3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA"

Transkrypt

1 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku: x y y x x Rys Znakowanie składowych naprężeń Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt apisujemy:, cos sin y sin cos (3.), sin cos y sin cos (3.3) ' y ' sin cos y cos sin (3.4) lub krócej w postaci macierzowej 'T (3.5) gdzie wektory ' i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych. Macierz transformacji zapisujemy w postaci:

2 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA [ c T s sc ] s c sc (3.6) sc sc c s Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas, cos sin (3.7), cos sin (3.8) ' y ' sin y cos (3.9) Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco: ' ' const. (3.10) ' ' ' y ' const. (3.11) Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy: tg gł y (3.1) I, II ± x (3.13) Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt /4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą: ' MAX x y (3.14) Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:

3 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 3 { y } (3.15) Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci: u v y y u y v (3.16) Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej: y,v v v y dy dy v u y u u y dy dx v v u u dx dx x,u Rys. 3.. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco Lu (3.17) gdzie wektor u[u, v] T, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać: 0 L[ y ] 0 (3.18) y W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:

4 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 4 z (3.19) z Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru: z z (3.0) a wartość 0 Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco 1 1 y 1 G y 1 (3.1) (3.) lub w postaci relacji odwrotnej 1 x 1 y (3.3) y 1 1 (3.4) gdzie 1 Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci C (3.5)

5 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 5 gdzie C 1 [ (3.6) ] lub odwrotnie D (3.7) gdzie DC 1 [1 ] (3.8) W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru: z z z z (3.9) natomiast Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco 0 (3.30) 1 1 (3.31) y 1 (3.3) oraz

6 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 6 1 (3.33) skąd (3.34) Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.3) otrzymamy ostatecznie lub odwracając zależności: W zapisie macierzowym zapiszemy: 1 [ 1 ] (3.35) 1 [ 1 ] (3.36) y 1 (3.37) 1 1 [ 1 ] (3.38) 1 1 [ 1 ] (3.39) y 1 (3.40) oraz C 1 [1 0 ] 1 0 (3.41) DC [1 ] (3.4) 1 0 0

WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała

WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała WIADOMOŚCI OGÓLN O NAPRĘŻNIACH Stan naprężenia w punkcie ciała Załóżmy, że pewne ciało (rys. 1.1), obciążone układem sił zewnętrznych czynnych i biernych, znajduje się w równowadze. Poprowadzimy myślowo

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR LAB TEMAT: FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE I. CEL ĆWICZENIA: Celem ćwiczenia jest wprowadzenie studentów w zagadnienie szybkiej

Bardziej szczegółowo

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut

Bardziej szczegółowo

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii Brunon R. Górecki Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii SPIS TREŚCI Wstęp CZĘŚĆ I. KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ.Wprowadzenie.. Czym jest ekonometria?.. Pojęcie modelu ekonometrycznego.3. Dane statystyczne.4.

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców oprogramowania do projektowania Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców

Bardziej szczegółowo

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH. Kraków, 2004 21.03.2013

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH. Kraków, 2004 21.03.2013 Anna Linscheid Katedra Chemii i Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 11 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH Kraków, 24 21.3.213 SPIS TREŚCI I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA...

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do środowiska R

Wprowadzenie do środowiska R Łukasz Komsta 21 sierpnia 2004 Spis treści 1 Wstęp 3 2 Pierwsze kroki 3 2.1 Najprostsze obliczenia.................................. 4 2.2 Przykłady operacji na wektorach............................ 4

Bardziej szczegółowo

ASYMETRIA CZASU 1. Jerzy Gołosz ABSTRACT

ASYMETRIA CZASU 1. Jerzy Gołosz ABSTRACT Jerzy Gołosz ASYMETRIA CZASU 1 ABSTRACT W artykule analizowane jest rozróżnienie pomiędzy asymetrią w czasie procesów fizycznych i asymetrią samego czasu. Opierając się na założeniu, że każde rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE. Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE. Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane 11 - ii PRZEDMOWA Niniejsza publikacja

Bardziej szczegółowo

Czas i przestrzeń w teorii względności

Czas i przestrzeń w teorii względności Czas i przestrzeń w teorii względności Żeby zrozumieć czas trzeba zrozumieć fizykę. Jak się dalej okaże nie ma innej drogi do fizyki, jak królewskiej drogi matematyki. Zastanowimy się w tym referacie czy

Bardziej szczegółowo

Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym

Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach Jarosław Dąbrowski 193207 Praca magisterska Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym Promotor: dr inż. Mariusz Boryczka Sosnowiec, 2008 Spis

Bardziej szczegółowo

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Anna Beata Kwiatkowska Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron rozprawa doktorska napisana

Bardziej szczegółowo

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi:

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: Ćwiczenie POMIARY MOCY. Wprowadzenie Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: P = U I (.) Jest to po prostu (praca/ładunek)*(ładunek/czas). Dla napięcia mierzonego w

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05

Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Władysława Maria Francuz Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005 0

Bardziej szczegółowo

Możliwość dokonywania zgłoszeń wynalazków na rozwiązania zawierające programy komputerowe i środki przetwarzania danych

Możliwość dokonywania zgłoszeń wynalazków na rozwiązania zawierające programy komputerowe i środki przetwarzania danych Możliwość dokonywania zgłoszeń wynalazków na rozwiązania zawierające programy komputerowe i środki przetwarzania danych Jerzy J. Włodek, Ekspert w Urzędzie Patentowym RP Naturalny postęp techniczny doprowadził

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu

Wprowadzenie do programu Wprowadzenie do programu Wersja 4.2 www.geogebra.org Wprowadzenie do programu GeoGebra Data ostatniej modyfikacji: 6 Listopada, 2012. Aktualizacja dotyczy najnowszej wersji programu: GeoGebra 4.2. Podręcznik

Bardziej szczegółowo

12 PODSTAWY MIKROSKOPII ELEKTRONOWEJ I JEJ WYBRANE ZASTOSOWANIA W CHARAKTERYSTYCE KATALIZATORÓW NOŚNIKOWYCH

12 PODSTAWY MIKROSKOPII ELEKTRONOWEJ I JEJ WYBRANE ZASTOSOWANIA W CHARAKTERYSTYCE KATALIZATORÓW NOŚNIKOWYCH GRZEGORZ SŁOWIK Zakład Technologii Chemicznej, Wydział Chemii, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowsiej, Pl. M. Curie-Skłodowskiej, 20-031 Lublin grzesiek.slowik@gmail.com Rozdział 12 PODSTAWY MIKROSKOPII ELEKTRONOWEJ

Bardziej szczegółowo