PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE

Transkrypt

1 D: PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE I. Strategia zachłanna II. Problem przetasowań w genomie III. Sortowanie przez odwrócenia IV. Algorytmy przybliżone V. Algorytm zachłanny dla problemu znalezienia motywu Strategia zachłanna- Problem plecaka Strategia zachłanna: wyznaczanie rozwiązania globalnie optymalnego w oparciu o aktualne lokalnie dobierane (w każdym kroku wyboru) najlepsze rozwiązania D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 80 Problem kasjera: jak wydać resztę Strategia na skróty wciąga w pułapki Problem plecakowy: Input : zbiór elementów o określonej wadze i wartości oraz plecak o zadanym udźwigu Problem jest NP-trudny: nie znamy rozwiązania o złożoności wielomianowej Output: podzbiór elementów taki, że suma wartości jest możliwie największa, a suma wag jest niewiększa niż udźwig plecaka. 1

2 Strategia zachłanna- problem plecaka D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne Posortuj przedmioty według stosunku wartości do wagi 2. Wybieraj od góry te przedmioty, które mieszczę się w plecaku Złożoność obliczeniowa : wybrano (1) i (3): 11$ i 11 kg Rozwiązanie pełne: O(2 n ) Rozwiązanie greedy: O(n log n) Optymalny wybór: (1) i (5): 12$ i 14 kg wyzwanie D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 82 Czy, a jeśli tak to jak, można zapanować nad błędem popełnianym przez algorytm, który realizuje strategią zachłanną? Odpowiedź to : algorytmy aproksymacyjne 2

3 Problem sortowania naleśników D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 83 Christos Papadimitrou (nauczyciel) i Bill Gates (student) odwracają stos naleśników Lata 70-te University of Texas at Dallas Problem porządkowania stosu naleśników: Dany jest stos n naleśników o różnych rozmiarach. Jaka jest minimalna ilość odwróceń tego stosu, aby uzyskać ułożenie uporządkowane przy czym możliwe są jedynie odwrócenia łopatkowe Problem sortowania naleśników D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 84 Operacja odwrócenia stosu przez łopatkę r(1, i) : permutacja prefiksowa Dana jest permutacja p. Znaleźć ilość d prefix (p) = minimalna liczbą permutacji prefiksowych r(1, i) porządkujących p. Podejście zachłanne: 2 odwrócenia prefiksowe są potrzebne, aby umieścić naleśnik na swoim miejscu, (razem będzie zatem 2(n 1) operacji) zastosowano 5 odwróceń 1-szy krok: odwróć stos tak, by największy element przenieść na górę 2-gi krok: odwróć stos od właściwej pozycji elementu z góry 3

4 Rozwiązanie lepsze D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 85 zastosowano 4 odwrócenia William Gates and Christos Papadimitriou pokazali, że można problem ten rozwiązać za pomocą co najwyżej 5/3 (n + 1) prefiksowych odwróceń Problem przetasowań w genomie D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 86 Mitochondrialne genotypy kapusty i rzepy są w 99% identyczne - Jeffrey Palmer (1980) ALE!!! Różne jest uporządkowanie genów w mitochondrialnym DNA (1,2,3,4,5) (1,-5,4,-3, 2) 3 przetasowania (permutacje ze znakiem 4

5 Problem przetasowań w genomie D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 87 Zestawy genów są IDENTYCZNE (prawie) ale są one różnie poustawiane. Uważa się, że poprzez zmianę porządku genów ujawnia się EWOLUCJA. Rozmieszczenie genów z ludzkiego genotypu na genotypie myszy [87] Rozmieszczenie genów z mysiego genotypu na genotypie człowieka Historia chromosomu X D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 88 Rat Genome Sequencing Consortium, Nature 428,2004 Drzewo filogenetyczne drzewo rekonstrukcji gatunków 5

6 Problem przetasowań w genomie D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 89 1.Odwróć kolejność bloków od pozycji 2 do 3 2.Odwróć kolejność bloków od pozycji 3 do 5 3.Odwróć kolejność bloków od pozycji 1 do 3 przez Sortowanie odwrócenia Sortowanie przez odwrócenia D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 90 Odwrócenie: najprostsza postać przetasowania oznaczenie r(4,8) skąd dokąd 6

7 Przetasowania w genomie D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 91 Niech geny w genomie są oznaczane kolejnymi liczbami naturalnymi : 1,2, n Niech ciąg (1, 2,, n) oznacza uporządkowany ciąg genów Przetasowaniem nazywamy każdą permutację p tego ciągu. r( i, j) Odwrócenie pozycji j włącznie p 1,2,..., n) ( p, p,..., ( 1 2 n to takie przetasowanie, które odwraca kolejność od pozycji i do Przykład odwróceń D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 92 Uwaga: argumenty r to pozycje a nie wartości 7

8 Sortowanie przez odwrócenia D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 93 t nazywamy odległością permutacji s i p Jeśli s jest identycznością to problem staje się sortowaniem: Sortowanie przez odwrócenia D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 94 Poszerzanie prefiksowe (algorytm zachłanny) znajdź pozycję elementu i-tego zastosuj odwrócenie 8

9 Ocena jakości algorytmu zachłannego D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 95 O p t y m a li z a c y j n e dla algorytmu minimalizacjnego Gwarancja dla algorytmu przybliżonego błąd najgorszego przypadku max p min p ALG( OPT( wynik z algorytmu aproksymującego prawdziwy wynik dla algorytmu maksymalizacjnego Gwarancja algorytmu aproksymacyjnego D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 96 Jeśli A to algorytm minimalizacyjny z gwarancją a: to wartość rzeczywista minimum znajduje się w przedziale A( OPT ( A( a a max π ALG( OPT( Jeśli A to algorytm maksymalizacyjny z gwarancją a: to wartość rzeczywista maksimum znajduje się w przedziale 1 min a π ALG( OPT( ALG( OPT( aalg( Najlepszy algorytm sortowania przez odwrócenia daje gwarancje

10 Punkty łamiące permutacji D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 97 Dana jest permutacja p p... p 1... p i, p i 1 Def: Parę sąsiadujących elementów p i, p i 1 w permutacji p nazywamy uzgodnioną jeżeli p, są kolejnymi liczbami. i p i 1 W przeciwnym wypadku parę p i p i n, nazywamy punktem łamiącym 1 Przykład p ( ) 0 10 pary uzgodnione punkty łamiące Oznaczenie: b(p)= ilość punktów łamiących w p Co tu brakuje? Def: Taśmą w permutacji p nazywamy przedział pomiędzy kolejnymi punktami łamiącymi. Taśma może być rosnąca lub malejąca. Taśmy łamiące w algorytmie D. Makowiec: E: algorytmy zachłanne 98 Tw.1 Jeśli permutacja Π zawiera taśmę malejącą, to istnieje odwrócenie ρ takie, które zmniejsza liczbę punktów łamiących, czyli Tw.2 Powyższy algorytm jest algorytmem aproksymacyjnym z gwarancją wyniku 4 1 ( OPT ( ( 4 10

11 Podsumowanie D. Makowiec: E: algorytmy zachłanne Przypomnienie: geny w genomie mają zwrot. Algorytmy porządkowania powinny więc dotyczyć permutacji ze znakiem! Jeśli uporządkowanie genów jest identyczne, ale zwroty genów są inne, to te permutacje są różne Permutacje ze znakiem D. Makowiec: D: algorytmy zachłanne 100 Każde odwrócenie zmienia znak (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) (1,2,3,-8,-7,-6,-5,-4,9,10) Para zorientowana, to para kolejnych liczb całkowitych o różnych znakach (0,3,1,6,5,-2,4,7) pary zorientowane: (3,-2) and (1,-2). Odwrócenie zorientowane to takie odwrócenie, które z pary zorientowanej tworzy parę kolejnych liczb (3,-2) : (0,3,1,6,5,-2,4,7) (0,3,2,-5,-6,-1,4,7) (1,-2) : (0,3,1,6,5,-2,4,7) (0,3,-5,-6,-1,-2,4,7) Jakość odwrócenia zorientowanego to ilość nowych zorientowanych par Algorytm: tak długo, jak w jest para zorientowana zastosuje odwrócenie zorientowane takie, które maksymalizuje jakość odwrócenia. Wynik: permutacja o elementach dodatnich. 11

12 Uzupełnienie poszukiwania motywu D. Makowiec: E: algorytmy zachłanne 101 Wybór najlepszego motywu na podstawie dwóch pierwszych sekwencji ( n 2 l nlt) Wyznaczenie pozycji najlepiej dopasowanych l-merow 12