Metody matematyczne fizyki

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody matematyczne fizyki"

Transkrypt

1 Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory

2 Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii prostej Cechy wektora: A początek (punkt zaczepienia) B -koniec A Kierunek prosta, do której należą wszystkie punkty wektora Zwrot uporządkowanie od A do B Wartość (długość) długość odcinka AB oznaczana jako Prostsza notacja: a = długość wektora Wiele podstawowych wielkości mechanicznych to wektory (przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, pęd, siła ). Poznajmy też skalary - wielkości określane jedną liczbą (masa, długość, czas, energia, temperatura, gęstość ). T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 2

3 Wektory w geometrii i algebrze Wektory o jednakowych długościach i kierunkach tworzą klasę równoważności, która może być reprezentowana przez wektor V 0,którego początkowy punkt leży w środku układu współrzędnych NOTACJA Opis algebraiczny (od Kartezjusza i geometrii analitycznej): Wynika z jedno-jednoznacznego przyporządkowania wektorowi wodzącemu współrzędnych jego punktu końcowego uporządkowanej pary (trójki ) liczb rzeczywistych (x 1,x 2, ) Liczby te nazywamy składowymi wektora; Podanie składowych określa w pełni dany wektor np. x i, i=1,2,3 W przestrzeni o n-wymiarach wektor jest algebraicznie reprezentowany jako uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych (x 1,x 2, x n ). Równoważność opisu geometrycznego i algebraicznego Język algebraiczny jest na ogół prostszy np. pojęcie stycznej do krzywej w danym punkcie. T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 3

4 Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Dla ustalenia uwagi rozważmy przestrzeń 3D Każdy wektor może być wyrażony w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech nie koplanarnych (nie leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów - skalary x - długość wektora x V 1, V 2, V 3 składowe wektora x o kierunkach V 1, V 2, V 3 Każde takie trzy niekoplanarne wektory V 1, V 2, V 3 tworzą bazę Wektory bazowe najczęściej wybiera się jako wzajemnie ortogonalne baza ortogonalna (w przeciwnym wypadku baza skośna) Baza kartezjańska szczególny przypadek bazy ortogonalnej składa się z trzech prostopadłych do siebie wektorów o długości jednostkowej; oznaczenie (e 1,e 2,e 3 ) Baza kartezjańska stanowi przykład bazy ortonormalnej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 4

5 Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy Pojęcia bazy i układu współrzędnych mogą być używane zamiennie Baza prawoskrętna: jeśli ustawimy palce prawej ręki w kierunku dodatniej osi x 1, a następnie zamykając dłoń, ustawimy palce w kierunku osi x 2 kciuk wskazuje dodatni kierunek x 3 Baza lewoskrętna: jeśli jeden lub trzy wektory bazy prawoskrętnej doznają zmiany kierunku Dowolny wektor x może być wyrażony w bazie kartezjańskiej jako: x i, i=1,2,3 - i-ta składowa wektora x w tej bazie T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 5

6 Rozkładanie wektorów na składowe Rozważmy wektor a ; jego początek został umieszczony w początku kartezjańskiego układu współrzędnych (na płaszczyźnie) Koniec wektora jest rzutowany prostopadle na obie osie układu Otrzymane wielkości a x, a y współrzędnych: to składowe wektora a w danym układzie wartość wektora kąt jaki tworzy wektor a z osią x Wektor jednostkowy (wersor) wektor o wartości równej jeden Wersorami są wektory bazowe bazy kartezjańskiej T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 6

7 Dodawanie i odejmowanie wektorów Suma wektorów: Metoda geometryczna Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne Dodawanie wektorów (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Add3Vectors/Add3Vectors.html Różnica wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 7

8 Dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar Metoda analityczna dodawania wektorów Analityczne dodawanie wektorów (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/VectorAddComponents/VectorAddComponents.html iloczyn wektora a przez skalar r wynik wektor o wartości r razy większej od wartości wektora a T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 8

9 Iloczyn skalarny dwóch wektorów Inaczej: iloczyn wewnętrzny lub iloczyn z kropką wynik liczba (skalar) kąt zawarty między wektorami a i b Ilustracja iloczynu skalarnego (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DotProduct/DotProduct.html cos funkcją parzystą iloczyn skalarny jest operacją przemienną Iloczyn skalarny jest rozłączny ze względu na dodawanie wektorów: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 9

10 Iloczyn skalarny dwóch wektorów nie tylko gdy co najmniej jeden z wektorów ma wartość zero, ale także gdy są one wzajemnie prostopadłe gdyż =0 (cos=1) W szczególności, dla wektorów bazy kartezjańskiej zachodzi: - delta Kroneckera, zdefiniowana następująco: Dla dwóch dowolnych wektorów a i b w bazie kartezjańskiej: Algebraiczna definicja iloczynu skalarnego (umowa sumacyjna Einsteina) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 10

11 Obroty układu współrzędnych -rzut wektora x na oś e i Zbiór liczb {x i } = przedstawienie (współrzędne) wektora x w bazie (układzie współrzędnych {e i } Zbadajmy związki między składowymi określonego wektora x w dwóch różnych bazach kartezjańskich o wspólnym środku x może być rozłożony na składowe zarówno w bazie K jak i K W bazie K: W szczególności, gdy Relacja między wersorami baz: primowanej i nieprimowanej Jednocześnie definicja dziewięciu wielkości a ki cosinusów kierunkowych kątów między sześcioma osiami T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 11

12 Obroty układu współrzędnych Cosinusy kierunkowe mogą być zapisane w postaci macierzy kwadratowej 3x3 R macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej (opisuje w pełni konsekwencje przejścia między K i K ) Elementy macierzy R są określone równaniem: Ta definicja stanowi pewną konwencję. Alternatywa: Nie wszystkie elementy macierzy R są niezależne: wynika to z ortonormalności obu baz: Dziewięć równań, Nie wszystkie niezależne Podobnie: Relacje ortogonalności Odpowiadają im przekształcenia ortogonalne T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 12

13 Przekształcenia ortogonalne W przestrzeni n-wymiarowej macierz obrotu ma n 2 elementów Relacje ortogonalności dają (1/2)n(n+1) związków między elementami macierzy (1/2)n(n-1) elementów pozostaje dowolnych n = 2 jeden parametr swobodny kąt obrotu n = 3 trzy parametry swobodne trzy z sześciu cosinusów kierunkowych lub trzy kąty Eulera (patrz poniżej) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 13

14 Dwuwymiarowa macierz obrotu 1 Macierz (a ki ) określa co dzieje się ze składowymi wektora x, podczas przejścia od bazy e i do e i poprzez obrót bazy o kąt (+) przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara Wektor x zachowuje się pasywnie (biernie); a obraca się baza 2 Alternatywna interpretacja: x i x to dwa różne wektory; x powstaje przez obrót x o kąt (-) Składowe wektora x w bazie K są wtedy liczbowo równe składowym wektora x w bazie K Transformacja aktywna jednego wektora w nowy wektor; baza pozostaje pasywna Macierz transformacji odwrotnej -jednocześnie macierz transponowana do (a ki ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 14

15 Kąty Eulera 1) φ 2) Θ 3) ψ T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 15

16 Trójwymiarowa macierz obrotu Uogólnijmy macierz obrotu 2D na przypadek obrotu 3D wokół osi x 3 : Przejście do trójwymiarowej macierzy obrotu R(,,) Cel: przejście do nowego układu współrzędnych, w którym nowa oś z=x 3 ma dowolny kierunek (wzdłuż dowolnego wektora V) CW clockwise CCW counter clockwise Można tego dokonać w trzech krokach: obrotach o kąty, i 1. Obrót o kąt CCW wokół osi x 3 = x 3 2. Obrót o kat CW (- CCW) wokół osi x 2 3. Obrót CCW o kąt w płaszczyźnie x 1 x 2 wokół osi x 3 T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 16

17 Trójwymiarowa macierz obrotu, -kąty Eulera (kilka różnych definicji powyższej macierzy) Uwagi: po każdym obrocie dany wektor ma w ogólności inne składowe wektor to nie pojedyncza uporządkowana trójka liczb lecz raczej zbiór takich trójek, związanych ze sobą w określony sposób Twierdzenie: iloczyn skalarny jest niezmienniczy względem przekształceń ortogonalnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 17

18 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b Zwrot (dodatni kierunek) wektora c jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej wynik wektor c; jego długość: kąt zawarty między wektorami a i b, liczony od a do b, < Ilustracja iloczynu wektorowego (animacja) GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CrossProduct/CrossProduct.html Iloczyn wektorowy zmienia znak przy zmianie kolejności czynników (antykomutacja) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 18

19 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Przykład: zbiór ortogonalnych wektorów bazy kartezjańskiej (i, j, k) = (e 1, e 2, e 3 ) dla prawoskrętnego układu współrzędnych Wersory (wektory jednostkowe wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskich) spełniają relacje: W zwartym zapisie: Ale tylko gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3 Wygodny, ogólny zapis z użyciem tensora Levi-Civity jeżeli (i,j,k) stanowi parzystą permutację liczb (1,2,3) jeżeli (i,j,k) stanowi nieparzystą permutację liczb (1,2,3) W pozostałych przypadkach (co najmniej dwa wskaźniki jednakowe) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 19

20 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Wygodne relacje: Wygodna definicja skrętności układu współrzędnych: prawoskrętny lewoskrętny Algebraiczna definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów Wygodny zapis w postaci wyznacznika: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 20

