MATEMATIČKA ANALIZA 2
|
|
- Karol Kaczor
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23.
2 Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 4 3 Dvostruki integrali 8 4 Trostruki integrali 5 Vektorska analiza 4 6 Krivuljni i plošni integrali 5 7 Diferencijalne jednadžbe 7 8 Rješenja 2 8. Funkcije više varijabli Diferencijalni račun funkcija više varijabli Dvostruki integrali Trostruki integrali Vektorska analiza Krivuljni i plošni integrali Diferencijalne jednadžbe Kontrolne zadaće iz 22. godine 29 Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine 32 Pismeni ispiti iz 22. godine 34 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 44 A Tablica derivacija 5 B Tablica neodredenih integrala 5 2
3 Funkcije više varijabli 3 Funkcije više varijabli. Odrediti i skicirati područje definicije (domenu) slijedećih funkcija: a) f(x, y) = x 2 + y 2 b) f(x, y) = x 2 y 2 4 x 2 y 2 c) f(x, y) = ( x 2 y 2 )(4 x 2 y 2 ) d) f(x, y) = y 2 x 2 e) f(x, y) = x y + y 2 f) f(x, y) = x 2 y + 4xy + y 3 g) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 4x + 5) h) f(x, y) = ln (x ln(y x)) i) f(x, y) = arth ( ) y x 2. Skicirati slijedeće plohe u prostoru: a) y = 2 4 x 2 z 2 b) z = 2 y c) x = 2y y 2 d) z = 2 x 2 + 4y 2 e) y = 4 x 2 + z 2 + f) x 2 + y 2 z 2 = 2y g) z = x 2 + y 2 + 4y + 5 h) z = y 2 x 2 2y + 2x i) z = e x2 y 2 3. Naći jednadžbu plohe koja nastaje vrtnjom krivulje a) z = y 4 + oko osi z ; b) z = cos 2 (2y) oko osi z ; c) x = y 6 + oko osi x ; d) z = ln y, y 2 oko pravca y = Naći jednadžbu rotacijske stožaste plohe prema slici: a) b)
4 4 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 5. Naći jednadžbu stožaste plohe prema slici: 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli. Zadane su funkcije f(x) = ( x) x, g(x) = (ln x) x2, h(x) = x x 3. Koristeći pravilo za deriviranje složene funkcije izračunati prve i druge derivacije tih funkcija. 2. Zadana je funkcija f(x, y) = (x 3 + y 3 ) xy. Koristeći pravilo za deriviranje složene funkcije izračunati parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije f. 3. Zadane su funkcije: a) z = e x2 +xy+y 2 ; b) z = x+y 3x 2 y 2. Naći dz. 4. Zadana je funkcija z = arctg ( ) x y i točka T (2, ). Naći (dz)t i (d 2 z) T. 5. Zadana je funkcija u = 2x 3 3x 2 y + 2xy 2 y 3 + z 2 i točka T (,, 2). Naći (du) T i (d 2 u) T. 6. Naći du ako je u = f(x, y, z), gdje je y = g(x), z = ϕ(x, y). 7. Pokazati da funkcija z = yϕ(x 2 y 2 ) zadovoljava jednadžbu z x x + z y y = z y Pokazati da funkcija z = xf ( ( ) y x) + g y x zadovoljava jednadžbu x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 =.
5 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 5 9. Dokazati da jednadžba zamjenom v = ue t prelazi u 2 v x + 2 v 2 t = 2 v 2 t 2 u t 2 u 2 x = u. 2. Dokazati da izraz w = x 2 2 u x + 2xy 2 u 2 x y + 2 u y2 y 2 zamjenom x = r cos ϕ, y = r sin ϕ prelazi u w = r 2 2 u r 2.. Transformirati na nove nezavisne varijable u i v jednadžbu ako je u = x, v = x 2 + y 2. y z x x z y =, 2. Transformirati na nove nezavisne varijable u i v jednadžbu ako je u = xy, v = x y. x 2 2 z x 2 y2 2 z y 2 =, 3. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadžbom Naći d 2 z u točki T (,, 2). x 3 + 2y 3 + z 3 3xyz 3y + 7 =. 4. Funkcije u = u(x, y) i v = v(x, y) zadane su implicitno jednadžbama xe u+v + 2uv =, ye u v u + v = 2x. Znajući da je u(, 2) = v(, 2) =, naći (du) (,2) i (dv) (,2). 5. Funkcija z = z(x, y) zadana je parametarski jednadžbama x = u + v, y = ln u + 2v, z = uv.
6 6 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli Naći dz i d 2 z u točki za koju je u = i v = Naći jednadžbu tangencijalne ravnine i normale na plohu: a) z = (x 2 + y 2 ) 2 u točki T (2,, z T ); b) x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 2 u točki T ( 2, 2, ); c) u točki T (u =, v = ). x = ue v y = 2u + v z = uv 7. Pod kojim kutom se sijeku plohe x 2 +y 2 = i x 2 +y 2 +z 2 = 2x u točki M ( 2, 3 2, )? 8. U kojim točkama elipsoida ( x a ) 2 + ( y b ) 2 + ( z c ) 2 = normala na elipsoid tvori jednake kutove s koordinatnim osima? 9. Naći jednadžbe tangencijalnih ravnina na plohu x 2 + xy + y 2 + z 2 = koje sadrže točke (,, 2) i (,, 2). 2. Tangencijalna ravnina na plohu x 2 y 2 z 2 + 2x = odsijeca na pozitivnoj osi ordinata odsječak duljine 2, a na negativnoj osi aplikata odsječak duljine 3. Kolika je duljina odsječka te tangencijalne ravnine na osi apscisa? 2. Naći sve točke na plohi z = xy ln(x 2 + xy + y 2 ) u kojima je normala na tu plohu paralelna osi z. 22. Dokazati da tangencijalne ravnine plohe x + y + z = a odsijecaju na koordinatnim osima odsječke čiji je zbroj duljina konstantan. Koliko on iznosi? 23. Dokazati da normala u proizvoljnoj točki rotacijske plohe z = f( x 2 + y 2 ) siječe os rotacije. 24. Prikazati f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 6x 2y 4 kao polinom po potencijama binoma (x + 2) i (y ). 25. Naći treći Taylorov polinom u razvoju funkcije f(x, y) = e x sin y u okolini točke T (, ). 26. Naći drugi Taylorov polinom u razvoju funkcije a) f(x, y) = y x u okolini točke T (, );
7 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 7 b) f(x, y, z) = z arctg ( ) x y u okolini točke T (,, ); c) z = z(x, y) zadane implicitno jednadžbom xz + y + z 3 = 2 u okolini točke T (,, ); d) z = z(x, y) zadane implicitno jednadžbom x 2 yz z = 2 u okolini točke T (, 2, ); e) z = z(x, y) zadane parametarskim jednadžbama u okolini točke T (u =, v = ). x = u + v y = e u + v z = u 2 v 27. Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije: a) f(x, y) = 4xy + + x y b) f(x, y) = 2x 3 + y 2 + 6x 2 y 2y c) f(x, y) = 3 ln ( ) x ln y + ln(2 x y) d) f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ) e) f(x, y, z) = x z2 + y2 2 y 2x z 28. Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije a) f(x, y) = x + 2y uz uvjet x 2 + y 2 = 5; b) f(x, y) = 3x xy uz uvjet x 2 + (y 3) 2 = ; c) f(x, y) = x 3 + 3y 3 uz uvjet x 2 y 2 = 2; d) f(x, y, z) = x 2y + 2z uz uvjet x 2 + y 2 + z 2 = ; e) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 uz uvjet x2 + y2 + z2 =, a > b > c > ; a 2 b 2 c 2 f) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + xz uz uvjet x + 2y + 3z = ; g) f(x, y, z) = xyz uz uvjete x + y + z = 5 i xy + yz + zx = Od svih pravokutnih paralelepipeda zadanog volumena V naći onaj kojemu je oplošje najmanje. 3. Naći trokut zadanog opsega koji pri rotaciji oko jedne svoje stranice tvori tijelo najvećeg volumena. 3. Zadan je tetraedar OABC s vrhovima O(,, ), A(a,, ), B(, b, ) i C(,, c). U taj tetraedar upisan je kvadar maksimalnog volumena (jedan vrh je u točki O(,, )). Koliko iznosi taj volumen? 32. Zadane su točke A(,, ) i B(,, 2). Naći sve točke C u ravnini XOY za koje je ACB maksimalan. 33. U lik omeden parabolom y = 4 x 2 i osi x upisati lik kao na slici tako da mu površina bude maksimalna. Koliko iznosi ta površina?
8 8 3 Dvostruki integrali 34. U tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 i z = upisan je kvadar čije su plohe paralelne koordinatnim ravninama i čiji je volumen maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 35. U tijelo omedeno plohama y = x 2, z = y i z = upisan je kvadar čije su plohe paralelne koordinatnim ravninama i čiji je volumen maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 36. U elipsoid x 2 + y2 + z2 = upisan je tetraedar s vrhovima A(,, ), B(, 2, ), 4 9 C(,, 3), dok četvrti vrh D treba odabrati tako da volumen tetraedra bude maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 37. Naći točku na plohi z = xy najbližu ishodištu. 38. Odrediti poluosi elipse 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 9. 3 Dvostruki integrali. Izračunati slijedeće dvostruke integrale, pri čemu je područje integracije (P ) zadano slikom: a) (x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) dy; b) x 3 ye xy dy. (P ) (P )
9 3 Dvostruki integrali 9 2. Promijeniti poredak integracije u integralu a) 9 x 2 3 x 2 f(x, y) dy; b) 2 dy y ln y f(x, y). 3. Promjenom poretka integracije izračunati integral a) b) 2 x x 5 x x 2 e y2 dy; x 2 y 2 dy. 4. Neka je (P ) četverokut s vrhovima A(2, ), B(, ), C( 2, ) i D(, ). Postaviti granice integracije u integralu (P ) f(x, y) dy, te izračunati integral za a) f(x, y) = e x+y ; b) f(x, y) = x + y 2 ; c) f(x, y) = (x + ) 2 ; d) f(x, y) = y. 5. Neka je (P ) lik omeden krivuljama y = x 2 i y =. a) Izračunati površinu lika (P ). b) Izračunati (P ) (x + )y2 dy. 6. Izračunati površinu lika omedenog krivuljama y = x2 i y = 8. Nacrtati sliku! 4 x Izračunati (P ) e x y dy, pri čemu je P = {(x, y) R 2 : y > x }. 8. Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 = i x 2 + z 2 =. Nacrtati sliku! 9. Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama y x 2, z, z 4 2y i z. Nacrtati sliku!. Izračunati (P ) ln(x2 + y 2 ) dy, pri čemu je (P ) kružni vijenac e 2 x 2 + y 2 e 4.
10 3 Dvostruki integrali. Izračunati (P ) x2 y 2 dy, pri čemu je (P ) kružni isječak odreden nejednadžbama x 2 + y 2, y x, y 3x, y. 2. Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama a) r 2 cos ϕ; b) r sin(2ϕ) i r cos(2ϕ); c) (x 2 + y 2 ) 2 8x 3 i x 2 + y Izračunati površinu lika omedenog krivuljom ( x 2 a + y2 b ) 2 = xy, a, b, c >. c 4. Izračunati (P ) dy x2 + y, 2 pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama (x 2 + y 2 ) 2 3x 3 i (x 2 + y 2 ) 2 9y Prijelazom na polarne koordinate izračunati a) b) c) x 2 3 x 2 x 2 4 x 2 dy ; (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 + y 2 dy; dy. (x 2 + y 2 ) Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama 3(x 2) 2 + (y 3) 2 3 i x 2 3 y 3 x Prijelazom na poopćene polarne koordinate izračunati 3 x2 4 2 dy ( x 2 + ) 3 4 y2 2.
11 4 Trostruki integrali 8. Izračunati (P ) (x + y)3 (x y) 2 dy, pri čemu je (P ) kvadrat omeden pravcima x + y =. x + y = 3, x y = i x y =. Naputak: Uvesti nove varijable u = x + y, v = x y. 9. Izračunati (P ) (x2 + y 2 ) dy, pri čemu je (P ) lik u prvom kvadrantu omeden krivuljama x 2 y 2 =, x 2 y 2 = 4, xy = i xy = 3. Naputak: Uvesti nove varijable u = x 2 y 2, v = xy. 2. Izračunati e (x+y)2 3y 2 dy. Naputak: Uvesti nove varijable u = x+y, v = y, te potom prijeći na polarne koordinate. 2. Izračunati e (ax+by)2 dy, a, b >. Naputak: Uvesti nove varijable u = ax + by, v = y x. 22. Izračunati masu kružne ploče polumjera R, ako je njena gustoća proporcionalna udaljenosti točke do središta, a na rubu ploče jednaka je δ. 23. Naći koordinate težišta homogenog lika omedenog a) krivuljom r = a( + cos ϕ); b) krivuljama y 2 = 4x + 4 i y 2 = 2x Izračunati moment tromosti homogenog kružnog vijenca s polumjerima R, R 2 (R < R 2 ) a) s obzirom na promjer prstena; b) s obzirom na središte prstena. 4 Trostruki integrali. Izračunati e x y z dy dz, (V ) pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima A(,, ), B(,, 2), C(,, 2), D(,, 2). 2. Izračunati (V ) dy dz y +, pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima A(,, ), B(,, ), C(, 2, ), D(,, 4).
12 2 4 Trostruki integrali 3. Postaviti granice integracije u integralu f(x, y, z) dy dz, ako je (V ) piramida s vrhovima a) A(,, ), B(2,, ), C(, 3, ), D(,, 6); b) A(,, ), B(3,, ), C(2, 2, ), D(, 3, ), E(,, 2); c) A(,, ), B(2,, ), C(, 2, ), D(2, 2, ), E(,, ); d) A(,, ), B(,, 2), C(2,, 2), D(, 2, 2), E(2, 2, 2). (V ) 4. (V ) je tijelo odredeno nejednadžbama y x 2, z 3 y, z y. a) Izračunati z dv. b) Izračunati volumen tijela (V ). (V ) 5. Izračunati pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama a) z = 5 x 2 y 2 i z = ; b) z = e x2 +y 2 i z = 2. (V ) z dv, 6. Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = x 2 + y i z = Izračunati x 2 z dv, pri čemu je (V ) dio tijela omedenog plohama z = 4 3x 2 y 2 prvom oktantu, izmedu ravnina y = x i y = 3x. (V ) i z = koji se nalazi u 8. Izračunati yz dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama z = x 2 + (y ) 2 i z = Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = x 2 y 2 i y + z =.. Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 +y 2, z i z 2y+.. Izračunati (V ) dv z 3,
13 4 Trostruki integrali 3 pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama z x 2 + 3y 2, z 2 i x. 2. Izračunati (V ) z 2 dv, pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama x = 3 y 2 + z 2, x = i x = Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = 2 (x2 + y 2 ) i z = 4 x 2 + y Izračunati (V ) x 2 + y 2 + z 2 dv, pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbom x 2 + y 2 + z 2 x. 5. Prijelazom na sferne koordinate izračunati (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 + z 2 2z z 3(x 2 + y 2 ). i 6. U integralu x 2 3 x 2 dy 4 x 2 y 2 f(x, y, z) dz izvršiti prijelaz na ) cilindrične koordinate; 2) sferne koordinate, te izračunati integral ako je a) f(x, y, z) = z 3 ; b) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) Izračunati z 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbom (x ) 2 + 4(y + ) 2 + (z 5) Izračunati moment tromosti homogenog pravokutnog paralelepipeda sa stranicama duljina a, b i c s obzirom na a) jedan vrh; b) stranicu duljine a. γ(x, y, z) =
14 4 5 Vektorska analiza 9. Naći težište homogenog tijela odredenog nejednadžbama a) x 2 + y 2 + z 2 2z i x 2 + y 2 z 2 ; b) y 2 + 4z 2 4x i x Naći težište kocke x, y, z a, ako je γ(x, y, z) = x + y + z. 5 Vektorska analiza. Zadano je skalarno polje f(x, y, z) = 3x 2 y + y 2 z 3, te vektor s = ı + j + 2 k. Izračunati: a) grad f; b) f s ; c) f. 2. Zadano je vektorsko polje v(x, y, z) = x 2 ı + y 2 j + xyz k, te vektor s = ı + j + 2 k. Izračunati: a) div v; b) rot v; c) v s ; d) v. Neka je a konstantan vektor, r radijvektor točke u prostoru, te r njegov modul. 3. Zadano je vektorsko polje v = grad[( a r)r 2 ]. Izračunati v a. 4. Zadano je vektorsko polje v = (r 3 + 3r 2 ), te vektor s = 2 ı + j 2 k. Izračunati ( ) v s. T (,,) 5. Zadano je skalarno polje v = (r 3 + 3r), te vektor s = 2 ı + j 2 k. Izračunati v s. 6. Izračunati div ( ) a r. a r 7. Izračunati [f(r) r ( a r)]. 8. Izračunati { [( r a) ( a ( r a))]}. 9. Izračunati rot{rot[( a r)( a r)]}.. Izračunati ( ) a r. r 3. Izračunati [ r ( a r)].
15 6 Krivuljni i plošni integrali 5 2. Zadano je vektorsko polje v = grad(r 2 ln r). Izračunati ( ) v k. T ( 3,,) 3. Izračunati [( a r)r 2 ]. 4. Zadano je vektorsko polje v = (r 3 + 3r), te vektor s = ı j + k. Izračunati ( ) v. s T (,2,2) 5. Izračunati [( a r) r]. 6. Zadano je vektorsko polje v = rot[( a r) r 2 ]. Izračunati v a. 7. Izračunati { [f(r) r ( a r)]}. 8. Izračunati {[( a r) + r 2 ] r}. 9. Izračunati rot[rot(r 2 a)]. 6 Krivuljni i plošni integrali. Izračunati Γ xy ds, pri čemu je Γ dio presječnice ploha x 2 + y 2 = 4 i z = y koji se nalazi u prvom oktantu (x, y, z ). Nacrtati sliku! 2. Izračunati duljinu krivulje C, zadane kao dio presječnice ploha y = x 2 i y + z = 3 koji se nalazi u prvom oktantu. Nacrtati sliku! 3. Izračunati AB x 2 + y 2 dy + z 2 dz, x 2 + y 2 + z pri čemu je AB usmjerena dužina od A(,, ) do B(, 2, 3). 4. Izračunati Γ x ds,
16 6 6 Krivuljni i plošni integrali pri čemu je Γ dio presječnice ploha y = x 2 i y + z = 3 koji se nalazi u prvom oktantu. 5. Izračunati AC yz + (x + z) dy + xy dz, pri čemu je AB dio krivulje { 3y 2 + z 2 = 4 x =, dok je BC usmjerena dužina (vidi sliku!). 6. Izračunati Γ x ds, pri čemu je Γ dio krivulje (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 koji se nalazi u prvom kvadrantu. Nacrtati krivulju Γ! Naputak: Prijeći na polarne koordinate. 7. Neka je a konstantan vektor, te r radijvektor točke u prostoru. Ispitati je li krivuljni integral rot[( a r)( a r)] d s, pri čemu je d s = ı + dy j + dz k, neovisan o putu integracije. 8. Izračunati C (x + y + z) ds, S pri čemu je S dio plohe x 2 + y 2 = koji se nalazi izmedu ravnina z = i z = Izračunati z 2 ds, S
17 7 Diferencijalne jednadžbe 7 pri čemu je S sfera x 2 + y 2 + (z 2) 2 =.. Izračunati površinu dijela plohe x 2 + y 2 = za koji je z i z y. Nacrtati sliku!. Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 koji se nalazi unutar sfere Nacrtati sliku! x 2 + y 2 + z 2 = Izračunati površinu dijela plohe x 2 + y 2 = koji se nalazi izmedu ravnina z = y i z = 4y i za koji je z. Nacrtati sliku! 3. Izračunati S + x dy dz, pri čemu je S + dio plohe y = 2x x 2 za koji je z, orijentirane tako da normala na tu plohu zatvara s osi y kut veći od 9. Nacrtati sliku! 4. Izračunati S + x 2 dy dz + y 2 dz + z 2 dy, pri čemu je S + dio ravnine z = 2y za koji je x 2 + 4y 2 4, orijentirane tako da normala na ravninu zatvara s osi z kut veći od Izračunati S + xz 2 dy dz + yz 2 dz + z 3 dy, pri čemu je S + vanjska strana sfere x 2 + y 2 + (z 2) 2 =. 7 Diferencijalne jednadžbe. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = x cos y + sin(2y). 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( ( x ) x + e y + x ) e x y dy =. y 3. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( 2x y + y ) ( ) + ln x x2 dy =. x y 2
18 8 7 Diferencijalne jednadžbe 4. Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja y 2 = 2x 2 ( Cx). 5. Naći sve krivulje sa svojstvom da je duljina odsječka normale na krivulju u proizvoljnoj točki T, izmedu točke T i sjecišta normale s osi x, jednaka kvadratu ordinate točke T. 6. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y x y = y x 2 + y Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y cos x = sin(2x). 8. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y cos x + sin x + e y =. 9. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = 2 y (2x + y ).. Odrediti jednadžbu krivulje za koju vrijedi da je kut kojeg radijvektor bilo koje točke T (x, y) na krivulji čini s osi x dva puta manji od kuta kojeg tangenta u točki T (x, y) čini s osi y.. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe x(2y xy ) = y Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) y = 2x + y + 4x + 2y 3 ; b) y = x + 2y 5 2x y Naći opće i singularno rješenje diferencijalne jednadžbe y = xy + y.
19 7 Diferencijalne jednadžbe 9 4. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) (y 2 + xy 2 )y + x 2 yx 2 = b) y = a x+y (a >, a ) c) y = sin(x y) 5. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = x y + y x. 6. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( ( x ) x + e y + e y x ) dy =. y 7. Odrediti jednadžbe onih krivulja kojima svaka tangenta siječe os ordinata u točki koja je jednako udaljena od ishodišta kao i od dirališta. 8. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) (x + y 2) + (x y + 4) dy = b) (3x + 4y + )y + 2x + 3y + = 9. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y sin x = sin x cos x. 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y x ln x = x ln x. 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe dy = x cos y + a sin(2y), a. 22. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + 2 x y = x Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( + x 2 )y 2xy = ( + x 2 ) 2.
20 2 8 Rješenja 24. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) y + y x = x2 y 4 ; b) y + 2y x = 2 y cos 2 x. 25. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = sin y x cos y. 26. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y 2 + (x y 2 + y) dy =. 8 Rješenja 8. Funkcije više varijabli. a) {(x, y) x, y }; b) {(x, y) x 2 + y 2 }; c) {(x, y) x 2 + y 2 } {(x, y) x 2 + y 2 4}; d) {(x, y) y 2 x 2 }; e) {(x, y) y x, y }; f) {(x, y) y, (x + 2) 2 + y 2 4} {(x, y) y, (x + 2) 2 + y 2 4}; g) R 2 ; h) {(x, y) x >, y > x + } {(x, y) x <, x < y < x + }; i) {(x, y) y < x, x }. a) b) c)
21 8 Rješenja 2 d) e) f) 2. g) h) i) a) b) c)
22 22 8 Rješenja d) e) f) g) h) i) 3. a) z = (x 2 + y 2 ) 2 + ; b) z = cos 2 (2 x 2 + y 2 ); c) x = (y 2 + z 2 ) 3 + ; d) z = ln ( ) 2 x 2 + (y 2) a) (z ) 2 = 4[(x 3) 2 + (y 2) 2 ]; b) y = 3 3 (x ) 2 + (z 2) z 2 = 2x 2 + 4y Diferencijalni račun funkcija više varijabli. f (x) = ( x) x [ + ln ( x) ], f (x) = ( x) x [ + + ln ( x) + ln 2 ( x) ] ; 2 4 2x g (x) = (ln x) x2 [ x + 2x ln(ln ln x x)], g (x) = (ln x) x2 [ x 2 + 4x2 ln(ln x) + 4x 2 ln 2 (ln x) + 2 ln(ln x) ] ; ln x ln x + 3 ln 2 x ln 2 x x ln x ], h (x) = x x 3 [x + 2 x x h (x) = x x 3 [ x Stavimo f(u, v) = u v, u = x 3 + y 3, v = xy. f u = vu v, f v = u v ln u, f uu = v(v )u v, f uv = u v + vu v ln u, f u x = 3x 2, u xx = 6x, u y = 3y 2, u v x = y, v xx =, v y = x, v yy =, v vv = u v ln 2 u; yy = 6y, u xy = ; xy = ; + 3x ln x x ln2 x + 3 ln x 4 x ].
23 8 Rješenja 23 f x = f u u x + f v v x = (x 3 + y 3 ) xy [ 3x 3 y + y ln(x 3 + y 3 ) ], x 3 +y 3 f y = f u u y + f v v y = (x 3 + y 3 ) xy [ 3xy 3 + x ln(x 3 + y 3 ) ], x 3 +y 3 f xx = f uu (u x) 2 + 2f uv u x v x + f vv (v x) 2 + f u u xx + f v v xx =, f xy = f uu u x u y + f uv(u x v y + u y v x) + f vv v x v y + f u u xy + f v v xy =, f yy = f uu (u y) 2 + 2f uv u y v y + f vv (v y) 2 + f u u yy + f v v yy =. 3. a) dz = [ e x2 +xy+y 2 (2x + y) ] + [ e x2 +xy+y 2 (x + 2y) ] dy; b) dz = [ (x 2 y 2 ) 3 2x(x + ] [ 3 y)(x2 y 2 ) (x 2 y 2 ) 3 + 2y(x + ] 3 y)(x2 y 2 ) 4 3 dy. 4. (dz) T = 2 dy, 5 5 (d2 z) T = 4 25 () dy (dy)2. 5. (du) T = 2 3 dy + 4 dz, (d 2 u) T = 6() 2 6(dy) 2 + 2(dz) dy. du 6. = f + f x y g (x) + f ( ϕ + ϕ z x y g (x) ). 7. Naputak: Funkciju z = yϕ(x 2 y 2 ) rastaviti na z = yϕ(u), u = x 2 y Naputak: Funkciju z = xf ( ( ) y x) + g y x rastaviti na z = xf(u) + g(u), u = y. x z. =. u 2. 2u 2 z z =. u v v 3. (d 2 z) T = 7 6 ()2 dy 6 (dy)2. 4. (du) (,2) = dy, (dv) 3 (,2) = + dy (dz) T (3,4,2) = 3 dy, (d 2 z) T (3,4,2) = 8() 2 + dy 3(dy) a) 4x + 2y z 75 =, x 2 4 = y 2 = z 25 ; b) 2x + 3 x 2y + 4z 2 =, 2 2 = y 2 3 = z 2 x c) 2x y =, 2 = y = z ϕ = π (. 3 ) ( ) a 8. T 2 a, b 2 2 +b 2 +c 2 a, c 2 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c, T2 a 2 2 a, b 2 2 +b 2 +c 2 a, c 2 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c x 3y + 2z 4 =, 3x + 3y + 2z 4 =. 2. p =, p 2 = ( 2. T (,, ), T 2 (,, ) T 3 (,, ) T 4 (,, ), T 5 3e, 3e, 3e), ), T7 ( e, e, e ( T 6 3e, 3e, 3e 22. a f(x, y) = (x + 2) 2 + 2(x + 2)(y ) + 3(y ) T 3 (x, y) = y + xy + 2 x2 y 6 y a) T 2 (x, y) = + (y ) + (x )(y ); b) T 2 (x, y, z) = π (x ) (y + ) π(z ) + (x )2 (y + 4 )2 (x )(z ) (y + )(z ); 2 2 c) T 2 (x, y) = x (y ) x(y ) (y )2 ; d) T 2 (x, y) = 2(x ) (y 2) (x 2 )2 (x )(y 2); e) T 2 (x, y) = e (x )+ e 27. a) minimum u točki T ( 3 (y e)+ 4e2 5e e, ) ; 4 ; ), T8 ( e, e, e ). (x ) e 2e2 2( e) 3 ( e) 3 ( b) minimum u T (, ), nema ekstrema u T 2, ( 2 4) i 2 T3, 3 3 c) maksimum u T (6, 4); (x )(y e)+ 3e 4 2( e) 3 (y e) 2. ) ;
24 24 8 Rješenja d) nema ekstrema u T (, ), maksimum u T 2 ( 4, 2); e) minimum u T (,, ), maksimum u T 2 (,, ). 28. a) minimum( u T (, 2), ) maksimum ( u T 2 )(, 2); ( ) b) minimum u T 2, i T2 2, 3 2, maksimum u T3 2, i ( ) T 2 4, 3 2 ; ( ) ( c) minimum u T 2, i 3 T2, ) ( ) ( 2 2, maksimum u T3 2, i T4 3, ) 2 2 ; ( d) minimum u T, 2, ( ), maksimum u T2, 2, ) ; e) maksimum u T (a,, ) i T 2 ( a,, ), nema ekstrema u T 3 (, b, ) i T 4 (, b, ), minimum u T 5 (,, c) i T 6 (,, c); f) nema ekstrema u T (,, 4 4 4) ; g) minimum u T (, ( 2, 2), T 2 (2,, 2), T 3 (2, 2, ), maksimum u T 4 4, 4, ) ( , 4 T5, 7, ) ( , 7 T6, 4, ) Kocka brida a = 3 V. 3. Ako opseg trokuta označimo sa s, onda su duljine stranica a = 3s, b = 3s, c = s Vmax = abc Nepravi maksimum u točkama kružnice x 2 + y 2 = Pmax = Vmax = Vmax = D ( ) 2 3, 3, 3 3, V max = 6 ( AB AC) AD = T (,, ). ( 38. Tjemena elipse su u točkama T 2, 2 ( 2 2 T 4 3 2, ) ; poluosi su a = 3, b =. ) (, T2 2, ) ( 2 2 2, 3 2 T3, ) , 8.3 Dvostruki integrali. a) ; b) e a) 3 2 dy 3 y f(x, y) dy f(x, y) + 3 y 8 3 dy f(x, y) dy 9 y 9 y f(x, y) ; b) ln 2 e x f(x, y) dy + ln 2 2 f(x, y) dy x f(x, y) dy.
25 8 Rješenja a) ; 2 b) 2π a) ( e 2 + e 2 e e 5. a) 4 3 ; b) π e x 2 +. πe 2 (3e 2 ). π a) π; b) π x 2 f(x, y) dy + 2 x 2 + f(x, y) dy; x 2 ) ; b) 2 ; c) 2 ; d) ; c) π ab 3.. 2c a) ln 3; b) π; c) π ( π arctg ) π π ab δr2 π. 23. a) T ( 5 a, 6 ) ; b) T ( 2, 5 ). 24. a) (R2 4 R) 4 π; b) 4 (R4 2 R) 4 π Trostruki integrali 4. 9 e 3 e ln a) b) 2 dy 3 2 y y x 6 y x dy 6 3x 2y f(x, y, z) dz + 2 f(x, y, z) dz; 3 2 x x dy 2 6 x 3 y f(x, y, z) dz;
26 26 8 Rješenja c) dy 2 y y y f(x, y, z) dz + 2 x 2 x dy 2 x f(x, y, z) dz + 2 dy y 2 y 2 y f(x, y, z) dz+ d) + 2 x x dy x f(x, y, z) dz; dy 2 y 2 2 f(x, y, z) dz + x dy 2 2 f(x, y, z) dz + dy y 2 f(x, y, z) dz+ y 2 2y 2 x 2x 2 2 y 2y a) 9 6 ; b) V = a) 56π; b) π ( ) 2 ln V = 7 7 π (π ) π V = π 32.. V = π ( π 4 6). 3π V = 2π 4. π π. 6. a) 9π 2 ; b) π 6. 2 x x dy 2 2 2x f(x, y, z) dz π a) I = 3 abc(a2 + b 2 + c 2 ); b) I a = 3 abc(b2 + c 2 ). 9. a) T (,, 7 6) ; b) T ( 4 3,, ). 2. T ( 5 9 a, 5 9 a, 5 9 a). 8.5 Vektorska analiza. a) 6xy ı+(3x 2 +2yz 3 ) j+3y 2 z 2 k; b) 6 (6xy+3x 2 +2yz 3 +6y 2 z 2 ); c) 6y+2z 3 +6y 2 z. 2. a) 2x + 2y + xy; b) xz ı yz j; c) 6 [2x ı + 2y j + (xz + yz + 2xy) k]; d) 2 ı + 2 j. 3. 2a r + 4( a r) a.
27 8 Rješenja ı ( + 4 j ) 6 k r 2 ( s r ) ( a r)f(r). 8. 2a 2 a a ) 2 ln k ( a r) (98 ı 74 j + 6 k) a. 6. 6( a r) a 2a r. 7. 2f(r) a 2( a r)f (r) r a + r a. 8.6 Krivuljni i plošni integrali 8. (2 2 ). 3 [ sh(2 arsh 24) + arsh 24 ] π π Ne ovisi o putu integracije. 8. 4π π π π π π. 8.7 Diferencijalne jednadžbe. Linearna diferencijalna jednadžba po x. Opće rješenje je x = Ce sin y 2( + sin y). 2. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je x2 + ye x y 2 = C. 3. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je x2 + y ln x = C. y 4. x 2 + 3y 2 ln Cy =. 5. ln y + y 2 = ±x + C (ili arch y = ±x + C).
28 28 8 Rješenja 6. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je x + x 2 + y 2 = C. 7. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = Ce sin x 2( + sin x). 8. Supstitucijom e y = t dobije se Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opći integral je x e y cos x = C. 9. Lagrangeova diferencijalna jednadžba. Opće rješenje u parametarskom obliku je ) x = 3 ( Cp p y = 6 (2C p + p 2 ). = Cx. 3 3 y2 x 2. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je y = Cx(y x). 2. a) 2x + y = Ce 2y x ; b) C(x + y ) 3 = x y Clairautova diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = Cx + ; singularno C rješenje je y 2 = 4x. 4. a) Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je x 2 2x y 2 x + 2y + 2 ln y = C; b) Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je a x + a y = C; c) Supstitucijom t = x y dobije se diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je tg x y 2 = 2 x+c. 5. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je y2 = 2 ln Cx. x 2 6. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je x + ye x y = C. 7. Cx = x 2 + y a) x 2 + 2xy y 2 4x + 8y = C; b) 2(y + ) 2 + 3(y + )(x ) + (x ) 2 = C. 9. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = cos x + Ce cos x. 2. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( x C) ln x. 2. Linearna diferencijalna jednadžba po x. Opće rješenje je x = 2a(sin y+)+ce sin y. 22. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = x4 6 + C x Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( + x 2 )(x + C). 24. a) Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = x 3 3 ln C x b) Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( tg x + ) 2 ln cos x + C. x ;
29 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je x sin y = C. 26. Diferencijalna jednadžba svodi se na egzaktnu množenjem s Eulerovim multiplikatorom oblika µ = µ(y). Opći integral je xy y 2 = C. 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine PRVA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Funkcija z = z(x, y) je zadana implicitno jednadžbom Naći 2 z x y u točki T (,, ). (x + )e y + (y + )e z + (z + )e x = (3 boda) Pokažite da sve tangencijalne ravnine na plohu ( y z(x, y) = x ϕ x) (gdje je ϕ derivabilna funkcija) prolaze ishodištem. 3. (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y, z) = 2x 3 + y 2 + z 2 3x 2 y + y. GRUPE: D E F G H I J K L. (3 boda) Pokažite da funkcija z = z(x, y) definirana jednadžbom x + y + z = f(x 2 + y 2 + z 2 ) (gdje je f derivabilna funkcija) zadovoljava identitet (y z) z + (z x) z x y = x y. 2. (3 boda) Naći jednadžbe tangencijalnih ravnina na plohu paralelnih ravnini x + y + 4z =. x 2 + 4y 2 + 4z 2 = 2
30 3 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 3. (4 boda) Naći i ispitati ekstreme funkcije z = x + y uz uvjet x 2 + y 2 = a 2 (a > ). DRUGA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Izračunati x 2 dy, (P ) pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama 3x 2 + (y 2) 2 4, y 2 x 2 i x. 2. (4 boda) Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 4 i x 2 + y 2 2x. 3. (3 boda) Neka je ϕ = [r 3 ( a r)], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a r modul radijvektora. Izračunati ϕ. GRUPE: D E F G H I J K L. (3 boda) Izračunati pri čemu je (P ) područje omedeno elipsom (xy + 2y 5) dy, (P ) (x 4) 2 + (y 3)2 4 =. 2. (4 boda) Izračunati x 2 x 2 + y 2 + z 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 2z i z x 2 + y 2. Nacrtati sliku! 3. (3 boda) Izračunati div[ r( a r)], pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor.
31 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 3 TREĆA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Izračunati yds, pri čemu je C luk krivulje 4x 2 + 3y 2 = 2 od točke A( 6/2, 2) do točke B(, 2). 2. (2 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z (2 boda) Izračunati x 3 dy dz + y 3 dz + z 3 dy, S + pri čemu je S + vanjska strana kugle x 2 + y 2 + z 2 = a 2. C 4. (3 boda) Naći jednadžbu krivulje za koju se odsječak normale izmedu koordinatnih osi u bilo kojoj točki krivulje raspolavlja u toj točki. GRUPE: D E F G H I J K L. (2 boda) Izračunati duljinu luka krivulje zadane kao dio presječnice ploha y = x x i y + z = 8, za koji je z. 2. (2 boda) Izračunati K ln(x + ) + (x 2 + y 2 ) dy, pri čemu je K pozitivno orijentirana kontura četverokuta s vrhovima u točkama A(, ), B(2, ), C(4, 4) i D(, 4). 3. (3 boda) Izračunati S + x dy dz + y dz + z dy, pri čemu je S + dio plohe 2z = x 2 +y 2 za koji je z b (b > ), orijentiran tako da normala na plohu zatvara s pozitivnim dijelom osi OZ kut veći od (3 boda) Naći jednadžbu krivulje za koju je odsječak na osi ordinata, koji odsijeca bilo koja tangenta na krivulju, jednak apscisi dirališta.
32 32 Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine RJEŠENJA PRVE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O. ( 2 ) z x y T 2. Jednadžba tangencijalne ravnine: [ ( ) y ϕ x U jednadžbu uvrstimo y x ϕ ( )] y x =. ( ) (x x ) + ϕ y (y y ) (z z ) =. x z = x ϕ pa se lako vidi da točka x ( = y = z = zadovoljava jednadžbu tangencijalne ravnine. 3. Stacionarne točke: T,, ( 2 ), T 2 (,, ), T 3,, 3 3 ). (d 2 f) T > minimum u T, f min = ; 4 (d 2 f) T2 mijenja predznak nema ekstrema u T 2 ; (d 2 f) T3 mijenja predznak nema ekstrema u T 3.. z x ( y x ), GRUPE: D E F G H I J K L = 2xf 2zf, z y = 2yf 2zf. Parcijalne derivacije zadovoljavaju zadani identitet. 2. π... x + y + 4z 2 2 =, π 2... x + y + 4z =. 3. F (x, y; λ) = x + ( y + λ x + 2 y ) 2 a 2 ( ) Stacionarne točke: T a 2, a 2, λ = a 2 ; T 2 2(a 2, a 2), λ 2 = a 2. 2 (d 2 F ) T = 2 () 2 > za () 2 > minimum u T 2a 3, z min = 2 ; a (d 2 F ) T2 = 2 () 2 < za () 2 > maksimum u T 2a 3 2, z max = 2. a
33 Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine 33 RJEŠENJA DRUGE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O I = 2π V = 6 3 π ϕ =, ϕ = =. GRUPE: D E F G H I J K L I = I = 26π. π 89 (64 2). 4( a r). RJEŠENJA TREĆE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE GRUPE: A B C M N O C y 2 x 2 = C y ds = 3 arsh S = 3π 3. I = 2πa (familija hiperbola).
34 34 Pismeni ispiti iz 22. godine GRUPE: D E F G H I J K L s = 4 27 (9 9 ). I = 2 3. I = b 2 π. y = x ln C x. Pismeni ispiti iz 22. godine PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije z = z(x, y) = e y2 cos x. 2. (2 boda) Izračunati prve parcijalne derivacije funkcije u = u(x, y, z) = (x + y) y+2z na njenom prirodnom području definicije. 3. (3 boda) Izračunati integral z dv, pri čemu je V tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 V i z = 4. Nacrtati sliku! 4. (2 boda) Izračunati grad[( a r)r 3 ], pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. 5. (4 boda) Izračunati Γ x + y dy + z dz x2 + y 2 + z 2 +, pri čemu je Γ dio krivulje zadane sa y = x 2 +, z = x 2 + x + 2 od točke A(x = ) do točke B(x = ). Naputak: Ispitati ovisnost krivuljnog integrala o putu integracije. 6. (3 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (2 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y = 3x + y. 2
35 Pismeni ispiti iz 22. godine 35 PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (4 boda) Naći jednadžbu normale iz točke P (3,, 3) na plohu y = 2x 2 + z Nacrtati sliku! 2. (2 boda) Izračunati integral x dp, P pri čemu je P lik omeden krivuljama y =, y = ln x i y = x (e ) koji se nalazi u prvom kvadrantu. 3. (4 boda) Izračunati (x 2 + y 2 ) dv, pri čemu je V dio kugle x 2 + y 2 + z 2 4 za koji je z. V 4. (3 boda) Neka je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. Izračunati usmjerenu derivaciju vektorskog polja v = ( a r)r 3 r u smjeru vektora a. 5. (2 boda) Izračunati duljinu luka krivulje x = t sin t + cos t od t = do t = 2π. y = t cos t sin t z = t 6. (2 boda) Neka je S + pozitivno orijentirana ploha x 2 + y 2 + y 2 =, te neka je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. Izračunati S + ( a r) d S. 7. (3 boda) Riješiti jednadžbu koristeći supstituciju u(x) = x2 y. xy y ( ) x ln x2 y + 2 =,
36 36 Pismeni ispiti iz 22. godine PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (2 boda) Funkcija z = z(x, y) je zadana parametarski sa Naći dz u točki T za koju je u =, v =. x = u2 + v 2 2 y = u2 v 2 2 z = uv. 2. (3 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = 2x 3 + y 2 3x 2 y + y. 3. (2 boda) Postaviti granice integracije u integralu f(x, y, z) dy dz, V pri čemu je V tetraedar s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(,, ) i C(,, 2). 4. (3 boda) U integralu izvršiti prijelaz na polarne koordinate. 2 x 2 x 2 f(x, y) dy 5. (2 boda) Izračunati Γ xy, pri čemu je Γ dio pozitivno orijentirane krivulje x 2 + y 2 = 4 od točke A( 2, 2) do točke B( 2, 2). 6. (4 boda) Korištenjem Greenove formule izračunati (e x sin y y 2 ) + e x cos y dy, Γ pri čemu je Γ dio krivulje y = 4x x 2 od A(x = ) do B(x = 3). Primjedba: Uočiti da krivulja nije zatvorena. 7. (4 boda) Naći krivulje čija svaka tangenta siječe os y u točki koja je jednako udaljena od dirališta i od ishodišta koordinatnog sustava.
37 Pismeni ispiti iz 22. godine 37 PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (4 boda) Na plohi z = x 2 + 3y naći točku najbližu točki A(2, 4, ). 2. (2 boda) Promijeniti poredak integriranja u dvostrukom integralu x+ 4 x 2 f(x, y) dy. 3. (4 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 2y, z = x + 2y, z =. 4. (3 boda) Izračunati (r r), pri čemu je r radijvektor, a r = r. 5. (2 boda) Izračunati y ds, pri čemu je C dio kardioide r = + cos ϕ koji se nalazi u prvom kvadrantu. C 6. (3 boda) Izračunati pri čemu je S + dio plohe S + x dy dz + y dz + z dy x 2 + y 2 + z 2, x = y 2, z, orijentiran tako da normala na tu plohu zatvara s osi OX kut manji od π/2. 7. (2 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe xy + y = y 2 ln x. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (3 boda) Naći i ispitati ekstreme funkcije f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ).
38 38 Pismeni ispiti iz 22. godine 2. (3 boda) Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 x, x 2 + y 2 2x, y x 3, y x. 3. (3 boda) Izračunati integral (V ) x dy dz (x + y + z + ) 4, pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(,, ) i C(,, ). 4. (2 boda) Izračunati (r 3 ), pri čemu je r = r, a r radijvektor. 5. (4 boda) Izračunati C x 3 dy x 2 y (x 2 + y 2 ) 2, pri čemu je C dio krivulje y = 2 x od točke A(, ) do točke B(, 2 ). 6. (2 boda) Izračunati (x 2 + y 2 ) ds, S pri čemu je S dio plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (3 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe x dy y ln y =. x PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (2 boda) Odrediti točku u ravnini, tako da je zbroj kvadrata udaljenosti te točke do točaka A(, ), B(, ) i C(2, 2) minimalan. 2. (2 boda) Promjenom poretka integracije izračunati x x 2 e y2 dy. 3. (4 boda) Izračunati integral (V ) x 2 + y 2 + z 2 dy dz,
39 Pismeni ispiti iz 22. godine 39 pri čemu je (V ) odreden nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 4 i x 2 + y 2 + z 2 4z. 4. (2 boda) Izračunati div(r 3 r), pri čemu je r radijvektor, a r = r. 5. (3 boda) Izračunati C x + (x + y) dy + (x + y + z) dz, pri čemu je C presječnica ploha x 2 + y 2 = a 2 (a > ) i z = x + y, prijedena u pozitivnom smjeru, gledano iz točke (,, ). 6. (3 boda) Izračunati S x ds, pri čemu je S dio sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > ) koji se nalazi u prvom oktantu. 7. (4 boda) Tangenta i normala neke krivulje povučene u bilo kojoj točki M(x, y) te krivulje sijeku os x u točkama T (x T, ) i N(x N, ), redom. Odredite sve krivulje za koje vrijedi OM 2 = x T x N. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (2 boda) Pokažite da funkcija u(x, y) = x p ϕ ( y x 2 ), p R, pri čemu je ϕ derivabilna funkcija, zadovoljava jednadžbu 2. (3 boda) Izračunati x u u + 2y x y = pu. (P ) pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama x 2 dy (x 2 + y 2 ) 3, x 2 + y 2 y, x 2 + y 2 2y, x, y x. 3. (3 boda) Izračunati integral (V ) x 2 + y 2 + dy dz,
40 4 Pismeni ispiti iz 22. godine pri čemu je (V ) područje odredeno nejednadžbama Nacrtati sliku! y + z 4, x 2 + y 2 6, z. 4. (4 boda) Izračunati ln{re r + [r( a r)]}, pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a r = r. 5. (4 boda) Izračunati C y ds, pri čemu je C presječnica ploha z = x 2 + y 2 i z = 5 (x ) 2 y (2 boda) Izračunati C xy 2 dy x 2 y, pri čemu je C kružnica x 2 + y 2 = a 2 prijedena u pozitivnom smjeru. 7. (2 boda) Naći opći i singularni integral diferencijalne jednadžbe y = xy + + (y ) 2. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (2 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije z = 3 x3 + x 2 + y 2 + xy x 4y. 2. (3 boda) Izračunati pri čemu je (D) dio elipse (x 2 + y 2 ) dy, (D) ( ) x 2 + (y ) 2 =, za koji je x i y (4 boda) Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 a 2 i x 2 + y 2 az 2 3 (a > ).
41 Pismeni ispiti iz 22. godine 4 4. (2 boda) Izračunati ( a ) r, pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor. 5. (4 boda) Izračunati pri čemu je C dio presječnice ploha C x + y dy + z dz, x 2 + y 2 = i z = (x 2) 2 + y 2 od točke A( 3,, ) do točke B(, 3, 3). Nacrtati sliku! (3 boda) Izračunati S y ds, pri čemu je S dio plohe y = x 2 za koji je y i z. 7. (2 boda) Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja xy = a. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (4 boda) Naći kvadar najvećeg volumena čija prostorna dijagonala iznosi D. Koliki je taj volumen? 2. (3 boda) Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama x 2 +y 2 i x 2 +y x. 3. (2 boda) Izračunati z dv, pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 (V ) i z = 4. Nacrtati sliku! 4. (3 boda) Izračunati div[( a r)f(r)], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a f derivabilna funkcija. 5. (3 boda) Izračunati C xy(dy ), pri čemu je C dio pozitivno orijentirane kružnice x 2 + (y + ) 2 = od točke A(, ) do točke B(, ). 6. (3 boda) Izračunati S + z dy,
42 42 Pismeni ispiti iz 22. godine pri čemu je S + vanjska strana elipsoida x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. 7. (2 boda) Naći opći integral diferencijalne jednadžbe e y + (xe y 2y) dy =. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = 5x+3y uz uvjet 4 sin x = 3 cos y u području < x < π 2, < y < π (2 boda) Zamjenom poretka integracije izračunati integral x 5 x 2 e y2 dy. 3. (4 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama z =, z = x2 a + y2 2 b 2 i x 2 a 2 + y2 b 2 = 2x a. 4. (3 boda) Izračunati rot[( a r)f(r) r], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a f derivabilna funkcija. 5. (3 boda) Izračunati C x arctg y x + y3 e y dy, pri čemu je C pozitivno orijentirana zatvorena krivulja zadana slikom:
43 Pismeni ispiti iz 22. godine (2 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (2 boda) Naći opći integral diferencijalne jednadžbe (x + 2y + ) + (x + 3y) dy =. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE (3 boda) Naći ekstreme funkcije z(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 4xy 2y (2 boda) Izračunati integral x 2 e x2 y 2 dy. 3. (3 boda) Izračunati pri čemu je r radijvektor, a r = r. (sin r), 4. (3 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 + z 2 = 4 i x 2 + y 2 = 3z. 5. (4 boda) Izračunati integral (y 2) ds, K pri čemu je K presjek paraboloida 4(x ) 2 + y 2 = 4z s ravninom z = y, uz uvjet y > (3 boda) Izračunati integral S + z dy + x dz + y dy dz, pri čemu je S + gornja strana ravnine 2x + z = 4 u prvom oktantu, odredene uvjetom < y < (2 boda) Riješiti diferencijalnu jednadžbu (x 2 + y 2 + 2x) + 2xy dy =.
44 44 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE Stacionarne točke: T k (kπ, ), k Z. k paran T k je lokalni maksimum. k neparan T k je lokalni minimum u x = (y + 2z)(x + y)y+2z, u y = (x + y)y+2z u z = 2(x + y)y+2z ln(x + y). I = 32π 3. 3r( a r) r + r 3 a. I = 2. S = π 6 (7 7 ). ( ln(x + y) + y + 2z x + y ), 7. x = Cy 3 y 2. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE n... x 4 = y = z I = 5 2 e 2 + e2 4. I = 53π 3. ( a r)r 3 a + r 3 a[3( a r ) 2 + ] r. s = 2 arsh(2π) + sh(2 arsh(2π)). 4
45 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine I =. C ln x2 y = e x. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE dz T =. 2. Stacionarne točke: T (, ), T ( 2 2 (, ), T 3, ) 3 3. U T funkcija ima lokalni minimum. U T 2 i T 3 funkcija nema ekstrem π/4 dϕ x 2 sin ϕ dy 2 2y f(x, y, z) dz + f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr + π/2 π/4 I = x dϕ dy 2 I = (e 3 e) sin y f(x, y, z) dz. f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr. 7. x 2 + y 2 = Cx.. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE F (x, y, z) = (x 2) 2 + (y 4) 2 + z 2 + λ(x 2 + 3y z 2 ), z > Minimum u točki T (,, 3). 2. I = 2 dy 4 y 2 f(x, y) + 4 y 2 2 dy 2 2y 2 f(x, y)
46 46 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 3. ( π 2 ) C V = 3 2 (r r) = 4 r y ds = (4 2 ). I = π Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. y(x) = ln x + + Dx RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE Stacionarne točke: T (, ), T 2 ( 4, 2). Nema ekstrema u T (, ). Maksimum u T 2 ( 4, 2), fmax = 8e P = π I = 9 + ln P y Q x (r 3 ) = 2r. krivuljni integral ne ovisi o putu integracije 6. S(x 2 + y 2 ) ds = π 6 I = 2 arctg 2 π [ 2 5 ( ) 2 3 ( )]. 7. Homogena diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je: y = xe Cx+, C R.
47 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 47 RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE Minimum u T ( 4 3, ) I = 4 ( e ). I = 24π 5. (r 3 r) = 6r 3. I = a 2 π. 6. x ds = R3 π S Opće rješenje: y = Cx2, x, C. 2 2C RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE ( ) ( ) u y y x = pxp ϕ 2x p 3 yϕ, x 2 x 2 x u u + 2y x y = pu. I = 3 8 ( π ). 4 I = 8π 3 (7 7 ). 4. ln{re r + [r( a r)]} = + r r. r 5. y ds =. 6. I = a4 π Clairautova diferencijalna jednadžba. Opći integral: y = xc + + C 2 Singularni integral: x 2 + y 2 =, y. C ( ) u y y = xp 2 ϕ, x 2
48 48 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE (. Stacionarne točke: T (2, ), T 2, ) U T funkcija nema ekstrem. U T 2 funkcija ima lokalni minimum, z min = I = 3π ( 2 I = πa ) ( a ) r = 2 a I = ln I = sh(4 arsh 2) arsh y 2 x 2 = C, C R (familija hiperbola). RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE ( D 3 T max 3, D 3 3, D ) 3, V max = D P = 8 ( 3 3 π ). I = 32π 3. div[( a r)f(r)] =. I = 2 3 π 2. I = 4 3 abcπ. 7. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral: xe y y 2 = C, C R.
49 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 49 RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE Maksimum u točki T ( arcsin 9 6, arccos 3 4). 2. I = V = 3abπ rot[( a r)f(r) r] = f(r)( a r) Opći integral: I = π ln 2. 4 S = π 6 (7 7 ). C[3(y ) 2 + 3(y )(x + 3) + (x + 3) 2 ] = e 2 3 arctg(2 3 y 3 x+3 + 3), C R +. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE Stacionarne točke: T (, ), T ( 2, 2), T 2 ( 2, 2). Nema ekstrema u T (, ). U T ( 2, 2) i T 2 ( 2, 2) funkcija ima minimum z min = I = π ( ). 4 e (sin r) = sin r + 2 cos r. r V = 9π 6. I = ln( ). I = Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je xy 2 + x3 3 + x2 = C.
50 5 Dodatak A Tablica derivacija f(x) f (x) f(x) f (x) c arctg x +x 2 x α αx α arcctg x +x 2 a x a x ln a ch x sh x e x e x sh x ch x ln x x th x ch 2 x log a x log x a e cth x sin x cos x arsh x sh 2 x x 2 + cos x sin x arch x x 2 tg x cos 2 x arth x x 2 ctg x arcth x sin 2 x arcsin x x 2 arccos x x 2 x 2 B Tablica neodredenih integrala x α = xα+ + C, α α+ = ln x + C x e x = e x + C a x = ax + C ln a sin x = cos x + C cos x = sin x + C = tg x + C cos 2 x = ctg x + C sin 2 x sh x = ch x + C ch x = sh x + C = th x + C ch 2 x = cth x + C sh 2 x = ln tg ( ) x sin x 2 + C = ln tg ( ) x + π cos x C = arctg ( ) x x 2 +a 2 a a + C, a = ln x a x 2 a 2 + C, a 2a x+a a = arcsin ( ) x 2 x 2 a + C, a x = ln x + x 2 ± a 2 2 ±a + C, a 2
Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R
4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati
Bardziej szczegółowoMatematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13. Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a +
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoMatematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213. 2 Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni
Bardziej szczegółowoPARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoWykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoWSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ
43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoBaze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT. Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek
Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Kako započeti? Ulogirajte se na student (bilo kojim ssh klijentom). Kako započeti? Ulogirajte se na
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 206/7 Zadania na ćwiczenia w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7.0.206 Elementy teorii zbiorów. Zbiory oznaczamy dużymi literami łacińskimi (mogą być indeksy): A, B, C, D,....
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,
. Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych
Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoObliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa
Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:
Bardziej szczegółowoINTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu -
INTEGRALI I TEORIJA POLJA - zadaci za vežbu -. Izračunati direktno krivolinijski integral: ydx x dy zdz duž presečne krive površi: C z x a y b i x a y b x a y b, orjentisane u pozitivnom smeru ako se posmatra
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo