Stężeniowe zależności współczynników Peusnera W ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów

Transkrypt

1 PRACE ORYGINALNE Polim. Med. 04, 44, 3, ISSN Copyright by roclaw Medical University Jolanta Jasik-Ślęzak, A E, Andrzej Ślęzak, A F Stężeniowe zależności współczynników Peusnera ij dla ternarnych roztworów nieelektrolitów Concentration Dependencies of ij Peusner s Coefficient for Different Composition and Concentration of the Non-Electrolyte Ternary Solutions Katedra Zastosowań Lingwistycznych w Zarządzaniu, Politechnika Częstochowska, Częstochowa, Polska Katedra Zdrowia Publicznego, Politechnika Częstochowska, Częstochowa, Polska A koncepcja i projekt badania; B gromadzenie i/lub zestawianie danych; C analiza i interpretacja danych; D napisanie artykułu; E krytyczne zrecenzowanie artykułu; F zatwierdzenie ostatecznej wersji artykułu Streszczenie prowadzenie. Sieciowe postaci równań Kedem-Katchalsky ego (K-K) dla ternarnych roztworów nieelektrolitowych mogą zawierać jeden z ośmiu współczynników Peusnera: R ij, L ij, H ij, ij, N ij, K ij, S ij lub P ij (i, j {,, 3}). Owe współczynniki tworzą macierze trzeciego stopnia współczynników Peusnera [R], [L], [H], [], [N], [K], [S] lub [P]. Cel pracy. Obliczenie zależności współczynników Peusnera ij (i, j {,, 3}) oraz det [], od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie (C ) dla kilku różnych, ustalonych wartości drugiego składnika (C ). Materiał i metody. Analizowano transport roztworów glukozy w wodnym roztworze etanolu przez membranę Nephrophan o znanych parametrach transportowych (L p, σ, ω) za pomocą sieciowych równań K-K dla ternarnych roztworów nieelektrolitów zawierających współczynnik Peusnera ij (i, j {,, 3}). yniki. Obliczono rodziny zależności współczynników Peusnera ij (i, j {,, 3}) od średniego stężenia jednego składnika roztworu w membranie (C ) dla kilku różnych, ustalonych wartości drugiego składnika (C ) dla warunków jednorodności roztworów. nioski. Obliczenia pokazały, że współczynniki,,, 3, 3 oraz det [] są czułe na stężenia C i C oraz skład roztworów rozdzielanych przez membranę polimerową (Polim. Med. 04, 44, 3, 79 87). Słowa kluczowe: transport membranowy, termodynamika sieciowa Peusnera, współczynniki Peusnera, równania Kedem- -Katchalsky ego, roztwory ternarne. Abstract Background. The network forms of Kedem-Katchalsky (K-K) equations for ternary non-electrolyte solutions may contain one of the eight Peusner s coefficients: R ij, L ij, H ij, ij, N ij, K ij, S ij or P ij (i, j {,, 3}). These coefficients form the third degree matrixes of Peusner s coefficients [R], [L], [H], [], [N], [K], [S] or [P]. Objectives. Calculation of dependencies of the Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}) and det [], on the average concentration of one component in the membrane solution (C ) for several different values of the second component set (C ). Material and Methods. Glucose transport in aqueous ethanol solutions through Nephrophan membrane transport with known transport parameters (L p, σ, ω), using the network K-K equations for the ternary non-electrolytes solutions containing Peusner s coefficient ij (i, j {,, 3}) were analyzed. Results. Family dependencies of Peusner s coefficients ij (i, j {,, 3}) on the average concentration of one component in the membrane solution (C ) for several different values of a second set of component (C ) for the homogeneity of the solutions were calculated. Conclusions. Calculations showed that coefficients,,, 3, 3 and det [] are sensitive to concentrations (C ) and (C ) of solutions separated by a polymeric membrane (Polim. Med. 04, 44, 3, 79 87). Key words: membrane transport, Peusner s network thermodynamics, Peusner s coefficients, Kedem-Katchalsky equations, ternary solutions.

2 80 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Zastosowania membran są determinowane przez ich właściwości transportowe, których miarą, zgodnie z formalizmem Kedem-Katchalsky ego, są współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ) i przepuszczalności dyfuzyjnej (ω) [, ]. Do interpretacji transportu membranowego najczęściej są wykorzystywane modele opracowane w ramach termodynamiki nierównowagowej [, 3, 4 4]. ostatnim półwieczu do analizy transportu przez membrany polimerowe stosuje się także modele opracowane w ramach termodynamiki sieciowej (NT) [5 30]. Podstawy owej termodynamiki w latach 70. XX w. stworzyli George Oster, Alan Perelson i Aharon Katchalsky oraz Leonardo Peusner [7, 3 36]. ramach NT stosuje się dwa równorzędne sposoby opisu danego zjawiska: metodę grafu połączeń (bond graph method) Ostera, Perelsona i Katchalsky ego NT [7] oraz metodę Peusnera wykorzystującą symbolikę i teorię analogowych obwodów elektrycznych (Peusner s NT) [9, 3 36]. Obecnie sieci są stosowane do badania układów otwartych w biologii, ekologii czy urbanistyce [5, 7, 8, 3, 5 9]. Termodynamika sieciowa Peusnera (PNT) została zbudowana na bazie termodynamiki nierównowagowej, teorii obwodów elektrycznych, teorii grafów oraz geometrii różniczkowej. Można z niej wyprowadzić metody umożliwiające badanie dynamiki nierównowagowych procesów transportu masy, ładunku, energii i informacji w układach biologicznych [9]. przypadku transportu membranowego binarnych roztworów nieelektrolitów, w ramach PNT wprowadzono dwie grupy współczynników Peusnera: symetryczne (L ij, R ij ) i hybrydowe (H ij, P ij ) (i, j {, }) [9, 3 36]. Owe współczynniki występują w sieciowych formach równań Kedem-Katchalsky ego (K-K), które mają postać równań macierzowych [3 39]. poprzednich pracach autorów sieciowe postaci równań Kedem-Katchalsky ego (K-K) zawierające współczynniki Peusnera R ij, L ij, H ij, ij, K ij, N ij, S ij lub P ij (i, j {,, 3}) otrzymane w wyniku symetrycznych (L ij, R ij ) lub hybrydowych (H ij, ij, K ij, N ij, S ij, P ij ) transformacji sieci termodynamicznych Peusnera zastosowano do opisu transportu ternarnych roztworów nieelektrolitów w warunkach jednorodności roztworów [40 48]. pracach tych rozważano przypadek dwukierunkowego dwuportu termodynamiki sieciowej Peusnera dla trzech bodźców i trzech strumieni. Ów dwuport jest rozwinięciem klasycznego dwuportu Peusnera i ma pojedyncze wejścia dla przepływu J i sprzężonej z nim siły X, przepływu J i sprzężonej z nim siły X oraz przepływu J 3 i sprzężonej z nim siły X 3. poprzedniej pracy autorów zajmowano się kombinacją strumieni (J, J, J 3 ) i sił termodynamicznych (X, X, X 3 ), która ma następującą postać [43]: J J X 3 [ ] X X J X X J 3 () ykorzystując powyższy schemat, przedstawione zostały hybrydowe transformacje równań K-K użyte do otrzymania sieciowej postaci równań K-K zawierających współczynniki ij (i, j {,, 3}) [43, 48]. Równania te można zapisać zarówno w postaci klasycznej, jak i macierzowej [40, 45]. Postać macierzowa tych równań jest następująca: gdzie: Jv Js π C 3 ] π [ C 33 Js L ω π C Js () p (3) ω m γc β C ± (4) ω m γc L ( σ ) p m 3 (5) ω m γc L [ β C β C ] p 3 (6) ω m γc C { A L [ C ξ m C ξ ]} p (7) ω m γc 3 ω m m β C 4 3 (8) ω γc L ( σ ) p 3 (9) ω m γc C[ ω ± β4c ] (0) C ( ω m γc ) 33 C ( ω m γc ) () Δ ΔP ± Δπ ± Δπ, A ω ω ω ω, γ L p ( σ) ω, β L p [( σ )ω ( σ )ω ], β ω ( σ ), β 3 ω ( σ ), β 4 L p ( σ )( σ ), ξ ( σ )[( σ )ω ( σ )ω ], ξ ( σ )[( σ )ω ( σ )ω ], J v strumień objętościowy, J s i J s strumienie solutu substancji i przez membranę w warunkach jednorodności roztworów, L p współczynnik przepuszczalności hydraulicznej, σ i σ współczynniki odbicia odpowiednio substancji i, ω i ω współczynniki przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indeksami i oraz ω i ω współczynniki krzyżowej przepuszczalności solutu substancji i generowanej przez siły z indek-

3 Zależności współczynników Peusnera ij 8 sami i. ΔP P h P l różnica ciśnień hydrostatycznych (P h, P l oznacza wyższą i niższą wartość ciśnienia hydrostatycznego). Δπ k RT(C kh C kl ) jest różnicą ciśnień osmotycznych (RT oznacza iloczyn stałej gazowej i temperatury termodynamicznej, natomiast C kh i C kl stężenia roztworów, k, ). C k (C kh C kl ) [ln(c kh C kl )] średnie stężenie solutu w membranie. Należy zauważyć, że w liczniku i/lub mianowniku równań (3) () występuje znak ± i/lub. Dla Δ ΔP + Δπ + Δπ, w równaniach (3) () występuje górna część znaków, a dla Δ ΔP Δπ Δπ dolna. Korzystając z algorytmu obliczania wyznacznika macierzy trzeciego stopnia, można obliczyć wyznacznik macierzy [] [49]. Zgodnie z tym algorytem otrzymujemy: ± det [] ( ) + ( ) + 3 ( 3 3 ) () Jak widać det [] jest wyznacznikiem trzeciego stopnia. Oznacza to, że ma dziewięć minorów przynależnych do elementów ij (i, j {,, 3}). Uwzględniając wyrażenia (3) () w równaniu (), otrzymujemy: ± C C det[ ] L 3 p ω ( σ ) 4 C [ ω + L C ω m ω [ ω p 3 LpC( σ ) ] m L C p ( σ ) ] (3) Dla Δ ΔP + Δπ + Δπ, w równaniu (3) występuje górna część znaków, a dla Δ ΔP Δπ Δπ dolna. Z równań (4) (6), (8) (0) wynika, że, 3 3 oraz 3 3. Z równań (3), (5), (9) i () wynika ponadto, że współczynniki, 3 3 (ale jedynie dla Δ ΔP + Δπ + Δπ ), 33 są zależne od C, a niezależne od C. Z kolei współczynniki,,, 3 i 3, są zależne od stężenia roztworów zarówno od C, jak i C. związku z tym w pracy obliczono rodziny zależności współczynników Peusnera,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 od średniego stężenia substancji w membranie oznaczonej indeksem ( C ) przy ustalonej wartości średniego stężenia substancji w membranie oznaczonej indeksem ( C ) dla warunków jednorodności roztworów i membrany z octanu celulozy. yniki i omówienie spółczynniki tensorowe Peusnera ij (i, j {,, 3}) występujące w macierzy [] obliczymy dla membrany polimerowej i roztworów ternarnych składających się z rozpuszczalnika (wody), substancji oznaczonej indeksem i substancji oznaczonej indeksem. Stężenie substancji w przedziale h zmienia się w zakresie od C h mol m 3 do C h 00 mol m 3, natomiast stężenie substancji w przedziale h było stałe i wynosiło C h 6 mol m 3, C h 0 mol m 3, C h 90 mol m 3, C h 30 mol m 3 lub C h 80 mol m 3. Z kolei stężenie obydwu składników znajdujących się w przedziale l było stałe i wynosiło C l C l mol m 3. Obliczenia współczynników Peusnera,, 3,,, 3, 3, 3 i 33 wykonano na podstawie równań (3) (). Analogicznie jak w pracach [40 48], do obliczeń wykorzystano uśrednione wartości współczynników przepuszczalności hydraulicznej (L p ), odbicia (σ, σ ), przepuszczalności dyfuzyjnej (ω, ω, ω, ω ) wyznaczone dla jednorodnych roztworów rozdzielanych przez membranę oraz tzw. średnie stężenia składników roztworu w membranie ( C, C ). artość tych współczynników wynosi: L p 5 0 m 3 N s, σ 0,07, σ 0,0, ω 0,8 0 9 mol N s, ω 0,8 0 mol N s i ω,4 0 9 mol N s i ω,6 0 mol N s [3]. Z obliczeń wykonanych na podstawie równania (3) wynika, że wartość współczynnika nie zależy od C przy ustalonej wartości C i wynosi 5,77 0 m 3 N s (dla C 37,7 mol m 3 ), 9,5 0 m 3 N s (dla C 3,8 mol m 3 ) i 3, 0 m 3 N s (dla C 8,9 mol m 3 ). Niezależne od C, przy ustalonej wartości C, są także współczynniki 3 3 i 33. Ich wartości obliczone na podstawie równania (5) są równe 3 3 4,0 0 3 m 3 mol (dla C 37,7 mol m 3 ), 3 3 6,4 0 3 m 3 mol (dla C 3,8 mol m 3 ), 3 3 9,5 0 3 m 3 mol (dla C 8,9 mol m 3 ). artości współczynnika 33, obliczone na podstawie równania (), wynoszą 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 37,7 mol m 3 ), 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 3,8 mol m 3 ), 33 0, 0 8 m 3 N s mol (dla C 8,9 mol m 3 ), Z kolei wartości współczynników,,, 3 i 3 są zależne zarówno od C jak i C, o czym świadczą wykresy przedstawione na ryc. 3. Przedstawione na ryc. charakterystyki f ( C) C const. (wykresy i ) i f ( C) C const. (wykresy 3 i 4) obliczone odpowiednio na podstawie równań (6) i (4) są liniowe i pokazują, że wartości współczynnika są dodatnie i rosną liniowo, a wartości współczynnika są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Z porównania prostych i oraz 3 i 4 wynika, że ponad 6-krotny wzrost wartości C (około 5-krotny wzrost wartości C ) powoduje jedynie około -krotny wzrost wartości i około -krotne zmniejszenie wartości. Zamieszczone na ryc. krzywe ilustrujące charakterystykę f ( C) C const. obliczoną na podstawie równania (7) są półparabolami i pokazują, że wartości

4 8 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Ryc.. Graficzna ilustracja zależności f ( C) C const. (proste i ) i f ( C) C const. (proste 3 i 4) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (proste i 3) oraz C 8,9 mol m 3 (proste i 4). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (6), a współczynnika na podstawie równania (4) Fig.. Graphic illustration of dependence f ( C) C const. (lines and ) and f ( C) C const. (lines 3 and 4) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (lines and 3) and C 8.9 mol m 3 (lines and 4). The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (6) and coefficient on the basis of equation (4) Ryc.. Graficzna ilustracja zależności f ( C) C const. dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C,79 mol m 3 (krzywa ), C 37,7 mol m 3 (krzywa ), C 3,8 mol m 3 (krzywa 3) i C 40, mol m 3 (krzywa 4). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (7) Fig.. Graphic illustration of dependence f ( C) C const. for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C.79 mol m 3 (curve ), C 37.7 mol m 3 (curve ), C 3.8 mol m 3 (curve 3) i C 40. mol m 3 (curve 4). The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (7)

5 Zależności współczynników Peusnera ij 83 Ryc. 3. Graficzna ilustracja zależności 3 f ( C) C const. (proste i ) i 3 f ( C) C const. (proste 3 i 4) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (proste i 3) oraz C 8,9 mol m 3 (proste i 4). artości współczynnika 3 obliczono na podstawie równania (0) oraz współczynnika 3 na podstawie równania (8) Fig. 3. Graphic illustration of dependence 3 f ( C) C const. (lines and ) and 3 f ( C) C const. (lines 3 and 4) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (lines and 3) and C 8.9 mol m 3 (lines and 4). The values of the coefficient 3 were calculated on the basis of equation (0) and coefficient 3 on the basis of equation (8) Ryc. 4. Graficzna ilustracja zależności f(c, C ) dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. C rośnie od C,79 mol m 3 do C 40, mol m 3, natomiast C maleje od C 40, mol m 3 do C,79 mol m 3. Dla jednego z punktów zamieszonych krzywych jest spełniony warunek C C 06,83 mol m 3 (dla krzywej ), C C 9,65 mol m 3 (dla krzywej ) oraz C C 3,8 mol m 3 (dla krzywej 3). artości współczynnika obliczono na podstawie równania (7) Fig. 4. Graphic illustration of dependence f(c, C ) for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. C increase from C.79 mol m 3 to C 40. mol m 3, whereas C decrease from C 40. mol m 3 to C.79 mol m 3. For one point of presented curves the condition C C mol m 3 (for curve ), C C 9.65 mol m 3 (for curve ) and C C 3.8 mol m 3 (for curve 3) is fulfilled. The values of the coefficient were calculated on the basis of equation (7)

6 84 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak Ryc. 5. Graficzna ilustracja zależności det [] f ( C) C const. dla roztworów składających się z rozpuszczalnika i dwóch substancji rozpuszczonych oznaczonych indeksami i. Stężenie substancji oznaczonej indeksem było stałe i wynosiło C 37,7 mol m 3 (krzywa ), C 3,8 mol m 3 (krzywa ) oraz C 8,9 mol m 3 (krzywa 3). artości det [] obliczono na podstawie równania (3) Fig. 5. Graphic illustration of dependence det [] f ( C) C const. for solutions consisting of solvent and two dissolved substances identified by two indexes and. The substance concentration designated by the subscript was constant and equal C 37.7 mol m 3 (curve ), C 3.8 mol m 3 (curve ) and C 8.9 mol m 3 (curve 3). The values of the coefficient det [] were calculated on the basis of equation (3) współczynnika początkowo rosną nieliniowo, a po uzyskaniu wartości maksymalnej maleją nieliniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Krzywa osiąga maksimum dla punktu o współrzędnych C 93,77 mol m 3 i 36, mol m 3, krzywa dla punktu o współrzędnych C 80,43 mol m 3 i 3, mol m 3, krzywa 3 dla punktu o współrzędnych C 5,57 mol m 3 i 0, mol m 3 oraz krzywa 4 dla punktu o współrzędnych C,7 mol m 3 i 6,4 0 9 mol m 3. spomniane krzywe mają miejsca zerowe ( 0), które można oszacować na podstawie wykresów 4, lub obliczyć na podstawie równania (7). Z wykresów przedstawionych na ryc. wynika, że krzywe 4 mają miejsca zerowe dla: C 85,6 mol m 3 (krzywa ), C 6,5 mol m 3 (krzywa ), C 0,56 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 3,5 mol m 3 (krzywa 4). Oznacza to, że dla C 85,6 mol m 3 (krzywa ), C 6,5 mol m 3 (krzywa ), C 0,56 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 3,5 mol m 3 (krzywa 4), wartość współczynnika zmienia znak z dodatniego na ujemny. Jak już wspomniano, wartości C, dla których 0, można obliczyć na podstawie równania (7). Po prostych przekształceniach tego równania otrzymujemy C (A L p C ξ )(L p ξ ). Podstawiając do tego wyrażenia odpowiednie dane, otrzymujemy: C 76,3 mol m 3 (krzywa ), C 54,88 mol m 3 (krzywa ), C 0,3 mol m 3 (krzywa 3) oraz C 40, mol m 3 (krzywa 4). artości C odczytane z wykresów, i 4 i obliczone na podstawie równania różnią się nieco od siebie. Dla krzywych i C różnią się o około 5%, a dla krzywej 4 o około %. Przedstawione na ryc. 3 charakterystyki 3 ( C) C const. f (wykresy i ) i 3 f ( C) C const. (wykresy 3 i 4) obliczone odpowiednio na podstawie równań (0) i (8) są liniowe i pokazują, że wartości współczynnika 3 są dodatnie i rosną liniowo, a wartości współczynnika 3 są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C, przy ustalonej wartości C. Z porównania prostych i oraz 3 i 4 wynika, że podobnie jak w przypadku charakterystyk f ( C) C const. i f ( C) C const. ponad 6-krotny wzrost wartości C (około 5-krotny wzrost wartości C ) powoduje jedynie około -krotny wzrost wartości 3 i około -krotne zmniejszenie wartości 3. Zamieszczone na ryc. 4 krzywe ilustrujące zależności f( C, C ) pokazują, jak zmienia się wartość współczynnika, jeśli C rośnie od C,79 mol m 3 do C 40, mol m 3, natomiast C maleje od C 40, mol m 3 do C,79 mol m 3. przypadku krzywej C i C są tak sparowane, że dla jednego z punktów spełniony jest warunek C C 06,83 mol m 3. przypadku krzywej C i C są tak sparowane, że dla jednego z punktów spełniony jest warunek

7 Zależności współczynników Peusnera ij 85 C C 9,65 mol m 3 oraz dla krzywej 3 warunek C C 3,8 mol m 3. Takie dobranie C i C powoduje, że krzywa ma dwa maksima, z których pierwsze ma współrzędne C 50 mol m 3 i 6, 0 9 mol m 3 oraz drugie C 67,76 mol m 3 i 6, mol m 3. Krzywa posiada też minimum o współrzędnych C 4,3 mol m 3 i, mol m 3 oraz trzy miejsca zerowe, tj. punkty, dla których 0. Punkty te odpowiadają C o wartościach C 3, mol m 3, C 43,9 mol m 3 i C 8,58 mol m 3. przypadku krzywej mamy dwa maksima, pierwsze o współrzędnych C 38,46 mol m 3 i 3, mol m 3 i drugie o współrzędnych C 66,67 mol m 3 i 6, mol m 3. Ponadto ta krzywa ma jedno minimum o współrzędnych C 4,3 mol m 3 i 9,7 0 9 mol m 3 i jedno miejsce zerowe dla 0 i C 89,47 mol m 3. Krzywa 3, podobnie jak krzywa, ma dwa maksima, jedno o współrzędnych C 38,46 mol m 3 i 9, mol m 3 i drugie o współrzędnych C 66,67 mol m 3 i 6, mol m 3, jedno minimum o współrzędnych C 46, mol m 3 i 39, mol m 3 oraz jedno miejsce zerowe o współrzędnych 0 i C 76,3 mol m 3. Z porównania krzywych, i 3 wynika, że przesunięcie punktu, w którym C C rośnie, powoduje przesunięcie pierwszego minimum w kierunku malejących wartości C. Podobnie zachowują się miejsca zerowe tych krzywych. Drugie maksimum podobnie jak minimum tych krzywych ma takie same współrzędne C. Na ryc. 5 przedstawiono nieliniowe zależności det [] f ( C) C const. dla C 37,7 mol m 3 (wykres ), dla C 3,8 mol m 3 (wykres ) oraz dla C 8,9 mol m 3 (wykres 3), obliczone na podstawie równania (3). badanym zakresie wartości C krzywa zawiera tylko dodatnie wartości det []. Natomiast zamieszczone na tej rycinie krzywe i 3 są niepełnymi parabolami. związku z tym wartość det [] początkowo rośnie nieliniowo aż do osiągnięcia wartości maksymalnej. Po jej osiągnięciu wartość det [] maleje nieliniowo. Krzywa osiąga wartość maksymalną dla punktu o współrzędnych C 80,86 mol m 3 i det [] 4, 0 m 3 N s. Z kolei współrzędne maksimum krzywej 3 wynoszą C 35,6 mol m 3 i det [] 4, 0 m 3 N s. Krzywe i 3 posiadają też miejsca zerowe, tj. jest punkt, dla których det [] 0. przypadku krzywej miejsce to przypada dla C 6,4 mol m 3, a w przypadku krzywej 3 dla C 89,3 mol m 3. Oznacza to, że dla C > 6,4 mol m 3 (w przypadku krzywej ) i C > 89,3 mol m 3 (w przypadku krzywej 3) det [] zmienia znak z dodatniego na ujemny. artości C, dla których det [] 0, można również obliczyć na podstawie równania (3). Przyrównując prawą stronę tego równania do zera, otrzymujemy: C L p (α C α 3 C + α 4 )(α C ). Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować niżej opisane wnioski. spółczynniki, 33 są stałe i dodatnie, a współczynniki 3 3 stałe i ujemne. artości współczynników,,, 3 i 3 są zależne zarówno od wartości C, jak i C. artości współczynników 3 i są dodatnie i rosną liniowo, a współczynniki i 3 są ujemne i maleją liniowo wraz ze wzrostem wartości C przy ustalonej wartości C. Krzywe ilustrujące nieliniowe (paraboliczne) zależności współczynnika oraz det [] od wartości C przy ustalonej wartości C znajdują się w pierwszej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Krzywe ilustrujące zależności współczynnika f( C, C ) mają dwa maksima, jedno minimum i trzy (krzywa ) lub jedno (krzywe i 3) miejsce zerowe. Sieciowa postać równań K-K zawierająca współczynniki Peusnera ij (i, j {,, 3}) jest nowym narzędziem, które można wykorzystać do badania transportu membranowego. ykazano, że jedynie współczynniki,,, 3 i 3 są czułe na stężenie i skład roztworów rozdzielanych przez membranę polimerową. Piśmiennictwo [] Katchalsky A., Curran P.F.: Nonequilibrium Thermodynamics in Biophysics, Harvard Univ. Press, Cambridge, 965. [] Baker R.: Membrane Technology and Applications. John illey & Sons, New York, 004. [3] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equations of the transport across a horizontally mounted membrane. Biophys. Chem. 989, 34, 9 0. [4] Kargol A., Kargol M.: Passive mass transport processes in cellular membranes and their biophysical implications. [In:] Porous Media. Applications in Biological Systems and Biotechnology. Ed.: Vafai K., CRC Press, Boca Raton 0, [5] Ślęzak A., Dworecki K., Ślęzak I.H., ąsik S.: Permeability coefficient model equations of the complex: membrane-concentrations boundary layers for ternary nonelectrolyte solutions. J. Membr. Sci. 005, 67, [6] Ślęzak A., Jasik-Ślęzak J., Grzegorczyn S., Ślęzak-Prochazka I.: Nonlinear effects in osmotic volume flows of electrolyte solutions through double-membrane system. Transp. Porous Media 0, 9, [7] Grzegorczyn S., Ślęzak A., Michalska-Małecka K., Ślęzak-Prochazka I.: Conditions of hydrodynamic instability appearence in fluid thin layers with changing in time thicknesses and density gradients. J. Non-Equilib. Thermodyn. 0, 37, [8] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Batko K.M.: Resistance coefficients of polymer membrane with concentration polarization. Transp. Porous Med. 0, 95, 5 70.

8 86 J. Jasik-Ślęzak, A. Ślęzak [9] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Grzegorczyn S., Ślęzak A.: Membrane Transport in Concentration Polarization Conditions: Network Thermodynamics Model Equations. J. Porous Media 04, 7, [0] Ślęzak A., Ślęzak I.H., Ślęzak K.M.: Influence of the concentration boundary layers on membrane potential in a single membrane system. Desalination 005, 84, 3 3. [] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Analiza transportu membranowego przy pomocy transformowanych równań Kedem-Katchalsky ego. Polim. Med. 00, 40, [] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Ocena wartości różnicy stężeń determinującej transport membranowy w warunkach polaryzacji stężeniowej. Polim. Med. 00, 40, [3] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Ocena wartości współczynnika osmotycznego van t Hoffa w warunkach polaryzacji stężeniowej układu membranowego. Polim. Med. 0, 4, [4] Jasik-Ślęzak J., Olszówka K., Ślęzak A.: Estimation of thickness of concentration boundary layers by osmotic volume flux determination. Gen. Physiol. Biophys. 0, 30, [5] Alhama L., Alhama F., Soto Meca A.: The network method for a fast and reliable solution of ordinary differential equations: Applications to non-linear oscillators. Comput. Elect. Eng. 0, 38, [6] Biscombe C.J.C., Davidson M.R., Harvie D.J.E.: Electrokinetic flow in parallel channels: Circuit modelling for microfluidics and membranes. Colloid and Surface A: Physiochem. Eng. Acpects 04, 440, [7] Bristow D.N., Kennedy C.A.: Maximizing the use energy in cities using an open systems network approach. Ecological Modelling 03, 50, [8] Horno J., Castilla J.: Application of network thermodynamics to the computer simulation of non-stationary ionic transport in membranes. J. Membr. Sci. 994, 90, [9] Horno J., Castilla J., González-Fernández C.F.: A new approach to nonstationary ionic transport based on the network simulation of time-dependent Nernst-Planck equations. J. Phys. Chem. 99, 96, [0] Imai Y.: Membrane transport system modeled by network thermodynamics. J. Membr. Sci. 989, 4, 3. [] Imai Y.: Network thermodynamics: analysis and synthesis of membrane transport system. Japan. J. Physiol. 996, 46, [] Jamnik J., Maier J.: Generalised equivalent circuits for mass and charge transport: chemical capacitance and its implications. Phys. Chem. Chem. Phys. 00, 3, [3] López-Garcia J.J., Moya A.A., Horno J., Delgado A., González-Caballero F.: A network model of the electrical double layer around a colloid particle. J. Colloid Interfac. Sci. 996, 83, [4] Mikulecky D.C.: Modeling intestinal absorption and other nutrition-related processes Using PSPICE and STELLA. J. Ped. Gastroenter. Nutrit. 990,, 7 0. [5] Mikulecky D.: The circle that never ends: can complexity be made simple? [In:] Complexity in Chemistry, Biology and Ecology. Eds.: D.D. Bonvchev, D. Rouvaray, Springer, Berlin 005, [6] Moya A.A., Horno J.: Study of the linearity of the voltage-current relationship in ion-exchange membranes using the network simulation method. J. Membr. Sci. 004, 35, 3 9 [7] Oster G.F., Perelson A.S., Katchalsky A.: Network Thermodynamics. Nature 97, 34, [8] Perelson A.S.: Network Thermodynamics. Biophys. J. 975, 5, [9] Peusner L.: Studies in Network Thermodynamics. Elsevier, Amsterdam 986. [30] Szczepański P., ódzki R.: Bond-graph description and simulation of agitated bulk liquid membrane system dependence of fluxes on liquid membrane volume. J. Membr. Sci. 03, 435, 0. [3] Peusner L.: The principles of network thermodynamics and biophysical applications. PhD Thesis, Harvard, Cambridge 970. [3] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems: a network thermodynamics approach. I. Linear steady state without storage. J. Theoret. Biol. 983, 0, [33] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of linear transport equations. J. Theoret. Biol. 985, 5, [34] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion processes. III. hy are Onsager equations reciprocal? The Euclidean geometry of fluctuaction-dissipation space. J. Theoret. Biol. 986,, [35] Peusner L.: Network representation yelding the evolution of Brownian motion with multiple particle interaction. Phys. Rev. 985, 3, [36] Peusner L., Mikulecky D.C., Bunow B., Caplan S.R.: A network thermodynamic approach to Hill and King-Altman reaction-diffusion kinetics. J. Chem. Phys. 985, 83, [37] Ślęzak A.: Zastosowanie sieci termodynamicznych do interpretacji transportu w mikroukładach: transport jednorodnych roztworów nieelektrolitów przez membranę polimerową. Polim. Med. 0, 4, [38] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Batko K.M.: Resistance coefficients of polymer membrane with concentration polarization. Transp. Porous Med. 0, 95, [39] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Evaluation the reflection coefficient of polymeric membrane In concentration polarization conditions. Polim. Med. 03, [40] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera R ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [4] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów.. Ocena współczynników Peusnera L ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43,

9 Zależności współczynników Peusnera ij 87 [4] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 3. Ocena współczynników Peusnera H ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, 8. [43] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 4. Ocena współczynników Peusnera ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [44] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 5. Ocena współczynników Peusnera N ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [45] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 6. Ocena współczynników Peusnera K ij membrany polimerowej. Polim. Med. 03, 43, [46] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 7. Ocena współczynników Peusnera S ij membrany polimerowej. Polim. Med. 04, 44, [47] Batko K., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Sieciowa postać równań Kedem-Katchalsky ego dla ternarnych roztworów nieelektrolitów. 8. Ocena współczynników Peusnera P ij membrany polimerowej. Polim. Med. 04, 44, [48] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak-Prochazka I., Ślęzak A.: Ocena macierzy współczynników Peusnera membrany polimerowej i ternarnych roztworów nieelektrolitów. Polim. Med. 04, 44, [49] Strang G.: Linear Algebra and its Applications, Academic Press, New York, 976. Adres do korespondencji: Jolanta Jasik-Ślęzak Katedra Zastosowań Lingwistycznych w Zarządzaniu Politechnika Częstochowska ul. Armii Krajowej 36B 4-00 Częstochowa jolantaslezak@gmail.com Konflikt interesów: nie występuje Praca wpłynęła do Redakcji: r. Po recenzji: r. Zaakceptowano do druku: r. Received: Revised: Accepted: