ANALIZA PROBABILISTYCZNA WYBRANYCH SEKWENCYJNYCH ALGORYTMÓW PAKOWANIA

Transkrypt

1 eszyty Nauowe WSIf Vol 7, Nr, 8 Wocech Horzels Uwersytet Łódz, Katedra Iforaty Stosowae, Wyższa Szoła Iforaty w Łodz ANAIA ROBABIISTYCNA WYBRANYCH SKWNCYJNYCH AGORYTMÓW AKOWANIA Streszczee adae aowaa w lasyczy uęcu olega a rozeszczeu lsty ładuów {a,a,,a } o rozarach erzeraczaących w ale lośc oeów o rozarze edostowy, wyaga sę rzy ty, aby żade z oeów e był rzeładoway. Wśród etod rozwązaa taego zadaa est też lasa algorytów sewecyych. Od algorytu sewecyego wyaga sę dodatowo aby zadaa ueszczae w oeu tworzyły sewecę: J,, l D A s l A s < < l A s, dla s J A W esze racy rzedstawoo rzyład algorytu sewecyego S oraz rzerowadzoo ełą aalzę ego zachowaa. Dowedzoo twerdzea oreślaącego wartość wsółczya srawośc algorytu R S. 5 dla agorszego rzyadu. Aalza robablstycza rzerowadzoa została dla esończoego cągu ezależych zeych losowych o edaowy rozładze { ξ, ξ,...}. W racy oazao ograczee dla asytotyczego wsółczya adwyż algorytu S R S, U, > Sforułowae robleu Klasycze zadae aowaa olega a rozeszczeu lsty ładuów a,, a, o rozarach e rzeraczaących, w ale lośc oeów o rozarze edostowy. Wyaga sę rzy ty, aby żade z oeów e był rzeładoway, t. aby sua eleetów zaaowaych do ego e rzeraczała wartośc. Ta ostawoy roble osada różorae ratycze zastosowaa oczyaąc od otyalego załadowaa cężarówe czy zaełea telewzyych bloów relaowych, aż o rówoere obcążae racą rocesorów w aszyach welorocesorowych czy otyalzacę rzesyłaa aetów w secach outerowych []. ołóży I],]. 39

2 Aalza robablstycza... DFINICJA. Nech J będze dowoly sończoy odzbore zboru lczb aturalych ech J ozacza oc tego zboru. Ozaczy U J N, J I J oraz U. leet azyway lstą, eżel to ówy, że lsta a długość ozaczay. Jeżel I J, to zbór J azyway zbore desów lsty ozaczay D. Ozaczy rzez S suę wszystch eleetów lsty: D Nech J ozacza zbór {,,, } N. DFINICJA. Nech B będze dowoly zbore sończoy - B B eleetowy rozbce zboru B azyway fucę: : J sełaącą astęuące waru:. J B Ø B B., J Ø 3. U B B. J B czbę azyway ocą rozbca. Ozaczy rzez B odzbór zboru B J sładaący sę ze wszystch -eleetowych rozbć zboru B, zaś rzez B zbór U B. Jeśl B, to rzez ozaczay oc. Nech dale ozacza zbór U J J N J, zaś zbór U. DFINICJA 3. Algoryte aowaa A azyway odwzorowae A : sełaące astęuące waru:. A D ;. A. J A Wartość A azyway rezultate wye dzałaa algorytu A dla lsty. Ozaczay rzez A zbór wszystch algorytów aowaa. 4

3 W. Horzels e względu a zastosowaa ratycze eleety lsty azywać będzey dale zadaa, atoast zbory otrzyae w wyu rozbca oea. Będzey ówć też, że zadae zostało zaaowae algoryte A do -ego oea, eżel A. DFINICJA 4. Rozbce D azyway uaowae lsty, eżel J 3 Ozaczy rzez a zbór wszystch ożlwych uaowań lsty. DFINICJA 5. Nech. Uaowae OT sełaące warue: a OT azyway otyaly uaowae lsty. e względu a sończoą długość lsty, a zate róweż sończoą lość rozbć zboru D, dla dowole lsty stee uaowae otyale. DFINICJA 6. Nech OT będze ta algoryte aowaa, że OT OT. Wtedy algoryt OT azyway otyaly algoryte aowaa. DFINICJA 7. Nech różcę A A. Stratą algorytu aowaa A azyway A - A leva 4 ozaczay ą WS A. Jedą z etod rozważaa srawośc algorytów est etoda zwaa aalzą agorszego rzyadu. olega oa a wyszuwau tach lst, że algoryt dae agorsze ożlwe dla ego wy. Jeżel otrafy doweść, że zalezoa lsta est oszuway agorszy rzyade, to zysuey ewość, ż algoryt zachowue sę e gorze ż dla te lsty []. Forale aalza taa wyaga wrowadzea lu dalszych oęć. DFINICJA 8. Nech A będze algoryte aowa, lstą zadań. Wsółczye srawośc algorytu A dla lsty azyway A stosue ozaczay rzez R A. OT 4

4 Aalza robablstycza... Aalogcze defuey wsółczy srawośc dla dualego algorytu aowaa ao stosue rezultatu tego algorytu otyalego. DFINICJA 9. Nech A będze algoryte aowaa. Wyrażee: } 5 ax{r A dla wszystch lst, tach że OT azyway wsółczye adwyż algorytu A ozaczay rzez R A. DFINICJA. Nech A będze algoryte aowaa. Wyrażee: lsu R A azyway asytotyczy wsółczye adwyż algorytu A ozaczay rzez R A. W ratyce będzey szuać asytotyczego stosuu adwyż tę lczbę uzawać za wartość srawośc algorytu. odaa wcześe etoda adaa agorszych rzyadów dae co rawda ewość, że algoryt e zachowa sę gorze ż rzewduey, ale w welu zastosowaach rzyad agorszych lst albo wcale e będą wystęować, albo będą bardzo rzade. Stąd oawa sę otrzeba zalezea tae ary srawośc algorytu, tóra będze lee oddawać rzeczywste sytuace. oszuwae wyów dzałaa algorytu dla lst geerowaych losowo oże lee oazywać zachowae sę algorytu. W badaach tach stadardowo załada sę, że rozary oszczególych eleetów lsty są wyberae ezależe, zgode z edaowy rozłade rawdoodobeństwa, co orawe oddae rzeczywste waru węszośc zadań. Metoda aalzy robablstycze olega a zadowau oczewaych wartośc dzałaa algorytu dla lst ładuów geerowaych losowo. Rozład z a geerowae są ładu a oczywsty wływ a wy dzałaa algorytu, stąd właścwe doberae rozładów w zależośc od ratyczych otrzeb ozwala a dobór odowedego algorytu dla daego zadaa []. Nech F będze rozłade rawdoodobeństwa dla zeych losowych, D, t. dla ładuów. Rezultat algorytu est wtedy róweż zeą losową. Aalzę algorytu A oża w ta rzyadu ograczyć do badaa wartośc wyrażea [A]. Dodatowo, dla leszego obrazu dzałaa algorytu, aalzue sę ego oczewaą srawość: 4

5 W. Horzels DFINICJA. Nech A będze algoryte aowaa ech ξ, ξ,..., ξ, gdze ξ są ezależy zey losowy o edaowy rozładze F. Oczewaą srawoścą algorytu A azyway [R A ] ozaczay R A,F. DFINICJA. Nech A będze algoryte dla zadaa aowaa ech ξ, ξ,..., ξ, gdze ξ są ezależy zey losowy o edaowy rozładze F. Wyrażee : l su R A, F 6 azyway asytotyczą oczewaą srawoścą algorytu A ozaczay rzez R. A, F rzedstawy teraz ewą wybraą lasę algorytów dla taego zadaa lasę algorytów sewecyych. Od algorytu sewecyego wyaga sę dodatowo aby zadaa ueszczae w oeu tworzyły sewecę: DFINICJA. Nech A będze -rzebegowy algoryte aowaa. Jeżel 7 J,, l A s l A s < < l A s, dla s J D A to algoryt ta azyway sewecyy algoryte aowaa. Algoryt sewecyy S Rozatrzy teraz astęuący algoryt: w -ty rzebegu dla,-,, baday suy oleych eleetów z lsty D \ U D. J Jeżel sua tych ładuów e rzeracza to auey e do oea, w rzecwy rzyadu rzechodzy do astęe gruy zadań ta aż do wyczeraa lsty. bór D słada sę ze wszystch desów zadań zaaowaych według te zasady w -ty rou. Na oec ozostałe zadaa auey do owego oea. 43

6 Aalza robablstycza... 3 Aalza agorszego rzyadu dla algorytu S Dla ta oreśloego algorytu oża łatwo oazać astęuący leat [3]. MAT. Dla algorytu S! dla dowole lsty zachodz: WSS < S. 8 Na odstawe owyższego leatu oażey ograczee dla agorszego rzyadu: TWIRDNI. R S 9 Dowód: auważy aerw, że OT S WS S co dae R S. druge stroy rozatruąc lstę: S < l,...,,,..., dostaey OT oraz S, a stąd razy razy R S. rzechodząc do gracy dostaey uwzględaąc OT S R S dostaey tezę twerdzea. 4 Aalza robablstycza algorytu S Do aalzy robablstycze oawaego algorytu wyorzystae odel robablstyczy oeraący sę a esończoych cągach ezależych zeych losowych o edaowy rozładze [3]. Ozaczy rzez f g gęstośc rozładów zeych ξ ξ, rzez q rawdoodobeństwa wyboru ozostawea a lśce ładuu ξ w - ty rzebegu algorytu oraz rzez Y lczbę ładuów zaaowaych w -ty rzebegu lczbę ozostałych a lśce ładuów o -ty rzebegu. W dalszych rozważaach rzyey dla zeych losowych rozład edostay a rzedzale [,]. auważy, że f est slote g - g -, czyl: 44

7 W. Horzels 45 dy y x g y g x f x Stąd dostaey: x q x f g q Rozłady zeych losowych Y zbaday orzystaąc ze scheatu Beroullego z rawdoodobeństwe oraż q.5: q Y. Korzystaąc teraz ze wzoru a rawdoodobeństwo całowte dostaey: q Y q Korzystaąc z własośc waruowe wartośc oczewae rowadz to do erówośc: Y 3 A to ozwala a uż oszacować wartość oczewaą rezultatu algorytu S : S 4 aalogcze od góry Y S 5 oeważ wartośc q szybo zbegaą do : q.5, q.667, q 3.43, q , q ,

8 Aalza robablstycza... q , q , węc róweż wartośc szybo aleą. ate w owyższych wzorach stote zaczee aą edye erwsze sład suy. oże rzedstawoo oszacowae oczewaego rezultatu algorytu S orzystaące z erwszych trzech sładów odowedch su. Dae to ograczee od góry: 3 S > 6 oraz z dołu: 3 S < 7 ozostae eszcze oszacowae wartośc,, 3. oreślea wcześeszych zależośc ay: Ostatecze otrzyuey astęuące oszacowae badae wartośc oczewae: S e względu a oreślee algorytu S ay log, węc: log 5 < S < log Dae to bardzo dołade oszacowae asytotyczego zachowaa sę wartośc oczewae wyu algorytu, czyl lczby zaełoych oeów. Na oec oday eszcze oszacowae dla oczewae srawośc algorytu S. Korzystaąc z oszacowaa dla wartośc oczewae algorytu otyalego uzysaego rzez J. Cra, J. Frea, G. Galabosa A. Roy Kaa [4]:

9 W. Horzels OT / Dostaey: auważy, że: > RS, U, > / / l / 3 Dostaey zate ograczee dole dla asytotycze srawośc algorytu S : R teratura S, U, > [] ee C., ee D.: A sle acg algorth, Joural of the ACM 3, 985, [] Hoffa.G., euer G.S.: robablstc Aalyss of acg ad arttog Algorths, Joh Wley &Sos, New Yor 99 [3] Horzels W.: Algoryty sewecye dla zadaa aowaa, Rozrawa dotorsa obrooa a Wydzale Mateaty UŁ [4] Cr J., Fre J., Galabos G. Roy Ka A.: robablstc Aalyss of Algorths for B acg robles, Joural of Algorths 99, 89-3 ROBABIISTIC ANAYSIS OF SOM SQUNTIA AGORITHMS FOR BIN- ACKING ROBM Suary The b-acg roble the classcal aroach s to arrage the lst of tass {a,a,,a} of a sze ot exceedg the u uber of bs of sze, however, that oe of the bs was overloaded. Aog the ways to do such a tas s a class of sequetal algorths. Fro sequetal algorth s requred addto to ac the 47

10 Aalza robablstycza... tass such a way that tass laced each cotaer b cossted of a sequece: J,, l A s l A s < < l A s, dla s J D A I ths aer s a exale of sequetal algorth called S ad carred out a full aalyss of ts behavor. It deostrate the value of lower boud for effcecy factor of the algorth R S. 5. robablty aalyss was carred out for the fte sequece of deedet rado varables of equal dstrbuto { ξ, ξ,...}. Ths aer also show a boud of asytotc waste rato of S R S, U, > 48