1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Transkrypt

1 1. PODSTAWY TEORETYCZNE PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami i ruchem ciał sprężystych. Ciało sprężyste jeżeli doznaje oddziaływań czynników zewnętrznych (siły, momenty, temperatura, itp.), to efektem tego działania jest deformacja ciała (przemieszczenia, odkształcenia). Po zdjęciu obciążeń ciało wraca do stanu pierwotnego. Oddziaływania, przy których ciało zachowuje się sprężyście mają pewne granice. Przekroczenie tych granic powoduje nieodwracalne zmiany. Po odjęciu przyczyny (czynnik zewnętrzny) pozostają trwałe odkształcenia - takie ciało nazywamy ciałem plastycznym. Po przekroczeniu granicy oddziaływań sprężystych mogą wystąpić tak duże deformacje, że struktura ciała zostaje zniszczona (np.: pękanie) - takie ciała nazywamy kruchymi. 1.. Definicje 1) Ciała traktujemy jako ciągłe continuum materialne (brak pęcherzy, pustek, pęknięć, itp.). Możemy określić gęstość ρ w każdym punkcie ciała. M p = lim V V (1.1) Masa całej bryły wynosi: M = p dv (1.) V Stan naturalny jest to stan do którego wraca ciało po zdjęciu obciążeń. Ciała jednorodne w każdym punkcie posiada takie same cechy. Ciała izotropowe zmiana własności ciała nie zależy od kierunku. ) Siły masowe - związane z masą (objętością) - siła masowa jednostkowa p - całkowita siła masowa

2 1. PODSTAWY TEORETYCZNE P= p dv (1.3) V 3)Siły powierzchniowe działają na powierzchnię (także wzajemne oddziaływania międzycząsteczkowe) - siła powierzchniowa jednostkowa f - całkowita siła powierzchniowa F= f ds (1.4) s F f = lim s 0 S (1.5) 1.3. Elementy rachunku wektorowego i tensorowego. Skalar jest to wielkość, która zależy od miejsca, nie zależy natomiast od przyjętego układu współrzędnych; do jego opisu wystarczy tylko jedna wartość. Zjawiska opisywane skalarowo to np.:temperatura, masa, objętość, długość, itp. Wektor układ trzech wielkości skalarnych, które są zmiennicze w zależności od układu współrzędnych; określamy przez wartość, kierunek i zwrot. Przykładem wektora jest prędkość. Tensor wielkość, którą w przestrzeni opisujemy za pomocą 9 składowych (identyfikacja punktu w przestrzeni potrzeba 3 przecinających się płaszczyzn = 3 wektory 9 składowych). 3 0 =1 tensor o walencji (rząd) 0 skalar (temperatura) 3 1 =3 tensor o walencji 1 wektor 3 =9 tensor o walencji tensor (naprężenie) 3 3 =7 tensor o walencji =81 tensor o walencji 4 przemieszczenie jest wektorem naprężenie jest tensorem odkształcenie jest tensorem osi. wersor e 1 wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie pokrywającym się z kierunkiem i zwrotem Każdy wektor można zapisać za pomocą tensorów: A=A 1 e 1 A e A 3 e 3 (1.6)

3 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 3 Umowa sumacyjna (Einsteina). Jeżeli w jednomianie (postać iloczynowa) ten sam indeks powtarza się dwa razy to sumujemy po tym wskaźniku, np.: 3 a i b i =a 1 b 1 a b a 3 b 3 = a i b i (1.7) i=1 A=A i e i (1.8) 1.4. Iloczyn skalarny A α B Rys Iloczyn skalarny A B=c (1.9) A B= A B cos (1.10) Iloczyn skalarny wersorów e i, e j dla i = j wynosi 1, gdyż cosinus kąta α=0 zawartego pomiędzy nimi wynosi 1, a ich długość jest jednostkowa: e i e j = e 1 e 1 = e e = e 3 e 3 =1 (1.11) Iloczyn skalarny wersorów e i e j dla i j wynosi 0, gdyż cosinus kąta α=90 zawartego pomiędzy nimi wynosi 0: e i e j = e 1 e = e e 1 = e e 3 = e 3 e = e 1 e 3 = e 3 e 1 =0 (1.1) e i e j = ij (1.13) Symbol δ ij nosi nazwę delty Kroneckera i jest tensorem o walencji : ij =[ ] (1.14) 0 0

4 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 4 ij = { 1 dla i= j 0 dla i j (1.15) A B= A i e i B j e j =A i B j e i e j =A i B j ij =A i B i (1.16) 1.5. Iloczyn wektorowy C α B Rys. 1.. Iloczyn wektorowy A A B= C (1.17) C = A B sin (1.18) Powyższy wzór opisuje nam również pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach A i B. Pomiędzy iloczynami wersorów zachodzą następujące zależności: 1) Wynikające z prawoskrętnego układu współrzędnych: e 1 e = e 3 (1.19) e e 1 = e 3 (1.0) ) Wynikające z tego, że sinus kąta α=0, zawartego pomiędzy wersorami e i e j dla i = j, wynosi 0: e 1 e 1 = 0 (1.1) Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności: A B B A (1.) Iloczyn wektorowy nie podlega prawu łączności, co zapisujemy:

5 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 5 A B C A B C (1.3) Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać wzór na współrzędne iloczynu wektorowego: C= A B= A 1 e 1 A e A 3 e 3 B 1 e 1 B e B 3 e 3 = = A B 3 A 3 B e 1 A 3 B 1 A 1 B 3 e A 1 B A B 1 e 3 W tym miejscu możemy dokonać podziału na rodzaje zapisów: 1) Zapis absolutny Przykład: A B=c (iloczyn skalarny) A B= C (iloczyn wektorowy) ) Zapis wskaźnikowy Przykład: A B=A i B i (iloczyn skalarny) Dla iloczyny wektorowego mamy: Korzystamy z symbolu permutacyjnego Ricciego (Levi-Civity) e ijk (tensor o walencji 3 7 kombinacji): e ijk= { 0 gdy indeksy się powtarzają 1 gdy permutacja jest parzysta 1 gdy permutacja jest nieparzysta (1.4) 1 3 Rys Permutacja parzysta 1 3 Rys Permutacja nieparzysta

6 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 6 Dzięki czemu uzyskujemy: C i =e ijk A j B k (1.5) 3) Zapis macierzowy Interpretacja zapisu macierzowego dla iloczynu wektorowego: 1 e e 3 C=det[ e A 1 A A 3] 3 (1.6) B 1 B B 1.6. Tensor Mnożenie tensorowe daje w efekcie diadę. A B=T (1.7) Diada: A i e i B j e j =A i B j e i e j =A i B j e i e j (1.8) Tensor jest to operator który każdemu wektorowi przypisuje inny wektor: T a= A i B j e i e j a 1 e 1 a e a 3 e 3 = b (1.9) A 1 B 1 [ e 1 e 1 a 1 e 1 e 1 e 1 a e e 1 e 1 a 3 e 3 ]=A 1 B 1 a 1 e 1 (1.30) Przykład: Na podstawie zapisu T a określić współrzędne wektora b (podać ogólną formę w zapisie wskaźnikowym). T ij a k =A i B j a k e i jk (1.31)

7 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 7 b i =A i B j a j 1.7. Transformacja układu współrzędnych 3 ' 3' A 1 e ' Rys Transformacja układu e 1 e i =1 1' ' 3' 1' 1 3 α 1'1 α 1' α 1'3 α '1 α ' α '3 α 3'1 α 3' α 3'3 Tab Cosinusy kierunkowe Operujemy cos kątów: i ' j =cos i ', j (1.3)

8 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 8 1' 1 1' 1' 3 =1 (1.33) Tensor cosinusów kierunkowych tworzy macierz transformacji: 1' 1 1' 1' 3 [ D]=[ ' 1 ' 3] ' 3 (1.34) 3' 1 3' 3' Właściwości macierzy transformacji w zapisie wskaźnikowym: Macierz transformacji jest macierzą ortogonalną co oznacza: 1) Wiersze (kolumny) macierzy ortogonalnej są parami ortogonalne czyli mnożenie ich przez siebie daje 0: k ' i l ' i =0 dla k ' l ' (1.35) np: 1' 1 ' 1 1' ' 1' 3 ' 3 =0 lub: k ' i k ' j =0 dla i j (1.36) np: 1' 1 1' ' 1 ' 3' 1 3' =0 ) Suma kwadratów elementów każdego wiersza (kolumny) jest równa jedności: np.: 1' 1 1' 1' 3 =1 1' 1 ' 1 3' 1 = Prawa transformacji Wektor Dany jest wektor A w zapisie globalnym. Wektor ten można zapisać wskaźnikowo w układzie podstawowym i w układzie obróconym: A=A j e j A=A i ' (1.37) (1.38) Wersor układu obróconego ma postać:

9 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 9 e 1' = 1' 1 e 1 1' e 1' 3 e 3 co wskaźnikowo zapisujemy: Podobnie możemy zapisać wersor układu podstawowego: e i ' = i ' j e j (1.39) e j = i ' j (1.40) Ponieważ mamy do czynienia cały czas z tym samym wektorem stwierdzenie: A zatem prawdziwe jest Podstawiamy do wzoru (1.38) wzór (1.37): A j e j = A i ' (1.41) A j i ' j =A i ' (1.4) Aby dwa wektory były sobie równe ich współrzędne muszą być sobie równe. Zatem: Jest to prawo transformacji wektora. Zgodnie z umową sumacji można go rozpisać: A i ' =A j i ' j (1.43) A i ' = A 1 i ' 1 A i ' A 3 i ' 3 Jeżeli jakaś wielkość transformuje się zgodnie z tym prawem to ta wielkość jest wektorem. Diada: w układzie podstawowym: 1.8..Tensor =T ij e i e j (1.44) W układzie obróconym: =T i ' j ' e j ' (1.45) Podobnie jak wcześniej możemy zapisać wskaźnikowo wersory: e i = i ' i Podstawiamy powyższe zależności do wzoru (1.44).Otrzymujemy: (1.46) e j = j ' j e j '

10 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 10 T ij i ' i j ' j e j ' e i ' =T i ' j ' e j ' Z powyższego zapisu wynika: Jest to prawo transformacji tensora. Zgodnie z umową sumacyjną można je rozpisać: T i ' j ' =T ij i ' i j ' j (1.47) T i ' j ' =T i1 i ' i T i i ' i j ' T i3 i ' i T i ' j ' =T 11 i ' 1 T 1 i ' T 31 i ' 3 T 1 i ' 1 j ' T i ' j ' T 3 i ' 3 j ' T 13 i ' 1 T 3 i ' T 33 i ' 3 Obiekt, którego współrzędne transformują się według tego prawa nazywamy tensorem. a) Tensor symetryczny: b) Tensor skośnie symetryczny: Typy tensorów: T ij =T ji (1.48) T ii =0 (1.49) T ij = T ji (1.50) Symetryzacja i ukośnienie tensorów. Każdy tensor można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i ukośnego: T ij =T ij T [ij ] (1.51) T ij T [ij] - tensor symetryczny - tensor ukośny T ij = 1 T ij T ji T [ij ] = 1 T ij T ji (1.5) (1.53) np.:

11 [ ]=[ PODSTAWY TEORETYCZNE ] [ ] i) Tensor izotropowy: Tensor, którego współrzędne nie zmieniają się przy dowolnej transformacji układu. Tensorem izotropowym jest każdy skalar, delta Kroneckera, symbol Lewi-Civity. Zad: Udowodnić że d ij test tensorem izotropowym. Rozwiązanie: Mamy udowodnić że współrzędne d ij nie zależą od układu odniesienia czyli że: ij = i ' j ' niezależnie od wybranej macierzy transformacji. Zgodnie z prawem transformacji tensorów możemy zapisać: i ' j ' = i ' i j ' j ij = = i ' 1 11 i ' 1 j ' 1 i ' 1 13 i ' 1 i ' j ' i ' 3 i ' 3 31 i ' 3 j ' 3 i ' 3 33 Po dokonaniu redukcji otrzymamy: i ' j ' = i ' 1 i ' j ' i ' 3 1. Dla i'=j' otrzymamy: i ' i ' = i ' 1 i ' i ' 3 a to z własności macierzy transformacji wynosi 1.. Dla i' j' otrzymamy:

12 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 ij ' = i ' 1 i ' j ' i ' 3 = = i ' k j ' k a to z własności macierzy transformacji wynosi 0. Zatem i ' j ' = { 1 dla i= j 0 dla i j = ij Udowodniliśmy zatem że współrzędne delty Kroneckera nie zależą od układu odniesienia, czyli jest to tensor izotropowy.