Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14
|
|
- Ludwik Szydłowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października 2013 r. omawiamy kolokwium nr Dowieść, że ilon dowolnych czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o jeden jest kwadratem liczby całkowitej Uporządkować podane liczby w kolejności rosnącej. Nie używać kalkulatora!!! a = 3 b = c = d = 10 e = 2+ 3 f = Uprościć wyrażenia a) b) c) d) (1 ) 6 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e) Uzupełnić wzory skróconego mnożenia. Kropki występujące po lewej stronie równości zastąpić pojedynm znakiem. a) 0 (x+2) 2 = x b) a 3 +b 3 = (a+b)... c) a 3 b 3 = (a b)... d) a 3...b 3 = (a 2 +ab+b 2 )... e) a 4...b 4 = (a+b)... f) a 4...b 4 = (a b)... g) a 5...b 5 = (a+b)... h) a 5...b 5 = (a b)... i) 0 (a+b) 3 = a j) 0 (a b) 4 = a 4... Lista Strony 13-24
2 k) 0 (a b) 5 = a 5... l) a n b n = (a b)... m) a n +b n = (a+b)... - dla których n? n) a n b n = (a+b)... - dla których n? Uwaga: Przyjmujemy, że w postępie geometrycznym wszystkie wyrazy są różne od zera. 78. Drugi, piąty i dziesiąty wyraz pewnego postępu arytmetycznego tworzą postęp geometryczny trójwyrazowy. Jaki jest iloraz tego postępu geometrycznego? Oblić , gdzie różnice między kolejnymi składnikami tworzą ciąg okresowy 1,2,3,1,2,3,1,2,3, Oblić , gdzie w mianownikach znajdują się potęgi dwójki i trójki ustawione rosnąco. 81. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie? W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym o sumie 0 co najmniej jeden z wyrazów jest równy Rozwiązać nierówności a) x+2 x 2 < x 2 1 b) x > 2x c) x 2 1 x d) x 3 1 x e) x ( x 2 +8x 8) x ( x 2 +x 8) f) 4x 4 x 2 x g) x x h) x i) x 2 2x+1+ x 2 4x+4 < x 2 +2x+1+ x 2 8x+16 j) x 2 25 < 24 k) (x+5) (x+5) 3 < (3x+1) (3x+1) 3 l) (x 2 +1) x+2 (x 2 +1) x2 Lista Strony 13-24
3 83 0. Która z liczb jest większa a) b) 1000! c) 1000! d) 1000! (500!) 2 ( ) 2007 ( ) e) f) ( ) 2007 ( ) g) ( ) 2007 ( ) 666 h) ( ) 2007 ( ) 666 i) ( ) 2007 ( ) 667 j) 2 100! 9 99! k) l) m) n) o) p) ( ) ( ) q) ( ) ( ) r) ( ) ( ) s) ( ) ( ) t) u) v) w) x) y) ( ) ( ) 9 27/8 ( ) 27 9/4 z) Lista Strony 13-24
4 84. Czy w dowolnym 10-wyrazowym postępie arytmetycznym a 1, a 2, a 3,..., a 10 zachodzi równość a) a 1 +a 10 = a 3 +a 7 ; b) a 3 +a 9 = 2a 6 ; c) a 2 +a 9 = a 5 +a 6 ; d) a 3 +a 8 = 2a 5? 85. Czy prawdziwa jest nierówność a) < k ; b) k 5 < ; c) k 3 < ; d) k 4 < ? 86. Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowego, o wyrazach będących liczbami naturalnymi, jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla a) n = 2008 ; b) n = 2011 ; c) n = 2009 ; d) n = 2010? 87. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 1000 x b) x 1001 x c) x 1001 x d) x 1000 x Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 4 < 3... b) x c) x d) x 3 < x Podać zbiór rozwiązań nierówności a) 4 x b) 1 x c) 1 x d) 3 x 4... Lista Strony 13-24
