[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)

Transkrypt

1 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna) [ D ] 1 =[ D ] T (.) Jeśli przyjmiemy, że wektor w pierwszej bazie ma współrzędne A i a w drugiej bazie współrzędne A i' to możemy macierzowo zapisać Postać macierzową można utworzyć także dla tensora jak i wektora [ A i ' ]=[ D ][ A i ] (.3) =[T ] 3 3 (.4) A i =[ A] 3 1 ={A}=col [ A]=col {A} (.5) Zauważmy, że transponując wektor w rezultacie otrzymamy macierz o wymiarach 1x3 {A} T =[ A] 1 3 (.6) Mnożenie skalarne przedstawia się za pomocą zapisu a) skalarnego (absolutnego) A B=c (.7) b) wskaźnikowego c=a i B i (.8)

2 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI c) macierzowego A [ A]=[A 1 A A 3]=[ A 1 A A 3 ] T B [ B]=[B 1 B B 3] (.9) A B=[ A] T [ B]=[ A 1 A A 3 ] 1 3 [C ] [B1 B B 3]3 1 Łatwo zatem zauważyć, że w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy macierz także o wymiarach 3x3. Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. [ A] 3 3 [ B] 3 3 =[C ] 3 3 (.10) Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy 3x3 zapisujemy w następujący sposób: A ij B jk =C ik (.11) Tensor działa na wektor jako operator.. Działanie tensora na wektor T a= b a j =b i [T ] 3 3 [a] 3 1 =[b] 3 1 (.1) co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym i wektorowym. Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób: a T = c [a] 3 1 [T ] 3 3 niewykonalne a i =c j T T [a] 1 3 [T ] 3 3 =[b] 1 3 A i ' = i ' j A j [ A ' ]=[ D][ A] A j = ji ' A i ' [ A]=[ D] T [ A ' ] (.13).3. Transformacja tensora (o 9 składowych) Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie

3 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3 obróconym. Postać macierzową wektora b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako [b]=[t ][a] (.14) natomiast w układzie obróconym [b ' ]=[T ' ][a ' ] (.15) Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób: [b ' ]=[ D][b] [b]=[ D] T [b ' ] [a]=[ D] T [a ' ] (.16) podstawiamy do wzoru [b]=[t ][a] i otrzymujemy [ D] T [b ' ]=[T ][ D] T [a ' ] [b ' ]=[T ][ D][ D] T [a ' ] [b ' ]=[T ' ][a ' ] [T ' ]=[ D][T ][ D] T (.17).4. Analiza pól Funkcja wektorowa funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje wektor. Funkcja tensorowa funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje tensor. Funkcja skalarna funkcja, która każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkowuje okreslony skalar (zwana także polem skalarnym).

4 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4 1) Gradient - funkcja wektorowa. 3 X 1 X - zapis absolutny - zapis wskaźnikowy X i [ X ] zapis macierzowy Rys..1. Wektor X w układzie kartezjańskim. Funkcja x 1, x, x 3 jest funkcją skalarną. Jeżeli przyjmiemy, że pochodne tej funkcji są współrzędnymi pewnego wektora to wektor ten nazywamy gradientem pola skalarnego. Różniczkujemy funkcję po odpowiednich współrzędnych: Pierwsza pochodna funkcji: Druga pochodna: G i =G x 1, x, x 3 (.18),i (.19),ij = (.0) Różniczkowanie połączone z sumowaniem:,ii = x 1 x x 3 (.1)

5 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5 Wyznaczamy gradient funkcji: G=G 1 e 1 G e G 3 e 3 =G i e i e i =,i e i =grad = (.) A więc ostatecznie gradient funkcji gdzie operator Nabla Gradient określa kierunek i wartość przyrostu funkcji. G= (.3) e i (.4) Zad.1. Znając prawo transformacji wektorów udowodnić, że wielkość zwana gradientem jest wektorem. G i ' =,i ' ' ' ji ' i ' j = i ' j G j ) Diwergencja każdemu punktowi odpowiada wektor: gdzie A=A i e i A i =A i x 1 x x 3 =A i x ii = A i =A i, j (.5) Polem diwergencji różniczkowalnego pola wektorowego nazywamy pole skalarne okreslone zależnością Ta wielkość ma cechy tensora. A i, j =A i,i = A 1 x 1 A x A 3 x 3 =div A (.6) Zad.. Udowodnić, że omawiana wielkość jest tensorem przez wykazanie, że transformuje się według prawa transformacji tensora.

6 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6 A=[A 1 A A 3] =[A 1,1 A 1, A 1,3 A,1 A, A,3 A 3,1 A 3, A 3,3] =A i, j A i ', j ' = A i ' ' = A i ' x k x k ' =A i ', k kj ' = A i,' k = A i ' x k = x k A i,' = x k A i i ' i =A i, k i ' i =A i ' k j ' k i ' k Zad.3. Czy jest możliwe zapisanie diwergencji macierzowo? div A= A= A 1 x 1 A x A 3 x 3 x 1 x A=[ 1 [A A A x 3]T 3] Zad.4. Obliczyć div z gradφ. div grad =div[,i e i ]=,ii = x 1 x x 3 = Laplasjan funkcji skalarnej 3) Rotacja polem rotacji różniczkowalnego pola wektorowego A nazywamy pole wektorowe określone zależnością A=rot A= R A e A k e k =e u ijk e j =e ijk A k, j e i j e j e k = e ijk e i (.7) R=e ijk A k, j

7 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7 Przykład: Dany jest punkt P. 3 P r 1 Funkcją opisującą położenie tego punktu jest funkcja x 1 x x 3 opisana wzorem a) wyznaczyć gradient tej funkcji = x 1 x x 3 G i =,i G 1 1 x 1 = x 1 x 1 x x = x 1 3 r G= r r = e r b) Obliczyć div r gdy dane są współrzędne wektora miejsca r : r 1 =x 1 r =x r 3 =x 3 r=x i e i e i x i e i =1 1 1=3

8 . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8 c) Obliczyć rotację wektora r e i x i e i = e i e i =0