Tensory mały niezbędnik

Transkrypt

1 28 października 2013

2

3 Rozkład wektora V na współrzędne: α = (0x, V ), β = (0y, V ), γ = (0z, V ).

4

5 Rozkład wektora r, r = (x, y) na współrzędne w dwóch różnych układach współrzędnych. x = x cos θ + y sin θ y = x sin θ + y cos θ.

6 Wektorem A nazywamy wielkość, której współrzędne A x, A y (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według A x = A x cos θ + A y sin θ A y = A x sin θ + A y cos θ. (A x, A y to współrzędne w układzie Σ, powstałym w wyniku obrotu Σ.)

7 Wektorem A nazywamy wielkość, której współrzędne A x, A y (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według A x = A x cos θ + A y sin θ A y = A x sin θ + A y cos θ. (A x, A y to współrzędne w układzie Σ, powstałym w wyniku obrotu Σ.) Ogólnie (3 wymiary): A 1 = a 11 A 1 + a 12 A 2 + a 13 A 3 A 2 = a 21 A 1 + a 22 A 2 + a 23 A 3 A 3 = a 31 A 1 + a 32 A 2 + a 33 A 3.

8 Wektorem A nazywamy wielkość, której współrzędne A x, A y (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według A x = A x cos θ + A y sin θ A y = A x sin θ + A y cos θ. (A x, A y to współrzędne w układzie Σ, powstałym w wyniku obrotu Σ.) Ogólnie (3 wymiary): A 1 = a 11 A 1 + a 12 A 2 + a 13 A 3 A 2 = a 21 A 1 + a 22 A 2 + a 23 A 3 A 3 = a 31 A 1 + a 32 A 2 + a 33 A 3. A n = 3 a nk A k, n = 1, 2, 3. k=1

9 Wektorem A nazywamy wielkość, której współrzędne A x, A y (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według A x = A x cos θ + A y sin θ A y = A x sin θ + A y cos θ. (A x, A y to współrzędne w układzie Σ, powstałym w wyniku obrotu Σ.) Ogólnie (3 wymiary): A 1 = a 11 A 1 + a 12 A 2 + a 13 A 3 A 2 = a 21 A 1 + a 22 A 2 + a 23 A 3 A 3 = a 31 A 1 + a 32 A 2 + a 33 A 3. A n = 3 a nk A k, n = 1, 2, 3. k=1 zapisujemy prościej: A n = a nk A k, n = 1, 2, 3.

10 Co to są współczynniki a nk???

11 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3

12 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3 A = e 1A 1 + e 2A 2 + e 3A 3 albo w naszej notacji bez znaku sumy A = e na n = e k A k

13 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3 A = e 1A 1 + e 2A 2 + e 3A 3 albo w naszej notacji bez znaku sumy A = e na n = e k A k Wystarczy teraz pomnożyć obie strony przez e n A n = e n e k A k a nk A k stąd

14 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3 A = e 1A 1 + e 2A 2 + e 3A 3 albo w naszej notacji bez znaku sumy A = e na n = e k A k Wystarczy teraz pomnożyć obie strony przez e n A n = e n e k A k a nk A k stąd a nk = e n e k = cos (oś n w Σ, oś k w Σ)

15 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3 A = e 1A 1 + e 2A 2 + e 3A 3 albo w naszej notacji bez znaku sumy A = e na n = e k A k Wystarczy teraz pomnożyć obie strony przez e n A n = e n e k A k a nk A k stąd a nk = e n e k = cos (oś n w Σ, oś k w Σ) Macierz a nk to macierz kosinusów kątów, określających wzajemne zorientowanie osi obu wykładów

16 Co to są współczynniki a nk??? A = e 1 A 1 + e 2 A 2 + e 3 A 3 A = e 1A 1 + e 2A 2 + e 3A 3 albo w naszej notacji bez znaku sumy A = e na n = e k A k Wystarczy teraz pomnożyć obie strony przez e n A n = e n e k A k a nk A k stąd a nk = e n e k = cos (oś n w Σ, oś k w Σ) Macierz a nk to macierz kosinusów kątów, określających wzajemne zorientowanie osi obu wykładów Nieco uproszczona definicja tensora drugiego rzędu:

17 Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 3 = 9 współrzędnych T ik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według Pewne własności: T ik T mn = a mi a nk T ik.

18 Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 3 = 9 współrzędnych T ik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według Pewne własności: T ik T mn = a mi a nk T ik. Tensory symetryczne S ik = S ki tylko sześć współrzędnych!!

19 Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 3 = 9 współrzędnych T ik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według Pewne własności: T ik T mn = a mi a nk T ik. Tensory symetryczne S ik = S ki tylko sześć współrzędnych!! Tensory antysymetryczne A ik = A ki tylko trzy współrzędne!!

20 Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 3 = 9 współrzędnych T ik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według Pewne własności: T ik T mn = a mi a nk T ik. Tensory symetryczne S ik = S ki tylko sześć współrzędnych!! Tensory antysymetryczne A ik = A ki tylko trzy współrzędne!! Np. iloczyn wektorowy to nic innego jak antysymetryczny tensor 2. rzędu!! A B = C; C i = ɛ ijk A j B k.

21 Tensorem drugiego rzędu T nazywamy wielkość, której 3 3 = 9 współrzędnych T ik (w układzie Σ) transformują się przy obrocie układu o kąt θ według Pewne własności: T ik T mn = a mi a nk T ik. Tensory symetryczne S ik = S ki tylko sześć współrzędnych!! Tensory antysymetryczne A ik = A ki tylko trzy współrzędne!! Np. iloczyn wektorowy to nic innego jak antysymetryczny tensor 2. rzędu!! A B = C; C i = ɛ ijk A j B k. Tutaj ε ijk = 0 i = j j = k i = k +1 (i, j, k) = P + (1, 2, 3) 1 (i, j, k) = P (1, 2, 3),

22 Tensory drugiego rzędu w fizyce... w dielektryku powstaje wektor polaryzacji elektrycznej P, który w zdecydowanej większości materiałów jest proporcjonalny do pola elektrycznego: P = χe, P i = χe i, i = 1, 2, 3, gdzie χ to tzw. polaryzowalność elektryczna. Oba wektory mają wspólny kierunek i zwrot, a stała materiałowa χ mówi tylko o skuteczności uporządkowania dipoli.

23 Tensory drugiego rzędu w fizyce... w dielektryku powstaje wektor polaryzacji elektrycznej P, który w zdecydowanej większości materiałów jest proporcjonalny do pola elektrycznego: P = χe, P i = χe i, i = 1, 2, 3, gdzie χ to tzw. polaryzowalność elektryczna. Oba wektory mają wspólny kierunek i zwrot, a stała materiałowa χ mówi tylko o skuteczności uporządkowania dipoli. W dielektrykach anizotropowych mamy bardziej skomplikowane P 1 = χ 11 E 1 + χ 12 E 2 + χ 13 E 3, P 2 = χ 21 E 1 + χ 22 E 2 + χ 23 E 3, P 3 = χ 31 E 1 + χ 32 E 2 + χ 33 E 3.

24 Tensory drugiego rzędu w fizyce... w dielektryku powstaje wektor polaryzacji elektrycznej P, który w zdecydowanej większości materiałów jest proporcjonalny do pola elektrycznego: P = χe, P i = χe i, i = 1, 2, 3, gdzie χ to tzw. polaryzowalność elektryczna. Oba wektory mają wspólny kierunek i zwrot, a stała materiałowa χ mówi tylko o skuteczności uporządkowania dipoli. W dielektrykach anizotropowych mamy bardziej skomplikowane P 1 = χ 11 E 1 + χ 12 E 2 + χ 13 E 3, P 2 = χ 21 E 1 + χ 22 E 2 + χ 23 E 3, P 3 = χ 31 E 1 + χ 32 E 2 + χ 33 E 3. Fizycznie oznacza to, że natężenie wektora polaryzacji w kierunku osi 0x (P 1 ) zależy nie tylko od x-owej składowej natężenia pola elektrycznego (E 1 ), ale również od składowych tego pola w kierunku osi 0y i 0z (E 2 i E 3 ). Matematycznie zastąpienie jednej stałej materiałowej, polaryzowalności χ, dziewięcioma liczbami χ ik oznacza, że charakter tej stałej jest już inny. Nie jest już ona skalarem, ale tensorem drugiego rzędu.

25 Tensor momentu bezwładności Ciało sztywne: układ mas (m i ), odległych o (r i ) od osi obrotu; każda z mas porusza się z prędkością

26 Tensor momentu bezwładności Ciało sztywne: układ mas (m i ), odległych o (r i ) od osi obrotu; każda z mas porusza się z prędkością v i = ω r i, ω prędkość kątowa c. s.

27 Tensor momentu bezwładności Ciało sztywne: układ mas (m i ), odległych o (r i ) od osi obrotu; każda z mas porusza się z prędkością Całkowity moment pędu L = n m i r i v i = i=1 v i = ω r i, ω prędkość kątowa c. s. n m i [r i (ω r i )] = i=1 n m i [ωri 2 r i (ω r i )]. i=1

28 Tensor momentu bezwładności Ciało sztywne: układ mas (m i ), odległych o (r i ) od osi obrotu; każda z mas porusza się z prędkością Całkowity moment pędu L = n m i r i v i = i=1 v i = ω r i, ω prędkość kątowa c. s. n m i [r i (ω r i )] = i=1 L x = L y = L z = i=1 i=1 i=1 n m i [ωri 2 r i (ω r i )]. i=1 n m i [ω x ri 2 x i (ω r i )] n m i [ω y ri 2 y i (ω r i )] n m i [ω z ri 2 z i (ω r i )].

29 Wprowadzamy B B xx B xy B xz B yx B yy B yz B zx B zy B zz

30 Wprowadzamy B B xx B xy B xz B yx B yy B yz B zx B zy B zz B xx = B yy = B zz = n m i [yi 2 + zi 2 ], i=1 n m i [x 2 i + zi 2 ], i=1 n m i [x 2 i + yi 2 ], i=1 B xy = B yx = B yz = B zy = B zx = B xz = n m i x i y i, i=1 n m i y i z i, i=1 n m i z i x i. i=1

31 Związek pomiędzy momentem pędu a momentem bezwładności zapiszemy teraz B xx B xy B xz B yx B yy B yz B zx B zy B zz ω x ω y ω z = B xx, B yy, B zz momenty bezwładności względem głównych osi (osi układu kartezjańskiego); B xz = B zx ; B zy = B yz,... momenty dewiacji. L x L y L z.

32 Związek pomiędzy momentem pędu a momentem bezwładności zapiszemy teraz B xx B xy B xz B yx B yy B yz B zx B zy B zz ω x ω y ω z = B xx, B yy, B zz momenty bezwładności względem głównych osi (osi układu kartezjańskiego); B xz = B zx ; B zy = B yz,... momenty dewiacji. Tensor bezwładności jest tensorem symetrycznym, a więc istnieje układ osi własnych, w którym B xx 0 0 ω x L x 0 B yy ω y = L y, 0 0 B zz ω z L z. L x L y L z.

33 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl

34 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl

35 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to V iikl = V 11kl + V 22kl + V 33kl U kl

36 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to tensor drugiego rzędu. V iikl = V 11kl + V 22kl + V 33kl U kl

37 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to V iikl = V 11kl + V 22kl + V 33kl U kl tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2;

38 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to V iikl = V 11kl + V 22kl + V 33kl U kl tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2; na przykład ślad tensora suma składowych diagonalnych tensora 2. rzędu T ii = T 11 + T 22 + T 33 = skalar

39 Kontrakcja tensora Tensor na przykład czwartego rzędu: 3 4 = 81 liczb (współrzędnych) V ijkl V ijkl V mnpq = a mi a nj a pk a ql V ijkl Kontrakcja względem dwóch (np. pierwszych) wskaźników to V iikl = V 11kl + V 22kl + V 33kl U kl tensor drugiego rzędu. Kontrakcja obniża więc rząd tensora o 2; na przykład ślad tensora suma składowych diagonalnych tensora 2. rzędu albo T ii = T 11 + T 22 + T 33 = skalar a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b. (zauważ a i b i to kontrakcja tensora drugiego rzędu a i b k.)

40 Operatory Różniczkowe i Tensory Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej i = x i formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu. Wynika stąd

41 Operatory Różniczkowe i Tensory Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej i = x i formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu. Wynika stąd a i = a 1 + a 2 + a 3 = diva x i x 1 x 2 x 3

42 Operatory Różniczkowe i Tensory Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej i = x i formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu. Wynika stąd a i = a 1 + a 2 + a 3 = diva x i x 1 x 2 x 3 jest skalarem (o czym zawsze wiedzieliśmy)

43 Operatory Różniczkowe i Tensory Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej i = x i formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu. Wynika stąd a i = a 1 + a 2 + a 3 = diva x i x 1 x 2 x 3 jest skalarem (o czym zawsze wiedzieliśmy) Tw. Ostrogradskiego-Gaussa Σ a dσ = V Σ a k dσ k = V diva dv = Formalnie więc mamy przyporządkowanie (1) {...}dv {...}dσ k x k Σ V a k x k dv

44 Operatory Różniczkowe i Tensory Okazuje się, że operator pochodnej cząstkowej i = x i formalnie jest też tensorem pierwszego rzędu. Wynika stąd a i = a 1 + a 2 + a 3 = diva x i x 1 x 2 x 3 jest skalarem (o czym zawsze wiedzieliśmy) Tw. Ostrogradskiego-Gaussa Σ a dσ = V Σ a k dσ k = V diva dv = Formalnie więc mamy przyporządkowanie (1) {...}dv {...}dσ k x k Σ V a k x k dv czyli całka objętościowa ze skalara będącego dywergencją wektora może być zastąpiona całką powierzchniową z wektora.

45 a całka całka objętościowa z wektora??

46 a całka całka objętościowa z wektora?? może być zastąpiona całką powierzchniową z tensora drugiego rzędu.

47 a całka całka objętościowa z wektora?? może być zastąpiona całką powierzchniową z tensora drugiego rzędu. Spróbujmy to sprawdzić. Całka objętościowa z wektora (konkretnie: jego i-tej składowej (współrzędnej) niech będzie miała postać F i dv V

48 a całka całka objętościowa z wektora?? może być zastąpiona całką powierzchniową z tensora drugiego rzędu. Spróbujmy to sprawdzić. Całka objętościowa z wektora (konkretnie: jego i-tej składowej (współrzędnej) niech będzie miała postać F i dv Jeżeli F i τ ik x k V = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3 tzn. siła jest dywergencją tensora zauważ τ ik to tensor trzeciego x l rzędu, poddany zwężeniu daje to tensor 3 2 = 1. rzędu, wektor.

49 a całka całka objętościowa z wektora?? może być zastąpiona całką powierzchniową z tensora drugiego rzędu. Spróbujmy to sprawdzić. Całka objętościowa z wektora (konkretnie: jego i-tej składowej (współrzędnej) niech będzie miała postać F i dv Jeżeli F i τ ik x k V = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3 tzn. siła jest dywergencją tensora zauważ τ ik to tensor trzeciego x l rzędu, poddany zwężeniu daje to tensor 3 2 = 1. rzędu, wektor. Z równania (1) τ ik F i dv = dv = τ ik dσ k. x k Σ V V

50 Dodatkowa literatura MMF algebra liniowa; elementy rachunku tensorowego, A.L Każdy sensowny podręcznik, polecam: Arfken, Mathematical Methods For Physicists, jest w naszej bibliotece WFiIS.

51 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ.

52 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ. Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego elementu to (2) masa du dt = F obj + F pow.

53 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ. Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego elementu to (2) masa du dt = F obj + F pow. Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do objętości elementu, a więc do drugiej potęgi jego charakterystycznego wymiaru (L 3 ), a siły powierzchniowe do powierzchni (L 2 ). Przy L 0 dominują więc te drugie.

54 Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ).

55 Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ). Tak jak widzieliśmy reguły rachunku tensorowego wymagają aby (3) F i τ ik x k = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3. Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować twierdzenie O-G w postaci tensorowej τ ik (4) F i dv = dv = τ ik dσ k. V V x k Σ Wyrażenie pod całką powierzchniową τ ik dσ k τ i1 dσ 1 + τ i2 dσ 2 + τ i3 dσ 3 to iloczyn skalarny składowych tensora τ ik (pierwszy wskaźnik ustalony) i wektora dσ = (dσ 1, dσ 2, dσ 3 ) skierowanego elementu powierzchni całkowania Σ.

