Matematyka stosowana i metody numeryczne

Transkrypt

1 Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor) długość(moduł) a zwrot(określony przez kolejność punktów A i B) punkt przyłożenia W interpretacji geometrycznej wektor a to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek([a, B] = [B, A]). Kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B. Wektor jednostkowy o tym samym kierunku co dany wektor nazywa się wersorem e Działania na wektorach Wyróżniamy następujące działania na wektorach: mnożenie wektora a przez liczbę(skalar) α, dodawanie i odejmowanie wektorów, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy. Przez sumę geometryczną dwóch wektorów a i b rozumiemy wektor c, którego początek leży w początku wektora a a koniec w końcu wektora b. Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego b do wektora a. 14. Iloczynskalarny Iloczyn skalarny stanowi operator na przestrzeni liniowej(operacja oznaczona ) przypisujący argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. { a b cosϕ jeśli a,b 0 a b = 0 jeśli a = 0lub b = 0,lub a b gdzie: a, b długościwektorów, 0 ϕ π kątpomiędzynimizawartywpłaszczyźniewyznaczonej przez te wektory. 1

2 14. Iloczynwektorowy Iloczyn wektorowy a i b stanowi operator na przestrzeni liniowej(przekształcenie oznaczone ) przypisujący parze wektorów z tej przestrzeni wektor c spełniający następujące warunki: Wektor cjestprostopadłydowektorów aib. Długość wektora c wynosi: gdzie: ϕ- kąt pomiędzy wektorami a, b. c = a b = a b sinϕ Wektor ctworzyzwektorami a,bukładprawoskrętny Zestawienie właściwości iloczynów skalarnego i wektorowego Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Iloczyn skalarny jest skalarem. Iloczyn wektorowy jest wektorem. Iloczyn skalarny jest przemienny. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny. a b = 0 a b = 0 Warunek prostopadłości Warunek równoległości W obu iloczynach zachodzi prawo rozdzielności względem dodawania. Postać iloczynów wyrażona przez składowe skalarne: e 1 e e a b = a x b x + a y b y + a z b z a b = a x a y a z b x b y b z Iloczyn skalarny istnieje Iloczyn wektorowy istnieje dla tylko dla dwóch wektorów. dowolnej liczby czynników. Iloczyn. skalarny jest niezmiennikiem Iloczyn wektorowy nie jest niezmiennikiem względem transformacji względem transformacji ortogonalnej ortogonalnej układu. układu jest on pseudowektorem Zmiana bazy w przestrzeni dwuwymiarowej Wektorem xnazywamywielkość,którejwspółrzędne x 1, x transformująsięprzyobrocieokąt α według wzoru: [ ] [ ][ ] x 1 q11 q = 1 x1 lub x i = q q 1 q ij x j, i = 1,. x x x = Q x Transformacjaodwrotnajestobliczanawedługwzoru x = Q T x.elementamimacierzy Qsącosinusy kierunkowe q ij jakietworząosiewspółrzędnychukładustarego xzukłademnowym x : [ ] [ ] cosα1 Q = 1 cosα 1 cosα sin α =. sin α 1 cosα sin α cosα Analogiczne są wzory transformacyjne dla przypadku przestrzennego: x i = q ji x j, lub x i = q ji x j, i = 1,, ; j = 1,,. j=1 j=1

3 15 Rachunektensorowy Tensory są uogólnieniem pojęcia skalara i wektora. Używa się ich np. do opisu odkształceń i naprężeń. W pewnym uproszczeniu tensor T możemy sobie wyobrażać jako linowy operator działający na wektor aiprodukującyzniegonowywektor voinnymzwrocie,kierunkuiwartości: v = T a. Ilośćwszystkichskładowychtensoraobliczamywgrealcji n gdzie njestrzędemtensora: wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego, np. masa, wektor jest tensorem rzędu pierwszego, np. siła, tensoriirzędumapostaćmacierzy,np.tensornaprężenia. Tensorem II rzędu T nazywamy taką wielkość określoną w punkcie P, która dowolnemu kierunkowi µprzyporządkowujewektor t µ czylijesttooperatorliniowyodwzorującywektorwwektorwedług relacji: t µ = T µ. Dziewięć składowych tensora T można zapisać w postaci macierzowej: t 11 t 1 t 1 t 1 t t, t 1 t t która jest reprezentacją tensora T Transformacjetensorów Transformację współrzędnych tensora T II rzędu można zapisać następująco: t i j = k l t k l q i k q j l = t k l q i k q j l, k, l = 1,, ; i, j = 1,,. Szczegółowonp.składowa t 1 jesttransformowanawedługwzoru: t 1 = t kl q 1 k q l =t 11 q 1 1 q 1 + t 1 q 1 1 q + t 1 q 1 1 q + t 1 q 1 q 1 + t q 1 q + t q 1 q + t 1 q 1 q 1 + t q 1 q + t q 1 q. Tensor T podlega transformacji zgodnie z zapisem macierzowym: T = QTQ T, atransfomacjaodwrotnajestzapisywanajakoiloczyn: T = Q T T Q.

4 15. Działania na tensorach Dodawanie tensorów: t ij + p ij = s ij. Podczas tej operacji dodaje się odpowiednie składowe, podobnie jak przy dodawaniu macierzy. Mnożenietensoraprzezskalar: a t ij = t ij aia(t ij + s ij ) = a t ij + a s ij. Iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów: a i b j = c ij, a ij b km = c ijkm. Rząd powstałego tensora jest równy sumie rzędów mnożnej i mnożnika. Iloczyn wewnętrzny(zwężenie, kontrakcja) dwóch tensorów. Mnożąc dwa tensory ich wskaźniki się powtarzają, otrzymamy tzw. iloczyn wewnętrzny(kontrakcję): t ijk p km = s ijm gdzie rząd powstałego tensora jest mniejszy od sumy rzędów mnożnej i mnożnika o wielokrotnośćpowtarzającychsięindeksów.wpowyższymprzykładzie + 1 =. 15. Symetria i antysymetria, aksjator i dewiator Tensorjestsymetrycznygdy t ij = t ji. Tensorjestantysymetrycznygdy t ij = t ji. Iloczyn tensorów symetrycznego i antysymetrycznego jest zawsze równy 0. Śladem(ang.trace)tensora Tnazywamy: tr(t) = t ij δ ij = t ii = t 11 + t + t. Każdy tensor rzędu drugiego można rozłożyć na sumę dwóch tensorów aksjatora i dewiatora: t 11 t 1 t 1 t 0 0 t 11 t t 1 t 1 t 1 t t = 0 t 0 + t 1 t t t, t 1 t t 0 0 t t 1 t t t gdzie: t = 1 (t 11 + t + t ) = 1 tr(t). W mechanice aksjator jest związany ze zmianą objętości, a dewiator ze zmianą postaci deformacji Niezmienniki tensora II rzędu Każdemu tensorowi drugiego rzędu T można przyporządkować trzy niezmienniki czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych: I 1 =tr(t) = t ii [ ] I = 1 tr(t ) (tr(t)) = t t t t + t 11 t 1 t 1 t + t 11 t 1 t 1 t I = det(t) = t ij Niezmienniki związane są relacją(tw. Cayleya-Hamiltona): T I 1 T + I T I = 0. 4

5 15.5 Przykłady Przykład 1 W danym punkcie określony jest stan naprężenia przez tensor zobrazowany macierzą σ: 0 σ = Wyznaczyć: niezmienniki tensorów, wartości(naprężenia) główne tensora, aksjator i dewiator. Rozwiązanie: Obliczamy niezmienniki dla σ: I 1 =tr(σ) = [ ] I = 1 tr(σ ) (tr(σ)) = 1 I = det(σ) = 6 Po rozwiązaniu równania charakterystycznego: σ I 1 σ + I σ I = 0. otrzymujemy naprężenia główne: σ λ = Aksjator i dewiator: σ = =

6 Przykład Znaleźć współrzędne tensora T w nowym układzie współrzędnych. x x T = π 6 π 6 x 1 x x x 1 Rozwiązanie: Q = cosα 1 1 cosα 1 cosα 1 cosα 1 cosα cosα cosα 1 cosα cosα = T = QTQ T = cos( π π 6 ) cos π 6 cos π cos π cos π cos 0 cos π 6 cos( π + π 6 ) cos π =