21 Iloczyn wektorowy dwóch wektorów zwykły wektor = wektor biegunowy (polarny): Wektorów są dwa rodzaje: Psudowektor =wektor osiowy (aksjalny) = iloczyn wektorowy dwóch wektorów biegunowych Oba te obiekty transformują się tak samo przy obrotach Różnica ujawnia się przy operacji inwersji układu współrzędnych (odbicia przestrzennego) Wektor biegunowy ZMIENIA znak Wektor osiowy NIE ZMIENIA znaku Identyczne zachowanie dla skalarów i pseudoskalarów T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 21

22 Rodzaje współrzędnych W 3D każdy punkt geometryczny leży na przecięciu trzech płaszczyzn lub innych bardziej skomplikowanych powierzchni Współrzędne prostoliniowe jeśli przybierają one stałe wartości na płaszczyznach krzywoliniowe w przeciwnym wypadku sferyczne walcowe Współrzędne ortogonalne jeśli dla dowolnego punktu w przestrzeni, wektory normalne do wszystkich trzech powierzchni przecinających się w tym punkcie są do siebie prostopadłe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 22

23 Wektory bazy a metryka - zbiór wersorów bazy dla przestrzeni n-wymiarowej W ogólnym przypadku wersory bazy nie są ortonormalne Przypomnienie własności delty Kroneckera: Zawsze można skonstruować z wektorów bazy następującą macierz n x n Elementy diagonalne = kwadraty długości wektorów bazy Macierz g = METRYKA (dokładniej TENSOR METRYCZNY) Dla współrzędnych ortogonalnych metryka jest diagonalna W ogólnym przypadku metryka może zależeć od położenia w przestrzeni T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 23

24 Wektory bazy a metryka Dla współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni Euklidesowej Dowolny wektor V można rozłożyć na wektory bazowe: Składowe wektora zostały nieprzypadkowo zapisane z indeksami u góry (dalsze slajdy) Iloczyn skalarny dwóch wektorów w bardziej poprawnym zapisie: W zapisie macierzowym: Dla przypadku: powyższa formuła podaje długość wektora V metryka zadaje relację między długością wektora a jego składowymi T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 24

25 Wektory bazy a metryka W ogólnym przypadku wektory bazy nie muszą być do siebie wzajemnie ortogonalne oraz nie muszą być znormalizowane (być wersorami) można zawsze określić nie trywialną, odwrotną bazę wektorów: Nasza konwencja: baza wyjściowa indeksy na dole baza odwrotna - indeksy u góry Wzajemna relacja odwrotności między bazami: W zapisie macierzowym: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 25

26 Wektory kowariantne i kontrawariantne Dwa zbiory wektorów bazowych dwa rodzaje wektorów Rozwinięcie wektora na wektory bazowe Baza wyjściowa Baza odwrotna Składowe Nazwa składowych kontrawariantne kowariantne Wektor jest w obu przypadkach ten sam Zamiast kowariantne składowe często wygodnie jest mówić wektor kowariantny Odpowiednio dla kontrawariantnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 26

27 Wektory kowariantne i kontrawariantne Interpretacja graficzna tych składowych Składowe kontrawariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy wyjściowej Składowe kowariantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy wyjściowej Jednocześnie: Składowe kontrawiantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy odwrotnej Składowe kowariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy odwrotnej Przykład 2D dla ogólnego układu współrzędnych: składowe kontrawariantne (V 1,V 2 ) kowariantne (V 1,V 2 ) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 27

28 Wektory kowariantne i kontrawariantne Ogromna zaleta wprowadzenia górnych i dolnych składowych prostota zapisu iloczynu skalarnego Metryka umożliwia przechodzenie między składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi: w szczególności kwadrat długości wektora infinitezymalnego przesunięcia: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 28

29 Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna Równania: q 1 =const, q 2 =const, q 3 =const zadają trzy powierzchnie, które przecinają się w jednym punkcie P tym, w którym są określone współrzędne (q 1,q 2,q 3 ). Te powierzchnie to powierzchnie współrzędnych. Krzywe wzdłuż których się one przecinają to krzywe współrzędnych. Styczne do tych krzywych w punkcie P to osie współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 29

30 Rodzaje współrzędnych i ich transformacje -ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego zbioru tj. Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz dostatecznie wiele razy różniczkowalne Założenie 2: do transformacji f i istnieje transformacja odwrotna T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 30

31 Przejścia między układami współrzędnych Skoncentrujmy się na przejściach współrzędne kartezjańskie inne krzywoliniowe Kwadrat odległości między sąsiednimi punktami: Czynniki skali (scale factors) Odległość między sąsiednimi punktami = element liniowy Co więcej Wyrażenia Q ik można zestawić w macierz metryki (tensor) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 31

32 Przejścia między układami współrzędnych Jeżeli zmienia się tylko jedno z wyrażeń q Można określić cosinusy kierunkowe między parami elementów liniowych Cosinus kąta ik między ds i i ds k : Znaczne uproszczenie dla ortogonalnych układów współrzędnych (powierzchnie współrzędnych przecinają się zawsze pod kątem prostym): Trzy elementy powierzchniowe w układzie ortogonalnym: Element objętościowy: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 32

33 Przykład 2D: współrzędne kartezjańskie vs biegunowe Kartezjańskie: q 1 =x, q 2 = y Biegunowe: q 1 =r, q 2 = T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 33

34 Współrzędne walcowe Kartezjańskie: (x,y,z) Walcowe (r,z T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 34

35 Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 35

36 Współrzędne sferyczne (Dwie możliwości definicji kąta θ) Kartezjańskie: (x,y,z) Sferyczne (r,µ, T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 36

37 Przestrzeń euklidesowa vs nieeuklidesowa Przestrzeń euklidesowa -przestrzeń, w której można globalnie (a nie tylko lokalnie) wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich płaska tj. o zerowej krzywiźnie Nieeuklidesowa gdy jest to niemożliwe Ex. 1: Sfera (powierzchnia kuli) krzywizna dodatnia Do danej linii prostej m nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta > Ex. 2: siodło krzywizna ujemna Do danej linii prostej m można przeprowadzić co najmniej dwie proste równoległe przechodzącej przez dany punkt leżący poza prostą m Suma kątów wewnętrznych trójkąta < T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 37

38 Powtórka elementów rachunku całkowego T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 38

39 Całki krzywoliniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa dl wektor infinitezymalnego przesunięcia Całka jest obliczana wzdłuż krzywej P biegnącej od punktu a do punktu b W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i przesunięcia dl z danego punktu do następnego punktu na tej krzywej Gdy rozważana krzywa jest zamknięta (b=a) Przykład: praca wykonywana przez daną siłę F: Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki krzywoliniowej nie zależy od drogi całkowania (siły o takiej własności = siły zachowawcze) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 39

40 Całki powierzchniowe wyrażenia postaci: v funkcja wektorowa da wektor prostopadły do powierzchni, o wartości równej polu infinitezymalnego elementu powierzchni Istnieją dwa wektory prostopadłe do danej powierzchni, o przeciwnych zwrotach znak całki powierzchniowej nie jest określony W każdym punkcie powierzchni obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v i elementu powierzchni da Gdy rozważana powierzchnia jest zamknięta Przykład: jeśli v opisuje przepływ płynu (masę płynu na jednostkę powierzchni i czasu) to całka powierzchniowa odpowiada strumieniowi płynu całkowitej masie płynu przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki powierzchniowej nie zależy od wyboru powierzchni, a jedynie od kształtu krzywej będącej jej brzegiem T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 40

41 Całki objętościowe wyrażenia postaci: T - funkcja skalarna d infinitezymalny element objętości (d = dx dy dz) Przykład: T gęstość materii; całka objętościowa = całkowita masa Całki objętościowe z funkcji wektorowych: T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 41

42 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Całkowanie po objętości we współrzędnych kartezjańskich = mnożenie funkcji podcałkowej przez element objętości dxdydz i zsumowanie tego iloczynu po wszystkich infinitezymalnych przyczynkach Ta prosta procedura może okazać się bardzo skomplikowana jeśli funkcja F zależy w skomplikowany sposób od współrzędnych (x,y,z) i/lub gdy granice całkowania nie są prostymi funkcjami x,y,z Przykład: policzmy objętość kuli stosując współrzędne kartezjańskie Znacznie wygodniej jest prowadzić rachunek we współrzędnych sferycznych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 42

43 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych W tym celu trzeba wyrazić infinitezymalny element objętości dv we współrzędnych sferycznych. można wykorzystać fakt, iż objętość rozpięta na prostopadłościanie o bokach odpowiadających trzem wektorom a,b,c, wyraża się wzorem: Przy transformacji współrzędnych: Element objętości dv zmienia się według formuły: J Jakobian przekształcenia współrzędnych T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 43

44 Przykład: Całkowanie po Objętości we Współrzędnych Sferycznych Jakobian jest równy iloczynowi czynników skali Przykład dla współrzędnych sferycznych (wersja 2) T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 44

45 Folie zapasowe T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 45

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe.) DZIAŁ Potęgi DOPUSZCZAJĄCY

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Mechaniki i Przyległości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskiego)

Pierwsze kolokwium z Mechaniki i Przyległości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskiego) Pierwsze kolokwium z Mechaniki i Przylełości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskieo) Zadanie Dane są cztery wektory A, B, C oraz D. Wyrazić liczbę (A B) (C D), przez same iloczyny skalarne tych

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka 1. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą. 2. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 2.1 Liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające

Bardziej szczegółowo