56 Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k.

57 Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym.

58 Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki.

59 Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki. M l = ɛ lki x k F i

60 Interpretacja τ ik Z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawia się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej całki. M l = ɛ lki x k F i Oczekujemy, że składowa l (gdzie l i, l k, i k momentu siły powinna dać się zapisać w postaci całki ( τil (F i x k F k x i )dv = x k τ ) kl x i dv. x l x l V V

61 Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l V

62 Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji a więc można ja przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to ( ) x k x i τ il τ kl dv = (τ il δ kl τ kl δ il ) dv = (τ ik τ ki )dv. x l x l V V V V

63 Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji a więc można ja przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to ( ) x k x i τ il τ kl dv = (τ il δ kl τ kl δ il ) dv = (τ ik τ ki )dv. x l x l V V Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki powierzchniowej tensor τ ik musi być tensorem symetrycznym. Zawsze może być on przedstawiony w odpowiednim układzie układzie osi własnych w którym tylko diagonalne składowe są różne od zera, a składowe poza przekątną główną znikają. Suma składowych diagonalnych jest to tzw. ślad tensora V τ ii τ 11 + τ 22 + τ 33 skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji. V

64 Tensor τ ik a hydrostatyka Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy (5) τ 11 = τ 22 = τ 33 = 1 3 τ ii = p (ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku skierowanego na zewnątrz wektora dσ).

65 Tensor τ ik a hydrostatyka Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one siły działające na jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy (5) τ 11 = τ 22 = τ 33 = 1 3 τ ii = p (ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku skierowanego na zewnątrz wektora dσ). Przypadek ogólny; składowe ścinania W przypadku, kiedy ma czynienia z ruchem względnym warstw płynu tensor τ ik zapisujemy w postaci (6) τ ik = pδ ik + d ik. Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek od sił ciśnienia; drugi tensor d ik związany jest właśnie z ruchem cieczy.

66 Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości.

67 Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 x 2 będzie różne od zera. Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = d 21 = µ u 1 x 2,

68 Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 x 2 będzie różne od zera. Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = d 21 = µ u 1 x 2, gdzie współczynnik µ jest stałą materiałową i zależy, w pierwszym rzędzie, od rodzaju płynu.

69 Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 x 2 będzie różne od zera. Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = d 21 = µ u 1 x 2, gdzie współczynnik µ jest stałą materiałową i zależy, w pierwszym rzędzie, od rodzaju płynu. Tensor d ij jest oczywiście symetryczny, bo stanowi część symetrycznego tensora τ ik ; symetria zresztą wynika z założenia o izotropowych własnościach płynu.

70 Formalnie zapisujemy tensor d ik w postaci nieco bardziej skomplikowanej (7) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ),

71 Formalnie zapisujemy tensor d ik w postaci nieco bardziej skomplikowanej (7) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast

72 Formalnie zapisujemy tensor d ik w postaci nieco bardziej skomplikowanej (7) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast (8) = u i x i = div u = e ii to ślad tego tensora (skalar).

73 Formalnie zapisujemy tensor d ik w postaci nieco bardziej skomplikowanej (7) d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast (8) = u i x i = div u = e ii to ślad tego tensora (skalar). Dodanie takiego (formalnie przekształconego do wielkości tensorowej mnożnik δ ik ) skalara niewiele zmienia określenie sił (pochodne tensora τ ik ) pozostaje bez zmian. Natomiast tak określony tensor ma ślad (sumę składowych diagonalnych) równy zeru łatwo to sprawdzić, o ile uzmysłowimy sobie że ślad delty Kroneckera (też tensor!) δ ii = 3. Takie zerowanie się dywergencji tensora pozwala na formułowanie dodatkowych wniosków

74 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa du dt = F obj + F pow.

75 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa elementu objętości dv to ρdv masa du dt = F obj + F pow.

76 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa elementu objętości dv to ρdv masa du dt = F obj + F pow. (9) ρdv du i dt = F iρdv + τ ik x k dv, i = 1, 2, 3 gdzie F i to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dv i podstawiamy jawną postać tensora naprężeń

77 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania masa elementu objętości dv to ρdv masa du dt = F obj + F pow. (9) ρdv du i dt = F iρdv + τ ik x k dv, i = 1, 2, 3 gdzie F i to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń. Dzielimy przez dv i podstawiamy jawną postać tensora naprężeń (10) ρ du i dt = ρf i p x i + [ 2µ(e ik 1 ] x k 3 δ ik ). To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa.

78 Równanie Naviera-Stokesa c.d. Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni mamy (równanie ciągłości!) Mamy wówczas też 2µ e ik x k = µ x k divu = u i x i = = 0. ( ui x k + u k x i ) ( 2 u i = µ x 2 + k x i ) u k = µ 2 u i x k x 2 k (wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości). Równanie (10) w zapisie wektorowym przybiera wówczas postać (11) ρ du dt = ρf p + µ u.

79 Równanie N-S bez tensorów Równanie N-S można też wyprowadzić bez tensorów, stosując proste rachunki, z których wynikają te same postacie przyczynków do sił powierzchniowych. Zobaczmy

80 Równanie N-S bez tensorów Równanie N-S można też wyprowadzić bez tensorów, stosując proste rachunki, z których wynikają te same postacie przyczynków do sił powierzchniowych. Zobaczmy Rysunek: Siły powierzchniowe ciśnienia (a) i lepkości(b)

81 Tak jak pokazane jest to w części (a) rysunku na nieskończenie mały element objętości cieczy, o rozmiarach dxdydz działa z lewej siła o składowej F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz.

82 Tak jak pokazane jest to w części (a) rysunku na nieskończenie mały element objętości cieczy, o rozmiarach dxdydz działa z lewej siła o składowej F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz. Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy nieskończenie małe pierwszego rzędu [ F x = p(x + dx, y, z)dydz p(x, y, z) + p ] x dx dydz.

83 Tak jak pokazane jest to w części (a) rysunku na nieskończenie mały element objętości cieczy, o rozmiarach dxdydz działa z lewej siła o składowej F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz. Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy nieskończenie małe pierwszego rzędu [ F x = p(x + dx, y, z)dydz p(x, y, z) + p ] x dx dydz. Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest różnica tych dwóch składowych F wypadkowa x = p x dxdydz, (x,y,z) a więc na jednostkę objętości F wypadkowa x /dv = p x. (x,y,z)

84 Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły lepkości (część (b) rysunku). Na dolną podstawę elementu działa ze strony dolnej warstwy płynu zgodnie z założeniem Newtona siła µ u x(x, y, z) dxdy z

85 Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły lepkości (część (b) rysunku). Na dolną podstawę elementu działa ze strony dolnej warstwy płynu zgodnie z założeniem Newtona siła na górną µ u x(x, y, z) dxdy z

86 Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły lepkości (część (b) rysunku). Na dolną podstawę elementu działa ze strony dolnej warstwy płynu zgodnie z założeniem Newtona siła na górną µ u x(x, y, z + dz) z µ u x(x, y, z) dxdy z [ ux (x, y, z) = µ + z z ] u x (x, y, z) dz dxdy; z ich różnica (! zastanów się dlaczego) odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz to

87 Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły lepkości (część (b) rysunku). Na dolną podstawę elementu działa ze strony dolnej warstwy płynu zgodnie z założeniem Newtona siła na górną µ u x(x, y, z + dz) z µ u x(x, y, z) dxdy z [ ux (x, y, z) = µ + z z ] u x (x, y, z) dz dxdy; z ich różnica (! zastanów się dlaczego) odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz to µ 2 u x (x, y, z) z 2 dxdydz.

88 Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość.

89 Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t)

90 Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t) du dt = u t + u x dx dt + u dy y dt + u z dz dt = u t + u x u x + u y u y + u z u z

91 Pochodna śledcza Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania masa du dt = F obj + F pow. Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t) du dt = u t + u x dx dt + u dy y dt + u z du i dt = u i t + u k dz dt = u t + u x u x + u y u y + u z u z u i x k, i = 1, 2, 3. W żargonie mechaniki ośrodków ciągłych mamy pochodną śledczą.