników,, i 3 jest zależna od stężenia roztworów, na co wskazują wykresy przedstawione na ryc. 3. Z przedstawionych na ryc. charakterystyk f ( ) oraz f ( ) obliczonych odpowiednio na podstawie równań () i (4) wynika, że wartość współczynnika jest ujemna i maleje liniowo, a współczynnika dodatnia i rośnie liniowo, ze wzrostem wartości, przy ustalonym. Współczynniki, są bezwymiarowe. Podobnie jak charakterystyka f ( ), charakterystyka f ( ) const. obliczona na podstawie równania (5) i przedstawiona na ryc. jest także liniowa, a wartości są dodatnie w całym zakresie. Wymiar tego współczynnika jest taki sam jak wymiar ω. Na ryc. 3 przedstawiono charakterystykę 3 f ( ) obliczoną na podstawie równania (8). Z charakterystyki tej wynika, że wartość współczynnika 3 maleje liniowo wraz ze wzrostem, przy ustalonym oraz, że ów współczynnik jest bezwymiarowy. W celu porównania wartości współczynników ij z wartościami współczynników H ij, R ij, L ij, W ij i N ij (i, j {,, 3}) oblicza się ilorazy ij /R ij, ij /L ij, ij /H ij, ij /W ij i ij /N ij. Użyte do obliczenia owych ilorazów wyrażenia dla: współczynników R, R, R 3, R, R, R 3, R 3, R 3 i R 33, współczynników L, L, L 3, L, L, L 3, L 3, L 3 i L 33, współczynników H, H, H 3, H, H, H 3, H 3, H 3 i H 33, współczynników W, W, W 3, W, W, W 3, W 3, W 3 i W 33 oraz współczynników N, N, N 3, 4 7 ij Ryc.. Graficzne przedstawienie zależności f ( ) (wykres ) i f ( ) (prosta ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Wartości współczynnika obliczono na podstawie równania (), a współczynnika na podstawie równania (4) Fig.. Graphic illustration of dependencies f ( ) (line ) and f ( ) (line ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient were calculated based on equation () and coefficient based on equation (4)
6 8.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak [mol N s m 3 ] Ryc.. Graficzne przedstawienie zależności f ( ) const. substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika obliczono na podstawie równania (5) Fig.. Graphic illustration of dependence f ( ) const. labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient were calculated based on equation (5) 0,0 0,9, ,7 3,6 4, Ryc. 3. Graficzne przedstawienie zależności 3 f ( ) const. substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 obliczono na podstawie równania (8) Fig. 3. Graphic illustration of dependence 3 f ( ) const. labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 were calculated based on equation (8)
7 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej N, N, N3, N3, N3 i N33 przedstawiono w poprzednich pracach autorów [37 4]. Z kolei współczynniki,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 są opisane przez wyrażenia () (9). Poprzez odpowiednie operacje al- 83 gebraiczne można zademonstrować, że ilorazy ij/rij, ij/lij, ij/hij, ij/wij i ij/nij. (i, j {,, 3}, w których współczynniki Rij, Lij, Hij, Wij, Nij i ij mają takie same wskaźniki, przyjmują następującą postać: (ω ω ω ω)[ω + L p ( σ ) ] R ω{ A + L p [ ω ( σ ) + ω( σ ) (ω ω )( σ )( σ )]} () (ω ω ω ω) R ω () 3 ( σ )(ω ω ω ω) R3 ω [ω ( σ ) ω( σ )] (3) (ω ω ω ω )[ω ( σ ) ω ( σ ) ] R ω [ω ( σ ) ω ( σ ) ] (4) (ω ω ω ω) R ω (5) 3 ω L3 ω[ ω + L p ( σ )( σ )] (37) 3 (ω ω ω ω) R3 R ω (6) 33 L33 ω [ ω + L p ( σ ) ] (38) 3 ( σ )(ω ω ω ω) (7) R 3 ω [ω ( σ ) ω( σ ) ] 3 (ω ω ω ω) 3 (8) R 3 ω R R 3 33 ω ω R 33 ω ω (9) gdzie: A ωω ωω. Postać wyrażeń dla ilorazów ij/lij (i, j {,, 3}), których współczynniki ij i Lij mają takie same wskaźniki, jest następująca: Z kolei ilorazy ij/hij (i, j {,, 3}) zawierające współczynniki ij i Hij o takich samych wskaźnikach można zapisać następująco: L p ( σ ) + H ω (39) ω ( σ ) ω ( σ ) H ( σ ) ω (40) 3 H3 ω (4) ω ( σ ) ω ( σ ) H ( σ ) ω (4) ω ω H ω ω (43) ω + L p ( σ ) L L p ω (30) ω ( σ ) ω ( σ ) L L p ( σ ) ω (3) (44) 3 L3 L p ω 3 3 H 3 ω H 3 (3) (45) ω ( σ ) ω ( σ ) L L p ( σ ) ω H 3 H 3 H 3 ω (33) ω ω ω ω L ω [ω + L p ( σ ) ] (46) (34) H 3 H 3 H 3 ω H 3 3 ω L3 ω[ ω + L p ( σ )( σ )] (47) (35) 33 H 33 ω 3 L3 L p ω L3 (36) Ilorazy ij/wij (i, j {,, 3}) zbudowane z współczynników ij i Wij o takich samych wskaźnikach można przedstawić jako:
8 84.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak 4 ω L p ( σ ) W L p ω (48) [ ω ( σ ) ω ( σ )][ ω L p ( σ ) ] W L p ω[( σ ) ω ( σ ) ω ] (49) ω L p ( σ ) 3 W3 L p ω (50) [ ( σ ) ω ( σ ) ω ][ ω L p ( σ ) ] W L p ω[ ( σ ) ω ( σ ) ω ] (5) (ω ω ω ω)[ω + L p ( σ ) ] W ω { A L p [ ω( σ ) + ω ( σ ) (ω + ω )( σ )( σ )]} (5) ω [ω L p ( σ ) ] 3 W3 ω [ω L p ( σ )( σ ) ] 3 ( σ )[ω L p ( σ ) ] W3 L p ( σ ) ω (53) 3 ω 3 N 3 ω N 3 (64) (54) 33 ω N 33 ω (ω ω ω ω ) (65) L p ( σ ) 33 W33 ω (55) ω[ω L p ( σ ) ] 3 W3 ω [ω L p ( σ )( σ ) ] (56) gdzie: A ωω ωω. Ilorazy ij/nij (i, j {,, 3}) zbudowane z współczynników ij i Nij o takich samych wskaźnikach można przedstawić jako: ω [ω + L p ( σ ) ] N ω [ω + L p ( σ ) ] (57) [ω ( σ ) ω( σ )] ω N ω ( σ ) (58) 3 ( σ ) ω N3 ω [( σ ) ω ( σ ) ω] (59) ω [ω ( σ ) ω ( σ ) ] N ω ( σ ) (60) ω (ω ω ω ω) N ω (6) 3 ω N 3 ω (6) 3 ( σ ) ω N 3 ω [ ( σ ) ω ( σ) ω ] (63) Obliczenia wykonane na podstawie równań (3), (9), (30) (3), (36) (38), (39) (4), (43) (47), (48), (50), (54) (56), (59) i (65) pokazują, że 3/R3 0,96, 33/R33, /L 4,69 0 N s m 3, /L,04 0 Ns m 3, 3/L3 3,78 08 Nsmol, /L 3/L3 3,78 08 N s mol 3, 3/L3,78 06 m3 Ns mol, 33/L33 3,06 04 m6 Nsmol 4, /H,3, /H,85 07 N s m3 mol, 3/H3 3/H3 3/H3 3/H3,85 07 N s m3 mol. /H, 33/H33 3,44 04 m6 Nsmol 4, /W 4,6 0 Nsm6, 3/W3 3/W3,79 0 N s m 3, 3/W3 8,59 0 3, 33/W33 0,88, 3/N3 6,99 08 N s mol i 33/N33 3,44 04 m6 Nsmol 4. Pozostałe ilorazy, tj. /R, 3/R3, /R, /R, /R, 3/R3, 3/R3, 3/R3, /L, /L, 3/L3, /H, /W, /W, /W, 3/W3, /N, /N, /N, /W, 3/N3, 3/N3 oraz 3/N3 zależą od przy ustalonej wartości, co ilustrują wykresy przedstawione na rycinach 4 9. Na ryc. 4 przedstawiono graficzną ilustrację zależności /R f ( ) const. obliczoną na podstawie równania (). Wykres ilustrujący tę zależność jest hiperbolą znajdującą się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Należy zaznaczyć, że stosunek /R jest bezwymiarowy. Podobny przebieg i podobne właściwości mają charakterystyki /L f ( ) const. i /N f ( ) const. obliczone odpowiednio na podstawie równań (34) i (57) i przedstawiona odpowiednio na ryc. 9 i 5. Stosunki /R, /L i /N są bezwymiarowe. Na ryc. 5 przedstawiono graficzne ilustracje zależności /R f ( ) const. i /R f ( ) const. obliczone odpowiednio na podstawie równań () i (4).
9 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 85,0 0,9 /R 0 5 0,8 0,7 0, Ryc. 4. Graficzne przedstawieniea zależności /R f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /R obliczono na podstawie równania () Fig. 4. Graphic illustration of dependence /R f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /R were calculated based on equation () 4,0 0,5 ij /R ij 0 8 [mol N s m 3 ] 7,0 3,5 0,0 3,5 7,0 /R /R 0, Ryc. 5. Graficzne przedstawienie zależności /R f ( ) (prosta ) i /R f ( ) (prosta ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości /R obliczono na podstawie równania () oraz współczynnika /R na podstawie równania (4) Fig. 5. Graphic illustration of dependence /R f ( ) (line ) and /R f ( ) (line ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant. The values of /R were calculated on the basis of equation () and coefficient /R on the basis of equation (4)
10 86.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak Wykresy ilustrujące te zależności są prostymi, z których pierwsza znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, a druga w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Oznacza to, że wartość stosunku /R rośnie, a stosunku /R maleje wraz ze zwiększeniem przy ustalonej wartości. Należy zaznaczyć, że wymiar stosunków /R i /R jest taki sam jak wymiar ω. Podobny przebieg i podobne właściwości mają charakterystyki 3 /R 3 f ( ) i 3 /R 3 f ( ) const. obliczone odpowiednio na podstawie równań (8) i (6) i przedstawione odpowiednio na ryc. 7 i charakterystyki /N f ( ) i /N f ( ) obliczone odpowiednio na podstawie równań (58) i (60) i przedstawione odpowiednio na ryc. 6. Należy zaznaczyć, że wymiar stosunków /R, /R, 3 /R 3, 3 /R 3, /N i /N jest taki sam jak wymiar ω. Na ryc. 6 przedstawiono graficzną ilustrację zależności /R f ( ) obliczoną na podstawie równania (5). Wykres ilustrujący tę zależność jest półparabolą znajdującą się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Podobny przebieg i podobne właściwości mają charakterystyki 3 /R 3 f ( ) const. i /N f ( ) obliczone odpowiednio na podstawie równań (7) i (6) i przedstawione odpowiednio na ryc. 8 i 7. Wymiar stosunków /R i 3 /R 3 jest taki sam jak wymiar ω, natomiast stosunek /N jest bezwymiarowy. Na ryc. 0 przedstawiono graficzną ilustrację zależności 3 /L 3 f ( ) const. obliczoną na podsta- wie równania (35). Wykres ilustrujący tę zależność jest hiperbolą znajdującą się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, Należy zaznaczyć, że wymiar stosunku 3 /L 3 jest taki sam, jak wymiar odwrotności ω. Podobny przebieg i podobne właściwości ma charakterystyka /W f ( ) obliczona na podstawie równania (5) i przedstawiona na ryc.. Wymiar stosunku /W jest taki sam, jak wymiar odwrotności L p. Analogiczny wymiar ma stosunek /W, ale jego wartość jest stała i wynosi /W,8 0 Ns m 3. Na ryc. przedstawiono graficzną ilustrację zależności /H f ( ) obliczoną na podstawie równania (4). Wykres ilustrujący tę zależność jest krzywą typu nasyceniowego znajdującą się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Oznacza to, że wartość stosunku /H początkowo szybko rośnie, a następnie dla 37,7 mol m 3 osiąga wartość stałą wynoszącą /H. Należy zaznaczyć, że stosunek stosunku /H nie posiada wymiaru. Na ryc. przedstawiono graficzną ilustrację zależności /W f ( ) obliczoną na podstawie równania (5). Równanie to ma rozwiązanie w postaci dwóch sprzężonych ze sobą hiperbol, z których pierwsza znajduje się w pierwszej ćwiartce, a druga w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Z wyrażenia (5) wynika, że stosunek /W spełnia relację /W ± wtedy, gdy mianownik tego wyrażenia dąży do zera. Przyrównajmy zatem mianownik tego wyrażenia do zera. W wyniku prostych przekształceń otrzyma się: 40 0 /R [mol 4 N s m 6 ] Ryc. 6. Graficzne przedstawienie zależności /R f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /R obliczono na podstawie równania (5) Fig. 6. Graphic illustration of dependence /R f ( ) const. labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /R were calculated based on equation (5)
11 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 87, ij /R ij 0 7 [mol N s m 3 ] 0,8 0,4 0,0 0,4 3 /R 3 3 /R 3 0,8, Ryc. 7. Graficzne przedstawienie zależności 3 /R 3 f ( ) (prosta ) i 3 /R 3 f ( ) (prosta ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości 3 /R 3 obliczono na podstawie równania (8) oraz współczynnika 3 /R 3 na podstawie równania (6) Fig. 7. Graphic illustration of dependence 3 /R 3 f ( ) (line ) and 3 /R 3 f ( ) (line ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant. The values of 3 /R 3 were calculated on the basis of equation (8) and coefficient 3 /R 3 on the basis of equation (6),6,4 3 /R 3 0 [mol 4 N s m 6 ],,0,8,6,4, Ryc. 8. Graficzne przedstawieniea zależności 3 /R 3 f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 /R 3 obliczono na podstawie równania (7) Fig. 8. Graphic illustration of dependence 3 /R 3 f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /R 3 were calculated based on equation (7)
12 88.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak,0 0,9 /L 0 6 0,8 0,7 0, Ryc. 9. Graficzne przedstawienie zależności /L f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /L obliczono na podstawie równania (34) Fig. 9. Graphic illustration of dependence /L f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /L were calculated based on equation (34) 3 /L [N s m 3 mol ] Ryc. 0. Graficzne przedstawienie zależności 3 /L 3 f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 /L 3 obliczono na podstawie równania (35) Fig. 0. Graphic illustration of dependence 3 /L 3 f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /L 3 were calculated based on equation (35)
13 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 89,000 0,995 0,990 /H 0 0,985 0,980 0,975 0,970 0,965 0, Ryc.. Graficzne przedstawienie zależności /H f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /H obliczono na podstawie równania (4) Fig.. Graphic illustration of dependence /H f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /L 3 were calculated based on equation (4),80,85 /W 0 [Ns m 3 ],80,805,800,795, Ryc.. Graficzne przedstawienie zależności /W f ( ) const. substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /W obliczono na podstawie równania (5) Fig.. Graphic illustration of dependence /W f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /W were calculated based on equation (5)
14 90.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak ωω ωω Lp ( σ )[ ω ( σ ) ω( σ)] ( ) gr. (66) L ( σ )[ ω ( σ ) ω ( σ )] p Oznacza to, że zależność /W f ( ) const. przyjmuje wartości dodatnie dla < ( ) gr., a ujemne dla > ( ) gr.. Z wartości obliczeń wynika, że ( ) gr 65,09 mol m 3. Można zauważyć, że wymiar stosunku /W jest taki sam, jak wymiar ω. Na ryc. 4 przedstawiono graficzną ilustrację zależności 3 /W 3 f ( ) obliczoną na podstawie równania (53). Wykres ilustrujący tę zależność jest hiperbolą, znajdującą się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Należy zaznaczyć, że stosunek 3 /W 3 nie ma wymiaru. Na ryc. 8 przedstawiono graficzną ilustrację zależności 3 /N 3 3 /N 3 f ( ) obliczone odpowiednio na podstawie równań (6) i (64). Wykres ilustrujący tę zależność jest prostą znajdującą się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych i pokazującą, że 3 /N 3 3 /N 3 maleje liniowo wraz ze wzrostem przy ustalonym. Należy zaznaczyć, że stosunek 3 /N 3 3 /N 3 jest bezwymiarowy. Podobny przebieg i podobne właściwości ma charakterystyka 3 /N 3 f ( ) obliczona na podstawie równania (63) i przedstawiona na ryc. 9. Wymiar stosunku 3 /N 3 jest taki sam, jak wymiar odwrotności ω. Podsumowując, należy stwierdzić, że wyniki obliczeń zależności: ij f(, const.), ij /R ij f(, const.), ij /L ij f(, const.), ij/h ij f(, const.), ij /W ij f(, const.) i ij/n ij f(, const.), (i, j {,, 3} są przesłankami do sformułowania niżej opisanych wniosków. Sieciowa postać równań - zawierająca współczynniki Peusnera ij (i, j {,, 3}) dostarcza kolejnego narzędzia, które można wykorzystać do analizy transportu membranowego. Obliczenia stężeniowych zależności współczynników Peusnera ij pokazały, że współczynniki,, i 3 są czułe na skład i stężenie roztworów nieelektrolitów rozdzielanych przez membranę polimerową. Podzielenie współczynników ij przez R ij, L ij, H ij, W ij lub N ij (i, j {,, 3}) zmienia charakter zależności ij f ( ) (i, j {,, 3}). Wartości współczynników ij oraz ilorazów ij /R ij, ij /L ij, ij /H ij, ij /W ij i ij /N ij mogą przyjmować wartości dodatnie lub ujemne niezależne, zależne liniowo, parabolicznie lub hiperbolicznie od przy ustalonej wartości. 9 /W 0 7 [mol N s ] Ryc. 3. Graficzne przedstawienie zależności /W f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /W obliczono na podstawie równania (5) Fig. 3. Graphic illustration of dependence /W f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /W were calculated based on equation (5)
15 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej /W Ryc. 4. Graficzne przedstawienie zależności 3 /W 3 f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 /W 3 obliczono na podstawie równania (53) Fig. 4. Graphic illustration of dependence 3 /W 3 f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /W 3 were calculated based on equation (53), 0,96 /N 0 5 0,80 0, Ryc. 5. Graficzne przedstawienie zależności /N f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /N obliczono na podstawie równania (57) Fig. 5. Graphic illustration of dependence /N f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /N were calculated based on equation (57)
16 9.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak 9 ij /N ij 0 8 [mol N s m 3 ] /N /N Ryc. 6. Graficzne przedstawienie zależności /N f ( ) (prosta ) i /N f ( ) (prosta ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości /N obliczono na podstawie równania (58) oraz współczynnika /N na podstawie równania (60) Fig. 6. Graphic illustration of dependence /N f ( ) (line ) and /N f ( ) (line ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant. The values of /N were calculated on the basis of equation (8) and coefficient /N on the basis of equation (6) /N Ryc. 7. Graficzne przedstawienie zależności /N f ( ) substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika /N obliczono na podstawie równania (6) Fig. 7. Graphic illustration of dependence /N f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient /N were calculated based on equation (6)
17 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 93 0,0 0,4 3 /N 3 3 /N 3 0,8,,6, Ryc. 8. Graficzne przedstawienie zależności 3 /N 3 3 /N 3 f ( ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 /N 3 3 /N 3 obliczono na podstawie równania (6) lub (64) Fig. 8. Graphic illustration of dependence 3 /N 3 3 /N 3 f ( ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /N 3 3 /N 3 were calculated based on equation (6) or (64),854 3 /N [N s mol ],856,858,860,86, Ryc. 9. Graficzne przedstawienie zależności 3 /N 3 f ( ) const. substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe. Wartości współczynnika 3 /N 3 obliczono na podstawie równania (63) Fig. 9. Graphic illustration of dependence 3 /N 3 f ( ) labeled with two indexes and. The concentration of substance was constant. Values of the coefficient 3 /N 3 were calculated based on equation (63)
18 94.M. Batko, I. Ślęzak-Prochazka, A. Ślęzak Piśmiennictwo [] Srivastava R.., Saha S., Jain A..: Thermodynamics: a core course. PHI Learning Private Ltd, New Delhi 00. [] Oster G.F., Perelson A., atchalsky A.: Network thermodynamics. Nature 97, 34, [3] Meixner J.: Thermodynamics of electrical networks and the Onsager-asimir reciprocal relations. J. Meth. Phys. 963, 4, [4] Meixner J.: Network theory in its realation to thermodynamics. [In:] Proceedings of the symposium on generalized networks. Ed.: J. Fox. Wiley Interscience, New York 966, 3 5. [5] Mikulecky D..: The circle that never ends: can complexity be made simple? [In:] omplexity in chemistry, biology and ecology. Ed.: D.D. Bonvchev, D. Rouvaray, Springer, Berlin 005, [6] Peusner L.: Studies in network thermodynamics. Elsevier, Amsterdam, 986. [7] Wódzki R.: Termodynamika sieciowa. Interpretacja transportu membranowego. [W:] Membrany teoria i praktyka. Red.: R. Wódzki, Wyd. Fund. Rozwoju Wydz. hemii UM, Toruń 003, [8] Imai Y.: Network thermodynamics: analysis and synthesis of membrane transport system. Japan. J. Physiol. 996, 46, [9] Imai Y.: Graphic modeling of epithelial transport system: causality of dissipation. BioSystems 003, 70, 9 9. [0] senzeh O.S, Petrova S.A.: Network thermodynamics may be of use for electrochemistry. [In:] Advances in mathematical modeling and simulation of electrochemical processes and oxygen depolarized cathodes and activated cathodes for chlor-alcali and chlorate processes. [In:] The Electrochemical Society. Ed.: J.W. Van Zee, T.F. Fuller, P.. Foller, F. Hine. Pennington Inc, 998, [] Soh.., Hatzimanikatis V.: Network thermodynamics in the post-genomic era. urr. Opinion Microbiol. 00, 3, [] Wódzki R.: Dyfuzyjno-wymienny transport jonów w modelach ścian komórkowych bakterii. Wyd. UM, Toruń 994. [] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems: a network thermodynamics approach. I. Linear steady state without storage. J. Theoret. Biol. 983, 0, [] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of linear transport equations. J. Theoret. Biol. 985, 5, [3] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion processes. III. Why are Onsager equations reciprocal? The Euclidean geometry of fluctuaction-dissipation space. J. Theoret. Biol. 986,, [4] Peusner L.: Network representation yelding the evolution of Brownian motion with multiple particle interaction. Phys. Rev. (985), 3, [5] Peusner L., Mikulecky D.., Bunow B., aplan S.R.: A network thermodynamic approach to Hill and ing-altman reaction-diffusion kinetics. J. hem. Phys. 985, 83, [6] Ślęzak A.: Zastosowanie sieci termodynamicznych do interpretacji transportu membranowego: ocena współczynników oporowych membrany polimerowej w warunkach polaryzacji stężeniowej. Polim. Med. 0, 4, [7] atchalsky A., urran P.F.: Nonequilibrium thermodynamics in biophysics. Harvard Univ. Press, ambridge 965. [8] Weinstein A.M.: Nonequilibrium thermodynamics model of the rat proximal tubule epithelium. Biophys. J. 983, 44, [9] Demirel Y.: Nonequilibrium thermodynamics. Transport and rate processes in physical and biological systems. Elsevier, Amsterdam 00. [30] argol M., Przestalski S., Suchanek G.: Practical description of passive transport through membranes separating multicomponent solutions. Studia Biophys. 987,, [3] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. hem. 989, 34, 9 0. [3] Suchanek G.: Mechanistic equations for multicomponent solutions. Gen. Physiol. Biophys. 006, 5, [33] argol A., argol M.: Passive mass transport processes in cellular membranes and their biophysical implications. [In:] Porous media: applications in biological systems and biotechnology. Ed.:. Vafai, R Press Taylor & Francis Group, Boca Raton 0, [34] Jasik-Ślęzak J., Olszówka., Ślęzak A.: Estimation of thickness of concentration boundary layers by osmotic volume flux determinantion. Gen. Physiol. Biophys. 0, 30, [35] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Batko.M.: Resistance coefficients of polymer membrane with concentration polarization. Transp. Porous Med. 0, 95, [36] Batko., Ślęzak-Prochazka I., Grzegorczyn S., Ślęzak A.: Membrane transport in concentration polarization conditions: network thermodynamics model equations. J. Porous Media 03. [37] Batko.M., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [38] Batko.M., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [39] Batko.M., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 3. Ocena współczynników Peusnera H ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, 8. [40] Batko.M., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera W ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [4] Batko.M., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 5. Ocena współczynników Peusnera N ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [4] Trajdos T.: Matematyka cz. III., Wyd. N-T, Warszawa 974.
19 Sieciowa postać równań edem-atchalsky ego. 6. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej 95 Adres do korespondencji: ornelia Batko atedra Informatyki Ekonomicznej Uniwersytet Ekonomiczny ul. Bogucicka 3 B atowice kornelia.batko@ue.katowice.pl onflikt interesów: nie występuje. Praca wpłynęła do Redakcji: r. Po recenzji: r. Zaakceptowano do druku: r. Received: Revised: Accepted:
Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 1. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej
praca doświadczalna Polim. Med. 03, 43,, 93 0 ISSN 0370 0747 opyright by Wroclaw Medical University Kornelia M. Batko, Izabella Ślęzak-Prochazka, Andrzej Ślęzak 3 Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky
Bardziej szczegółowoStężeniowe zależności współczynników Peusnera W ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów
PRACE ORYGINALNE Polim. Med. 04, 44, 3, 79 87 ISSN 0370-0747 Copyright by roclaw Medical University Jolanta Jasik-Ślęzak, A E, Andrzej Ślęzak, A F Stężeniowe zależności współczynników Peusnera ij dla ternarnych
Bardziej szczegółowoSieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 2. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej
raca doświadczalna Polim. Med., 4,, 9 ISSN 7 747 Coyright by Wroclaw Medical University Kornelia M. Batko, Izabella Ślęzak-Prochazka, Andrzej Ślęzak Sieciowa ostać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych
Bardziej szczegółowoDetermination of thickness of concentration boundary layers for ternary electrolyte solutions and polymeric membrane
Polimery w Medycynie 00, T. 0, Nr Wyznaczanie grubości stężeniowych warstw granicznych dla wieloskładnikowych roztworów elektrolitów i membrany polimerowej Jolanta Jasik-Ślęzak, Andrzej Ślęzak Katedra
Bardziej szczegółowoCiśnieniowe zależności grubości. Mechanical pressure dependencies of the concentration boundary layers for polymeric membrane
Jolanta Jasik-Ślęzak i inni Polimery w Medycynie 2010, T. 40, Nr 1 Ciśnieniowe zależności grubości stężeniowych warstw granicznych dla membran polimerowych Mechanical pressure dependencies of the concentration
Bardziej szczegółowoOcena natężenia źródła S-entropii w układzie membranowym spolaryzowanym stężeniowo
Ann. Acad. Med. Siles. (online 017; 71: 46 54 eissn 1734-05X DOI:10.18794/aams/699 PRAA ORYGINALNA ORIGINAL PAPER Ocena natężenia źródła S-entropii w układzie membranowym spolaryzowanym stężeniowo Evaluation
Bardziej szczegółowoSieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera W ij membrany polimerowej
race oryginalne Polim. Med. 03, 43, 4, 4 56 ISSN 0370-0747 Coyright by roclaw Medical University Kornelia M. Batko, A E, Izabella Ślęzak-Prochazka, A E, Andrzej Ślęzak3, A F Sieciowa ostać równań Kedem-Katchalsky
Bardziej szczegółowoModel matematyczny transportu roztworów substancji dysocjujących przez membranę polimerową z polaryzacją stężeniową
Model matematyczny transportu roztworów substancji dysocjujących przez membranę polimerową z polaryzacją stężeniową JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK, ANDRZEJ ŚLĘZAK Katedra Zdrowia Publicznego, Wydział Zarządzania
Bardziej szczegółowoAndrzej Ślęzak. Summary. Streszczenie. Polimery w Medycynie 2011, T. 41, Nr 1
Polimery w Medycynie 0, T. 4, Nr Zastosowanie sieci termodynamicznych do interretacji transortu w mikroukładach: transort jednorodnych roztworów nieelektrolitów rzez membranę olimerową Andrzej Ślęzak Katedra
Bardziej szczegółowoFIZYKA Publikacje dotyczące edukacji, oświaty i fizyki
FIZYKA Publikacje dotyczące edukacji, oświaty i fizyki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych i Placówek Opiekuńczo-Wychowawczych Nr 3 w Piotrków Trybunalskim Brak wody może być najważniejszą kwestią, z którą
Bardziej szczegółowoTermodynamiczna ocena źródła entropii w układzie zawierającym dwuskładnikowy opatrunek membranowy
andrzej Ślęzak Polimery w Medycynie 9, T. XXXIX, Nr Termodynamiczna ocena źródła entropii w układzie zawierającym dwuskładnikowy opatrunek membranowy Andrzej Ślęzak Katedra Zdrowia Publicznego Politechnika
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoMETODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO
POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026 Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono
Bardziej szczegółowoZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH
UNIWERSYTET MIKO AJA KOPERNIKA JÓZEF CEYNOWA ZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH TORUŃ 1997 Recenzenci Bogdan Baranowski, Maciej Leszko ISBN 83-231-0808-0 Printed
Bardziej szczegółowo3. Równania konstytutywne
3. Równania konstytutywne 3.1. Strumienie w zjawiskach transportowych Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie strumienia masy J. W większości zjawisk transportowych występuje analogiczna wielkość
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków
36/3 Archives of Foundry, Year 004, Volume 4, 3 Archiwum Odlewnictwa, Rok 004, Rocznik 4, Nr 3 PAN Katowice PL ISSN 64-5308 CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ E. ZIÓŁKOWSKI
Bardziej szczegółowoDUAL SIMILARITY OF VOLTAGE TO CURRENT AND CURRENT TO VOLTAGE TRANSFER FUNCTION OF HYBRID ACTIVE TWO- PORTS WITH CONVERSION
ELEKTRYKA 0 Zeszyt (9) Rok LX Andrzej KUKIEŁKA Politechnika Śląska w Gliwicach DUAL SIMILARITY OF VOLTAGE TO CURRENT AND CURRENT TO VOLTAGE TRANSFER FUNCTION OF HYBRID ACTIVE TWO- PORTS WITH CONVERSION
Bardziej szczegółowoTRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI
Ćwiczenie nr 7 TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami teorii procesów transportu nieelektrolitów przez błony.
Bardziej szczegółowoSzybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM
2/1 Archives of Foundry, Year 200, Volume, 1 Archiwum Odlewnictwa, Rok 200, Rocznik, Nr 1 PAN Katowice PL ISSN 1642-308 WPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM D.
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW DYFUZJI I PERMEACJI DLA MEMBRAN TYPU MIXED MATRIX
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW DYFUZJI I PERMEACJI DLA MEMBRAN TYPU MIXED MATRIX Maciej Szwast 1, Michał Zalewski 1, Daniel Polak 1 1. Wydział Inżynierii Chemicznej i Procesowej, Politechnika Warszawska, ul.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoModel matematyczny potencjału membranowego dwuwarstwowego polimerowego opatrunku membranowego
Model matematyczny potencjału membranowego dwuwarstwowego polimerowego opatrunku membranowego ANDRZEJ ŚLĘZAK Katedra Zdrowia Publicznego, Wydział Zarządzania, Politechnika Częstochowska Streszczenie Stosując
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechniki Łódzkiej MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW Praca zawiera opis kształtowania przestrzeni n-wymiarowej, definiowania orientacji
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA II 2. Kod przedmiotu: Ma2 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Zastosowanie informatyki
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoZwiązek między pojęciami transpozycji, podobieństwa i symetryzacji oraz równości macierzowe
MATEMATYKA STOSOWANA 6, 2005 Tadeusz Kaczorek(Warszawa) Związek między pojęciami transpozycji, podobieństwa i symetryzacji równości macierzowe Streszczenie. Przeanalizowano związki między transpozycją,
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM
PODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 8 OBWODY PRĄDU STAŁEGO -PODSTAWOWE PRAWA 1. Cel ćwiczenia Doświadczalne zbadanie podstawowych praw teorii
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoZALEŻNOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA DYFUZJI WODY W KOSTKACH MARCHWI OD TEMPERATURY POWIETRZA SUSZĄCEGO
Inżynieria Rolnicza 5(13)/211 ZALEŻNOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA DYFUZJI WODY W KOSTKACH MARCHWI OD TEMPERATURY POWIETRZA SUSZĄCEGO Marian Szarycz, Krzysztof Lech, Klaudiusz Jałoszyński Instytut Inżynierii Rolniczej,
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja
Bardziej szczegółowoANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWZBOGACANIE BIOGAZU W METAN W KASKADZIE MODUŁÓW MEMBRANOWYCH
biogaz, wzbogacanie biogazu separacja membranowa Andrzej G. CHMIELEWSKI *, Marian HARASIMOWICZ *, Jacek PALIGE *, Agata URBANIAK **, Otton ROUBINEK *, Katarzyna WAWRYNIUK *, Michał ZALEWSKI * WZBOGACANIE
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoAnaliza korespondencji
Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoLekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu
Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Prąd płynący w gałęzi obwodu jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły elektromotorycznej E, a odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R umieszczonej
Bardziej szczegółowoDOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 33, s. 7-34, Gliwice 007 DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA ANDRZEJ BUCHACZ, SŁAWOMIR ŻÓŁKIEWSKI Instytut Automatyzacji
Bardziej szczegółowoWykład 2. Anna Ptaszek. 7 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 2. Anna Ptaszek 1 / 1
Wykład 2 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 7 października 2015 1 / 1 Zjawiska koligatywne Rozpuszczenie w wodzie substancji nielotnej powoduje obniżenie prężności pary nasyconej P woda
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoUWAGI O ZASTOSOWANIU POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH W BUDOWNICTWIE
Biuletyn Polskiego Towarzystwa Geometrii i Grafiki Inżynierskiej 10 Zeszyt 12 (2001), str. 10 14 UWAGI O ZASTOSOWANIU POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH W BUDOWNICTWIE Paweł KAPROŃ Politechnika Częstochowska, ul.akademicka
Bardziej szczegółowoKnovel Math: Jakość produktu
Knovel Math: Jakość produktu Knovel jest agregatorem materiałów pełnotekstowych dostępnych w formacie PDF i interaktywnym. Narzędzia interaktywne Knovel nie są stworzone wokół specjalnych algorytmów wymagających
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia
Bardziej szczegółowoMatematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoBADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH
BADANIA SYMULACYJNE PROCESU HAMOWANIA SAMOCHODU OSOBOWEGO W PROGRAMIE PC-CRASH Dr inż. Artur JAWORSKI, Dr inż. Hubert KUSZEWSKI, Dr inż. Adam USTRZYCKI W artykule przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH
Ćwiczenie 14 aria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYATYCZNYCH Zagadnienia: Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej (szybkość reakcji, reakcje elementarne, rząd reakcji). Równania kinetyczne prostych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH
ELEKTRYKA 4 Zeszyt (9) Rok LX Andrzej ZAWADZKI, Maciej WŁODARCZYK Politechnika Świętokrzyska w Kielcach ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH Streszczenie.
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I
J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoMACIERZE FIBONACCIEGO GENEROWANE PRZEZ OPERACJE RÓŻ NICOWE
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR 3 (186) 2011 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej MACIERZE FIBONACCIEGO GENEROWANE PRZEZ OPERACJE RÓŻ NICOWE STRESZCZENIE Na gruncie teorii
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA
39/19 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 006, Rocznik 6, Nr 19 Archives of Foundry Year 006, Volume 6, Book 19 PAN - Katowice PL ISSN 164-5308 WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA DO ZADAŃ
TURNIRJ MATEMATYCZNY ELIPSA dla klas LO ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ Zadanie. (2 pkt.) Dla jakich wartości parametru m (m R), część wspólna przedziałów A = (, m m i B = 2m 2, + ) jest zbiorem pustym? / Jeśli A
Bardziej szczegółowoPOD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoSYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING
MARIUSZ DOMAGAŁA, STANISŁAW OKOŃSKI ** SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule podjęto próbę modelowania procesu
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo