Ciąg arytmetyczny i jego własności

Transkrypt

1 Ciąg arytmetyczny i jego własności Ćw.1. Ciąg (a ) określony jest wzorem an =3n-2. a) Oblicz wyrazy: a1; a2, a3, a5, a6. b) Oblicz różnice: a2-a1, a3-a2, a6-a5, a20-al9. c) Wyznacz różnicę an+l - an. d) Czy ciąg (a ) jest ciągiem arytmetycznym? Ćw.2. Mając dwa początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (an), oblicz jego różnicę r oraz podaj trzy następne wyrazy tego ciągu, gdy: a) 0 i 0,25, b) 10 i 7. Ćw.3. Oblicz różnicę r i podaj trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego ( an ), gdy jego kolejne początkowe wyrazy to liczby: a) 7, 12, 17,..., b) 4, 4, 4, 4,..., c) l, 0,9; 0,8; 0,7;.... Ćw.4. Oblicz różnicę r ciągu arytmetycznego (an) i zbadaj jego monotoniczność, gdy jest on określony wzorem: a) an = 7n + 3, b) bn = 7-3n. Ćw.5. Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego określonego wzorem: Ciąg arytmetyczny i jego własności Strona 1 z 5

2 Ćw.6. Oblicz wyrazy: a 7, a 20, a 43, a 100, a n ciągu arytmetycznego (a n ) o różnicy r, w którym: a) a 1 = 4, r = 2, b) a 1 = 0, r = -3, c) a 1 = 5, r =0, d) a 2 =5, r = -l, e) a 3 =5, r = 4, f) a 60 =60, r = -2. Ćw.7. Ile było lat przestępnych od czasu powstania kalendarza gregoriańskiego do końca XIX wieku? Ćw.8. Ile jest liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 7 i mniejszych niż 1000? Ćw.9. Oblicz, ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez: a) 2, b) 3, c) 4, d) 6, e) 11, f) 7. Ćw.10. Czy liczby: 3, 2, 4 3, w podanej kolejności, są wyrazami tego samego ciągu arytmetycznego? Ćw.11. Sprawdź, czy trzy liczby w podanej kolejności, są wyrazami ciągu arytmetycznego, Ćw.12. Dla jakiej wartości x liczby w podanej kolejności są wyrazami ciągu arytmetycznego? Ciąg arytmetyczny i jego własności Strona 2 z 5

3 a) 3, x, 12, b) 2x -1, 4, 7, c) 2, 4x +1, 2x 2, d) 2, x 2 +1, 2x 2. Ćw.13. Między liczby 16 i 4 wstaw pięć innych liczb takich, by łącznie z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny. Ćw.14. Między dwie liczby wstaw takie trzy liczby, aby łącznie z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny, a) 3 i 251, b) 304 i 80. Ćw.15. Oblicz wyraz pierwszy aj i różnicę r ciągu arytmetycznego (a n ),w którym a 7 =132 i a 15 =196. Ćw.16 Napisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, którego dwoma początkowymi wyrazami są liczby: a) 5, 9, b) 10, 3, c) 2, 0, d) 3, 0. 3 Ćw.17. Oblicz wyraz a 1 i różnicę r ciągu arytmetycznego (a n ) o wyrazie ogólnym: a)a n =15n-12, c) a n = 8 6n, d) a n = 4 + 3n. b)a n =3-14n, Ćw.18. Uzupełnij brakujące wielkości w tabeli obok, wiedząc, że ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r. Ćw.19. Oblicz wyrazy a 1 i a 8 ciągu arytmetycznego (a n ), gdy a 5 = 3, r = 2. Ćw.20. Sprawdź, czy ciąg określony podanym wzorem jest arytmetyczny. Jeśli tak, to określ jego monotoniczność. Ćw.21. Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego (a n ),w którym a 1 =3 i a 7 = 3a 5. Ćw.22. Wyznacz ciąg arytmetyczny ( a n ), w którym: Ćw.23. Między liczby l i 15 wstaw: a) pięć innych liczb, tworzyły ciąg arytmetyczny. b) sześć innych liczb, takich, by łącznie z danymi Ćw.24. Oblicz x, wiedząc, że kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są: Ciąg arytmetyczny i jego własności Strona 3 z 5

4 Ćw.25. Zrobić w domu: Sumę n początkowych wyrazów pewnego skończonego ciągu arytmetycznego obliczył (będąc dzieckiem), nie dodając wyrazu po wyrazie, Carl Friedrich Gauss ( ). Poszukaj w literaturze lub w Internecie informacji o życiu i odkryciach matematycznych tego uczonego. Ćw.26. Oblicz: a) sumę liczb naturalnych od l do 1000, b) średnią arytmetyczną liczb naturalnych od l do 1000, nie znajdując ich sumy. Ćw.27. Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ) o różnicy r, gdy a 1 =5 i r = -2. Ćw.28. Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ), w którym a 1 = -49 i r = 2. Ćw.29. W teatrze letnim krzesła dla widzów ustawiono w następujący sposób: w rzędzie najbliższym sceny ustawiono 24 krzesła, w każdym następnym o 4 krzesła więcej od poprzedniego. W ostatnim rzędzie ustawiono 80 krzeseł. a) W ilu rzędach ustawiono krzesła? b) Ile jest miejsc siedzących w tym teatrze? Ćw.30. Rowerzysta w ciągu pierwszej godziny przejechał 18 km, a w ciągu każdej następnej godziny odcinek o 0,8 km krótszy od poprzedniego. W ciągu ostatniej godziny przejechał 14 km. a) Ile czasu trwała podróż? b) Ile kilometrów przejechał rowerzysta? Ćw.31. W ciągu arytmetycznym (a n ) wyraz pierwszy a 1 jest równy -3 oraz różnica r jest równa 3. Oblicz sumę S jego wyrazów od dziesiątego do dwudziestego. Ćw.32. W ciągu arytmetycznym (a n ) wyraz a 1 jest równy 10 i różnica r jest równa -2. Oblicz sumę S jego wyrazów od piętnastego do trzydziestego. Ćw.33. Rozwiąż równanie z niewiadomą n: a) l n = 3n, b) (6n-3) = 363, c) l (4n-3) = 153 Ćw.34. Wiedząc, że składniki występujące po lewej stronie równania są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego, rozwiąż równanie: Ćw.35. Wyznacz ciąg arytmetyczny (a ), w którym: Ciąg arytmetyczny i jego własności Strona 4 z 5

5 Ciąg arytmetyczny i jego własności Strona 5 z 5