5 90. Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby a) b) c) d) Czy podane liczby tworzą (z zachowaniem kolejności) trójwyrazowy postęp arytmetyczny a) , 5, ; b) , 8, ; c) , 6, ; d) , 7, 7+4 3? 92. Czy podane liczby tworzą (z zachowaniem kolejności) trójwyrazowy postęp geometryczny a) 5+2 6, 1, ; b) 8+3 7, 1, ; c) 6+4 2, 1, ; d) 7+4 3, 1, 7 4 3? 93. W dowolnym n-wyrazowym postępie arytmetycznym o sumie wyrazów równej n, k-ty wyraz jest równy 1. Dla podanego n wskazać takie k, aby powyższe zdanie było prawdziwe. Jeśli uważasz, że takiego k nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 5, k =... b) n = 15, k =... c) n = 8, k =... d) n = 11, k = Czy dla dowolnych różnych liczb całkowitych dodatnich a, b, podana liczba jest podzielna przez a b a) a b 2013 ; b) a 2014 b 2014 ; c) a 2013 b 2013 ; d) a b 2014? Lista Strony 13-24
6 95. Czy dla dowolnych różnych liczb całkowitych dodatnich a, b, podana liczba jest podzielna przez a+b a) a b 2013 ; b) a 2014 b 2014 ; c) a 2013 b 2013 ; d) a b 2014? 96. Czy równość x 2 = x jest prawdziwa dla x = n n, jeżeli a) n = ; b) n = ; c) n = ; d) n = ? 97. Czy nierówność x 999 < x 2013 jest prawdziwa dla x = n n, jeżeli a) n = ; b) n = ; c) n = ; d) n = ? 98. Dany jest rosnący n-wyrazowy postęp arytmetyczny o wyrazach rzewistych. Niech oraz (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n ) N = a 1 +a 3 +a P = a 2 +a 4 +a będą sumami wyrazów o indeksach (numerach) odpowiednio nieparzystych i parzystych. Czy stąd wynika, że N < P, jeżeli a) n = 2010 ; b) n = 2013 ; c) n = 2011 ; d) n = 2012? 99. Czy przy tych samych oznaczeniach można wnioskować, że N > P, jeżeli a) n = 2014 ; b) n = 2017 ; c) n = 2015 ; d) n = 2016? Lista Strony 13-24
7 100. Podać zbiór rozwiązań nierówności, zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów a) 1 < x 1 < 2... b) 1 < (x 4) 3 < 8... c) 1 < x 2 < 3... d) 1 < (x 3) 2 < Dla podanych n, k, wskazać takie m > k, aby prawdziwa była równość ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = k 1 k m Jeśli uważasz, że takiego m nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 1000, k = 200, m =... b) n = 2013, k = 500, m =... c) n = 1500, k = 300, m =... d) n = 2000, k = 400, m =... Lista powtórkowa do kolokwium nr 2 (18 listopada 2013) Uwaga: To są zadania do samodzielnej powtórki - na zajęciach rozwiążemy tylko część zadań z tej listy. Proszę umieć wskazać zadania, które wymagają omówienia. Kolokwium będzie zakładało umiejętność rozwiązania zadań oraz umiejętność samodzielnego myślenia Oblić sumy postępów (ciągów) arytmetycznych i geometrycznych. a) n b) n c) n d) e) 2 n +3 2 n n n f) g) h) i) (6n+1) j) (100n+55). k) l) m) n) n Lista Strony 13-24
8 103. Czy równość jest prawdziwa dla a) a = 0, b = 2007 ; b) a = 2007, b = 2008 ; c) a = 2007, b = 0 ; d) a = 2007, b = 2007? (a+b) 3 = a 3 +2a 2 b+2ab 2 +b Czy równość x 2 = x jest prawdziwa dla a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x = ? 105. Czy dla dowolnego postępu geometrycznego trójwyrazowego a 1, a 2, a 3 podany niżej ciąg jest postępem geometrycznym a) a 1 +7, a 2 +7, a 3 +7 ; b) 7 a 1, 7 a 2, 7 a 3 ; c) 7a 1, 7a 2, 7a 3 ; d) a 7 1, a 7 2, a 7 3? 106. Czy istnieją dwie liczby naturalne, których największy wspólny dzielnik stanowi p% ich najmniejszej wspólnej wielokrotności, jeżeli a) p = 20 ; b) p = 50 ; c) p = 30 ; d) p = 40? 107. Czy równość jest prawdziwa dla a) a = 2, b = 2 ; b) a = 2, b = 5/2 ; c) a = 3, b = 2 ; d) a = 3, b = 3/2? a 4 b 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 Lista Strony 13-24
9 108. Czy prawdziwa jest równość ) ) 4 = 11 2 ( 5 ; ) ) 7 = 19 2 ( 8 ; ) ) 5 = 14 2 ( 6 ; ) ) 6 = 17 2 ( 7? a) 3 (11 b) 3 (19 c) 3 (14 d) 3 ( Czy prawdziwa jest równość a) b) c) d) (6 55 ) 12 = ( 6 55 ) 6 ; (9 ) 18 ( ) 9 55 = 9 55 ; (7 ) 14 ( ) 7 55 = 7 55 ; (8 ) 16 ( ) 8 55 = 8 55? 110. Czy prawdziwa jest nierówność a) 5 24 < 1 10 ; b) 51 7 < 1 7 ; c) 26 5 < 1 10 ; d) 7 47 < 1 7? 111. Czy prawdziwa jest nierówność a) 2 2 < 3 ; b) < 5 ; c) 3 3 < 5 ; d) 5 5 < 11? ci, 4-ty i 6-ty wyraz postępu arytmetycznego tworzą (w tej kolejności) postęp geometryczny trójwyrazowy. Czy stąd wynika, że postęp geometryczny tworzą także wyrazy (z zachowaniem kolejności): a) 3-ci, 5-ty, 11-ty ; b) 3-ci, 6-ty, 12-ty ; c) 4-ty, 6-ty, 10-ty ; d) 6-ty, 8-my, 11-ty? Lista Strony 13-24
10 113. Podać taką liczbę p, że liczba p po zwiększeniu o p% daje n a) n = 24 p =... b) n = 600 p =... c) n = 39 p =... d) n = 75 p = Czy istnieją takie liczby naturalne a, b, że liczba NWD(a, b) stanowi p% liczby NWW(a, b), jeżeli a) p = 15 ; b) p = 40 ; c) p = 20 ; d) p = 25? 115. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) 4 < x 2 < 9... b) 8 < x 3 < c) 4 < x 2 < 9... d) 8 < x 3 < Podać przykład ciągu arytmetycznego n-wyrazowego o sumie wyrazów równej n, zawierającego wyraz równy 0 a) n = 3... b) n = 6... c) n = 4... d) n = Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby a) b) c) d) Czy nierówność x 2 < x 4 jest prawdziwa dla a) x = 29 4 ; b) x = 29 7 ; c) x = 29 5 ; d) x = 29 6? Lista Strony 13-24
11 119. Czy nierówność x 3 < x 5 jest prawdziwa dla a) x = 29 4 ; b) x = 29 7 ; c) x = 29 5 ; d) x = 29 6? 120. Podać (w postaci przedziału lub sumy przedziałow) zbiór rozwiązań nierówności. a) 1 < x < b) 1 < x 6 < c) 1 < x 2 < d) 1 < x 3 < W dowolnym n-wyrazowym postępie arytmetycznym o sumie wyrazów równej S, co najmniej jeden z wyrazów jest równy w. Dla podanych n oraz S wskazać takie w, aby powyższe zdanie było prawdziwe. Jeśli uważasz, że takiego w nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 3, S = 15, w =... b) n = 11, S = 77, w =... c) n = 5, S = 30, w =... d) n = 8, S = 64, w = Czy prawdziwa jest nierówność a) 11 5 < 1 ; b) 44 5 < 1 ; c) 22 5 < 1 ; d) 33 5 < 1? 123. Liczba całkowita a jest mniejsza od liczby całkowitej dodatniej n o p%, a liczba całkowita b jest większa od liczby n o p%. Czy stąd wynika, że liczba a jest dzielnikiem liczby b, jeżeli a) p = 20 ; b) p = 70 ; c) p = 50 ; d) p = 60? Lista Strony 13-24
12 124. Czy podana liczba jest wymierna a) b) c) d) (3 19 ) ; (59 9 ) ; (5 ) ; (59 7 ) ? 125. Czy prawdziwa jest nierówność a) < ; 7 19 b) < ; c) < ; 7 17 d) < ? 126. Czy istnieje 17-wyrazowy postęp arytmetyczny, w którym liczba wyrazów całkowitych jest równa a) 6 ; b) 9 ; c) 7 ; d) 8? 127. Czy istnieje 17-wyrazowy postęp geometryczny, w którym liczba wyrazów wymiernych jest równa a) 6 ; b) 9 ; c) 7 ; d) 8? 128. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 2 5 < 4... b) x 2 7 < 9... c) x 2 13 < d) x 2 17 < 8... Lista Strony 13-24
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11
Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna
Bardziej szczegółowo1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004
ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoPodzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,
Bardziej szczegółowoWersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności.
Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Ćwiczenia 5..204 (środa) Osoby, które uzyskały łacznie mniej niż 80 punktów (50%) na sprawdzianie nr i kolokwium
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 9 Zadania ciągi
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Dany jest ciąg (a n) określony wzorem a n = (-1) n dla n 1. Wówczas wyraz a3 tego ciągu jest równy: A. B. C. - D. - 2. (2p) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem a n = n
Bardziej szczegółowoTyp szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer
Bardziej szczegółowoW każdym zadaniu za 0, 1, 2, 3, 4 poprawne odpowiedzi otrzymuje się odpowiednio 0, 1, 3, 6, 10 punktów.
Kolokwium 5 Wersja testu E 9 maja 205 r. W każdym zadaniu za 0,, 2, 3, 4 poprawne odpowiedzi otrzymuje się odpowiednio 0,, 3, 6, 0 punktów.. Liczbę naturalną q nazwiemy fajniutką, jeżeli istnieje taka
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2009/10. Test (nr 3) do samodzielnego treningu
Test (nr 3) do samodzielnego treningu W każdym z 30 zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE. Za każde zadanie, w którym podasz 4 poprawne odpowiedzi, dostaniesz 1 punkt. Za pozostałe zadania
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowo1. LICZBY (1) 2. LICZBY (2) DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY (1) 2. LICZBY (2) 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne.
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoPodzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1a, 1d, 1e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Liczby rzeczywiste
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1a, 1d, 1e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Co powinienem umieć Umiejętności znam wzory skróconego mnożenia drugiego i trzeciego stopnia obliczam wartość liczbową wyrażenia algebraicznego doprowadzam
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoPrzypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoSuma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego
Bardziej szczegółowod) a n = e) a n = n 3 - n 2-16n + 16 f) a n = n 3-2n 2-50n +100
Ciągi - zadania Zad. 1 Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a) a n = 3n + 2 b) a n = (n - 2)n c) a n = n 2-4 d) a n =n e) a n = f) a n = g) a n =(-1) n 2 n+3 h) a n = n - 2
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane
Bardziej szczegółowoDany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.
Zadanie 1 Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Zadanie 2 Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 3 Dany jest ciąg o wzorze ogólnym, gdzie. Piąty
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 05 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowoMATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część V: Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR 1 A. B. C. D.
SPRAWDZIAN NR 1 TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Rozwiąż równanie. log 2 x = log 4 5 2. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Liczbę w notacji wykładniczej można
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo2. Wyrażenia algebraiczne
2. Wyrażenia algebraiczne Jeśli liczby r, s są liczbami całkowitymi, to równości od 1) do 5) są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b różnych od zera. Logarytm Logarytmem 10gab liczby dodatniej
Bardziej szczegółowo1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:
1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I a w roku szkolnym 2015/2016 na poszczególne stopnie w oparciu o PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM i podręcznik nr w wykazie 168/1/2015/z1 Prowadzący zajęcia: mgr Elżbieta
Bardziej szczegółowoWZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO, to ciąg, którego kolejne wyrazy powstają poprzez mnożenie poprzednich wyrazów przez liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy: q Do opisu ciągu
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN PO KLASIE 1. ROZSZERZENIE
SPRWZIN PO KLSIE. ROZSZERZENIE ZNIE ( PKT) Liczbę 5 7 zaokr aglamy do liczby,6. ład względny tego przybliżenia jest równy ) 0,8% ) 0,008% ) 8% ) 00 5 % ZNIE ( PKT) Wyrażenie x + x dla x > ma wartość )
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo3 Potęgi i pierwiastki
Potęgi i pierwiastki W tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe własności działań na potęgach i pierwiastkach. Prosimy o zapoznanie się z regulaminem na ostatniej stronie..1 Potęga o wykładniku całkowitym
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE INSTYTUT MATEMATYKI i INFORMATYKI 22-100 Chełm, ul. Pocztowa 54 tel./fax. (082) 562 11 24 KONKURS MATEMATYCZNY im. Samuela Chróścikowskiego 10 kwiecień 2015r.
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Rozkład materiału i plan wynikowy dla klasy 1
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Rozkład materiału i plan wynikowy dla klasy wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie PP-CL-1. Trzy liczby: a, b, c, których suma jest równa 93 tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby.
Bardziej szczegółowo----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Strona1 Napisz program, który czyta zdanie, a następnie wypisuje po kolei długości kolejnych jego wyrazów. Zakładamy, że zdanie zawiera litery alfabetu łacińskiego i spacje (po jednej pomiędzy dwoma dowolnymi
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoTrening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę
Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę ZESTAW I Liczby rzeczywiste Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których: a) planuje i wykonuje obliczenia na
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Bardziej szczegółowoInstytut Matematyczny. Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY. 1 października 2007 r.
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY 1 października 2007 r. Nazwisko Imię Numer Indeksu 201 Wersja testu A 1 października 2007 r. 1. a. T N b. T N c. T N d. T N 2. a. T
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7
1 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoUłamki zwykłe. mgr Janusz Trzepizur
Ułamki zwykłe mgr Janusz Trzepizur Ułamek jako część całości W ułamku wyróżniamy licznik i mianownik. kreska ułamkowa licznik mianownik (czytamy: jedna druga) czyli połowa całości. Dwie takie połowy tworzą
Bardziej szczegółowoLISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
Bardziej szczegółowokonieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
Bardziej szczegółoworozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna)
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE INSTYTUT MATEMATYKI i INFORMATYKI 22-100 Chełm, ul. Pocztowa 54 tel./fax. (082) 562 11 24 KONKURS MATEMATYCZNY im. Samuela Chróścikowskiego 30 marzec 2017r. godz.
Bardziej szczegółowoCiąg arytmetyczny i jego własności
Ciąg arytmetyczny i jego własności Ćw.1. Ciąg (a ) określony jest wzorem an =3n-2. a) Oblicz wyrazy: a1; a2, a3, a5, a6. b) Oblicz różnice: a2-a1, a3-a2, a6-a5, a20-al9. c) Wyznacz różnicę an+l - an. d)
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoSkrypt 31. Powtórzenie do matury Liczby rzeczywiste
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 31 Powtórzenie do matury
Bardziej szczegółowoZbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Bardziej szczegółowoUwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoGimPlus. Przewodnik po zadaniach (356 zadań)
GimPlus Przewodnik po zadaniach (356 zadań) Klasa 1 gimnazjum (160 zadań) Liczby i działania (45 zadań) Liczby (9 zadań): 1.1.1 Ustalanie, czy liczba jest naturalna, całkowita, czy wymierna. 1.1.2 Umieszczanie
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowoWymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY
Wymagania dla klasy siódmej Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Rzymski sposób zapisu liczb Liczby pierwsze i złożone. Dzielenie z resztą Rozwinięcia dziesiętne
Bardziej szczegółowo(x 1), 3 log 8. b) Oblicz, ile boków ma wielokat wypukły, w którym liczba przekatnych jest pięć razy większa od liczby boków.
ZADANIE 1 Długości boków trójkata tworza trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego o różnicy 1. Oblicz długości boków tego trójkata, jeśli jego pole wynosi 0, 75 15. ZADANIE 2 Pierwszy, trzeci i jedenasty
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoLiczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 010 Instrukcja dla zdającego Czas pracy 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA GIMNAZJUM
MATEMATYKA GIMNAZJUM Uczeń otrzymuje ocenę: WYMAGANIA OGÓLNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY SZKOLNE - dopuszczającą, gdy: pracuje na lekcji i w domu na miarę swoich możliwości, uczestniczy w zajęciach dodatkowych
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowo