4.2 Analiza fourierowska(f1)

Transkrypt

1 Analiza fourierowska(f1) Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał prostokątny; sygnał trójkątny; układrlc. Literaturapodstawowa:[3],[0],[1] Podstawowe pojęcia i definicje Szereg Fouriera Rozkład funkcji okresowej F o okresie T na szereg Fouriera ma postać: F (t) = a 0 + a k cos (kωt) + b k sin (kωt), (4..1) k=1 gdziewspółczynniki a k i b k danesąrównaniami: a k = T b k = T t 0 +T k=1 t 0 F (t)cos (kωt)dt, (4..) t 0 +T a ω = π/tjestczęstościąkołową. Jeżeli funkcja F spełnia warunki Dirichleta, tzn.: t 0 F (t)sin (kωt)dt, (4..3) przedział, w którym funkcja jest określona, można rozłożyć na skończoną liczbę podprzedziałów, a w każdym z nich funkcja F jest ciągła i monotoniczna; wkażdympunkcienieciągłości F istniejegranicaprawostronna F (t + )ilewostronna F (t ), toszeregfourieratejfunkcjijestzbieżnyijegosumarównasię F (t)wpunktachciągłościfunkcji,awpunktachnieciągłościfunkcjisumatarównasię [F (t ) + F (t + )] /. Sygnał prostokątny Mamy dany sygnał prostokątny postaci:

2 180 Fale F (t) = ] U dla t [ 0, T U dla t [. (4..4) T,T] Współczynniki szeregu Fouriera dla tego sygnału wynoszą: a k = 0 dla k = 0, 1,,... b k = 0 dla k =, 4, 6,... b k = 4U kπ dla k = 1, 3, 5,.... (4..5) Sygnał trójkątny Niech będzie dany sygnał trójkątny postaci: F (t) = 4Ut T dla t [ T U ( 4t ) T dla t 4, T 4 [ T 4, 3T 4 ] ]. (4..6) Maksimumiminimumsygnałuwynosząodpowiednio Udla t = T/4i Udla t = T/4 lub t = 3T/4. Współczynniki szeregu Fouriera mają postać: a k = 0 dla k = 0, 1,,... b k = 8U (kπ) sin kπ dla k = 0, 1,,.... (4..7) Należy pamiętać(szczególnie przy rekonstrukcji sygnału), że dla sygnału przesuniętego względem podanego wyżej współczynniki Fouriera będą inne. Przykładowo dla sygnału trójkątnego zdefiniowanego następująco: współczynniki mają postać: F (t) = U 4Ut T dla t a k = 8U (kπ) dla k = 1, 3, 5,... a k = 0 dla k = 0,, 4,... b k = 0 dla k = 0, 1,,... [ T, T ], (4..8). (4..9)

3 Analiza fourierowska(f1) 181 Układ RLC Eksperymentalne wyznaczanie współczynników Fouriera polega na wykorzystaniu układu filtrującego, który po podaniu na wejście badanego sygnału okresowego o amplitudzie maksymalnej U, na wyjściu wybiera składową szeregu Fouriera. Z pomiaru amplitudy U k,wy sygnałuwyjściowegootrzymujemyszukanywspółczynnikfouriera. Należyjeszczeuwzględnićwamplitudziewyjściowejpewienwkład A k odsamegoukładu,codajenamzwiązek: U k,wy = A k b k. (4..10) Nieznanąwartość A k wyznaczamyfiltrującsygnałsinusoidalnyowybranejczęstotliwości. Dla takiego sygnału otrzymujemy prosty związek: A k,wy = A k A k,we, (4..11) którypozwalanamwyznaczyć A k zpomiarówamplitudywejściowej A k,we iwyjściowej A k,wy sygnałusinusoidalnego.urządzeniem,którerealizujewybieraniedanej składowej z szeregu Fouriera, jest układ szeregowy RLC pokazany na rysunku 4..1 C L WY R WE Rys. 4..1: Schemat układu szeregowego RLC. W układzie tym w zależności od nastaw pojemności C, indukcyjności L i oporu R możemy dokonać transmisji wybranej składowej, inne składowe zostaną wytłumione. Z drugiego prawa Kirchoffa dla tego układu otrzymamy równanie różniczkowe liniowe i niejednorodne postaci L d q dt + Rdq dt + q = U cos (ωt), (4..1) C gdzie na wejście układu podano sygnał sinusoidalny o amplitudzie U i częstości wymuszającej ω. Szukamy funkcji q (t) opisującej ładunek zgromadzony na kondensatorze. Prąd płynący w układzie możemy obliczyć z równania I (t) = dq dt. (4..13)

4 18 Fale Przy rozwiązywaniu równania(4..1) warto mieć w pamięci mechaniczny odpowiednik naszego układu elektrycznego, jakim jest oscylator harmoniczny tłumiony poddany działaniu siły wymuszającej(opisany w rozdziale 1.3). Z matematyki wiadomo, że pełne rozwiązanie równania(4..1) jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego(z dwoma stałymi wyznaczanymi z warunków początkowych) i rozwiązania szczególnego związanego z wyrazem niejednorodnym. Z fizyki wiadomo natomiast, że rozwiązanie ogólne jest szybko tłumione i wystarczy zajmować się tylko rozwiązaniem szczególnym, które ma postać q (t) = A q (ω)cos (ωt + δ), (4..14) A q (ω) = U L (ω 0 ω) + ( R L ), (4..15) ω ω 0 = 1 LC. (4..16) Jest to periodyczne rozwiązanie opisujące drgania z częstością napięcia wymuszającego i z amplitudą zależną od tej częstości. Warto dla porządku podać również zależność od czasu dla prądu płynącego w układzie I (t) = A I (ω)sin (ωt + δ), (4..17) A I (ω) = ωa q (ω). (4..18) Ważnejestustalenieczęstościwymuszającej ω r,któraodpowiadamaksymalnejamplitudzie danej wielkości fizycznej. Jest to częstość dla której zachodzi rezonans. Rezonans dlaładunkuwystępujeprzy ωr = ω0 1 ( R ),natomiastdlaprąduprzy L ωr = ω 0. Ze względu(m.in.) na prostą relację będziemy korzystać z własności prądu w układzie. W praktyce obserwujemy spadek napięcia na oporze R. 4.. Przebiegpomiarów Układ doświadczalny Przyrządy: generator sygnałów sinusoidalnych, prostokątnych i trójkątnych; oscyloskop dwukanałowy do obserwacji sygnału wejściowego i wyjściowego oraz do pomiaru amplitud; dekadowy opór, pojemność i indukcyjność; kable połączeniowe. Schemat wykorzystywanego układu pomiarowego przedstawiono na rysunku 4... Badanie tłumienia układu Zestawić układ pomiarowy według schematu. Ustalić indukcyjność L = 0.1 H, opór R = 100 Ωipojemność C t = 53.3 nf.wielkościteteoretycznieodpowiadają

5 Analiza fourierowska(f1) 183 generator CHI oscyloskop CHII WE RLC WY Rys. 4..: Schemat układu pomiarowego. dostrojeniuukładurlcdoczęstotliwościrezonansowej f 1 = 1 khz.zgeneratora doprowadzić sygnał sinusoidalny o częstotliwości f = 1 khz. Faktyczne dostrojenie układu RLC może być inne głównie ze względu na dodatkowe pojemności połączeń. SprawdzićfaktycznedostrojenieukładuRLCzmieniając fwotoczeniu f 1.Wrazie potrzebyznaleźćpojemność C d,któradajepotrzebnedostrojeniedo f 1.Wtymcelu należyustalić f = f 1 izmieniaćpojemnośćtak,abyuzyskaćmaksymalnąamplitudę.wpunkcierezonansuzmierzyćamplitudęwejściową A 1,WE iwyjściową A 1,WY sygnałusinusoidalnego.powtórzyćpowyższąprocedurędlaczęstotliwości f k = 3,5, 7, 9, 11 khz, dostrajając układ jedynie poprzez zmianę pojemności. W ten sposób otrzymaćpojemności C d orazamplitudy A k,we i A k,wy dla k = 3,5,7,9,11. Analiza sygnałów prostokątnego i trójkątnego Z generatora doprowadzić sygnał prostokątny o częstotliwości f = 1 khz. Dostroić układrlcdoczęstotliwości f 1 = 1 khz.zmierzyćamplitudęwejściową U 1,WE iwyjściową U 1,WY.Powtórzyćpowyższąprocedurędostrajaj acukładrlcdoczęstotliwości f k =3,5,7,9,11 khzniezmieniaj acparametrówwejściowegosygnałuprostokątnego. Z generatora doprowadzić sygnał trójkątny o częstotliwości f = 1 khz. Wykonać pomiary tak jak w przypadku sygnału prostokątnego. Badanie krzywych rezonansowych DostroićukładRLCdoczęstotliwości f 3 = 3 khz.nawejścieukładupodaćsygnałsinusoidalny,którynależyzmieniaćwprzedzialeod1do 10 khzimierzyćjego amplitudę wyjściową. Analogiczne pomiary wykonać przy dostrojeniu układu RLC do częstotliwości f 5 = 5 khzi f 7 = 7 khz. Aby zbadać wpływ oporu na kształt krzywej rezonansowej wykonać ponownie pomiary amplitudy wyjściowej sygnału sinusoidalnego przy dostrojeniu układu RLC do f 5,aletymrazemzmienićwartośćoporuna R = 00 ΩiR = 500 Ω.

6 184 Fale 4..3 Opracowaniewyników Obliczyć teoretyczne wartości współczynników Fouriera i porównać je z uzyskanymi doświadczalnie. Oszacować niepewności wyznaczonych współczynników. Zrekonstruować sygnały prostokątny i trójkątny na podstawie teoretycznych i wyznaczonych doświadczalnie współczynników Fouriera(do jedenastego wyrazu włącznie). Narysować krzywe rezonansowe(zależność amplitudy sygnału wyjściowego od częstotliwości napięcia wymuszającego) na podstawie punktów doświadczalnych oraz przy wykorzystaniuzależnościteoretycznej f(ω) = RA I (ω).dodanychdoświadczalnych dofitować funkcję postaci f(ω) = ωp 1 (P ω ) + P 3 ω, (4..19) gdzie P 1, P i P 3 toparametryfitowania.wykorzystaćtrzyparametryfitowaniado obliczeniaczterechwartości U, R, L, C,przyczymzewzględunapewnąswobodę ustalamy wartości L lub C zgodnie z danymi z eksperymentu. Można również fitować parametry P 1 i P 3 przyustalonymustalonym P = ω 0.Przedyskutowaćwpływoporu R na kształt krzywej.