Metody matematyczne fizyki

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody matematyczne fizyki"

Transkrypt

1 Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory

2 Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii prostej Cechy wektora: A początek (punkt zaczepienia) B -koniec A Kierunek prosta, do której należą wszystkie punkty wektora Zwrot uporządkowanie od A do B Wartość (długość) długość odcinka AB oznaczana jako Prostsza notacja: a = długość wektora Wiele podstawowych wielkości mechanicznych to wektory (przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, pęd, siła ). Poznajmy też skalary - wielkości określane jedną liczbą (masa, długość, czas, energia, temperatura, gęstość ). T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 2

3 Wektory w geometrii i algebrze Wektory o jednakowych długościach i kierunkach tworzą klasę równoważności, która może być reprezentowana przez wektor V 0,którego początkowy punkt leży w środku układu współrzędnych NOTACJA Opis algebraiczny (od Kartezjusza i geometrii analitycznej): Wynika z jedno-jednoznacznego przyporządkowania wektorowi wodzącemu współrzędnych jego punktu końcowego uporządkowanej pary (trójki ) liczb rzeczywistych (x 1,x 2, ) Liczby te nazywamy składowymi wektora; Podanie składowych określa w pełni dany wektor np. x i, i=1,2,3 W przestrzeni o n-wymiarach wektor jest algebraicznie reprezentowany jako uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych (x 1,x 2, x n ). Równoważność opisu geometrycznego i algebraicznego Język algebraiczny jest na ogół prostszy np. pojęcie stycznej do krzywej w danym punkcie. T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 3

4 Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Dla ustalenia uwagi rozważmy przestrzeń 3D Każdy wektor może być wyrażony w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech nie koplanarnych (nie leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów - skalary x - długość wektora x V 1, V 2, V 3 składowe wektora x o kierunkach V 1, V 2, V 3 Każde takie trzy niekoplanarne wektory V 1, V 2, V 3 tworzą bazę Wektory bazowe najczęściej wybiera się jako wzajemnie ortogonalne baza ortogonalna (w przeciwnym wypadku baza skośna) Baza kartezjańska szczególny przypadek bazy ortogonalnej składa się z trzech prostopadłych do siebie wektorów o długości jednostkowej; oznaczenie (e 1,e 2,e 3 ) Baza kartezjańska stanowi przykład bazy ortonormalnej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 4

5 Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Pojęcia bazy i układu współrzędnych mogą być używane zamiennie Baza prawoskrętna: jeśli ustawimy palce prawej ręki w kierunku dodatniej osi x 1, a następnie zamykając dłoń, ustawimy palce w kierunku osi x 2 kciuk wskazuje dodatni kierunek x 3 Baza lewoskrętna: jeśli jeden lub trzy wektory bazy prawoskrętnej doznają zmiany kierunku Dowolny wektor x może być wyrażony w bazie kartezjańskiej jako: x i, i=1,2,3 - i-ta składowa wektora x w tej bazie T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 5

6 Rozkładanie wektorów na składowe Rozważmy wektor a ; jego początek został umieszczony w początku kartezjańskiego układu współrzędnych (na płaszczyźnie) Koniec wektora jest rzutowany prostopadle na obie osie układu Otrzymane wielkości a x, a y współrzędnych: to składowe wektora a w danym układzie wartość wektora kąt jaki tworzy wektor a z osią x Wektor jednostkowy (wersor) wektor o wartości równej jeden Wersorami są wektory bazowe bazy kartezjańskiej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 6

7 Dodawanie i odejmowanie wektorów Suma wektorów: Metoda geometryczna Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne Dodawanie wektorów (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Add3Vectors/Add3Vectors.html Różnica wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 7

8 Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar Metoda analityczna dodawania wektorów Analityczne dodawanie wektorów (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/VectorAddComponents/VectorAddComponents.html iloczyn wektora a przez skalar r wynik wektor o wartości r razy większej od wartości wektora a T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 8

9 Iloczyn skalarny dwóch wektorów Inaczej: iloczyn wewnętrzny lub iloczyn z kropką wynik liczba (skalar) kąt zawarty między wektorami a i b Ilustracja iloczynu skalarnego (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DotProduct/DotProduct.html cos funkcją parzystą iloczyn skalarny jest operacją przemienną Iloczyn skalarny jest rozłączny ze względu na dodawanie wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 9

10 Iloczyn skalarny dwóch wektorów nie tylko gdy co najmniej jeden z wektorów ma wartość zero, ale także gdy są one wzajemnie prostopadłe gdyż =0 (cos=1) W szczególności, dla wektorów bazy kartezjańskiej zachodzi: - delta Kroneckera, zdefiniowana następująco: Dla dwóch dowolnych wektorów a i b w bazie kartezjańskiej: Algebraiczna definicja iloczynu skalarnego (umowa sumacyjna Einsteina) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 10

11 Obroty układu współrzędnych -rzut wektora x na oś e i Zbiór liczb {x i } = przedstawienie (współrzędne) wektora x w bazie (układzie współrzędnych {e i } Zbadajmy związki między składowymi określonego wektora x w dwóch różnych bazach kartezjańskich o wspólnym środku x może być rozłożony na składowe zarówno w bazie K jak i K W bazie K: W szczególności, gdy Relacja między wersorami baz: primowanej i nieprimowanej Jednocześnie definicja dziewięciu wielkości a ki cosinusów kierunkowych kątów między sześcioma osiami T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 11

12 Obroty układu współrzędnych Cosinusy kierunkowe mogą być zapisane w postaci macierzy kwadratowej 3x3 R macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej (opisuje w pełni konsekwencje przejścia między K i K ) Elementy macierzy R są określone równaniem: Ta definicja stanowi pewną konwencję. Alternatywa: Nie wszystkie elementy macierzy R są niezależne: wynika to z ortonormalności obu baz: Dziewięć równań, Nie wszystkie niezależne Podobnie: Relacje ortogonalności Odpowiadają im przekształcenia ortogonalne T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 12

13 Przekształcenia ortogonalne W przestrzeni n-wymiarowej macierz obrotu ma n 2 elementów Relacje ortogonalności dają (1/2)n(n+1) związków między elementami macierzy (1/2)n(n-1) elementów pozostaje dowolnych n = 2 jeden parametr swobodny kąt obrotu n = 3 trzy parametry swobodne trzy z sześciu cosinusów kierunkowych lub trzy kąty Eulera (patrz poniżej) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 13

14 Dwuwymiarowa macierz obrotu 1 Macierz (a ki ) określa co dzieje się ze składowymi wektora x, podczas przejścia od bazy e i do e i poprzez obrót bazy o kąt (+) przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara Wektor x zachowuje się pasywnie (biernie); a obraca się baza 2 Alternatywna interpretacja: x i x to dwa różne wektory; x powstaje przez obrót x o kąt (-) Składowe wektora x w bazie K są wtedy liczbowo równe składowym wektora x w bazie K Transformacja aktywna jednego wektora w nowy wektor; baza pozostaje pasywna Macierz transformacji odwrotnej -jednocześnie macierz transponowana do (a ki ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 14

15 Kąty Eulera 1) φ 2) Θ 3) ψ T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 15

16 Trójwymiarowa macierz obrotu Uogólnijmy macierz obrotu 2D na przypadek obrotu 3D wokół osi x 3 : Przejście do trójwymiarowej macierzy obrotu R(,,) Cel: przejście do nowego układu współrzędnych, w którym nowa oś z=x 3 ma dowolny kierunek (wzdłuż dowolnego wektora V) CW clockwise CCW counter clockwise Można tego dokonać w trzech krokach: obrotach o kąty, i 1. Obrót o kąt CCW wokół osi x 3 = x 3 2. Obrót o kat CW (- CCW) wokół osi x 2 3. Obrót CCW o kąt w płaszczyźnie x 1 x 2 wokół osi x 3 T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 16

17 Trójwymiarowa macierz obrotu, -kąty Eulera (kilka różnych definicji powyższej macierzy) Uwagi: po każdym obrocie dany wektor ma w ogólności inne składowe wektor to nie pojedyncza uporządkowana trójka liczb lecz raczej zbiór takich trójek, związanych ze sobą w określony sposób Twierdzenie: iloczyn skalarny jest niezmienniczy względem przekształceń ortogonalnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 17

18 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b Zwrot (dodatni kierunek) wektora c jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej wynik wektor c; jego długość: kąt zawarty między wektorami a i b, liczony od a do b, < Ilustracja iloczynu wektorowego (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CrossProduct/CrossProduct.html Iloczyn wektorowy zmienia znak przy zmianie kolejności czynników (antykomutacja) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 18

19 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Przykład: zbiór ortogonalnych wektorów bazy kartezjańskiej (i, j, k) = (e 1, e 2, e 3 ) dla prawoskrętnego układu współrzędnych Wersory (wektory jednostkowe wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskich) spełniają relacje: W zwartym zapisie: Ale tylko gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3 Wygodny, ogólny zapis z użyciem tensora Levi-Civity jeżeli (i,j,k) stanowi parzystą permutację liczb (1,2,3) jeżeli (i,j,k) stanowi nieparzystą permutację liczb (1,2,3) W pozostałych przypadkach (co najmniej dwa wskaźniki jednakowe) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 19

20 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Wygodne relacje: Wygodna definicja skrętności układu współrzędnych: prawoskrętny lewoskrętny Algebraiczna definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów Wygodny zapis w postaci wyznacznika: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 20

21 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów zwykły wektor = wektor biegunowy (polarny): Wektorów są dwa rodzaje: Psudowektor =wektor osiowy (aksjalny) = iloczyn wektorowy dwóch wektorów biegunowych Oba te obiekty transformują się tak samo przy obrotach Różnica ujawnia się przy operacji inwersji układu współrzędnych (odbicia przestrzennego) Wektor biegunowy ZMIENIA znak Wektor osiowy NIE ZMIENIA znaku Identyczne zachowanie dla skalarów i pseudoskalarów T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 21

22 Rodzaje współrzędnych W 3D każdy punkt geometryczny leży na przecięciu trzech płaszczyzn lub innych bardziej skomplikowanych powierzchni Współrzędne prostoliniowe jeśli przybierają one stałe wartości na płaszczyznach krzywoliniowe w przeciwnym wypadku sferyczne walcowe Współrzędne ortogonalne jeśli dla dowolnego punktu w przestrzeni, wektory normalne do wszystkich trzech powierzchni przecinających się w tym punkcie są do siebie prostopadłe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 22

23 Wektory bazy a metryka - zbiór wersorów bazy dla przestrzeni n-wymiarowej W ogólnym przypadku wersory bazy nie są ortonormalne Przypomnienie własności delty Kroneckera: Zawsze można skonstruować z wektorów bazy następującą macierz n x n Elementy diagonalne = kwadraty długości wektorów bazy Macierz g = METRYKA (dokładniej TENSOR METRYCZNY) Dla współrzędnych ortogonalnych metryka jest diagonalna W ogólnym przypadku metryka może zależeć od położenia w przestrzeni T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 23

24 Wektory bazy a metryka Dla współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni Euklidesowej Dowolny wektor V można rozłożyć na wektory bazowe: Składowe wektora zostały nieprzypadkowo zapisane z indeksami u góry (dalsze slajdy) Iloczyn skalarny dwóch wektorów w bardziej poprawnym zapisie: W zapisie macierzowym: Dla przypadku: powyższa formuła podaje długość wektora V metryka zadaje relację między długością wektora a jego składowymi T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 24

25 Wektory bazy a metryka W ogólnym przypadku wektory bazy nie muszą być do siebie wzajemnie ortogonalne oraz nie muszą być znormalizowane (być wersorami) można zawsze określić nie trywialną, odwrotną bazę wektorów: Nasza konwencja: baza wyjściowa indeksy na dole baza odwrotna - indeksy u góry Wzajemna relacja odwrotności między bazami: W zapisie macierzowym: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 25

26 Wektory kowariantne i kontrawariantne Dwa zbiory wektorów bazowych dwa rodzaje wektorów Rozwinięcie wektora na wektory bazowe Baza wyjściowa Baza odwrotna Składowe Nazwa składowych kontrawariantne kowariantne Wektor jest w obu przypadkach ten sam Zamiast kowariantne składowe często wygodnie jest mówić wektor kowariantny Odpowiednio dla kontrawariantnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 26

27 Wektory kowariantne i kontrawariantne Interpretacja graficzna tych składowych Składowe kontrawariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy wyjściowej Składowe kowariantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy wyjściowej Jednocześnie: Składowe kontrawiantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy odwrotnej Składowe kowariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy odwrotnej Przykład 2D dla ogólnego układu współrzędnych: składowe kontrawariantne (V 1,V 2 ) kowariantne (V 1,V 2 ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 27

28 Wektory kowariantne i kontrawariantne Ogromna zaleta wprowadzenia górnych i dolnych składowych prostota zapisu iloczynu skalarnego Metryka umożliwia przechodzenie między składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi: w szczególności kwadrat długości wektora infinitezymalnego przesunięcia: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 28

29 Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna Równania: q 1 =const, q 2 =const, q 3 =const zadają trzy powierzchnie, które przecinają się w jednym punkcie P tym, w którym są określone współrzędne (q 1,q 2,q 3 ). Te powierzchnie to powierzchnie współrzędnych. Krzywe wzdłuż których się one przecinają to krzywe współrzędnych. Styczne do tych krzywych w punkcie P to osie współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 29

30 Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 30

31 Przejścia między układami współrzędnych Skoncentrujmy się na przejściach współrzędne kartezjańskie inne krzywoliniowe Kwadrat odległości między sąsiednimi punktami: Czynniki skali (scale factors) Odległość między sąsiednimi punktami = element liniowy Co więcej Wyrażenia Q ik można zestawić w macierz metryki (tensor) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 31

32 Przejścia między układami współrzędnych Jeżeli zmienia się tylko jedno z wyrażeń q Można określić cosinusy kierunkowe między parami elementów liniowych Cosinus kąta ik między ds i i ds k : Znaczne uproszczenie dla ortogonalnych układów współrzędnych (powierzchnie współrzędnych przecinają się zawsze pod kątem prostym): Trzy elementy powierzchniowe w układzie ortogonalnym: Element objętościowy: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 32

33 Przykład 2D: współrzędne kartezjańskie vs biegunowe Kartezjańskie: q 1 =x, q 2 = y Biegunowe: q 1 =r, q 2 = T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 33

34 Współrzędne walcowe Kartezjańskie: (x,y,z) Walcowe (r,z T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 34

35 Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 35

36 Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 36

37 Przestrzeń euklidesowa vs nieeuklidesowa Przestrzeń euklidesowa -przestrzeń, w której można globalnie (a nie tylko lokalnie) wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich płaska tj. o zerowej krzywiźnie Nieeuklidesowa gdy jest to niemożliwe Ex. 1: Sfera (powierzchnia kuli) krzywizna dodatnia Do danej linii prostej m nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta > Ex. 2: siodło krzywizna ujemna Do danej linii prostej m można przeprowadzić co najmniej dwie proste równoległe przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta < T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 37

38 Powtórka elementów rachunku całkowego T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 38

39 Całki krzywoliniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa dl wektor infinitezymalnego przesunięcia Całka jest obliczana wzdłuż krzywej P biegnącej od punktu a do punktu b W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i przesunięcia dl z danego punktu do następnego punktu na tej krzywej Gdy rozważana krzywa jest zamknięta (b=a) Przykład: praca wykonywana przez daną siłę F: Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki krzywoliniowej nie zależy od drogi całkowania (siły o takiej własności = siły zachowawcze) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 39

40 Całki powierzchniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa da wektor prostopadły do powierzchni, o wartości równej polu infinitezymalnego elementu powierzchni Istnieją dwa wektory prostopadłe do danej powierzchni, o przeciwnych zwrotach znak całki powierzchniowej nie jest określony W każdym punkcie powierzchni obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i elementu powierzchni da Gdy rozważana powierzchnia jest zamknięta Przykład: jeśli v opisuje przepływ płynu (masę płynu na jednostkę powierzchni i czasu) to całka powierzchniowa odpowiada strumieniowi płynu całkowitej masie płynu przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki powierzchniowej nie zależy od wyboru powierzchni, a jedynie od kształtu krzywej będącej jej brzegiem T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 40

41 Całki objętościowe wyrażenia postaci: T - funkcja skalarna d infinitezymalny element objętości (d = dx dy dz) Przykład: T gęstość materii; całka objętościowa = całkowita masa Całki objętościowe z funkcji wektorowych: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 41

42 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Całkowanie po objętości we współrzędnych kartezjańskich = mnożenie funkcji podcałkowej przez element objętości dxdydz i zsumowanie tego iloczynu po wszystkich infinitezymalnych przyczynkach Ta prosta procedura może okazać się bardzo skomplikowana jeśli funkcja F zależy w skomplikowany sposób od współrzędnych (x,y,z) i/lub gdy granice całkowania nie są prostymi funkcjami x,y,z Przykład: policzmy objętość kuli stosując współrzędne kartezjańskie Znacznie wygodniej jest prowadzić rachunek we współrzędnych sferycznych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 42

43 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych W tym celu trzeba wyrazić infinitezymalny element objętości dv we współrzędnych sferycznych. można wykorzystać fakt, iż objętość rozpięta na prostopadłościanie o bokach odpowiadających trzem wektorom a,b,c, wyraża się wzorem: Przy transformacji współrzędnych: Element objętości dv zmienia się według formuły: J Jakobian przekształcenia współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 43

44 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Jakobian jest równy iloczynowi czynników skali Przykład dla współrzędnych sferycznych (wersja 2) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 44

45 Folie zapasowe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 45

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Wektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria

Wektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria Wektory dr Jolanta Grala-Michalak Teoria Uważa się, że pierwszym podręcznikiem geometrii jest dzieło Euklidesa Elementy, napisane w III wieku p.n.e. Opisywana w nim płaszczyzna i przestrzeń zawierają różne

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Dr Kazimierz Sierański kazimierz.sieranski@pwr.edu.pl www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Forma zaliczenia kursu: egzamin końcowy Grupa kursów -warunkiem

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne

Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne 46 III. Przekształcenia w przestrzeni trójwymiarowej Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne Złożone obiekty trójwymiarowe można uważać,

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści

Spis treści. Spis treści Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5 2. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 9 3. Pierwiastki, liczby niewymierne... 13 4. Wyrażenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga.

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Mechanika i Wytrzymałość Materiałów Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Przedmiot Mechanika (ogólna, techniczna, teoretyczna): Dział fizyki

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)

Bardziej szczegółowo

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej. Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI. MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2018 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Algebra liniowa z geometrią Kod przedmiotu/

Bardziej szczegółowo

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU: WYKŁADOWCA: dr hab. inż. Katarzyna ZAKRZEWSKA, prof. AGH KATEDRA ELEKTRONIKI, paw. C-1, p. 317, III p. tel. 617 29 01, tel. kom. 0 601 51 33 35 zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak 2012/2013, zima

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo