MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

Transkrypt

1 MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część V: Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.

2 Witaj, jest to już piąta część materiałów przygotowujących do matury z matematyki. Dzisiaj otrzymasz rozwiązania zadań z działu ciągi liczbowe. Sprawdź czy Twoje odpowiedzi pokrywają się z wzorcowymi. Przypominamy, że wszystkie wiadomości na temat ciągów, które są wymagane na maturze znajdziesz na Zajrzyj tam jeżeli coś budzi Twoje wątpliwości. W poniedziałek kolejna część powtórki Trygonometria. Organizatorami przygotowania do matury są redaktorzy portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. /11

3 Ciągi liczbowe Zadanie 1: 3n Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n = n +5n+1 wynosi: dla n N. Zatem a 3 a) 5 b ) 5 c) 3 d ) 3 5 Prawidłowa odpowiedź: a) 3 3 a 3 = = 5 Zadanie : Jeżeli suma pewnego ciągu dana jest wzorem ogólnym S n =n +5n, to pierwszy wyraz tego ciągu to: a) 6 b ) 5 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 3/11

4 c) 1 d ) 1 Prawidłowa odpowiedź: a) Liczymy sumę dla n=1. Jest ona równa pierwszemu wyrazowi ciągu. a 1 =S 1 =1 +5 1=6 Zadanie 3: Liczby x 6, 1,17 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem liczba x jest równa: a) 7 b ) 13 c) 6 d ) 13 Prawidłowa odpowiedź: b) Korzystamy z zależności pomiędzy wyrazami ciągu arytmetycznego 1= x = x+11 4= x+11 x=13 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 4/11

5 Zadanie 4: Suma naturalnych liczb parzystych mniejszych od 50 wynosi: a) 650 b ) 1300 c) 450 d ) 600 Liczby naturalne parzyste opisujemy ciągiem arytmetycznym, gdzie a 1 =0 oraz r=. a n =0+(n 1) a n =n Największa liczba parzysta mniejsza od 50 to liczba 48. Liczb parzystych mniejszych od 50 jest n=5 ( licząc od zera). S 5 = a 1 a 5 5 S 5 = (0+48) 5 S 5 = 48 5 S 5 =4 5=600 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 5/11

6 Zadanie 5: Sumę pięciu kolejnych potęg liczby 3, obliczymy korzystając ze wzoru: a ) b) (3+35 ) 5 c) 3 5 d ) Prawidłowa odpowiedź: a) Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym a 1 =3 i ilorazie q=3 jest obliczana według wzoru S 5 = Zadanie 6: Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a n ), n 1 wiedząc, że r=4 i a 1 =3. Obliczamy wartość piątego wyrazu ciągu: a 5 =3+(5 1) 4=1 Obliczamy sumę 5 początkowych wyrazów ciągu. Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 6/11

7 S 5 = (a 1+a 5 ) 5 = (3+1) 5 = 5 =11 5=55 Zadanie 7: Oblicz, które wyrazy ciągu a n =n 6n 5 ( n 1 ) są równe 15. a n =15 n 6n 5=15 n 6n 0=0 Δ=( 6) 4 ( 0)=36+160=16 n 1 = ( 6) 16 n = ( 6)+ 16 = 6 14 = = = 6+14 = =5 Ponieważ n 1, to tylko piąty wyraz ciągu jest równy 15. Zadanie 8: a 5 =15 Znajdź trzy takie liczby, które wstawione między 3 i 43 utworzą ciąg geometryczny. Wprowadzamy oznaczenia: a 1 =3, a 5 =43, a szukane wyrazy ciągu to a, a 3, a 4 Ponieważ a 5 =3 q 5 1 i a 5 =43, to otrzymujemy równanie: 43=3 q 5-1 =3 q 4 q 4 =81 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 7/11

8 q=3 lub q= 3 Dla q=3 otrzymujemy a n =3 3 n 1 =3 n. Wtedy a =3 =, a 3 =3 3 =7 i a 4 =3 4 =81. Dla q= 3 otrzymujemy a n =3 3 n 1. Wtedy a =3 3 =, a 3 = =7 i a 4 = = 81. Zadanie : Jaś odkłada do skarbonki co miesiąc o 5 zł więcej niż w poprzednim miesiącu. W pierwszym miesiącu oszczędzania włożył do skarbonki 10 zł. Oblicz jaką kwotę uzbiera Jaś po dwóch latach oszczędzania. Niech a n oznacza ile Jaś włożył do skarbonki n - tego miesiąca. a 1 =10 a n =10+(n 1) 5=10+5n 5=5n+5 S 4 = (a 1+a n ) 4 S 4 =(a 1 +a n ) 1 S 4 =( ) 1 S 4 =135 1=160 Po upływie n=4 miesięcy, Jaś będzie miał w skarbonce 160 zł. Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 8/11

9 Zadanie 10: Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a n ), wiedząc że jego iloraz i wyraz pierwszy są liczbami dodatnimi oraz 16 {a a4= a 3 a 5 = 64 Niech a n oznacza n -ty wyraz rozważanego ciągu. 16 {a a4= a 3 a 5 = 64 { a1 q a1 q 3 = 16 a 1 q a 1 q 4 = 64 {a1 q 4 = 16 a 1 q 6 = 64 Ponieważ a 1 0 i q 0 dzielimy stronami równanie drugie przez pierwsze. q =4 q= lub q= Ponieważ q 0, to jedynym rozwiązaniem jest q=. a 1 4 = 16 a 1 16= 16 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. /11

10 a 1 = 1 a 1 = 1 3 lub a 1 = 1 3 Ponieważ a 1 0, to jedynym rozwiązaniem jest a 1 = 1 3. Wzór ogólny ciągu to: a n = 1 3 n-1 Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 10/11

11 Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu ciągi liczbowe, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie Na koniec polecam Ci ciekawy arykuł pod tytułem Co studiować, aby za 5 lat nie mieć problemu ze znalezieniem pracy? Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana6.pl. Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadzą Darmowy Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym, który składa się z ponad 70 lekcji. Każda lekcja zawiera: 1. omówienie wybranego zagadnienia,. ćwiczenia interaktywne, 3. przykłady zadań, 4. zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania, 5. rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji. Kliknij, aby zapisać się na kurs. Powtórka maturalna > Część V: Ciągi liczbowe. 11/11