Stężeniowe zależności współczynników Peusnera W ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Stężeniowe zależności współczynników Peusnera W ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów"

Transkrypt

1 PRACE ORYGINALNE Polim. Med. 04, 44, 3, ISSN Copyright by roclaw Medical University Jolanta Jasik-Ślęzak, A E, Andrzej Ślęzak, A F Stężeniowe zależności współczynników Peusnera ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów Concentration Dependencies of ij Peusner s Coefficient for Different Composition and Concentration of the Non-Electrolyte Ternary Solutions Katedra Zastosowań Lingwistycznych w Zarządzaniu, Politechnika Częstochowska, Częstochowa, Polska Katedra Zdrowia Publicznego, Politechnika Częstochowska, Częstochowa, Polska A koncepcja i projekt badania; B gromadzenie i/lub zestawianie danych; C analiza i interpretacja danych; D napisanie artykułu; E krytyczne zrecenzowanie artykułu; F zatwierdzenie ostatecznej wersji artykułu Streszczenie prowadzenie. Sieciowe postaci równań Kedem-Katchalsky ego (K-K) dla ternarnych roztworów nieelektrolitowych mogą zawierać jeden z ośmiu współczynników Peusnera: R ij, L ij, H ij, ij, N ij, K ij, S ij lub P ij (i, j {,, 3}). Owe współczynniki tworzą macierze trzeciego stopnia współczynników Peusnera [R], [L], [H], [], [N], [K], [S] lub [P]. Cel pracy. Obliczenie zależności współczynników Peusnera ij (i, j {,, 3}) oraz det [], od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie (C ) dla kilku różnych, ustalonych wartości drugiego składnika (C ). Materiał i metody. Analizowano transport roztworów glukozy w wodnym roztworze etanolu przez membranę Nephrophan o znanych parametrach transportowych (L p, σ, ω) za pomocą sieciowych równań K-K dla ternarnych roztworów nieelektrolitów zawierających współczynnik Peusnera ij (i, j {,, 3}). yniki. Obliczono rodziny zależności współczynników Peusnera ij (i, j {,, 3}) od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie (C ) dla kilku różnych, ustalonych wartości drugiego składnika (C ) dla warunków jednorodności roztworów. nioski. Obliczenia pokazały, że współczynniki,,, 3, 3 oraz det [] są czułe na stężenia C i C oraz skład roztworów rozdzielanych przez membranę polimerową (Polim. Med. 04, 44, 3, 79 87). Słowa kluczowe: transport membranowy, termodynamika sieciowa Peusnera, współczynniki Peusnera, równania Kedem- -Katchalsky ego, roztwory ternarne. Abstract Background. The network forms of Kedem-Katchalsky (K-K) equations for ternary non-electrolyte solutions may contain one of the eight Peusner s coefficients: R ij, L ij, H ij, ij, N ij, K ij, S ij or P ij (i, j {,, 3}). These coefficients form the third degree matrixes of Peusner s coefficients [R], [L], [H], [], [N], [K], [S] or [P]. Objectives. Calculation of dependencies of the Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}) and det [], on the average concentration of one component in the membrane solution (C ) for several different values of the second component set (C ). Material and Methods. Glucose transport in aqueous ethanol solutions through Nephrophan membrane transport with known transport parameters (L p, σ, ω), using the network K-K equations for the ternary non-electrolytes solutions containing Peusner s coefficient ij (i, j {,, 3}) were analyzed. Results. Family dependencies of Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}) on the average concentration of one component in the membrane solution (C ) for several different values of a second set of component (C ) for the homogeneity of the solutions were calculated. Conclusions. Calculations showed that coefficients,,, 3, 3 and det [] are sensitive to concentrations (C ) and (C ) of solutions separated by a polymeric membrane (Polim. Med. 04, 44, 3, 79 87). Key words: membrane transport, Peusner s network thermodynamics, Peusner s coefficients, Kedem-Katchalsky equations, ternary solutions.

2 80 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Zastosowania membran są determinowane przez ich właściwości transportowe, których miarą, zgodnie z formalizmem Kedem-Katchalsky ego, są współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ) i przepuszczalności dyfuzyjnej (ω) [, ]. Do interpretacji transportu membranowego najczęściej są wykorzystywane modele opracowane w ramach termodynamiki nierównowagowej [, 3, 4 4]. ostatnim półwieczu do analizy transportu przez membrany polimerowe stosuje się także modele opracowane w ramach termodynamiki sieciowej (NT) [5 30]. Podstawy owej termodynamiki w latach 70. XX w. stworzyli George Oster, Alan Perelson i Aharon Katchalsky oraz Leonardo Peusner [7, 3 36]. ramach NT stosuje się dwa równorzędne sposoby opisu danego zjawiska: metodę grafu połączeń (bond graph method) Ostera, Perelsona i Katchalsky ego NT [7] oraz metodę Peusnera wykorzystującą symbolikę i teorię analogowych obwodów elektrycznych (Peusner s NT) [9, 3 36]. Obecnie sieci są stosowane do badania układów otwartych w biologii, ekologii czy urbanistyce [5, 7, 8, 3, 5 9]. Termodynamika sieciowa Peusnera (PNT) została zbudowana na bazie termodynamiki nierównowagowej, teorii obwodów elektrycznych, teorii grafów oraz geometrii różniczkowej. Można z niej wyprowadzić metody umożliwiające badanie dynamiki nierównowagowych procesów transportu masy, ładunku, energii i informacji w układach biologicznych [9]. przypadku transportu membranowego binarnych roztworów nieelektrolitów, w ramach PNT wprowadzono dwie grupy współczynników Peusnera: symetryczne (L ij, R ij ) i hybrydowe (H ij, P ij ) (i, j {, }) [9, 3 36]. Owe współczynniki występują w sieciowych formach równań Kedem-Katchalsky ego (K-K), które mają postać równań macierzowych [3 39]. poprzednich pracach autorów sieciowe postaci równań Kedem-Katchalsky ego (K-K) zawierające współczynniki Peusnera R ij, L ij, H ij, ij, K ij, N ij, S ij lub P ij (i, j {,, 3}) otrzymane w wyniku symetrycznych (L ij, R ij ) lub hybrydowych (H ij, ij, K ij, N ij, S ij, P ij ) transformacji sieci termodynamicznych Peusnera zastosowano do opisu transportu ternarnych roztworów nieelektrolitów w warunkach jednorodności roztworów [40 48]. pracach tych rozważano przypadek dwukierunkowego dwuportu termodynamiki sieciowej Peusnera dla trzech bodźców i trzech strumieni. Ów dwuport jest rozwinięciem klasycznego dwuportu Peusnera i ma pojedyncze wejścia dla przepływu J i sprzężonej z nim siły X, przepływu J i sprzężonej z nim siły X oraz przepływu J 3 i sprzężonej z nim siły X 3. poprzedniej pracy autorów zajmowano się kombinacją strumieni (J, J, J 3 ) i sił termodynamicznych (X, X, X 3 ), która ma następującą postać [43]: J J X 3 [ ] X X J X X J 3 () ykorzystując powyższy schemat, przedstawione zostały hybrydowe transformacje równań K-K użyte do otrzymania sieciowej postaci równań K-K zawierających współczynniki ij (i, j {,, 3}) [43, 48]. Równania te można zapisać zarówno w postaci klasycznej, jak i macierzowej [40, 45]. Postać macierzowa tych równań jest następująca: gdzie: Jv Js π C 3 ] π [ C 33 Js L ω π C Js () p (3) ω m γc β C ± (4) ω m γc L ( σ ) p m 3 (5) ω m γc L [ β C β C ] p 3 (6) ω m γc C { A L [ C ξ m C ξ ]} p (7) ω m γc 3 ω m m β C 4 3 (8) ω γc L ( σ ) p 3 (9) ω m γc C[ ω ± β4c ] (0) C ( ω m γc ) 33 C ( ω m γc ) () Δ ΔP ± Δπ ± Δπ, A ω ω ω ω, γ L p ( σ) ω, β L p [( σ )ω ( σ )ω ], β ω ( σ ), β 3 ω ( σ ), β 4 L p ( σ )( σ ), ξ ( σ )[( σ )ω ( σ )ω ], ξ ( σ )[( σ )ω ( σ )ω ], J v strumień objętościowy, J s i J s strumienie solutu substancji i przez membranę w warunkach jednorodności roztworów, L p współczynnik przepuszczalności hydraulicznej, σ i σ współczynniki odbicia odpowiednio substancji i, ω i ω współczynniki przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indeksami i oraz ω i ω współczynniki krzyżowej przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indek-

3 Zależności współczynników Peusnera ij 8 sami i. ΔP P h P l różnica ciśnień hydrostatycznych (P h, P l oznacza wyższą i niższą wartość ciśnienia hydrostatycznego). Δπ k RT(C kh C kl ) jest różnicą ciśnień osmotycznych (RT oznacza iloczyn stałej gazowej i temperatury termodynamicznej, natomiast C kh i C kl stężenia roztworów, k, ). C k (C kh C kl ) [ln(c kh C kl )] średnie stężenie solutu w membranie. Należy zauważyć, że w liczniku i/lub mianowniku równań (3) () występuje znak ± i/lub. Dla Δ ΔP + Δπ + Δπ, w równaniach (3) () występuje górna część znaków, a dla Δ ΔP Δπ Δπ dolna. Korzystając z algorytmu obliczania wyznacznika macierzy trzeciego stopnia, można obliczyć wyznacznik macierzy [] [49]. Zgodnie z tym algorytem otrzymujemy: ± det [] ( ) + ( ) + 3 ( 3 3 ) () Jak widać det [] jest wyznacznikiem trzeciego stopnia. Oznacza to, że ma dziewięć minorów przynależnych do elementów ij (i, j {,, 3}). Uwzględniając wyrażenia (3) () w równaniu (), otrzymujemy: ± C C det[ ] L 3 p ω ( σ ) 4 C [ ω + L C ω m ω [ ω p 3 LpC( σ ) ] m L C p ( σ ) ] (3) Dla Δ ΔP + Δπ + Δπ, w równaniu (3) występuje górna część znaków, a dla Δ ΔP Δπ Δπ dolna. Z równań (4) (6), (8) (0) wynika, że, 3 3 oraz 3 3. Z równań (3), (5), (9) i () wynika ponadto, że współczynniki, 3 3 (ale jedynie dla Δ ΔP + Δπ + Δπ ), 33 są zależne od C, a niezależne od C. Z kolei współczynniki,,, 3 i 3, są zależne od stężenia roztworów zarówno od C, jak i C. związku z tym w pracy obliczono rodziny zależności współczynników Peusnera,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 od średniego stężenia substancji w membranie oznaczonej indeksem ( C ) przy ustalonej wartości średniego stężenia substancji w membranie oznaczonej indeksem ( C ) dla warunków jednorodności roztworów i membrany z octanu celulozy. yniki i omówienie spółczynniki tensorowe Peusnera ij (i, j {,, 3}) występujące w macierzy [] obliczymy dla membrany polimerowej i roztworów ternarnych składających się z rozpuszczalnika (wody), substancji oznaczonej indeksem i substancji oznaczonej indeksem. Stężenie substancji w przedziale h zmienia się w zakresie od C h mol m 3 do C h 00 mol m 3, natomiast stężenie substancji w przedziale h było stałe i wynosiło C h 6 mol m 3, C h 0 mol m 3, C h 90 mol m 3, C h 30 mol m 3 lub C h 80 mol m 3. Z kolei stężenie obydwu składników znajdujących się w przedziale l było stałe i wynosiło C l C l mol m 3. Obliczenia współczynników Peusnera,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 wykonano na podstawie równań (3) (). Analogicznie jak w pracach [40 48], do obliczeń wykorzystano uśrednione wartości współczynników przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ, σ ), przepuszczalności dyfuzyjnej (ω, ω, ω, ω ) wyznaczone dla jednorodnych roztworów rozdzielanych przez membranę oraz tzw. średnie stężenia składników roztworu w membranie ( C, C ). artość tych współczynników wynosi: L p 5 0 m 3 N s, σ 0,07, σ 0,0, ω 0,8 0 9 mol N s, ω 0,8 0 mol N s i ω,4 0 9 mol N s i ω,6 0 mol N s [3]. Z obliczeń wykonanych na podstawie równania (3) wynika, że wartość współczynnika nie zależy od C przy ustalonej wartości C i wynosi 5,77 0 m 3 N s (dla C 37,7 mol m 3 ), 9,5 0 m 3 N s (dla C 3,8 mol m 3 ) i 3, 0 m 3 N s (dla C 8,9 mol m 3 ). Niezależne od C, przy ustalonej wartości C, są także współczynniki 3 3 i 33. Ich wartości obliczone na podstawie równania (5) są równe 3 3 4,0 0 3 m 3 mol (dla C 37,7 mol m 3 ), 3 3 6,4 0 3 m 3 mol (dla C 3,8 mol m 3 ), 3 3 9,5 0 3 m 3 mol (dla C 8,9 mol m 3 ). artości współczynnika 33, obliczone na podstawie równania (), wynoszą 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 37,7 mol m 3 ), 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 3,8 mol m 3 ), 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 8,9 mol m 3 ), Z kolei wartości współczynników,,, 3 i 3 są zależne zarówno od C jak i C, o czym świadczą wykresy przedstawione na ryc. 3. Przedstawione na ryc. charakterystyki f ( C) C const. (wykresy i ) i f ( C) C const. (wykresy 3 i 4) obliczone odpowiednio na podstawie równań (6) i (4) są liniowe i pokazują, że wartości współczynnika są dodatnie i rosną liniowo, a wartości współczynnika są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Z porównania prostych i oraz 3 i 4 wynika, że ponad 6-krotny wzrost wartości C (około 5-krotny wzrost wartości C ) powoduje jedynie około -krotny wzrost wartości i około -krotne zmniejszenie wartości. Zamieszczone na ryc. krzywe ilustrujące charakterystykę f ( C) C const. obliczoną na podstawie równania (7) są półparabolami i pokazują, że wartości

4 8 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Ryc.. Graficzna ilustracja zależności f ( C) C const. (proste i ) i f ( C) C const. (proste 3 i 4) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (proste i 3) oraz C 8,9 mol m 3 (proste i 4). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (6), a współczynnika na podstawie równania (4) Fig.. Graphic illustration of dependence f ( C) C const. (lines and ) and f ( C) C const. (lines 3 and 4) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (lines and 3) and C 8.9 mol m 3 (lines and 4). The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (6) and coefficient on the basis of equation (4) Ryc.. Graficzna ilustracja zależności f ( C) C const. dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C,79 mol m 3 (krzywa ), C 37,7 mol m 3 (krzywa ), C 3,8 mol m 3 (krzywa 3) i C 40, mol m 3 (krzywa 4). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (7) Fig.. Graphic illustration of dependence f ( C) C const. for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C.79 mol m 3 (curve ), C 37.7 mol m 3 (curve ), C 3.8 mol m 3 (curve 3) i C 40. mol m 3 (curve 4). The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (7)

5 Zależności współczynników Peusnera ij 83 Ryc. 3. Graficzna ilustracja zależności 3 f ( C) C const. (proste i ) i 3 f ( C) C const. (proste 3 i 4) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (proste i 3) oraz C 8,9 mol m 3 (proste i 4). artości współczynnika 3 obliczono na podstawie równania (0) oraz współczynnika 3 na podstawie równania (8) Fig. 3. Graphic illustration of dependence 3 f ( C) C const. (lines and ) and 3 f ( C) C const. (lines 3 and 4) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (lines and 3) and C 8.9 mol m 3 (lines and 4). The values of the coefficient 3 were calculated on the basis of equation (0) and coefficient 3 on the basis of equation (8) Ryc. 4. Graficzna ilustracja zależności f(c, C ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. C rośnie od C,79 mol m 3 do C 40, mol m 3, natomiast C maleje od C 40, mol m 3 do C,79 mol m 3. Dla jednego z punktów zamieszonych krzywych jest spełniony warunek C C 06,83 mol m 3 (dla krzywej ), C C 9,65 mol m 3 (dla krzywej ) oraz C C 3,8 mol m 3 (dla krzywej 3). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (7) Fig. 4. Graphic illustration of dependence f(c, C ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. C increase from C.79 mol m 3 to C 40. mol m 3, whereas C decrease from C 40. mol m 3 to C.79 mol m 3. For one point of presented curves the condition C C mol m 3 (for curve ), C C 9.65 mol m 3 (for curve ) and C C 3.8 mol m 3 (for curve 3) is fulfilled. The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (7)

6 84 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Ryc. 5. Graficzna ilustracja zależności det [] f ( C) C const. dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (krzywa ), C 3,8 mol m 3 (krzywa ) oraz C 8,9 mol m 3 (krzywa 3). artości det [] obliczono na podstawie równania (3) Fig. 5. Graphic illustration of dependence det [] f ( C) C const. for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (curve ), C 3.8 mol m 3 (curve ) and C 8.9 mol m 3 (curve 3). The values of the coefficient det [] were calculated on the basis of equation (3) współczynnika początkowo rosną nieliniowo, a po uzyskaniu wartości maksymalnej maleją nieliniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Krzywa osiąga maksimum dla punktu o współrzędnych C 93,77 mol m 3 i 36, mol m 3, krzywa dla punktu o współrzędnych C 80,43 mol m 3 i 3, mol m 3, krzywa 3 dla punktu o współrzędnych C 5,57 mol m 3 i 0, mol m 3 oraz krzywa 4 dla punktu o współrzędnych C,7 mol m 3 i 6,4 0 9 mol m 3. spomniane krzywe mają miejsca zerowe ( 0), które można oszacować na podstawie wykresów 4, lub obliczyć na podstawie równania (7). Z wykresów przedstawionych na ryc. wynika, że krzywe 4 mają miejsca zerowe dla: C 85,6 mol m 3 (krzywa ), C 6,5 mol m 3 (krzywa ), C 0,56 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 3,5 mol m 3 (krzywa 4). Oznacza to, że dla C 85,6 mol m 3 (krzywa ), C 6,5 mol m 3 (krzywa ), C 0,56 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 3,5 mol m 3 (krzywa 4), wartość współczynnika zmienia znak z dodatniego na ujemny. Jak już wspomniano, wartości C, dla których 0, można obliczyć na podstawie równania (7). Po prostych przekształceniach tego równania otrzymujemy C (A L p C ξ )(L p ξ ). Podstawiając do tego wyrażenia odpowiednie dane, otrzymujemy: C 76,3 mol m 3 (krzywa ), C 54,88 mol m 3 (krzywa ), C 0,3 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 40, mol m 3 (krzywa 4). artości C odczytane z wykresów, i 4 i obliczone na podstawie równania różnią się nieco od siebie. Dla krzywych i C różnią się o około 5%, a dla krzywej 4 o około %. Przedstawione na ryc. 3 charakterystyki 3 ( C) C const. f (wykresy i ) i 3 f ( C) C const. (wykresy 3 i 4) obliczone odpowiednio na podstawie równań (0) i (8) są liniowe i pokazują, że wartości współczynnika 3 są dodatnie i rosną liniowo, a wartości współczynnika 3 są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Z porównania prostych i oraz 3 i 4 wynika, że podobnie jak w przypadku charakterystyk f ( C) C const. i f ( C) C const. ponad 6-krotny wzrost wartości C (około 5-krotny wzrost wartości C ) powoduje jedynie około -krotny wzrost wartości 3 i około -krotne zmniejszenie wartości 3. Zamieszczone na ryc. 4 krzywe ilustrujące zależności f( C, C ) pokazują, jak zmienia się wartość współczynnika, jeśli C rośnie od C,79 mol m 3 do C 40, mol m 3, natomiast C maleje od C 40, mol m 3 do C,79 mol m 3. przypadku krzywej C i C są tak sparowane, że dla jednego z punktów spełniony jest warunek C C 06,83 mol m 3. przypadku krzywej C i C są tak sparowane, że dla jednego z punktów spełniony jest warunek

7 Zależności współczynników Peusnera ij 85 C C 9,65 mol m 3 oraz dla krzywej 3 warunek C C 3,8 mol m 3. Takie dobranie C i C powoduje, że krzywa ma dwa maksima, z których pierwsze ma współrzędne C 50 mol m 3 i 6, 0 9 mol m 3 oraz drugie C 67,76 mol m 3 i 6, mol m 3. Krzywa posiada też minimum o współrzędnych C 4,3 mol m 3 i, mol m 3 oraz trzy miejsca zerowe, tj. punkty, dla których 0. Punkty te odpowiadają C o wartościach C 3, mol m 3, C 43,9 mol m 3 i C 8,58 mol m 3. przypadku krzywej mamy dwa maksima, pierwsze o współrzędnych C 38,46 mol m 3 i 3, mol m 3 i drugie o współrzędnych C 66,67 mol m 3 i 6, mol m 3. Ponadto ta krzywa ma jedno minimum o współrzędnych C 4,3 mol m 3 i 9,7 0 9 mol m 3 i jedno miejsce zerowe dla 0 i C 89,47 mol m 3. Krzywa 3, podobnie jak krzywa, ma dwa maksima, jedno o współrzędnych C 38,46 mol m 3 i 9, mol m 3 i drugie o współrzędnych C 66,67 mol m 3 i 6, mol m 3, jedno minimum o współrzędnych C 46, mol m 3 i 39, mol m 3 oraz jedno miejsce zerowe o współrzędnych 0 i C 76,3 mol m 3. Z porównania krzywych, i 3 wynika, że przesunięcie punktu, w którym C C rośnie, powoduje przesunięcie pierwszego minimum w kierunku malejących wartości C. Podobnie zachowują się miejsca zerowe tych krzywych. Drugie maksimum podobnie jak minimum tych krzywych ma takie same współrzędne C. Na ryc. 5 przedstawiono nieliniowe zależności det [] f ( C) C const. dla C 37,7 mol m 3 (wykres ), dla C 3,8 mol m 3 (wykres ) oraz dla C 8,9 mol m 3 (wykres 3), obliczone na podstawie równania (3). badanym zakresie wartości C krzywa zawiera tylko dodatnie wartości det []. Natomiast zamieszczone na tej rycinie krzywe i 3 są niepełnymi parabolami. związku z tym wartość det [] początkowo rośnie nieliniowo aż do osiągnięcia wartości maksymalnej. Po jej osiągnięciu wartość det [] maleje nieliniowo. Krzywa osiąga wartość maksymalną dla punktu o współrzędnych C 80,86 mol m 3 i det [] 4, 0 m 3 N s. Z kolei współrzędne maksimum krzywej 3 wynoszą C 35,6 mol m 3 i det [] 4, 0 m 3 N s. Krzywe i 3 posiadają też miejsca zerowe, tj. jest punkt, dla których det [] 0. przypadku krzywej miejsce to przypada dla C 6,4 mol m 3, a w przypadku krzywej 3 dla C 89,3 mol m 3. Oznacza to, że dla C > 6,4 mol m 3 (w przypadku krzywej ) i C > 89,3 mol m 3 (w przypadku krzywej 3) det [] zmienia znak z dodatniego na ujemny. artości C, dla których det [] 0, można również obliczyć na podstawie równania (3). Przyrównując prawą stronę tego równania do zera, otrzymujemy: C L p (α C α 3 C + α 4 )(α C ). Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować niżej opisane wnioski. spółczynniki, 33 są stałe i dodatnie, a współczynniki 3 3 stałe i ujemne. artości współczynników,,, 3 i 3 są zależne zarówno od wartości C, jak i C. artości współczynników 3 i są dodatnie i rosną liniowo, a współczynniki i 3 są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C przy ustalonej wartości C. Krzywe ilustrujące nieliniowe (paraboliczne) zależności współczynnika oraz det [] od wartości C przy ustalonej wartości C znajdują się w pierwszej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Krzywe ilustrujące zależności współczynnika f( C, C ) mają dwa maksima, jedno minimum i trzy (krzywa ) lub jedno (krzywe i 3) miejsce zerowe. Sieciowa postać równań K-K zawierająca współczynniki Peusnera ij (i, j {,, 3}) jest nowym narzędziem, które można wykorzystać do badania transportu membranowego. ykazano, że jedynie współczynniki,,, 3 i 3 są czułe na stężenie i skład roztworów rozdzielanych przez membranę polimerową. Piśmiennictwo [] Katchalsky A., Curran P.F.: Nonequilibrium Thermodynamics in Biophysics, Harvard Univ. Press, Cambridge, 965. [] Baker R.: Membrane Technology and Applications. John illey & Sons, New York, 004. [3] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. Chem. 989, 34, 9 0. [4] Kargol A., Kargol M.: Passive mass transport processes in cellular membranes and their biophysical implications. [In:] Porous Media. Applications in Biological Systems and Biotechnology. Ed.: Vafai K., CRC Press, Boca Raton 0, [5] Ślęzak A., Dworecki K., Ślęzak I.H., ąsik S.: Permeability coefficient model equations of the complex: membrane-concentrations boundary layers for ternary nonelectrolyte solutions. J. Membr. Sci. 005, 67, [6] Ślęzak A., Jasik-Ślęzak J., Grzegorczyn S., Ślęzak-Prochazka I.: Nonlinear effects in osmotic volume flows of electrolyte solutions through double-membrane system. Transp. Porous Media 0, 9, [7] Grzegorczyn S., Ślęzak A., Michalska-Małecka K., Ślęzak-Prochazka I.: Conditions of hydrodynamic instability appearence in fluid thin layers with changing in time thicknesses and density gradients. J. Non-Equilib. Thermodyn. 0, 37, [8] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Batko K.M.: Resistance coefficients of polymer membrane with concentration polarization. Transp. Porous Med. 0, 95, 5 70.

8 86 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak [9] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Grzegorczyn S., Ślęzak A.: Membrane Transport in Concentration Polarization Conditions: Network Thermodynamics Model Equations. J. Porous Media 04, 7, [0] Ślęzak A., Ślęzak I.H., Ślęzak K.M.: Influence of the concentration boundary layers on membrane potential in a single membrane system. Desalination 005, 84, 3 3. [] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Analiza transportu membranowego przy pomocy transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego. Polim. Med. 00, 40, [] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Ocena wartości różnicy stężeń determinującej transport membranowy w warunkach polaryzacji stężeniowej. Polim. Med. 00, 40, [3] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Ocena wartości współczynnika osmotycznego van t Hoffa w warunkach polaryzacji stężeniowej układu membranowego. Polim. Med. 0, 4, [4] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Estimation of thickness of concentration boundary layers by osmotic volume flux determination. Gen. Physiol. Biophys. 0, 30, [5] Alhama L., Alhama F., Soto Meca A.: The network method for a fast and reliable solution of ordinary differential equations: Applications to non-linear oscillators. Comput. Elect. Eng. 0, 38, [6] Biscombe C.J.C., Davidson M.R., Harvie D.J.E.: Electrokinetic flow in parallel channels: Circuit modelling for microfluidics and membranes. Colloid and Surface A: Physiochem. Eng. Acpects 04, 440, [7] Bristow D.N., Kennedy C.A.: Maximizing the use energy in cities using an open systems network approach. Ecological Modelling 03, 50, [8] Horno J., Castilla J.: Application of network thermodynamics to the computer simulation of non-stationary ionic transport in membranes. J. Membr. Sci. 994, 90, [9] Horno J., Castilla J., González-Fernández C.F.: A new approach to nonstationary ionic transport based on the network simulation of time-dependent Nernst-Planck equations. J. Phys. Chem. 99, 96, [0] Imai Y.: Membrane transport system modeled by network thermodynamics. J. Membr. Sci. 989, 4, 3. [] Imai Y.: Network thermodynamics: analysis and synthesis of membrane transport system. Japan. J. Physiol. 996, 46, [] Jamnik J., Maier J.: Generalised equivalent circuits for mass and charge transport: chemical capacitance and its implications. Phys. Chem. Chem. Phys. 00, 3, [3] López-Garcia J.J., Moya A.A., Horno J., Delgado A., González-Caballero F.: A network model of the electrical double layer around a colloid particle. J. Colloid Interfac. Sci. 996, 83, [4] Mikulecky D.C.: Modeling intestinal absorption and other nutrition-related processes Using PSPICE and STELLA. J. Ped. Gastroenter. Nutrit. 990,, 7 0. [5] Mikulecky D.: The circle that never ends: can complexity be made simple? [In:] Complexity in Chemistry, Biology and Ecology. Eds.: D.D. Bonvchev, D. Rouvaray, Springer, Berlin 005, [6] Moya A.A., Horno J.: Study of the linearity of the voltage-current relationship in ion-exchange membranes using the network simulation method. J. Membr. Sci. 004, 35, 3 9 [7] Oster G.F., Perelson A.S., Katchalsky A.: Network Thermodynamics. Nature 97, 34, [8] Perelson A.S.: Network Thermodynamics. Biophys. J. 975, 5, [9] Peusner L.: Studies in Network Thermodynamics. Elsevier, Amsterdam 986. [30] Szczepański P., ódzki R.: Bond-graph description and simulation of agitated bulk liquid membrane system dependence of fluxes on liquid membrane volume. J. Membr. Sci. 03, 435, 0. [3] Peusner L.: The principles of network thermodynamics and biophysical applications. PhD Thesis, Harvard, Cambridge 970. [3] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems: a network thermodynamics approach. I. Linear steady state without storage. J. Theoret. Biol. 983, 0, [33] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of linear transport equations. J. Theoret. Biol. 985, 5, [34] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion processes. III. hy are Onsager equations reciprocal? The Euclidean geometry of fluctuaction-dissipation space. J. Theoret. Biol. 986,, [35] Peusner L.: Network representation yelding the evolution of Brownian motion with multiple particle interaction. Phys. Rev. 985, 3, [36] Peusner L., Mikulecky D.C., Bunow B., Caplan S.R.: A network thermodynamic approach to Hill and King-Altman reaction-diffusion kinetics. J. Chem. Phys. 985, 83, [37] Ślęzak A.: Zastosowanie sieci termodynamicznych do interpretacji transportu w mikroukładach: transport jednorodnych roztworów nieelektrolitów przez membranę polimerową. Polim. Med. 0, 4, [38] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Batko K.M.: Resistance coefficients of polymer membrane with concentration polarization. Transp. Porous Med. 0, 95, [39] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Evaluation the reflection coefficient of polymeric membrane In concentration polarization conditions. Polim. Med. 03, [40] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [4] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43,

9 Zależności współczynników Peusnera ij 87 [4] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 3. Ocena współczynników Peusnera H ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, 8. [43] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [44] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 5. Ocena współczynników Peusnera N ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [45] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera K ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [46] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 7. Ocena współczynników Peusnera S ij membrany polimerowej. Polim. Med. 04, 44, [47] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 8. Ocena współczynników Peusnera P ij membrany polimerowej. Polim. Med. 04, 44, [48] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Ocena macierzy współczynników Peusnera membrany polimerowej i ternarnych roztworów nieelektrolitów. Polim. Med. 04, 44, [49] Strang G.: Linear Algebra and its Applications, Academic Press, New York, 976. Adres do korespondencji: Jolanta Jasik-Ślęzak Katedra Zastosowań Lingwistycznych w Zarządzaniu Politechnika Częstochowska ul. Armii Krajowej 36B 4-00 Częstochowa jolantaslezak@gmail.com Konflikt interesów: nie występuje Praca wpłynęła do Redakcji: r. Po recenzji: r. Zaakceptowano do druku: r. Received: Revised: Accepted:

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 1. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 1. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej praca doświadczalna Polim. Med. 03, 43,, 93 0 ISSN 0370 0747 opyright by Wroclaw Medical University Kornelia M. Batko, Izabella Ślęzak-Prochazka, Andrzej Ślęzak 3 Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky

Bardziej szczegółowo

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera K ij membrany polimerowej

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera K ij membrany polimerowej prace oryginalne Polim. Med. 03, 43, 4, 77 95 ISSN 0370-0747 opyright by Wroclaw Medical University ornelia M. Batko, a e, Izabella Ślęzak-Prochazka, a e, Andrzej Ślęzak3, a f Sieciowa postać równań edem-atchalsky

Bardziej szczegółowo

Ciśnieniowe zależności grubości. Mechanical pressure dependencies of the concentration boundary layers for polymeric membrane

Ciśnieniowe zależności grubości. Mechanical pressure dependencies of the concentration boundary layers for polymeric membrane Jolanta Jasik-Ślęzak i inni Polimery w Medycynie 2010, T. 40, Nr 1 Ciśnieniowe zależności grubości stężeniowych warstw granicznych dla membran polimerowych Mechanical pressure dependencies of the concentration

Bardziej szczegółowo

Determination of thickness of concentration boundary layers for ternary electrolyte solutions and polymeric membrane

Determination of thickness of concentration boundary layers for ternary electrolyte solutions and polymeric membrane Polimery w Medycynie 00, T. 0, Nr Wyznaczanie grubości stężeniowych warstw granicznych dla wieloskładnikowych roztworów elektrolitów i membrany polimerowej Jolanta Jasik-Ślęzak, Andrzej Ślęzak Katedra

Bardziej szczegółowo

Model matematyczny transportu roztworów substancji dysocjujących przez membranę polimerową z polaryzacją stężeniową

Model matematyczny transportu roztworów substancji dysocjujących przez membranę polimerową z polaryzacją stężeniową Model matematyczny transportu roztworów substancji dysocjujących przez membranę polimerową z polaryzacją stężeniową JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK, ANDRZEJ ŚLĘZAK Katedra Zdrowia Publicznego, Wydział Zarządzania

Bardziej szczegółowo

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 2. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 2. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej raca doświadczalna Polim. Med., 4,, 9 ISSN 7 747 Coyright by Wroclaw Medical University Kornelia M. Batko, Izabella Ślęzak-Prochazka, Andrzej Ślęzak Sieciowa ostać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych

Bardziej szczegółowo

Ocena natężenia źródła S-entropii w układzie membranowym spolaryzowanym stężeniowo

Ocena natężenia źródła S-entropii w układzie membranowym spolaryzowanym stężeniowo Ann. Acad. Med. Siles. (online 017; 71: 46 54 eissn 1734-05X DOI:10.18794/aams/699 PRAA ORYGINALNA ORIGINAL PAPER Ocena natężenia źródła S-entropii w układzie membranowym spolaryzowanym stężeniowo Evaluation

Bardziej szczegółowo

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera W ij membrany polimerowej

Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera W ij membrany polimerowej race oryginalne Polim. Med. 03, 43, 4, 4 56 ISSN 0370-0747 Coyright by roclaw Medical University Kornelia M. Batko, A E, Izabella Ślęzak-Prochazka, A E, Andrzej Ślęzak3, A F Sieciowa ostać równań Kedem-Katchalsky

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczna ocena źródła entropii w układzie zawierającym dwuskładnikowy opatrunek membranowy

Termodynamiczna ocena źródła entropii w układzie zawierającym dwuskładnikowy opatrunek membranowy andrzej Ślęzak Polimery w Medycynie 9, T. XXXIX, Nr Termodynamiczna ocena źródła entropii w układzie zawierającym dwuskładnikowy opatrunek membranowy Andrzej Ślęzak Katedra Zdrowia Publicznego Politechnika

Bardziej szczegółowo

FIZYKA Publikacje dotyczące edukacji, oświaty i fizyki

FIZYKA Publikacje dotyczące edukacji, oświaty i fizyki FIZYKA Publikacje dotyczące edukacji, oświaty i fizyki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych i Placówek Opiekuńczo-Wychowawczych Nr 3 w Piotrków Trybunalskim Brak wody może być najważniejszą kwestią, z którą

Bardziej szczegółowo

Andrzej Ślęzak. Summary. Streszczenie. Polimery w Medycynie 2011, T. 41, Nr 1

Andrzej Ślęzak. Summary. Streszczenie. Polimery w Medycynie 2011, T. 41, Nr 1 Polimery w Medycynie 0, T. 4, Nr Zastosowanie sieci termodynamicznych do interretacji transortu w mikroukładach: transort jednorodnych roztworów nieelektrolitów rzez membranę olimerową Andrzej Ślęzak Katedra

Bardziej szczegółowo

METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026 Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono

Bardziej szczegółowo

TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI

TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI Ćwiczenie nr 7 TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami teorii procesów transportu nieelektrolitów przez błony.

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO PRZEWODU LINII NAPOWIETRZNEJ Z UWZGLĘDNIENIEM ZWISU

NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO PRZEWODU LINII NAPOWIETRZNEJ Z UWZGLĘDNIENIEM ZWISU POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 85 Electrical Engineering 016 Krzysztof KRÓL* NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO PRZEWODU LINII NAPOWIETRZNEJ Z UWZGLĘDNIENIEM ZWISU W artykule zaprezentowano

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem

Bardziej szczegółowo

DUAL SIMILARITY OF VOLTAGE TO CURRENT AND CURRENT TO VOLTAGE TRANSFER FUNCTION OF HYBRID ACTIVE TWO- PORTS WITH CONVERSION

DUAL SIMILARITY OF VOLTAGE TO CURRENT AND CURRENT TO VOLTAGE TRANSFER FUNCTION OF HYBRID ACTIVE TWO- PORTS WITH CONVERSION ELEKTRYKA 0 Zeszyt (9) Rok LX Andrzej KUKIEŁKA Politechnika Śląska w Gliwicach DUAL SIMILARITY OF VOLTAGE TO CURRENT AND CURRENT TO VOLTAGE TRANSFER FUNCTION OF HYBRID ACTIVE TWO- PORTS WITH CONVERSION

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

ZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH

ZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH UNIWERSYTET MIKO AJA KOPERNIKA JÓZEF CEYNOWA ZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH TORUŃ 1997 Recenzenci Bogdan Baranowski, Maciej Leszko ISBN 83-231-0808-0 Printed

Bardziej szczegółowo

Model matematyczny potencjału membranowego dwuwarstwowego polimerowego opatrunku membranowego

Model matematyczny potencjału membranowego dwuwarstwowego polimerowego opatrunku membranowego Model matematyczny potencjału membranowego dwuwarstwowego polimerowego opatrunku membranowego ANDRZEJ ŚLĘZAK Katedra Zdrowia Publicznego, Wydział Zarządzania, Politechnika Częstochowska Streszczenie Stosując

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8]. Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

ANALIZA TRÓJELEMENTOWEGO OBWODU MEMRYSTOROWEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU

ANALIZA TRÓJELEMENTOWEGO OBWODU MEMRYSTOROWEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 77 Electrical Engineering 4 Mikołaj BUSŁOWICZ* ANALIZA TRÓJELEMENTOWEGO OBWODU MEMRYSTOROWEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU W pracy rozpatrzono szeregowy

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW DYFUZJI I PERMEACJI DLA MEMBRAN TYPU MIXED MATRIX

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW DYFUZJI I PERMEACJI DLA MEMBRAN TYPU MIXED MATRIX WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW DYFUZJI I PERMEACJI DLA MEMBRAN TYPU MIXED MATRIX Maciej Szwast 1, Michał Zalewski 1, Daniel Polak 1 1. Wydział Inżynierii Chemicznej i Procesowej, Politechnika Warszawska, ul.

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Zadanie ChemCad - Batch Reaktor

Zadanie ChemCad - Batch Reaktor Zadanie ChemCad - Batch Reaktor Opracowanie: dr inŝ. E.Wolak Treść zadania: Octan sodu powstaje w wyniku reakcji: NaOH + C2 H5COOCH3 C2H5OH + CH3COONa Wodorotlenek sodu i octan etylu zasilają reaktor okresowy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2 1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU GOMPERTZ A W INŻYNIERII ROLNICZEJ

ZASTOSOWANIE MODELU GOMPERTZ A W INŻYNIERII ROLNICZEJ Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 ZASTOSOWANIE MODELU GOMPERTZ A W INŻYNIERII ROLNICZEJ Zofia Hanusz Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Zbigniew Siarkowski, Krzysztof Ostrowski

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA

ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA Katedra Podstaw Techniki, Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Streszczenie. W pracy przedstawiono

Bardziej szczegółowo

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'!

Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'! Zad 1., Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte 2 2 4 2 Zad 2. log 50 log 2log log 252 czyli 1 Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x.!,!," średnia: 0,9& czyli średnia to 90% października

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zagadnień cieplnych: analiza porównawcza wyników programów ZSoil i AnsysFluent

Modelowanie zagadnień cieplnych: analiza porównawcza wyników programów ZSoil i AnsysFluent Piotr Olczak 1, Agata Jarosz Politechnika Krakowska 2 Modelowanie zagadnień cieplnych: analiza porównawcza wyników programów ZSoil i AnsysFluent Wprowadzenie Autorzy niniejszej pracy dokonali porównania

Bardziej szczegółowo

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.

Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BOUSSINESQUE A DO OKREŚLANIA NAPRĘŻEŃ W GLEBIE WYWOŁANYCH ODDZIAŁYWANIEM ZESTAWÓW MASZYN

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BOUSSINESQUE A DO OKREŚLANIA NAPRĘŻEŃ W GLEBIE WYWOŁANYCH ODDZIAŁYWANIEM ZESTAWÓW MASZYN Inżynieria Rolnicza 4(10)/008 ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BOUSSINESQUE A DO OKREŚLANIA NAPRĘŻEŃ W GLEBIE WYWOŁANYCH ODDZIAŁYWANIEM ZESTAWÓW MASZYN Yuri Chigarev, Rafał Nowowiejski, Jan B. Dawidowski Instytut

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA II 2. Kod przedmiotu: Ma2 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Zastosowanie informatyki

Bardziej szczegółowo

3. Równania konstytutywne

3. Równania konstytutywne 3. Równania konstytutywne 3.1. Strumienie w zjawiskach transportowych Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie strumienia masy J. W większości zjawisk transportowych występuje analogiczna wielkość

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań

Bardziej szczegółowo

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM

PODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 8 OBWODY PRĄDU STAŁEGO -PODSTAWOWE PRAWA 1. Cel ćwiczenia Doświadczalne zbadanie podstawowych praw teorii

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW

MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechniki Łódzkiej MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW Praca zawiera opis kształtowania przestrzeni n-wymiarowej, definiowania orientacji

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu

Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Prąd płynący w gałęzi obwodu jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły elektromotorycznej E, a odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R umieszczonej

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Towards Stability Analysis of Data Transport Mechanisms: a Fluid Model and an Application

Towards Stability Analysis of Data Transport Mechanisms: a Fluid Model and an Application Towards Stability Analysis of Data Transport Mechanisms: a Fluid Model and an Application Gayane Vardoyan *, C. V. Hollot, Don Towsley* * College of Information and Computer Sciences, Department of Electrical

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ZASTOSOWANIU POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH W BUDOWNICTWIE

UWAGI O ZASTOSOWANIU POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH W BUDOWNICTWIE Biuletyn Polskiego Towarzystwa Geometrii i Grafiki Inżynierskiej 10 Zeszyt 12 (2001), str. 10 14 UWAGI O ZASTOSOWANIU POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH W BUDOWNICTWIE Paweł KAPROŃ Politechnika Częstochowska, ul.akademicka

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH

ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH ELEKTRYKA 4 Zeszyt (9) Rok LX Andrzej ZAWADZKI, Maciej WŁODARCZYK Politechnika Świętokrzyska w Kielcach ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Knovel Math: Jakość produktu

Knovel Math: Jakość produktu Knovel Math: Jakość produktu Knovel jest agregatorem materiałów pełnotekstowych dostępnych w formacie PDF i interaktywnym. Narzędzia interaktywne Knovel nie są stworzone wokół specjalnych algorytmów wymagających

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA

WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA 39/19 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 006, Rocznik 6, Nr 19 Archives of Foundry Year 006, Volume 6, Book 19 PAN - Katowice PL ISSN 164-5308 WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Skręcenie wektora polaryzacji w ośrodku optycznie czynnym

Skręcenie wektora polaryzacji w ośrodku optycznie czynnym WFiIS PRACOWNIA FIZYCZNA I i II Imię i nazwisko: 1.. TEMAT: ROK GRUPA ZESPÓŁ NR ĆWICZENIA ata wykonania: ata oddania: Zwrot do poprawy: ata oddania: ata zliczenia: OCENA Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Marta DROSIŃSKA Politechnika Gdańska, Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa

Mgr inż. Marta DROSIŃSKA Politechnika Gdańska, Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa MECHANIK 7/2014 Mgr inż. Marta DROSIŃSKA Politechnika Gdańska, Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa WYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK EKSPLOATACYJNYCH SIŁOWNI TURBINOWEJ Z REAKTOREM WYSOKOTEMPERATUROWYM W ZMIENNYCH

Bardziej szczegółowo

Roztwory rzeczywiste (1)

Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja

Bardziej szczegółowo

Porównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regu

Porównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regu Porównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regulacji genów 8 stycznia 2010 Plan prezentacji 1 Praca źródłowa Sieci regulacji genów 2 Założenia Funkcja Hill a Modele dyskretne 3 Przykład Modele

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

THERMODYNAMICS OF OXYGEN IN DILUTE LIQUID SILVER-TELLURIUM ALLOYS

THERMODYNAMICS OF OXYGEN IN DILUTE LIQUID SILVER-TELLURIUM ALLOYS AGH University of Science and Technology Faculty of Non-Ferrous Metals Laboratory of Physical Chemistry and Electrochemistry THERMODYNAMICS OF OXYGEN IN DILUTE LIQUID SILVER-TELLURIUM ALLOYS Justyna Nyk,

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo