INTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu -
|
|
- Julia Żurawska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 INTEGRALI I TEORIJA POLJA - zadaci za vežbu -. Izračunati direktno krivolinijski integral: ydx x dy zdz duž presečne krive površi: C z x a y b i x a y b x a y b, orjentisane u pozitivnom smeru ako se posmatra sa z ose za vrednosti z> a b>. Rešenje. Presek cilindrčne površi x a y b x a y b a b x y a / b / čije su parametarske jednačine: i ravni z je elipsa:, x a a cos t, y b b sin t, za t [, π]. Dalje, na osnovu: z x a y b nalazimo: z cost sin t, za t [, π]. Tako dobijena parametarizacija krive C je pozitivna ako se posmatra kriva sa z ose za vrednosti z >. Na osnovu parametarskih jednačina krive C: x xt a a cos t, y yt b b sin t, z zt cos t sin t, za t [, π] nalazimo odgovarajuće diferencijale: dx a sin t dt, dy b cos t dt, dz sin t cos t dt.
2 Sveukupno, na osnovu prethodne parametarizacije: π b sin t b cos t sin t a a sin t a b cos t cos t sin t cost dt π a b cos t ba ab cos t a b ab cos t ab sin t dt ba ab π cos t dt ab π dt ba ab π ab aba π. Proverimo prethodni rezultat primenom Stokesove formule. Kontura C dobija se u preseku parabolida: z x /a y /b i cilindra: x /a y /b x/a y/b. Primetimo da su funkcije P Px,y,z y, Q Qx,y,z x i R Rx,y,z z sa neprekidnim parcijalnim izvodima na površi paraboloida. Neka je S unutrašnja strana parabolida koja se oslanja na orjentisanu konturu C. Samim tim, prema Stokesovoj formuli: π ydx x dy zdz z 8 L dydz dzdx dxdy x y z S y x z S x dxdy. Projekcija površi S na Oxy ravan je data skupom: D x,y : Samim tim: x dxdy. x x a/ a / 6 y x b/ b /. D x,y Uvedimo polarne koordinate: x a/ a/ ρ cos ϕ y b/ b/ ρ sin ϕ za ρ,ϕ D {ρ,ϕ ρ ϕ π}. Tada je J ab ρ. Samim tim prethodni integral, posle uvod - enja novih promenljivih, ima vrednost: ab D π ab ab a a ρ cos ϕ ρ dρ dϕ a a cos ϕ dϕ aba π π dϕ a ρ a ρ cosϕ dρ dϕ abπa.
3 . Zadan je krivolinijski integral: ydx zdy xdz, C duž zatvorene presečne krive C sledećih površi: x y r i x rz r>. Izračunati vrednost krivolinijskog integrala ukoliko je kriva C orjetisana pozitivno ako se posmatra sa z ose za z > r. Rešenje. Koristeći se parametarskim jednačinama kružnice x y r u ravni Oxy zaključujemo da presečna kriva C u prostoru ima sledeće parametarske jednačine: x xϕ r cosϕ y yϕ r sin ϕ z zϕ r cos ϕ, gde je ϕ [, π]. Tako dobijena parametarizacija krive C je pozitivna ako se posmatra kriva sa z ose za vrednosti z > r. Sveukupno, na osnovu prethodne parametarizacije: ydx zdy xdz π r sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ dϕ C r π/ sin ϕ dϕ r π cos ϕ dϕ r π cos ϕ sin ϕ dϕ } {{ } r π. } {{ } r B, Primetimo da su funkcije P Px,y,z y, Q Qx,y,z z i R Rx,y,z x sa neprekidnim parcijalnim izvodima na površi S koja se oslanja na orjentisanu konturu C. Samim tim, prema Stokesovoj formuli: dydz dzdx dxdy ydx zdy xdz x y z C y z x S dydz dzdx dxdy. Formirajmo tri površinska integrala: J dydz, J dzdx, J dxdy. S S S Računajući prethodne površinske integrale, preko odgovarajućih projekcija na koordinatne ravni, nalazimo J, J i J r π. Odatle dobijamo isti rezultat: ydx zdy xdz J J J r π. C
4 . Izračunati krivolinijski integral: x y dx dy zdz L gde je L pozitivno orjetisana kružnica data sa: x y r i z, ukoliko se posmata sa pozitivnog dela z-ose r >. Rešenje. Parametarske jednačine kružnice L u ravni z glase: x xt r cost, y r sin t, z, gde je t [, π]. Tako dobijena parametarizacija kružnice L je pozitivna ako se posmatra sa pozitivnog dela z-ose. Sveukupno, na osnovu prethodne parametarizacije: x y dx dy zdz π r cos t r sin t r sin t dt r cos t dt L r 6 π r6 π 8. cos t sin t dt r π cos t r 6 π/ cos t sin t dt r 6 B, 5 Proverimo prethodni rezultat Stokesovom formulom. Primetimo da su funkcije P Px,y,z x y, Q Qx,y,z i R Rx,y,z z sa neprekidnim parcijalnim izvodima na površi S koja se oslanja na orjentisanu konturu L. Samim tim, prema Stokesovoj formuli: L x y dx dy zdz S dydz dzdx dxdy x y z x y z S x y dxdy. Primetimo da se u ovom zadatku površ S podudara sa Oxy-projekcijom D {x,y x y r }, odatle: x y dxdy. D Uvedimo polarne koordinate: x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ za ρ,ϕ D {ρ,ϕ ρ r ϕ π}. Tada je J ρ. Samim tim prethodni integral, posle uvod - enja novih promenljivih, ima vrednost: r ρ cos ϕ ρ sin ϕ ρ dρ dϕ ρ 5 dρ π sin ϕ cos ϕ dϕ D r6 6 π/ sin ϕ cos ϕ dϕ r 6 B, r 6 π 8.
5 . Izračunati integral: xy dxdy, D ako je oblast D ograničena pravama x y, x y, x y i x y. Rešenje. Uvedimo smenu promenljivih: { u ux,y x y, v vx,y x y. Prethodnom smenom ostvaruje se uzajamno jednoznačno preslikavanje oblasti: D {x,y x y x, x y x} } i D {u,v u, v }. Kako je x u v i y Dx,y u v, tada nalazimo: J Du,v Samim tim, smenom promenljivih, nalazimo vrednost integrala: D 7 xy dxdy D u vv u J dudv 9 u vv u dv du Izračunati zapreminu tela ograničenog površima z z x,y x y i z z x,y xy. Rešenje. Projekcija preseka površi z z x,y i z z x,y predstavlja kružnicu: x y. Unutar kruga D xy : x y ravan z z x,y je iznad parabolida z z x,y. Samim tim tražena zapremina odred - ena je sa: V z x,y z x,y dxdy z D xy D xy D xy x y x y dxdy x y dxdy. x y 5
6 Ako uvedemo polarne koordinate: x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ krug D xy je slika pravougaonika D : ρ / ϕ π. Tada je J ρ. Samim tim, posle uvod - enja smene promenljivih, tražena zapremina data je vrednošću: V D ρ J dρdϕ π / ρ ρ dρ ρ dϕ π ρ / ρ π Izračunati zapreminu tela ograničenog površima: y x, y x, z, x z. Rešenje. Za y formirajmo u Oxy ravni skup: D x,y {x,y R x y x x } Za funkciju z zx,y x tražena zapremina data je integralom: V z dxdy. Prema tome, tražena zapremina iznosi: V D x,y x dxdy x D x,y x x dy dx x y x y x dx Izračunati dvostruki integral: D dx dy, gde je D [, ] [, ]. x y / Rešenje. Ako uvedemo polarne koordinate: { x xρ,ϕ ρ cos ϕ, y yρ,ϕ ρ sin ϕ, } na osnovu J ρ, dobijamo: D J dρ dϕ ρ / D ρdρ dϕ ρ /, 6
7 gde je D oblast u R koja se skoro svuda jednoznačno preslikava na oblast D. Odredimo oblast D. Primetimo da se granica oblasti D [, ] [, ] sastoji se od sledećih skupova: A { x,y < x y }, B { x,y x y < }, C { x,y < x y }, D { x,y x < y }, O {, }. Samim tim, preslikavanju polarnim koordinatama skupovi A, B, C, D i O dobijaju se kao slike redom sledećih skupova: A { ϕ,ρ < ρ ϕ }, B { ϕ,ρ ρ cos ϕ < ϕ π }, C { ϕ,ρ ρ sin ϕ π < ϕ π }, D { ϕ,ρ < ρ ϕ π, } O { ϕ,ρ ρ ϕ π }. Prethodni skupovi ograničavaju oblast: { D ϕ,ρ ρ cosϕ ϕ π ρ sin ϕ π ϕ π }, koja se polarnim koordinatama skoro svuda jednoznačno slika na oblast D. Posle odred - i- vanja oblasti D računamo vrednost integrala: ρdρ dϕ ρ / D π/ /cos ϕ π/ π/ π/ ρ dϕ π/ / cos ϕ d ρ ρ / dϕ / sin ϕ ρ π/ cos ϕ π/ arcsin dϕ ρ ρ / dρ dϕ π/ π/ π/ dsin ϕ sin ϕ ϕπ/ / sin ϕ π/ π/ / sin ϕ d ρ ρ / dϕ cos ϕ cos ϕ π/ π/ π arcsin dϕ π/ π/ dϕ ρ ρ / dρ dϕ π/ π/ π/ ρ / cos ϕ ρ dϕ sinϕ dϕ sin ϕ dcos ϕ cos ϕ π arcsin sinϕ arcsin π π π 6. π/ ϕ 8. Izračunati površinu dela površi S : z xy odred - ene u prvom oktantu u preseku sa ravnima: x, y i x y. 7
8 Rešenje. U prvom oktantu posmatrajmo funkciju z zx,y xy. Neka je T trougao odred - en u Oxy ravni pravima x, y i x y. Tada je površina površi data formulom: P z xx,y z yx,y dx dy, z.5.5 S x.5 gde je S deo površi odred - en funkcijom z zx,y nad trouglom T. Samim tim iz parcijalnih izvoda: y x z x i z y x y y nalazimo traženu površinu površi: x y P dx dy xy x y x y dx dy S x B, x y x y dy dx x x dx x x dx B, 5 T x x dx π. x x 5 dx 9. Izračunati površinu i zapreminu tela ograničenog loptom: i paraboloidom: gde je a >. x y z a x y az, Rešenje. Posmatrano telo se dobija u preseku površi gornje polulopte: z f x,y a x y i paraboloida: z f x,y a x y. Eliminacijom x y iz i dobijamo kvadratnu jednačinu z az a. Budući da je z > zaključujemo da je presek posmatrana dva tela kružnica: x y a na visini z a. Posmatrano telo se projektuje na krug D xy : x y a. 8
9 6 z 6 6 x 6 y 6 i Odredimo površinu tela ograničenog delom lopte i delom paraboloida. Ako označimo površinu dela lopte sa P tada je: f f P dxdy a x y a x y dxdy. D xy D xy Ako označimo površinu dela paraboloida sa P tada je: f f P dxdy x y a D xy D xy a x y dxdy. Samim tim tražena površina celog tela je: P a a x y dxdy a a x y dxdy. D xy D xy Uvod - enjem polarnih koordinata: x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ J ρ oblast D ρϕ : ρ a ϕ π se skoro svuda jednoznačno preslikava na oblast D xy. Na osnovu toga: P a a ρ dρdϕ a ρ a D ρϕ π a dϕ ρ dρdϕ a J ρ a ρ dρ a π D ρϕ a dϕ ρ J a ρ ρdρ πa a a ρ π a ρ / a a πa a a π a a a 6 a π. 9
10 ii Odredimo zapreminu µ µv tela V ograničenog delom lopte i delom paraboloida: µ dxdydz f x,y f x,y dxdy V D xy D xy a x y a x y dxdy. Uvod - enjem polarnih koordinata: x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ J ρ oblast D ρϕ : ρ a ϕ π se skoro svuda jednoznačno preslikava na oblast D xy. Na osnovu toga: µ D ρϕ a ρ a ρ ρ dρdϕ J π a ρ / 8a ρ a π a dϕ a ρ ρ a ρ dρdϕ π a a a. Izračunati površinski integral: x dydz y dzdx z dxdy, S a π 6 5. gde je S spoljašnja strana kupe odred - ene omotačem z x y, z h i osnovom x y h, z h za fiksirano h >. Rešenje. I Način. Označimo sa V unutrašnjost kupe koju obuhvata površ S. Funkcije: P x, Q y, R z : V R ispunjavaju uslove za primenu teoreme Ostrogradskog. Samim tim: x dydz y dzdx z dxdy xyz dxdydz. S V Uvedimo cilidrične koordinate: x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z za vrednosti ρ,ϕ,z V {ρ,ϕ,z ϕ π ρ z h : ρ [,h]}. Tada je J ρ. Uvod - enjem cilidričnih koordinata dobijamo: ρ cos ϕ ρ sin ϕ z ρ dzdρdϕ V π h h ρ π h π h π h ρ cos ϕ sinϕ ρz dzdρdϕ ρ cos ϕ sinϕh ρ ρ h ρ dρdϕ ρ h ρ cos ϕ sinϕ h ρ ρ dρdϕ h h cosϕ sinϕ h 8 π dϕ h 8 dϕ h π.
11 II Način. Integral: x dydz y dzdx z dxdy, S rastavimo na zbir dva površinska integrala: I x dydz y dzdx z dxdy i M I x dydz y dzdx z dxdy, B gde je M omotač kupe i B baza kupe. Za računanje prvog integrala uvedimo smenu promenljivih: x xϕ,ρ ρ cos ϕ, y yϕ,ρ ρ sin ϕ, z zϕ,ρ ρ; za ϕ,ρ D ϕρ [, π] [,h]. Tada nalazimo redom parcijalne izvode: x ϕ ρ sin ϕ, x ρ cos ϕ, y ϕ ρ cos ϕ, y ρ sinϕ, z ϕ, z ρ. Formirajmo odgovarajuće determinante: y ϕ z ϕ A ρ cos ϕ, B y ρ z ρ z ϕ z ρ x ϕ x ρ ρ sinϕ, C x ϕ x ρ y ϕ y ρ ρ. Samim tim, na osnovu položaja vektora normale površine n A, B, C, zaključujemo: I x dydz y dzdx z dxdy, M D ϕρ π h h ρ cos ϕ ρ cos ϕ ρ sinϕ ρ sin ϕ A B π ρ cos ϕ sin ϕ dρ dϕ cos ϕ sin ϕ dϕ h π. Sa druge strane za bazu B važi z h i odatle očigledno: I z dxdy B gde je B xy : x y h. Sveukupno: B xy h dxdy h I I h π. ρ ρ dϕdρ C B xy dxdy h π,
12 . Izračunati površinski integral: y dydz y x dzdx y x z dxdy, S gde je S spoljašnja strana polusfere: x y z Rx, z > za fiksirano R >. Rešenje. I Način. Primenimo formulu Ostrogradskog. Zatvorimo datu površ S delom ravni: S x R y R z, uzimajući za jedinični vektor normale n,,. Budući da je: x y y x y z y x z y z, saglasno formuli Ostrogradskog, umesto polaznog površinskog integrala I formirajmo: I y dydz y x dzdx y x z dxdy yz dxdydz, S S gde je V {x,y,z R z Rx x y x,y D xy } i gde je D xy {x,y R x R y R }. Dalje, označimo: I y dydz y x dzdx y x z dxdy, V S pri čemu je S uzeto sa negativne strane dela ravni z. Tada važi: I I yz dxdydz y dydz y x dzdx y x z dxdy V Izračunajmo I. Uvedimo sferne koordinate: S x R ρ cos θ cosϕ, y ρ cos θ sin ϕ, z ρ sin θ za ϕ,θ,ρ [, π] [, π ] [,R]. Tada je J ρ cos θ. Uvod - enjem sfernih koordinata dobijamo: I V π π/ R R R R R π π/ y z dxdydz π π/ π π π π/ R ρ sin ϕ cos θ sinθ cos θ dρ dθ dϕ sinϕ cos θ sinθ cos θ sinϕ sinϕ cos θ θ sinθ cos θ π sinϕ dϕ πr. ρ cos θ sinϕ ρ sinθ ρ cos θ dρ dθ dϕ dθ dϕ sinθ cos θ dθ dϕ sin θ π/ dϕ θ
13 Izračunajmo I površinski integral po S. Uočimo da važi: I y dydz y x dzdx y x z dxdy x y dxdy, S D xy jer je S uzeto sa negativne strane dela ravni z. Uvedimo polarne koordinate: x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, za ρ,ϕ D ρϕ {ρ,ϕ R ρ R cos ϕ π ϕ π }. Tada je J ρ. Uvod - enjem polarnih koordinata dobijamo: I D ρϕ R ρ ρ dρdϕ π/ π/ R B D ρϕ cos ϕ dϕ 8R, Sveukupno: I I πr ρ dρdϕ π/ π/ π/ cos ϕ sin ϕ dϕ R π 8 πr. πr. πr II Način. Zadatak možemo rešiti i smenom promenljivih: x xϕ,θ R R cos θ cosϕ, y yϕ,θ R cos θ sin ϕ, z zϕ,θ R sin θ; R cos ϕ ρ dρ dϕ za ϕ,θ D ϕ,θ [, π] [,π/]. Tada nalazimo redom parcijalne izvode: x ϕ R sin ϕ cos θ, x θ R cos ϕ sin θ, y ϕ R cos ϕ cos θ, y θ R sin ϕ sin θ, z ϕ, z θ R cos θ. Formirajmo odgovarajuće determinante: y ϕ z ϕ A R cos ϕ cos z ϕ θ, B y θ z θ z θ x ϕ x θ R sinϕcos θ, C x ϕ x θ y ϕ y θ R cos θ sin θ. Samim tim, na osnovu položaja vektora normale površine n A,B,C, zaključujemo: y dydz y x dzdx y x z dxdy S [ ] R sinϕcos θ R cos ϕ cos θ D ϕθ A ] [R sinϕcos θ RR cos ϕ cos θ R sinϕcos θ B ] [R sinϕcos θ RR cos ϕ cos θ R sin θ R cos θ sin θ dϕdθ C
14 Odatle, računamo vrednost traženog integrala: R π/ π ] sinϕcos ϕ cos θ [ sin ϕ cos ϕ cos θ] sin θ cos θ] dϕ dθ R π [ sin ϕ cos θ sinϕcos θ sin ϕ cos ϕ cos θ [ sin ϕ sinθ cos θ sin θ cos θ cosϕsin θ cos θ cos ϕ sinθ cos θ π/ B, B, B, πr πr. sinθ cos θ sinθ cos θ sin θ cos θ dθ. Neka je data je kriva koordinatama: x a cos t, y a sin t cos t, z a sin t za a > i t [, π]. Pokazati da ova kriva leži u preseku jedne sfere i jednog cilindra i odrediti jednačine tih površi. Odrediti površinu koju cilindar iseca na lopti iznad ravni Oxy i odredti zapreminu tela ograničenog loptom, cilindrom i ravni Oxy u gornjem poluprostoru. Rešenje. i Važi: x y z a cos t a sin t cos t a sin t a cos t cos t sin t a sin t a i x y a cos t a sin t cos t a cos t cos t sin t a cos t ax. Samim tim posmatrana kriva nalazi se u preseku sfere: x y z a i cilindra: x a/ y a/. ii Površ čiju površinu računamo odred - ena je jednačinom gornje polusfere: z zx,y a x y za x,y D {x,y x a/ y a/ }. Tražena površina se računa po obrascu: P D z x x,y z y x,y dx dy,
15 gde je: x z x a x y, y z y a x y. Samim tim tražena površina data je integralom: a dxdy P a x y. Uvedimo polarne koordinate: D x aρ cos ϕ y aρ sin ϕ za ρ,ϕ D {ρ,ϕ ρ cos ϕ π/ ϕ π/}. Tada je J a ρ. Odatle prethodni integral, posle uvod - enja novih promenljivih, ima vrednost: P D a J dρ dϕ ρ a π/ π/ cos ϕ ρ dρ ρ π sin ϕ dϕ a dϕ a π/ π a. cos ϕ ρ dϕ iii Pri prethodno uvedenim oznakama tražena zapremina se računa pomoću formule: V a x y dxdy. Tada, prelaskom na polarne koordinate, nalazimo: D ρ V a π/ ρ J dρ dϕ a cos ϕ ρ ρ dρ dϕ a D π/ cos ϕ π/ ρ d ρ dϕ a π/ a sin ϕ dϕ a dϕ a a π a B, π a 9. π/ π/ cos ϕ ρ / ρ cos ϕ sin ϕ dϕ dϕ. Izračunati: S dydz gde je S spoljašnja strana jedinične sfere. x dzdx y dxdy z Rešenje. I Način. Zadatak možemo rešiti smenom promenljivih: x xϕ,θ cosθ cos ϕ, y yϕ,θ cosθ sin ϕ, z zϕ,θ sinθ; 5,
16 za ϕ,θ D ϕθ [, π] [ π/,π/]. Tada nalazimo redom parcijalne izvode: x ϕ sin ϕ cos θ, x θ cos ϕ sin θ, y ϕ cos ϕ cos θ, y θ sin ϕ sin θ, z ϕ ; z θ cos θ. Formirajmo odgovarajuće determinante: y ϕ z ϕ A cos ϕ z cos ϕ θ, B y θ z θ z θ x ϕ x θ sinϕcos θ, C x ϕ x θ y ϕ y θ cosθ sinθ. Samim tim, na osnovu položaja vektora normale površine n A, B, C, zaključujemo: x dydz y dzdx z dxdy S D ϕθ D ϕθ [ ] [ cos θ cos ϕ cos ϕ cos θ A cos θ cos θ cos θ dϕ dθ cos θ sinϕ sinϕcos θ π π/ B ] [ sinθ π/ dϕ cos θ dθ π. ] cos } θ{{ sin θ} dϕ dθ C II Način. Izvršimo dekompoziciju: gde je: I S I I I, dydz x, I S dzdx y, I S dxdy. z Evidetno je da važi: I I I i odatle I. Izračunajmo integral I. Formirajmo funkcije: z z x,y x y, z z x,y x y : D xy R sa domenom D xy {x,y R x y }. Označimo sa S gornju polusferu i sa S donju polusferu. Tada važi: dxdy dxdy dxdy dxdy I, z z z z S S S S jer važi: S dxdy z D xy dxdy z x,y D xy dxdy z x,y S dxdy. z Samim tim: I 6 dxdy x y. D xy 6
17 Uvedimo polarne koordinate x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ za vrednosti ρ,ϕ D ϕρ {ρ,ϕ ρ ϕ π}. Tada je J ρ. Samim tim prethodni integral, posle uvod - enja novih promenljivih, ima vrednost: 6 π J dϕdρ 6 dϕ ρ ρ 6 π ρ π. ρ D ϕρ Napomena. Funkcije: Px,y,z x, Qx,y,z y, Rx,y,z z : R \{Ox Oy Oz} R u unutrašnjosti jedinične sfere ne ispunjavaju uslov za primenu teoreme Ostrogradskog.. Neka su date redom funkcije f : R R i f : R R. Ako je r radijus vektor i x y Laplaceov operator dokazati da važe sledeće jednakosti: z x f f x x f, gradf r f r f, div f r f r f, rot f r f r f. Rešenje.. Dokazaćemo prvu jednakost i na osnovu nje dokazujemo da važe i ostale tri jednakosti. Napomenimo da se sve navedene jednakosti mogu direktno dokazati izračunavanjem obe strane navedenih jednakosti. Za skalarnu funkciju f važi jednakost: Zaista: x f f x x f. x f x y x f z x. Važi: r f r xf, yf, zf f x f, f x y f x, f y, f z f x f x x f y x f z f x x f. y f, f z z f x,y,z f r gradf r r f r. Odatle sleduje jednakost: gradf r f r f. 7
18 . Važi: r f r xf yf zf xf yf zf Odatle sleduje jednakost: f x x f f y y f f z z f x f y f x,y,z f, f, f z f div f r r f r. div f r f r f.. Važi: i j k r f r x y z yf zf,zf xf,xf yf f f f yf zf, zf xf, xf yf f y y f f z z f, f z z f f x x f, f x x f f y y f z f y f z, f z f x, f x f y y f z f,z f x f,x f y f, rot f r Odatle sleduje jednakost: rot f i j k x y z f f f r f r f. rot f r r f r. 5. Neka funkcije g,h : R R ispunjavaju: gx,y,z i hx,y,z, gde je x y z Laplaceov operator. Za funkciju f : R R datu sa: izračunati fx,y,z. fx,y,z gx,y,z x y z hx,y,z Rešenje. Na osnovu gx, y, z nalazimo: fx,y,z x y gx,y,z x y z hx,y,z... z 6hx,y,z x x hx,y,z y y hx,y,z z z hx,y,z. Odatle, na osnovu hx,y,z nalazimo: fx,y,z. 8
19 6. Neka je f : R R četiri puta fierencijabilna funkcija i r r intezitet radijus vektora u R. Ako je x y z a x fr r x r dfr b fr r c fr r dr d fr dr dfr dr d fr dr, d fr dr. x r d fr dr, Laplaceov operator dokazati jednakosti: Rešenje. a Za složenu funkciju u fr, gde je r x y z, nalazimo parcijalni izvod prvog reda: fr x df dr fr x f r x r. Odatle nalazimo traženi parcijalni izvod drugog reda: fr f r x f r x x x r x r f r f r x x r x r r f /r r r r x f r x r r f r. b Na osnovu dokazane jednakosti pod a zaključujemo: fr r x f r x x r r f r, fr r y f r y y r rf r, fr r z f r z z r rf r. Sabiranjem prethodne tri jednakosti dobijamo traženu jednakost: fr fr x fr y fr z r dfr dr x x r d fr dr. c I Način. Na osnovu dokazane jednakosti pod b zaključujemo: fr fr dfr d fr dfr d fr r dr dr r dr dr d df r dr d df d fr r dr dr r dr dr df r r dr d f d df r dr dr r dr d f d fr r dr dr df r dr d f df r dr r dr d f r dr df r dr d f d fr r dr dr d fr d fr d fr d d fr d d fr r dr dr r dr r dr dr dr dr r d fr dr d fr dr. 9
20 II Način. Na osnovu dokazane jednakosti pod b zaključujemo: fr fr r d fr dr d dfr r dr r dr dfr r r dr r d dfr dr r dr r dfr r dr d dfr dr r dr r dfr r dr dfr r dr r d fr dr d fr dr d fr d dfr d fr dr dr r dr dr d fr dr d fr dr r d fr dr d fr dr r d fr dr r d fr dr d fr dr. r d fr dr r r d fr dr d fr dr d fr dr d fr dr d fr dr d fr dr 7. Pokazati da je vektorsko polje: potencijalno i naći njegov potencijal. f x y z,x y z,x y z Rešenje. Neposredno se proverava da za svako x,y,z R važi: rot f i div f 6. Samim tim vektorsko polje f je potencijalno. Dalje, za prethodno potencijalno polje f : R R, potencijal jeste svaka funkcija g : R R takva da važi: Prethodna jednakost dovodi do sistema: gradg f. g x g y x y z, x y z, g z x y z.
21 Iz jednačine dobijalmo: g x xy zx ay,z, za neku funkciju a ay,z : R R. Dalje, iz jednačina i dobijamo sledeću jednakost: a y z i odatle: y 5 ay,z y yz bz, za neku funkciju b bz : R R. Iz jednačina i 5 dobijamo: 6 g x y xy yz zx bz. Konačno, iz jednačina i 6 dobijamo diferencijalnu jednačinu: 7 b z z, sa opštim rešenjem: 8 bz z C, gde je C neka konstanta. Sveukupno, funkcija potencijala je oblika: g x y z xy yz zx C. 8. Pokazati da vrednost integrala J x xy dx 6x y 5y dy AB ne zavisi od krive koja spaja tačke A, i Bα,β α,β R. Izračunati vrednost tog integrala. Rešenje. Za funkcije P Px,y x xy, Q Qx,y 6x y 5y : R R ispunjen je uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije: Na osnovu: P y xy Q x. x xy dx 6x y 5y dy d 5 x5 x y y 5 nalazimo vrednost integrala: J x xy dx 6x y 5y dy AB 5 x5 x y y 5 α,β 5 α5 α β β 5.,
22 9. Data su skalarna polja f xyz, g xy yz zx.. Formirati vektorska polja a gradf, b gradg i ispitati prirodu vektorskog polja a b.. Izračunati a b d r, gde je C duž koja spaja tačke O,, i B,,. Rešenje.. Važi a gradf yz,zx,xy i b divg y z,z x,xy. Na osnovu toga formiramo vektorsko polje: a i j k b yz zx xy y z z x x y x z y i y x z j z y x k. Odatle se proverava: div a b i rot a b y z i z x j x y k. Samim tim polje a b jeste solenoidno.. Duž OB se može prikazati u obliku x t, y t, z t, gde je t [, ]. Cirkulacija vektora a b po duži OB iznosi: C C a b d r C x z ydx y x zdy z y xdz t dt.. U prostoru R dato je vektorsko polje a f b r b r, gde je f : R R diferencijabilna funkcija i gde je b potencijalno polje sa potencijalom ux,y,z x / yz xz. Pokazati da je vektorsko polje a solenoidno. Ako je f b r b r, naći cirkulaciju vektora a duž pozitivno orjetisane krive koja pripada ravni Oxy i sastoji se od segmenta [, ] sa x ose, četvrtine kruga x y koji pripada prvom kavadrantu i segmenta [, ] sa y ose. Rešenje. i Polje b je potencijalno sa potencijalom u ux,y,z x / yz xz. Odatle b grad u x z,z,y x. Direktno nalazimo skalarni proizvod: i vektorski proizvod: b r x z,z,y x x,y,z x xz yz b r x z,z,y x x,y,z i j k x z z y x x y z z y xy,xy x xz z,xy yz xz. Na osnovu prethodnog dobijamo traženo vektorsko polje: a f b r b r fx xzyz z y xy,xy x xzz,xy yz xz, gde je f : R R proizvoljna diferencijabilna funkcija.
23 ii Ako uvedemo pomoćnu funkciju u x xz yz, tada važi: div a f u x z z y xy y fu u x f u z xy x xz z x fu u y f u y x xy yz xz y x fu u z x zz y xyzxy x xzz y xxy yz xz f u yx y x fu xz f u xy x y z zy xyz xyz x z xz z xy y z xyz x yxyzx z Na sličan način može se pokazati da je rot a, pri tom za dokaz prethodnog tvrd - enja dovoljno je dokazati da bar po jednoj kordinati funkcija rotora nije jednaka nuli. Odatle sleduje zaključak da je vektorsko polje a solenoidno. Napomenimo da do prethodnog rezultata možemo doći i primenom simboličkog računa. iii Specijalno za ft t imamo vektorsko polje: a x xz yz z y xy,xy x xz z,xy yz xz koje u ravni z odred - uje vektorsko polje: a x xy y,xy x,xy. Odatle, cirkulacija je data integralom: a d r x y x y,x y x,x y dx,dy,dz, L L odnosno: x y x y dx x y x dy. L Označimo sa D oblast koju obuhvata pozitivno orjetisana kontura L koja pripada ravni Oxy i sastoji se od segmenta [, ] sa x ose, četvrtine kruga x y koji pripada prvom kvadrantu i segmentu [, ] sa y ose. Funkcije: Px,y x x y, Qx,y x y x : D R R ispunjavaju uslove za primenu Greenove formule. Samim tim: D Q x P dx dy 5 y D x y x dx dy. Prelaskom na polarne koordinate: {x ρ sin ϕ, y ρ cos ϕ} J ρ, vrednost cirku-
24 lacije duž pozitivno orjetisane krive L je data integralom: 5 π/ ρ cos ϕ sin ϕ ρ cos ϕ ρ dϕ dρ 5 π/ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ ρ dρ 5 B, B, 5.. Izračunati fluks vektora f x, y,x z iznutra površi elipsoida: x 9 y z. Rešenje. Fluks vektora kroz površ iznutra te površi koji uvire u površ računa se po formuli: Φ x, y,x z dydz,dzdx,dxdy S xdydz y dzdx x z dxdy, S gde je S elipsoid x y y. Kako su ispunjeni uslovi za primenu teoreme Ostrogradskog, tada važi: Φ xdydz y dzdx x z dxdy yz dxdydz, S gde je V unutrašnjost elipsoida x y y. Uvod- enjem uopšetnih sfernih koordinata: x ρ cos θ cos ϕ, y ρ cos θ sin ϕ, z ρ sin θ sa vrednošću J 6ρ cos θ oblast V : ρ π/ θ π/ ϕ π se skoro svuda jednoznačno preslikava na oblast V. Na osnovu toga: Φ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ 6ρ cos θ dρdθdϕ y z J 6 6 V π π/ π/ π π/ π/ ρ cos θ ρ cos θ sin ϕρ cos θ sin θ dρdθdϕ cos θ cos θ sin ϕ cosθ sin θ dθdϕ V 6 π/ π cos θ cos θ π sin ϕdϕπ cos θ sin θ dθ π/ 6 π/ π/ π cos θ dθ 8π.
25 . Neka je f :R R bar dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija. Dokazati: a fr r f rf r, gde je x y Laplaceov operator z i gde je r r intezitet radijus vektora u R. b Za vektorsko polje: a r n gradfr n odrediti funkciju fr tako da je polje a Laplaceovo i da pri tom važi: f α i f β za α,β R. Rešenje. I Način. Zadatak se može uraditi i direktnim računom po koordinatama. a Važi: fr f x f y f fr f z x r r f x y r r f y z r r z f x f y f z f x x r y r z r x r f y z f y r y r f x z f z r z r f x y f r r r f x f y f z r r r r f r f r. b Vektorsko polje a dato je sa vektorom: a r n grad fr r n f i r n f j r n f k. x y z Rotor vektorskog polja a koordinatno računat iznosi: i j k rot a x y z y r n f r n f r n f x y z z n r nr rn f x n r nr x rn f j z y f r r z rn f y z x rn f z z rn f y y rn f i y rn f k x i nrn r z f r r y rn f z y z f r r x rn f r nrn z x x f r r z rn f x z n r nr x f r r y rn f r nrn x y y f r r x rn f y x Divergencija vektorskog polja a koordinatno računata iznosi: div a r n f r n f r n f x x y y x x n r nr x f x f rn x nr n f r r x r y nr n f r r n fr a n r n f r r n f r. j k. r nrn y f y f r rn nrn y z f z f rn z r r n f z x f y f z nr n f r r n r f r f r 5
26 Ispitajmo kad je vektorsko polje a r n grad fr Laplaceovo, tj. kad važi: rot a div a n r n f r r n f r Trivijalno rešenje diferencijalne jednačine jeste konstantna funkcija fr c, gde je c neka konstanta. Primetio da ako je ispunjeno α c β, tada trivijalno rešenje ne zadovoljava postavljene početne uslove. Dalje, pod pretpostavkom da f nije konstantna funkcija i da r, važi: div a n r n f r r n f r f r f r f r c r fr c n n r c, n za neke konstante c,c R. Iz početnih uslova dobijamo: Odatle nalazimo: c β i c α obliku: f c n c α f c β. n r β. Samim tim, tražena funkcija f data je u n β fr n r α β n n II Način. a Primenenom simboličkog računa nad vektorima važi: fr div gradfr div f r gradr div f r r f r div r r grad f r f r r r f r gradr r r f r f r. b Primenom simboličkog računa rotor vektorskog polja a r n grad fr iznosi: r. rot arot r n gradfr r n rot grad fr gradfr gradr n f r r nr n r. Primenom simboličkog računa divergencija vektorskog polja a r n grad fr iznosi: div a div r n grad fr r n div grad fr gradr n grad fr r n fr nr n r f r r a nr n f r r n r f r f r n r n f r r n f r. Dalje, nepoznata funkcija fr odred - uje se na isti način kao u prethodnom rešenju.. U prostoru R dato je vektorsko polje a rr n r, gde je r vektor položaja, r r i n N. Dokazati da je a potencijalno polje i odrediti potencijal tog polja. Odrediti fluks polja a kroz spoljašnju površ polusfere x y z R, z > R >. 6
27 Rešenje. Primenom simboličkog računa nad vektorskim poljem a rr n r dobijamo: i rotr n rr n rot r r gradr n r gradr n r nr n r. divr n rr n div r r gradr n r n r nr n rn r n. Samim tim polje a a r je potencijalno. S obzirom da je gradr n nr n r, zaključujemo da je potencijal polja a dat funkcijom: g a r rn n. Na polusferi S je d σ r dσ, pa je fluks vektora a: Φ a a d σ r n r r dσ r n dσ R n dσ S S S S n R dσ R n PS R n πr πr n. S 7
Matematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13. Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a +
Bardziej szczegółowoMatematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213. 2 Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni
Bardziej szczegółowoPARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada
Bardziej szczegółowodt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]
168 Glava 3. Diferencijalni račun 487. Funkcija y = f(x) je zadata parametarskim jednačinama: Naći y (x). x = 2t t 2, y = 3t t 3 (t > 1). y (x) = dy dx = dy dt dt dx = ẏ ẋ = 3 3t2 2 2t = 3 (1 + t). 2 Iz
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoNeprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R
4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe
[wersja z X 008] Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego 008/009 Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoMATEMATIČKA ANALIZA 2
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23. Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoCałka krzywoliniowa niezorientowana Niech R 3 będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- γ taką, że
Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech R będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- taką, że t α, β : r t = ( t, y t, z t ) ef. Mówimy, że krzywa jest kawałkami gładka funkcja r t ma
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowo4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.
Lecture 4 & 5 4 4.1 Riemnn t f(t) [, b] (Riemnn ) f(t)dt [, b] n 1 t 1,...,t n 1 t 0
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowo2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne
2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne 2.1 Definicja całki z formy różniczkowej ymbol ω oznacza całka z formy ω po obszarze Ω. To jak praktycznie obliczyć Ω taką całkę zależy jakiego stopnia
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo7.1. Lecture 8 & 9. f(x)dx =lim f(x)dx (7.1) I = f(x)dx (7.3) f(z), z (0 argz π), zf(z) 0. f(z)dz = I R := f(z)dz = f(re iθ )ire iθ dθ (7.
Lecture 8 & 9 7, r f(x) =lim f(x) (7.) r r f(x) =lim f(x) +lim f(x) (7.) r r r 7. f(z) I = f(x) (7.) f(z), z ( argz π), zf(z) [ R, R], : z = R Jordan C f(z). C f(z)dz = R R f(x) + f(z)dz =πi i Res z=zi
Bardziej szczegółowof x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)
1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n ] a r +q = a a r 3q =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v v v v n 3q q q q r q = r 3q = E = E q E 3q E q = k q rq 3 k 3q r 3q 3 r q = k q rq 3 = kq 4 3 ) 4 q d b d c d d X d ± = d r = x y T d ± r ±
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoUdruženje matematičara TK - (b a) (c a) + C. a + b c = x, b + c a = y, c + a b = z. x + y = 2b, z + x = 2a i y + z = 2c.
Prvi razred Zadaci i rješenja Zadatak 1. Odrediti vrijednost izraza w = (a + b c) (b + c a) (c + a b) + + (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) (a b). Rješenje 1. Izraz je definisan ako i samo ako je a b, b c
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoDruxtvo matematiqara Srbije REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjA IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija AC + AC 1.
Druxtvo matematiqara Srbije REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENj IZ MTEMTIKE Prvi razred kategorija. Rexenje : Taqka K je sredixte duжi,teje + K =. Vektori K i M su kolinearni, tj. K = λ M ikakoje sredixte duжi
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych
Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa
opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoABC matematyki dla początkujących fizyków. Elementy analizy wektorowej
AB matematyki dla początkujących fizyków Elementy analizy wektorowej polewektoroweipoleskalarne różniczkowaniefunkcjiwektorowej operatornabla gradient, dywergencja,rotacja gradient,laplasjanwukładziesferycznym
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowo(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe
Całki powierzchniowe Całki powierzchniowe niezorientowane. Całki powierzchniowe zorientowane. Elementy analizy wektorowej. Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego oraz tokesa. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 5 Magnetostatyka 3 5.1 Siła Lorentza........................ 3 5.2 Prawo
Bardziej szczegółowoWSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ
43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoPrvi razred, A kategorija )+ 1 ( ( AH + AB + AC 3 AH + BH + CH 3 AO+ OH + BO+ OH + CO + OH 3 AO+ BO + CO + OH. ( BH + BC + BA
REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENjENj IZ MTEMTIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 001 Prvi razred, kategorija Kako za proizvoljan trougao XYZ, njegovo teжixte T i proizvoljnu taqku P vaжi PX + PY + PZ = PT, to je G 1 + G
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 10 Promieniowanie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 10 Promieniowanie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 11 Promieniowanie 3 11.1 Promieniowanie dipolowe............... 3 11
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoR Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )
5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin
Bardziej szczegółowoTensory mały niezbędnik
28 października 2013 Rozkład wektora V na współrzędne: α = (0x, V ), β = (0y, V ), γ = (0z, V ). Rozkład wektora r, r = (x, y) na współrzędne w dwóch różnych układach współrzędnych. x = x cos θ + y sin
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoIlustracja metody MONTE CARLO. obliczania całek podwójnych
Ilustracja metody MONTE CARLO obliczania całek podwójnych Często jest tak, iż wiemy, że istnieje całka oznaczona z funkcji f jednak nie potrafimy jej analitycznie policzyć. Konieczne jest wtedy zastosowanie
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowo[wersja z 5 X 2010] Wojciech Broniowski
[wersja z 5 X 1] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki Akademia Świętokrzyska 1/11 Wojciech Broniowski 1 Analiza funkcji wielu zmiennych Przestrzeń wektorowa unormowana : X
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej
Elementy analizy wektorowej Całki powierzchniowe wykład z MATEMATKI Automatyka i robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych, macierze, Google
Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 4
[wersja z 6 III 7] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski Analiza funkcji wielu zmiennych Przestrzeń wektorowa (liniowa)
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoNierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoAlgebra linowa w pigułce
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Algebra
Bardziej szczegółowo3. Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór:
2 Iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn: (α β) γ α (β γ) 3 Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór: α β ( 1) kl β α Dowód: Punkt (1) wynika łatwo z definicji Dowód punktu (2)
Bardziej szczegółowoWykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko
Bardziej szczegółowocos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω
Rachunk prawdopodobiństwa MAP6 Wydział Elktroniki, rok akad. 8/9, sm. ltni Wykładowca: dr hab. A. Jurlwicz Przykłady do listy : Transformata Fourira Przykłady do zadania. : Korzystając z dfinicji wyznaczyć
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy. I. Notacja i terminologia: a,a,x,y, y R n wektorywprzestrzenin-wymiarowej, A,B,R,T macierze(zazwyczajowymiarzen n)
Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 9 I. Notacja i terminologia: Rachunek wektorowy a,a,x,y, y R n wektorywprzestrzenin-wymiarowej, A,B,R,T macierze(zazwyczajowymiarzen n) R zbiór liczb rzeczywistych R
Bardziej szczegółowoRepetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Wiadomości wstępne.
SPIS TREŚCI 1 Repetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Wiadomości wstępne. Spis treści 1 Repetytorium 2 2 Wiadomości wstępne 5 1 Repetytorium 2 1 Repetytorium 1. Rozwia zać
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj
MATEMATYKA 2 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Całka krzywoliniowa nieskierowana 9 1.1 Całka krzywoliniowa
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoWydział Techniki, Informatyka Zaoczna,
Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 1, Adam Kolany 1. Zbiory liczbowe. Liczbynaturalne: N={1,2,3,}, N 0 = N {0}={0,1,2,3,}. Dladowolnychx,y,z N 0. (1) x+y=y+x, (2) x y=y x, (3)
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowo